Tema 0: Inroducción. Análisis de Circuios INDICE 0.1 OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA... 01 0.1.1 Información y señales. Tipos de señales...03 0.1.2 Circuios y sisemas elecrónicos...08 0.2 TEORÍA DE CIRCUITOS...09 0.2.1 Concepos fundamenales... 09 0.2.2 Elemenos básicos de circuio. Símbolos...012 0.2.3 Crierios básicos...016 0.2.4 Asociación de elemenos...017 0.2.5 Divisor de ensión e inensidad...018 0.3 ANALISIS DE CIRCUITOS...018 0.3.1 Análisis de circuio en coninua... 023 0.3.2 Análisis de circuio en el iempo... 023 0.3.2.1 Resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden... 024 0.3.2.2 Exciación senoidal... 027 0.3.2.3 Represenación fasorial de señales senoidales... 030 0.3.3 Teoremas fundamenales... 033 0.4 BIBLIOGRAFIA... 034 01
0.1: INTRODUCCIÓN. OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA. La ELECTRÓNICA se puede definir como la ciencia y ecnología relaivas al movimieno de cargas en un gas, en el vacío o en un maerial semiconducor. Se raa de una ciencia, ya que analiza y raa de dar explicaciones acerca de los principios físicos que gobiernan el movimieno de las cargas. Por oro lado, uiliza ecnológicamene esos principios en el desarrollo de sisemas úiles para el hombre. Hoy día, puede decirse que la elecrónica esá presene en odos los aspecos y ámbios de la sociedad y el mundo acual: SISTEMAS DE TELECOMUNICACIONES: EMISOR Señal Elecrica CANAL Señal Elecrica RECEPTOR Fig. 0.1 Bloques de un sisema de comunicación. INSTRUMENTACION Y MEDIDA: Sisemas con sensores. Auomaización de procesos. Bioingeniería. COMPUTADORES: E/S MEMORIA Bus de daos CPU Fig. 0.2 Componenes de un compuador. E/S: MEMORIA: CPU: El bloque de enrada/salida permie al usuario ineracuar con el compuador. Almacena daos y el programa. Núcleo donde se realizan las operaciones lógicas y ariméicas y se generan las diversas señales de conrol. 02
Un programa que es almacenado en la memoria, coniene una serie de insrucciones que conrolan la CPU. Esa realiza una serie de operaciones para una serie de daos de enrada y genera oros de salida. La realización física de las compuadoras se efecua mediane disposiivos elecrónicos: ransisores, diodos, pueras lógicas, circuios de reloj, ec. El OBJETIVO GENERAL de esa asignaura es proporcionar el subsrao adecuado para poder comprender y analizar el funcionamieno de los circuios incluidos en un compuador, a nivel elécrico. Para el análisis es necesario ener presene deerminados conocimienos básicos sobre eoría de circuios que se cubrirán en ese ema inicial. A parir de ellos, se esudiaran los diferenes componenes elecrónicos y familias lógicas derivadas de los mismos. Finalmene se realizará una breve inroducción a la diversas meodología aplicables al diseño de circuios elecrónicos digiales desde el puno de visa inegrado. 0.1.1 Información y señales. Tipos de señales Se puede definir información, en senido amplio, como el conocimieno que se iene de un suceso o siuación. Desde el puno de visa físico, la información se encuenra ligada a un sopore o SEÑAL, como condición indispensable para poder ser comunicada o ransferida de un lugar a oro. Se define una señal como el medio o sopore físico mediane el cual se comunica un conocimieno o información. (la voz, las ondas elecromagnéicas, ondas sonoras, ec). Sin embargo, el conocimieno o información no suele represenarse de forma direca en el seno de una señal, sino que es necesario procesarla para exraer la información correca. En senido amplio, procesamieno de señal puede definirse como la manipulación de una señal para obener algún ipo de información. Los SISTEMAS ELECTRÓNICOS se emplean a menudo en el proceso de exraer la información deseada de un conjuno de señales recibidas. El ipo de señales que manipulan los sisemas elecrónicos son de nauraleza elecromagnéica: ensión (V) e inensidad (I) más frecuenemene, de manera que las señales poradoras de la información han de converirse, en primer lugar, a una señal elécrica. Ese proceso se realiza mediane unos elemenos denominados ransducores. 03
