Semana 1 Martes 0 de enero de 015. 1.1. Un poco de teoría axiomática de conjuntos. En matemáticas existen terminos axiomáticos que no se pueden definir con palabras en nuestro lenguaje usual sin caer en un círculo lógico matemático. Así pues, se entenderán por conocidos los terminos: conjunto, pertenencia ( ), propiedad definitoria, elemento, contiene ( ), contenido ( ), subconjunto, contenencia, demostración. Las negaciones tambien se suponen conocidas. Los conjuntos se denotarán sin distinción por símbolos convenientes; salvo pocas excepciones, los símbolos permanecerán libres entre distintos enunciados y en las pruebas se entenderá que las notaciones habrán quedado heredadas del enunciado. Asimismo, la teoría de conjuntos absorbe la lógica (o, más formalmente, la teoría de conjuntos es una teoría en lógica). La siguiente lista de nombres de axiomas no pretende ser logicamente independiente ni exhaustiva. «Axioma de extensión»; si A y B son conjuntos y se cumple que ( x A)(x B) entonces A B. Más, si A B y B A entonces A = B. «Axioma de especificación»; si X es un conjunto y P una propiedad entonces {u X P (u) es cierta} es un conjunto. «Axioma del vacío»; existe un conjunto sin elementos, que puede mostrarse que es único y se denotará por. «Axioma del infinito»; existe un conjunto U tal que U y y U y {y} U. «Axioma de emparejamiento»; si S y T son conjuntos entonces {S, T } es un conjunto. «Axioma de unión»; para cada conjunto A existe un conjunto H tal que H es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún elemento de A; en simbolos, H = {a ( b A)(a b)}. Se puede mostrar que existe uno solo y se denota por A. «Axioma de intersección»; mismo que el previo pero en vez de a algún se cambia por a todos ; es importante que A no sea vacío. Igual que antes, la notacion A es inambigua. «Axioma de potencia»; dado un conjunto J existe otro conjunto K el cual esta formado por todos los subconjuntos de J. Por unicidad, K = P (J). «Axioma de elección»; dada una familia de conjuntos (X t ) t H existe un conjunto L tal que los elementos de L son exactamente aquellas familias de la forma (x t ) t H tal que para cada t H se cumple que x t X t. 1
Seminario de análisis elemental. «Axioma de regularidad»; ningun conjunto se contiene a sí mismo; dado un conjunto G existe un elemento F en el tal que F G =. «Axioma esquemático de reemplazo»; si para el elemento a de un conjunto A se puede formar un conjunto B(a) entonces el siguiente es un conjunto {B(a) a A} y, por tanto, también {(a, B(a)) a A}. Definicion ( 1.1.1 ) Dado un conjunto E y A un subconjunto suyo, se define E A como el conjunto de los e E tales que e / A (esto es un conjunto por el axioma de especificacion). Para evitar decir conjunto y subconjunto en el mismo enunciado varias veces a veces se reemplazará subconjunto por «parte». Comentarios: las siguientes son inmediatas de esta defincion. Cada una de ellas puede ser derivada a partir de las relaciones lógicas correspondientes, es decir, son propiedades lógicas reescritas en terminos de conjuntos. Se toman entonces A y B dos partes de X. 1. X ( X A ) = A;. X (A B) = X A X B; 3. X (A B) = X A X B; 4. las propiedades A B y X B X A son equivalentes; mismo para A B =, A X B y B X A; tambien se cumple para A B = X, A X B y B X A. 1.. Definiciones fundamentales. En lo que sigue, todas las letras denotaran conjuntos, vacíos o no. Definicion ( 1..1 ) Un «par ordenado» (a, b) es un conjunto tal que si (c, d) es otro par ordenado entonces (a, b) = (c, d) a = b, c = d. Al conjunto de pares ordenados (a, b) para a A y b B se le denotará por A B. Una «relación» R de A con B es una parte de A B; se usará la notación R : A B. La relacion «inversa» se define por R 1 = {(b, a) (a, b) R}. La «composición» de dos relaciones R de A con B y S de B con C es una relacion de A con C tal que (a, c) pertenece a ella si existe un b B tal que (a, b) R y (b, c) S. Una «función» f de A a B es un conjunto de pares (a, b) tales que si (a, b), (a, c) f entonces b = c; se utilizará la notacion f : A B, si no hay necesidad de la letra f entonces solo se escribirá A B. La relación inversa, que siempre existe pero no siempre es función, cuando es función se denomina «función inversa». Si para cada x en un conjunto A se tiene f(x) un único elemento de otro conjunto (no importa cómo se consiguió, sino que existe y es único), se denotará por x f(x) a la función (axioma esquemático del reemplazo) {(x, f(x)) x A}. Una «familia de elementos» del conjunto X con conjunto de «índices» Λ es una funcion x : Λ X. Por notación se escribirá x = (x λ ) λ Λ. Comentarios: 1. La composición de funciones es función y la composición de una funcion A B con su función inversa B A es la función A A consistente en los pares (a, a) para a A. Se le denotaró por 1 A, id A o I A.. Todo conjunto esta en relación unívoca de manera canónica con una familia; si X es un conjunto, la familia (x t ) t X esta definida por x t = t. A algunas personas les resulta más cómodo ignorar la definición de familia y pensar que los conjuntos tienen un patrón preasignado (esto es precisamente lo que hace la familia).