Señal no elecrica Transducor SISTEMA ELECTRONICO V o I SISTEMA ELECTRONICO Procesado INFORMACION Fig. 0.3 Bloques de un sisema de comunicaciones necesarios para el procesado de la información En esa asignaura nos cenraremos en los bloques de procesado, suponiendo que siempre se van a uilizar señales elécricas (ensiones e inensidades principalmene). Una señal elécrica es una magniud física (V, I,...) que varía en el iempo, f() (v(), i(),...). f() Fig. 0.4 Señal elécrica: forma de onda. A la represenación de f() frene al iempo se la denomina forma de onda. La información que ranspora una señal esá relacionada con la magniud de la misma y su variación en el iempo, de manera que esas variaciones en el iempo conienen la información. Para obenerla es necesario algún ipo de código, convenio o conocimieno del conexo. Podemos definir diversos ipos de señales: SEÑALES CONSTANTES: A veces denominadas de coninua o DC. Su valor se maniene inalerado en el iempo. Se suelen represenar mediane leras mayúsculas: V, I. f() Fig. 0.5 Señal consane en el iempo. SEÑALES VARIABLES: Son aquellas cuyo valor no se maniene consane en el iempo. Se suelen represenar mediane leras minúsculas: v(), i(). 04
f() Fig. 0.6 Señal variables en el iempo. Se pueden clasificar en: SEÑALES PERIÓDICAS de periodo T. Sea f() una señal elécrica, se dice que es f() periódica de periodo T si [ 0, T ] se cumple que f() = f(nt), n N, n= 0, 1, 2,.... Es decir, la señal se repie pasado un iempo T. Ej: señal senoidal, cuadrada, riangular,... Fig. 0.7 Señal periódica. SEÑALES NO PERIODICAS: No poseen un periodo de operación o bien son de periodo f() infinio. Fig. 0.8 Señal no periódica. f() U () = U 0 si o U 1 si > o o Fig. 0.9 Señal escalón. 05
La señal ESCALÓN, U(), puede definirse para valores de U 0 y U 1 posiivos y negaivos, e implicando odas aquellas siuaciones que conemplan salos bruscos enre dos niveles de coninua. f() Fig. 0.10 : Señal cuadrada. f() f() Fig. 0.11 : Pulsos de subida y bajada. CLASIFICACION DE LAS SEÑALES SEGUN SU VALOR NUMÉRICO. SEÑALES ANALÓGICAS: Son aquellas señales que pueden omar cualquier valor denro de un rango de acividad, f a (). f() Se pueden clasificar, a su vez en: Fig. 0.12 Señal analógica. 06
CONTINUAS EN EL TIEMPO: f() esá definida para odo insane de iempo, f ac (). DISCRETAS EN EL TIEMPO: f d () sólo esá definida en cieros insanes de iempo: f ad (). fac() coninua fad() discrea Fig. 0.13 : Señales analógicas coninuas y discreas en el iempo. SEÑALES DIGITALES: Son señales que solo pueden omar valores deerminados denro de su rango de acividad: por ejemplo, f d () = [ f 1,f 2, f 3, f 4, f 5 ] son los cinco valores permiidos para f d (). Pueden ser: CONTINUAS EN EL TIEMPO: Definidas en odo insane de iempo: f dc DISCRETAS EN EL TIEMPO: Definidas solo en cieros insanes, generalmene múliplos de eneros de un periodo T: f dd f dc () coninua f dd () discrea Fig. 0.14 : Señales digiales coninuas y discreas en el iempo. 07
De ese modo, una señal digial es capaz de represenar la información mediane un número reducido de valores. El procesado poserior de esas señales equivale a manipular los números represenados por la señal. El procesado analógico o digial iene venajas e inconvenienes. Por lo general, las señales digiales son más fáciles de manipular, pero no dejan de ser una represenación del mundo real, que es analógico, y por lo ano, significa una pérdida de información. El caso más común de señales digiales es aquel en el que la señal digial sólo puede omar dos valores. Se habla enonces de señal digial binaria, y a los valores represenados, 0 y 1 lógico. 0.1.2 Sisemas y circuios elecrónicos. En primer lugar, se va a diferenciar enre: circuio elécrico, circuio elecrónico y sisemas elecrónicos. CIRCUITO ELECTRICO: Es un combinación de elemenos de circuio, pasivos (resisencias, bobinas y condensadores) y acivos (fuenes de alimenación de ensión y/o inensidad). CIRCUITO ELECTRONICO: Es una combinación de elemenos de circuio en los que además aparecen disposiivos elecrónicos (diodos y ransisores) fabricados mediane ecnologías de circuios inegrados (IC). SISTEMA ELECTRONICO: Es la combinación de varios circuios elecrónicos para ransmiir señales elécricas desde un puno de origen a un desino. La represenación de esas señales se realiza en función del ipo de procesado deseado en cada circuio elecrónico y la represenación final obedece al ipo de recepor. En ese senido, un sisema elecrónico puede consar de varias pares. La señal de enrada esá someida a diversos procesos de ransformación y manipulación para obener la información requerida a la salida. V o I p1 p2 p3 p4 INFORMACION Fig. 0.15 : Componenes de un sisema elecrónico. De una forma paralela a la definición de señales, los sisemas elecrónicos pueden clasificar 08
en: ANALOGICOS: Si siempre rabajan con señales analógicas. Sisemas de reproducción de un disco de vinilo. DIGITALES. Trabajan exclusivamene con señales digiales: Compuador. Volímero digial. MIXTOS: Trabajan con señales analógicas y digiales. Sisemas de reproducción de CDs. Con independencia del ipo de circuio, un sisema elecrónico rabaja con señales elécricas (ensión, inensidad, carga,.. ) que represenan magniudes físicas, no números. 0.2. TEORIA DE CIRCUITOS. 0.2.1 Concepos fundamenales. Se van a inroducir en ese aparado algunos concepos fundamenales y básicos para comprender el análisis de circuios elecrónicos. Un circuio elecrónico es un sisema físico en el que las magniudes vienen represenadas por variables elécrica, x(), que se relacionan mediane leyes físicas, f() que gobierna su funcionamieno. Sisema Elecrónico {x()} {f[x()]} x() = Esado acual de la variable x f[x()] = Ley que relaciona las variables {x()} en el insane acual Fig. 0.16 : Variables y funciones asociadas a un sisema elecrónico. La TEORIA DE CIRCUITO es una pare de la elecrónica que esudia como se relacionan las variables elécricas, x(), en función de las leyes físicas, f(), que gobiernan su funcionamieno. La elecricidad se puede manifesar de diversas formas. Enre ellas, las más comunes de las variables elécricas son: 09
TENSION o DIFERENCIA DE POTENCIAL: V() [Volios] CORRIENTE O INTENSIDAD: I() [Amperios] CARGA ELECTRICA: q() [Culombios] FLUJO MAGNETICO: φ () [Webers] ENERGIA ELECTRICA. E() [Julios] POTENCIA, P() [Waios] Poencia y energía son magniudes represenaivas de cualquier sisema, no solo elécrico (Ej. Energía poencia acumulada en el agua conenida en un panano que puede ser ransformada en energía elécrica). En odas ellas, x(), represena el valor insanáneo de la variable x, enel insane de observación. Por oro lado, las leyes físicas pueden clasificarse en dos grandes grupos: 1. RELACIONES UNIVERSALES: Son independienes de la nauraleza de los elemenos de circuio y siempre se cumplen. Ej: Corriene elécrica: Poencia insanánea: i = dq() d (0.1) p () = v () i () (0.2) 2. RELACIONES NO UNIVERSALES O CONSTITUTIVAS: Dependen de cada elemeno de circuio y, por ano, es necesario definirlas para cada uno de ellos. i() v() variables x(): v(), i(),... funciones f[x()] Fig. 0.17 : Relaciones consiuivas f[x()] asociadas a cada elemeno. A coninuación, nos vamos a cenrar en los elemenos de dos erminales a coninuación. Un elemeno de dos erminales se dice BILATERAL si las relaciones enre sus variables son 010