1.3. Productos, imágenes y preimágenes. A veces para poder definir objetos nuevos es necesario tener la definicion de sus objetos precedentes. Para esto es necesario tener a los números naturales. Se entenderá por numero natural a todo entero «positivo» 1. Se denotará por N a los naturales y por N 0 = N {0} a los no negativos. A los enteros se les denotará por Z, a los racionales por Q, a los reales por R y a los complejos por C. Todos estos, salvo los complejos, se suponen dados y sus propiedades conocidas. Algunos resultados que tomaremos como axiomas son los siguientes (habrá muchos más). 1. Todo subconjunto de numero naturales tiene un primer elemento.. Todo conjunto infinito tiene una parte biyectable con N. Teorema ( 1.. ) Supón que P es una propiedad y que H = {n N P (n) es cierta}. Si 1. 1 H, y. n H n + 1 H, entonces H = N; el «método de inducción». Pues si H N existiría un primer n + 1 que no está en H, lo cual es absurdo pues n H. De considerable más aplicación es el siguiente. Teorema ( 1..3 ) Supón que X es un conjunto, que a X y que f : X X es una función cualquiera. Entonces existe una función g : N X tal que g(1) = a y g(n + 1) = f(g(n)); el «teorema de recursión». Considera C la parte de subconjuntos A de N X tal que (1, a) A y (n+1, f(x)) A siempre que (n, x) A. Tal C no es vacío y su intersección g = C es la función buscada; en efecto, define H el conjunto de los naturales tales que n tales que existe un x y solo uno tal que (n, x) g; que 1 H y n H n+1 H son consecuencias directas de la minimalidad de g. Comentario: una aplicación del teorema previo se denomina «definición recursiva». Las operaciones aritméticas clásicas, en la teoría de conjuntos, se demuestran usando recursión e inducción. 1.3. Productos, imágenes y preimágenes. La definición del producto de un número finito de factores se realiza inductivamente y solamente un lógico se quejaría de la falta de prueba de las propiedades fundamentales. Definicion ( 1.3.1 ) Sean X 1,..., X n partes (de un conjunto más grande). Define, recursivamente, X 1... X n = (X 1... X n 1 ) X n ; se escribirá z = (x 1,..., x n ) X 1... X n en vez de ((... (x 1, x )...), x n ). A x i se le llamará la «proyección i-ésima» de z y se escribirá x i = pr i z. Más generalmente, si i 1,..., i k son elementos del conjunto {1,..., n} entonces se escribirá pr i1,...,i k z = (x i1,..., x ik ). Si X 1 = X =... = X n = X entonces se escribirá X n en vez de X... X (n veces). Comentario: la propiedad (x 1,..., x n ) = (y 1,..., y n ) equivale a x 1 = y 1,..., x n = y n (se prueba por inducción en n). Además, suele denotarse al conjunto de funciones X Y por Y X. La razón es que existe una biyección natural de Y {1,...,n} a Y n (defines f (f 1,..., f n )). Definicion ( 1.3. ) Si f : A B y E A entonces f = f (E B) se denomina «restricción» de f a E. E Si g es tal que g = f entonces f recibirá el nombre de «extensión» de g a A. Al conjunto de los f(a) tales que E a E se le denomina «imagen» o «imagen directa» de E por f y se le denota por f(e). Si C B al conjunto de a definidos por la propiedad f(a) C se le llamará «preimagen» o «imagen inversa» de C por f. 1 Positivo y negativo se entenderán en sentido «estricto». El número 0 no es un número natural en el sentido intuitivo de la palabra. 3
Seminario de análisis elemental. Comentario: es inmediato que f(f 1 (C)) = C f(a). Ejemplo ( 1.3.3 ) Si A X Y y x X entonces pr 1 1 ({x}) se llamará «sección cruzada» de A «basada» en el punto x del «primer factor»; se le denotará por A(x). Si f : X Y J entonces a la función A(x) J dada por y f(x, y) se le denotará por f(x, ); esta clase de funciones se llamarán «funciones parciales». Los ejemplos y definiciones previas dadas para dos factores se extienden sin más a n factores. Se suponen conocidas las propiedades principales de composición de funciones, funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Lo que no se supone conocido es el siguiente. Teorema ( 1.3.4 ) Una función f : A B tiene una «inversa por la derecha» si existe g : B A tal que f g = I B ; la definición de inversa por la izquierda es análoga. Una caracterización de suprayectividad es tener las dos inversas. Solo hay que escribir las definiciones. 1.4. Otra vez familias. Se define la unión de una familia como la unión de su rango 3 y similar para intersección. Observa que estos son conjuntos 4. Teorema ( 1.4.1 ) Sean Λ,, Σ tres conjuntos de indices; X, Y dos conjuntos de elementos; f : X Y una función; (A α ), (B β ) β dos familias de elementos de P (X) y (C γ ) γ Σ una familia de elementos de P (Y ). Entonces ( ) 1. X A α = ( ) X A α ;. 3. ( ) Ñ A α β ( ) Ñ A α β B β B β é é ( ) 4. f A α = f(a α ); 5. f 1 6. f 1 Ñ γ Σ Ñ γ Σ C γ C γ é é = = = f 1 (C γ ); γ Σ = f 1 (C γ ). γ Σ (α,β) Λ (α,β) Λ A α B β ; A α B β ; Una contenencia es sencilla, la otra solo hay que fijar un elemento y mover el otro. 3 El «rango» de una función es la imagen directa de su dominio, y este último se define como el primer factor donde la función está contenida. 4 Todo es conjunto, pero es cómodo pensar que las funciones no son conjuntos; mismo para familas. 4
1.5. Enumerabilidad. Definicion ( 1.4. ) Una «cubierta» de un conjunto es una familia de su potencia tal que su unión contiene al conjunto dado. La cubierta es, además, «partición» si cada dos índices tienen elementos asociados ajenos. Una «relación de equivalencia» en A es una relación R : A A tal que 1. para cualquier a A, (a, a) R o lo que es lo mismo, a a, «reflexividad»;. (a, b) R es equivalente a (b, a) R o equivalentemente, a b b a, «simetría»; 3. las dos relaciones (a, b), (b, c) R implican (a, c) R, esto es a b, b c a c, «transitividad». Una «subfamilia» de una familia (x λ ) λ L es una familia (y δ ) δ H tal que existe una función inyectiva ϕ : H L tal que y δ = x ϕ(δ). Hay que cuidar el hecho que las relaciones son partess del producto de un conjunto consigo mismo. A veces hay que usar el axioma esquemático del reemplazo para poder dar efectivamente una relación de equivalencia (explícitamente, hay que evitar hablar de relaciones de equivalencia en clases que no son conjuntos). Ejemplo ( 1.4.3 ) Toda partición (A λ ) λ L genera una relación x y; explícitamente, x y equivale a existe un λ L tal que x A λ y y A λ. De hecho, si es una relación en A entonces [a] = {x a} A, la «clase de equivalencia» de a, satisface que [a] [b] o es vacío o [a] = [b]; luego, L = {[a] a A} es un conjunto de partes ajenas a pares de A tal que la familia (A λ = λ) λ L es partición de A. Si R es una relación en A se escribe A/R para denotar al conjunto de clases de equivalencia de A (antes denotado por L). La función a [a] es suprayectiva y es inyectiva (si y) solo si R es la identidad. A veces se denota a b como a = b mód R. λ L Ejemplo ( 1.4.4 ) Dada una familia (X λ ) λ L de partes de un conjunto X se define su «producto cartesiano» como X λ es el conjunto de familias (x λ ) λ L tal que x λ X λ. Nota que L al ser un conjunto no tiene orden y no importa como escribas la familia. Para cada parte J L se define pr J : X λ X λ por pr J (x λ ) λ L = (x λ ) λ J λ L λ J Ñ é (nota que pr J manda una familia a su reestricción a J). Si J es no