independienes al inercambiar sus erminales. En oro caso, se dice UNILATERAL. Ejemplo: Una resisencia. I A () V AB () R V AB = I A. R V BA () R V BA = I B. R I B () Fig. 0.18 : Resisencia como elemeno bilaeral. 3. LINEALIDAD. Dada una relación: y() = f[x()], se dice que la función f[ ] es lineal si cumple las propiedades: A. ADITIVA: Dados x 1 () y x 2 () argumenos de f[ ], cumpliéndose que y 1 () = f[x 1 ()] e y 2 () = f[x 2 ()], se verifica, y 1 () y 2 () = f [ x 1 () x 2 () ] (0.3) La suma de las respuesas es la respuesa de la suma. B. HOMOGENEA: SiK es una consane, cumpliéndose que y() = f[x()], se verifica: Ky() = f [ Kx() ] (0.4) 4. ELEMENTOS PASIVOS: Se dice que un elemeno es pasivo si consume o disipa energía. La energía almacenada por un elemeno en un insane es E () = v()i τ ()τ τ d 0 ( τ, v()i τ, () τ ) Recibe energía del circuio en el que se encuenra. (0.5) 011
5. ELEMENTOS ACTIVOS: Se dice cuando suminisra energía al sisema, es decir, la energía almacenada por el elemeno es negaiva, E () = v()i τ ()τ τ d 0 ( τ, v()i τ, () τ ) (0.6) Se omará como crierio la inensidad posiiva cuando esa enre por el erminal posiivo en los elemeno pasivos. 0.2.2 Elemenos básicos de circuio. Símbolos. ELEMENTOS PASIVOS: 1) Resisencia: Es un elemeno bilaeral, pasivo que disipa poencia en forma de calor. Se define como el elemeno con un valor de ensión enre sus erminales proporcional a la inensidad que circula enre los mismos. La ecuación consiuiva de la resisencia viene dada por la Ley de Ohm, V = I R Siendo sus unidades: Ohmio = 1 volio / 1 Amperio. (0.7) I() V() R V() = f( I(), R) = I(). R Fig. 0.19 : Resisencia: Símbolo. La relación enre V e I es lineal. En general, esa relación puede no ser lineal y puede depender, además, de la frecuencia. En lo que sigue, se usará siempre la dependencia lineal. Teniendo en cuena eso ulimo se puede calcular la energía almacenada en un insane : v 2 () τ E () = v()i τ ()τ τ d = τ R d > 0 ( τ, v()i τ, ()R τ, ) (0.8) las resisencias siempre consumen poencia, que disipan en forma de calor. Se denomina Conducancia a la inversa de la resisencia: G = 1 R (0.9) 012
y se mide en mhos [Ω 1 ] o Siemens [S]. 2) Condensador: Es un elemeno bilaeral, de dos erminales en el que la inensidad es proporcional a la velocidad de variación de la ensión a ravés de sus erminales. i () = C dv () d (0.10) A la consane de proporcionalidad se la denomina CAPACIDAD del condensador C y se mide en Faradios [F]. La variación de la canidad de carga en un condensador genera una modificación de la ensión en el mismo. Si la carga se maniene consane, la ensión ambién lo será. Si inegramos la expresión anerior, se obiene, C = q V (0.11) La capacidad es la relación enre la carga que almacena un condensador y el poencial que adquiere enre sus bornes como consecuencia del proceso de almacenamieno de carga. Un condensador almacena energía mediane la acumulación de carga elécrica. La energía acumulada por un condensador se puede expresar como. E () = v()i τ ()τ τ d = 1 CV 2 > 0 2 (0.12) La energía almacenada por un condensador enre dos insanes de iempo, puede aumenar o disminuir pero es siempre posiiva. Un condensador ideal nunca disipa energía. I() V() C I() = f( V(), C) = C. dv() / d Fig. 0.20 : Condensador: Símbolo. 3) Bobina: Es un elemeno de dos erminales, bilaeral, en el que la ensión enre sus bornes es proporcional a la variación de la inensidad a ravés de sus bornes. 013