vacío entonces X λ y X λ, λ L λ J λ L\J son biyectables y una biyección es z (pr J z, pr L\J z). Si, para cada λ L, u λ : T X λ es una función entonces existe una función, y solo una, u : T λ L X λ tal que pr λ u = u λ (la «propiedad universal del producto» en el X λ sentido algebraico); a u se le escribe u = (u λ ) λ L y u(t) = (u λ (t)) λ L. 1.5. Enumerabilidad. Un concepto importante es la noción enumerabilidad, la cual se explica abajo. Definicion ( 1.5.1 ) Un conjunto U es «enumerable» si existe una biyección de él con N. Teorema ( 1.5. ) Cada parte de N es finita o enumerable. Si A N es infinito entonces define x 1 el menor elemento de A y recursivamente x n+1 el mínimo elemento A \ {x 1,..., x n }. Como A es infinito, (x n ) n N está definida; de hecho, su rango coincide con A pues si a A y x m es el elemento más grande de A tal que x m < a entonces, por definición, a = x m+1. Teorema ( 1.5.3 ) Si A es enumerable y f : A B es suprayectiva entonces B es enumerable. 5
Seminario de análisis elemental. Existe una biyección n a n de N a A; entonces n f(a n ) es una función suprayectiva de N a B; se puede suponer que A = N. Luego, si m(b) es el mínimo de f 1 ({b}) entonces f(m(b)) = b y m : B N es inyectiva. Teorema ( 1.5.4 ) El conjunto N N = N es enumerable. (n + m)(n + m + 1) Define f(n, m) = + m (la «enumeración diagonal»); entonces f es inyectiva (divide en los dos casos x + y < x + y, y x + y < x + y y y < y ; en el primero escribe x + y = a y (a+1)(a+) = a + a(a+1) por lo que f(x, y) a + a(a+1) < f(x, y )). Teorema ( 1.5.5 ) La unión de una familia enumerable de conjuntos enumerables es un conjunto enumerable. Si (A λ ) λ L es enumerable con cada A λ enumerable entonces hay una biyección n λ n de N a L y otra biyección n f λ (n) de N a A λ. Entonces, (n, m) f λn (m) es una función suprayectiva de N N a la unión de la familia. 1.6. Lema de Zorn. Definicion ( 1.6.1 ) Un «orden» en un conjunto X es una relación R : X X tal que R es reflexiva, «antisimétrica» (si x, y X satisfacen que x y y y x entonces x = y) y transitiva. Todo orden se llamará «parcial» y se cambiará parcial por «total» o «lineal» si, para cualesquier dos elementos x, y X, uno de los dos pares ordenados (x, y) o (y, x) pertenece a R. Una «cadena» C X es una parte tal que R (C C) es un orden total en C. Para a A se dirá que s(a) = {x X x a} es el «segmento iniciado» en a. A todos los elementos de s(a) se denominarán «descedientes» de a. A los elementos x X tales que a x se les llamará «ascendiente» de a. Si a satisface que a x para cualquier x X entonces se dirá que a es el «primer elemento» (necesariamente es único) o es el elemento «mínimo». Si x a para x X entonces a es el «último elemento» o el «máximo». Un elemento es «minimal» si no tiene descedientes distintos de él mismo, es «maximal» si no tiene ascendientes distintos de él mismo. Una parte C X se llamará «mayorado» o «acotado superiormente» si existe un a X tal que a no tiene ascendientes en C distintos de él; a a se le llamará «mayorante» o «cota superior»; se dirá de C «minorado» o «acotado inferiormente» si existe un a X que no tiene descedientes en C distintos de sí mismo; y se dirá, en este caso, que a es un «minorante» o «cota inferior». Se dirá que C tiene «supremo» si existe un mínimo del conjunto de mayorantes de C; a tal mínimo se le llamará «supremo». Se dirá que C tiene un «ínfimo» si existe un máximo del conjunto de minorantes de C; a tal máximo se le llamará «ínfimo». Teorema ( 1.6. ) Si X es un conjunto parcialmente ordenado tal que cada cadena en X tiene una cota superior (que depende de la cadena y la cota pertenece a X) entonces X tiene un elemento maximal. Considera s : X P (X) dada por s(a) es el segmento iniciado en a. Entonces s(x) s(y) x y. De hecho más, si C es una cadena en X entonces s(c) es una cadena en P (X), y si a es una cota superior de C entonces s(a) es una cota superior de s(c). Sea C el conjunto de cadenas en X. Si C es una cadena en X entonces existe un a en X tal que C s(a); más, C es una cadena en X. También es claro que D C implica que D es una cadena. Sea f A una «función de elección» (es decir, cualquier elemento del producto). Sea  = {x X A {x} A X A C}. Define g : C C dada por g(a) = A si A =  y g(a) = f(a) f Ä Â \ A ä. Entonces, A es maximal si y solo si g(a) = A. Considera ahora el conjunto T P (C) conformado por las partes T tales que T ; A T g(a) T ; si C es una cadena de elementos de T entonces C T (las «torres» de C). Nota que C T ; por lo que T 0 = T está definido. De hecho, T 0 T y es una torre mínima. 6
1.7. Números reales. Supón que c T 0 se puede comparar (ante inclusión) con todo otro elemento de T 0 (existe al menos un tal c, cuando c = ) y que a c un «parte propia» (es decir, contenida sin ser igual). Entonces g(a) c pues de lo contrario, c g(a) es una parte propia, lo cual contradice que g(a) \ a puede tener a lo más un elemento. Sea U el conjunto de los a T 0 tales que a c o g(c) a. Entonces U es una torre pues c; a U g(a) U pues 1. si a es una parte propia de c entonces g(a) c,. si c a entonces g(c) g(a); si H es es una cadena de elementos de U entonces H U pues si H c entonces a H g(c) a lo cual implica que g(c) H. Si c T 0 se puede comparar con cualquier otro elemento de T 0 entonces g(c) también. De este modo, g manda conjuntos comparables a conjuntos comparables. Como la unión de una cadena de conjuntos comparables es un conjunto comparable, el conjunto de los conjuntos comparables es a su vez comparable; T 0 queda caracterizado por ser constituido por puros conjuntos comparables pues es comparable. Esto prueba que T 0 es una cadena, luego su unión A pertenece a T 0. Como g(a) es comparable y T 0 contiene a todos los comparables entonces sucede que g(a) A y A = g(a). 1.7. Números reales. Un desarrollo completo de la construcción de los número reales cae fuera de lo que se busca por lo que se omitirá. Los siguientes serán axiomas. (Las propiedades de paréntesis, aunque son obvias deben ser probadas, sin embargo, solo un lógico pondría en duda su validez para el contexto actual). I. R es un «campo»; esto es, satisface las siguientes propiedades 1. x + (y + z) = (x + y) + z; (esto se puede generalizar a sumas de n números, luego se define n x i = Å n 1 ã x i + x n y en realidad no importa como se escriban los paréntesis);. x + y = y + x; (en n x i no importa como ordenes los elementos para sumarlos); 3. existe un 0 R tal que 0 + x = x para cualquier x R; (el «neutro aditivo» es único); 4. para cada x R existe un x R tal que x + ( x) = 0; (para cada x R existe un y solo un «inverso aditivo»); Å 5. x(yz) = (xy)z; (esto se puede generalizar a sumas de n números, luego se define n n 1 x i = x i ã x n y en realidad no importa como se escriban los paréntesis); 6. xy = yx; (en n x i no importa como ordenes los elementos para multiplicarlos); 7. hay un elemento 1 R tal que 1 x = x para cualquier x R; (el «neutro multiplicativo» es único); 8. para cualquier x R existe un elemento x 1 R (también denotado como 1 x ) tal que xx 1 = 1; (para cada x R no nulo existe un y solo un «inverso multiplicativo»); 9. x(y + z) = xy + xz. II. R es «ordenado»; esto es, aparte de los precedente, R también satisface que tiene un orden total tal que 1. para cualesquier x, y R, x y o y x; 7
Seminario de análisis elemental.. si x y y y x entonces x = y; 3. si x y y y z entonces x z; 4. x y x + z y + z; 5. 0 x y 0 y implican que 0 xy. III. «Axioma de Arquímedes»; para cada para 0 < x y existe un n N tal que y nx; IV. «Axioma de los intervalos anidados» ; dada una sucesión 5 de intervalos ([a n, b n ]) con a n a n+1 y b n+1 b n entonces la familia tiene intersección no vacía. La relación x y y x y se escribe x < y; la relación x y se escribe x > y. Teorema ( 1.7.1 ) Las siguientes propiedades valen. 1. Una y solo una de las siguientes tres vale x < y, x = y, x > y.. Cualquier conjunto finito A R tiene elementos máximo y mínimo. 3. Si A R tiene n elementos entonces existe una «función creciente» (es decir, x < y f(x) < f(y)) y solo una f : {1,..., n} A tal que f es biyección. 4. Si (x 1,..., x n ) y (y 1,..., y n ) son dos familias finitas en R tales que x i y i para cada i entonces y i ; si para algún i se cumple además que x i < y i entonces 5. Si (x 1,..., x n ) es una familia de número no negativos entonces todos los x i = 0. x i < y i. x i x i 0; más, la suma es cero si y solo si La primera es consecuencia de la antisimetría del orden; las demás se demuestran por inducción. Al conjunto de número positivos se le denotará por R + y al de no negativos por R +. Para cada intervalo no vacío [a, b] se define b a 0 como su «longitud»; para x R se define x, su «valor absoluto», como 0 si x = 0 y como la longitud del intervalo no vacío [x, 0] o [0, x]. Se definen además x + = x + x Teorema ( 1.7. ) Lo siguiente se verifica. 1. x = 0 es equivalente a x = 0;. x = x es equivalente a x 0 y x = x es equivalente a x 0. y x = x x. 3. Si a > 0 entonces x < a (resp. ) es equivalente a a < x < a (resp. a x a). 4. x + y x + y y x y x y. 5. Si z 0 y x y entonces xz yz. 6. Las relaciones x 0 y y 0 implican que xy 0. Las relaciones x 0 y y 0 implican que xy 0. Mismo resultado con desigualdades estrictas. En particular, x 0 y x = 0 equivale a x = 0. 7. Las relaciones x > 0 y x 1 > 0 son equivalentes; las relaciones 0 < x < y, 0 < y 1 < x 1 y 0 < x n < y n son equivalentes (n N). 5 Una «sucesión» es una familia cuyo conjunto de índices es N. 8
1.8. Supremos e ínfimos. Algunas consecuencias más interesantes se dan como ejemplos. Ejemplo ( 1.7.3 ) Para a < b el intervalo abierto (a, b) (no confundirse con el par ordenado) es no vacío pues b a > 0 y entonces b a > 0 por lo que a < a + b < b. De esto se deduce (inductivamente) que si J 1,..., J n son intervalos ajenos en R con longitudes l 1,..., l n e I es un intervalo que contiene a todos ellos entonces la longitud l de I satisface que l i l. Esto es un resultado fundamental de teoría de la medida. Ejemplo ( 1.7.4 ) El conjunto Q queda caracterizado por ser el conjunto de x R tales que x = p q para algún p Z y un q N. Luego, Q es enumerable pues la función (n, m) n m de N N a Q + = Q R + es suprayectiva y Q = Q + Q. Ejemplo ( 1.7.5 ) Cada intervalo (a, b) con a < b contiene una infinitud de racionales. Pues si x = b a > 0 existe un n N (axioma arquimediano) tal que 1 < x. Basta considerar el caso b > 0. Otra vez el axioma arquimediano n permite concluir la existencia de un h N minimal tal que b h n ; luego c = h 1 es el racional buscado. Como n a y b fueron arbitrarios, sustituye b por c y repite al infinito (aplica inducción; explícitamente, pon H el conjunto de los n tales que existe un c n+1 <... c 1 = c racionales y c n+1 (a, c n )). Ejemplo ( 1.7.6 ) El conjunto R no es enumerable. De lo contrario, existiría una biyección n x n de N a R. Define p(1) = 0, p() como el mínimo n tal que x n > x 0. Supón que p(n) ha sido definida para todo n m 1 y que p es creciente en 1,..., m 1. Entonces, el intervalo ( ) x p(m ), x p(m 1) será abierto y, por tanto, contendrá infinitos puntos. Se puede definir p(m) como el menor k > p(m 1) tal que x k cae en ese intervalo y p(m + 1) como el menor k > p(m) tal que x k cae en el intervalo abierto ( ) x p(m), x p(m 1). Así pues, es claro que p es creciente y que el intervalo cerrado [ ] ( ) x p(m), x p(m+1) está contenido en el intervalo abierto xp(m ), x p(m 1). Por el axioma intervalos anidados, existe un y R que está contenido en todos los intervalos [ ] x p(m), x p(m+1) y y no puede coincidir con ninguno de los extremos pues los extremos están en el complemento del siguiente intervalo. Existe un q N tal que y = x q ; esto es una contradicción pues si n es el más grande de los naturales tales que p(n) q entonces q < p(n + 1) y separando en los casos n = m y n = m 1 se ve que x q viola a p(m + 1) o p(m), respectivamente. 1.8. Supremos e ínfimos. Teorema ( 1.8.1 ) Si X R está «mayorado» 6 entonces el conjunto de «mayorantes» 7 tiene mínimo, el «supremo» de X, que se denotará por sup X; el «axioma del supremo». Sean x X y b cota superior; el axioma arquimediano permite encontrar, para cada n N, un m N tal que b a + m n ; de hecho, se puede tomar m como el mínimo natural p n que cumpla esto. De este modo, si I n = [a + (p n 1) n, a + p n n ] entonces X I n no es vacío. La observación p n n = (p n ) n 1 permite concluir que p n+1 = p n o p n+1 = p n 1. Luego, I n conforma una sucesión de intervalos anidado. La intersección de los I n, que se denotará por J, es no vacío. Si α < β pertenecen a J entonces 1 n (β α), sin importar n (hay que probar que n n, lo cual es inducción). Así que J = {γ}. Tal γ es mayorante de X pues de lo contrario existiría un x X tal que x < γ y entonces n < x γ para algún n grande. Se deriva entonces que a + p n n < x, lo que contradice la definición de p n. Del mismo modo, cada mayorante y de X satisface que y γ pues de lo contrario se deduciría la existencia de un n tal que n < γ y lo cual, a su vez, conduciría a que a + (p n 1) n es mayorante de X, lo cual sería absurdo. 6 Que es lo mismo que decir que está acotado superiormente. 7 También llamados «cotas superiores», los cuales son elementos mayores o iguales que todo elementos de X. 9
Seminario de análisis elemental. Comentario: ya todo mundo sabe que el axioma del supremo permite demostrar la propiedad de intervalos anidados; son lógicamente equivalentes. De hecho, el axioma del supremo equivale al «Teorema de Bolzano», como éste utiliza nociones de continuidad, será probado hasta más adelante. Teorema ( 1.8. ) Si un conjunto no vacío está minorado entonces el conjunto de sus minorantes tiene un máximo, el «ínfimo» de X, que se denotará por ínf X. Resulta al aplicar el teorema previo a X. Comentario: el supremo de X queda caracterizado por ser el único elemento tal que 1. es mayorante de X;. para todo natural (resp. número positivo) existe un elemento de X que dista del supremo menos que el recíproco del natural (resp. número positivo). Una caracterización semejante aplica para ínfimos. Teorema ( 1.8.3 ) Las siguientes valen. 1. Si X está «acotado» 8 entonces ínf X = sup( X).. A B y A es mayorado implican que B es mayorado y sup B sup A; 3. Supón que (A λ ) λ L es una familia de elementos en P (R) tales que cada A λ tiene supremo. Define B como el conjunto de los números sup A λ y A como la unión de la familia de los A λ. Para que A tenga supremo es necesario y suficiente que B tenga supremo; en este caso, sup A = sup B. 4. Si f : A R entonces f está «mayorada» (resp. «minorada») si f(a) es un conjunto mayorado (resp. minorado). En tal caso, se escribirá sup f(a) = sup f(x) (resp. ínf f(a) = ínf f(x). Si tal f está mayorado entonces f está minorada e ínf( f)(a) = sup f(a). 5. Si f : A 1 A R y f está mayorada entonces sup f(x 1, x ) = sup (x 1,x ) A 1 A x 1 A 1 6. Si f, g : A R están mayoradas entonces f + g está mayorada y sup si, además, g está minorada entonces (f(x) + g(x)) sup Ç sup f(x 1, x ) x A f(x) + sup g(x); sup f(x) + ínf g(x)) sup(f(x) + g(x)). Luego, si g es constante entonces sup(f(x) + c) = sup f(x) + c. 7. Con mayor aplicabilidad, si f 1 : A 1 R y f : A R está mayoradas entonces (x 1, x ) f 1 (x 1 )+f (x ) está mayorada y sup (f 1 (x 1 ) + f (x )) = sup f 1 (x 1 ) + sup f (x ). (x 1,x ) A 1 A x 1 A 1 x A 8 Esto es, mayorado y minorado simultaneamente. å 10
1.9. Referencias y comentarios finales. 1.9. Referencias y comentarios finales. Para la parte de teoría de conjuntos existen varios buenos libros. Para un nivel estrictamente elemental es recomendable cualquiera entre los textos de Enderton, titulado Elements of set theory, y el Halmos, con título Naïve set theory. Tratados más avanzados son el de Suppes, Teoría axiomática de conjuntos (por editorial Norma, de Colombia), y el de Hrbacek y Jech, llamado Introduction to set theory (otra buena introducción está dentro del libro de topología de Munker -Topology-). Existen tratados fundamentales, que no he leído pero cuyos autores son en general muy buenos (aunque algo magros), como el de Kelley o Bourbaki. Un comentario respecto al axioma de elección merece la pena pues en la «vieja escuela» se había enseñado a no admitirlo como ahora (probablemente ningún matemático moderno rechace el axioma; en CIMAT tanto Helga Fetter como Fernando Galaz suelen «sacarse de onda» cuando uno menciona que usará dicho axioma). Seguramente han odio muchas controversias al respecto de dicho axioma, entre las que destaca, sobre todas las demás, la paradoja de Banach-Tarski. Algunas cosas que se «perderían» sin axioma de elección son las bases en espacios vectoriales, caracterización de la topología de espacios métricos por sucesiones (aún en R se pierde con la definición general, existen parches -específicamente, cambiar abierto por intervalo cerrado con longitud positiva-), funciones aditivas, el conjunto de vitali, ultrafiltros, el teorema de Banach-Hahn (y sus consecuencias), topologías producto (y, de hecho, todo lo que tenga que ver con familias infinitas -aún en el caso enumerable-), y un largo etcétera. Respecto a la parte de números reales, cualquiera de los textos de arriba trae la construcción de los número reales a partir de los axiomas que están aquí expuestos. Otros libros que suponen algunas propiedades de los reales y luego demuestran teoremas (como se hizo aquí) son el Cálculo infinitesimal (por editorial Reverté, de España) de Spivak y Fundamentos de análisis moderno (igualmente por Reverté de España) de Dieudonné; este texto se basó casi en su totalidad en los primeros dos capítulos del libro de Dieudonné. Un texto más elemental pero con el mismo enfoque (y que cualquier alumno de segundo año ya puede leer sin más problemas) es el libro de Hasser, LaSalle y Sullivan cuyo título es Análisis matemático. Curso introductorio (por editorial Trillas, de México), el cual tiene una continuación pero esta está enfocada a cálculo diferencial e integral en R p. 11