v () = L di () d (0.13) A la consane de proporcionalidad se la denomina INDUCTANCIA, L y se mide en Henrios [H]. La energía que almacena una bobina, en un insane de iempo es, E () = v()i τ ()τ τ d = 1 LI 2 > 0 2 (0.14) De nuevo, se raa de un elemeno que almacena energía. El valor almacenado depende de la bobina L y del valor de la inensidad en cada momeno. No disipa energía. I() V() L V() = f( I(), C) = L. di() / d Fig. 0.21 : Bobina: Símbolo. ELEMENTOS ACTIVOS: 4) FUENTES: Son elemenos que suminisran energía al circuio: E() < 0. Podemos definir dos ipos: A: FUENTES INDEPENDIENTES: Son aquellas fuenes en las que la señal suminisrada no es función de cualquier ora señal del circuio. Se pueden enconrar fuenes independienes de ensión e inensidad, en función de la variables elécricas que fijan enre sus exremos y que poseriormene suminisran o comparen sobre el circuio elecrónico al que esán conecado. V () s I s () Fig. 0.22 : Fuenes independienes de ensión e inensidad. Para un valor dado de la fuene de ensión, V S ()=V o, la ensión del nudo posiivo será siempre superior en V o volios respeco a la del nudo negaivo: V o =V V. Para un valor dado de la inensidad, I S ()=I o, la inensidad llega al circuio desde el nudo posiivo, y regresa por el nudo 014
negaivo. B FUENTES DEPENDIENTES: Generan señales cuyo valor es función de oras señales presenes en el circuio. Se raa, en general, del resulado de modelar diversos disposiivos semiconducores (por ejemplo: el ransisor bipolar). Pueden ser de cuaro ipos: B1. Fuenes de ensión conroladas por ensión: Es una fuene de ensión, cuyo valor en el iempo depende de la ensión en oros dos erminales. El parámero α es adimensional. V i αv i V C V C = αv i Fig. 0.23 : Fuene de ensión conrolada por ensión. B2. Fuenes de inensidad conroladas por ensión: Son fuenes de inensidad, cuyo valor en el iempo es función de la inensidad a ravés de algún elemeno del circuio al que se encuenra conecada. El parámero β iene dimensiones de conducancia. I C V i βv i I C = βv i Fig. 0.24 : Fuene de inensidad conrolada por ensión. B3. Fuenes de inensidad conroladas por inensidad: Es una fuene de inensidad, cuyo valor en el iempo depende de la inensidad a ravés de algún elemeno disino del circuio al que se encuenra conecado. El parámero δ es adimensional. 015
I i I C δ I i I C = δ I i Fig. 0.25 : Fuene de inensidad conrolada por inensidad. B4. Fuenes de ensión conroladas por inensidad: Suminisra una ensión, cuyo valor en el iempo depende de la inensidad a ravés de oro elemeno del circuio. El parámero γ iene dimensiones de resisencia. I i γ I i V C V C = γ I i Fig. 0.26 : Fuene de ensión conrolada por inensidad. 0.2.3 Algunos concepos básicos. Se definen a coninuación algunos concepos básicos y crierios esenciales en eoría de circuios. CORTO CIRCUITO: Se define, desde el puno de visa elécrico, como se muesra en la Fig. 0.27. Equivale a conecar dos punos de un circuio con un cable de resisencia nula. V AB = 0 A B I Fig. 0.27 : Coro circuio. CIRCUITO ABIERTO: Elécricamene equivale a desconecar dos punos de un circuio. A V AB B I = 0 Fig. 0.28 : Circuio abiero. 016
CRITERIO DE SIGNOS: TENSION: El signo indica el erminal posiivo o erminal que se oma a una ensión más posiiva. A V AB = V A V B B Fig. 0.29 : Referencia de ensión. INTENSIDAD: La inensidad es posiiva en el senido indicado por la flecha, A I 2 B I 2 = 5A I 1 Fig. 0.30 : Referencia de inensidad. I 1 = 5A Para el caso de elemenos pasivos, la corriene siempre es posiiva si enra por el erminal posiivo. Si el elemeno es acivo (fuenes de alimenación) la corriene posiiva enra por el erminal negaivo. Segun esos crierios, la energía suminisrada por una fuene a un circuio para I s >0, es posiiva, aunque en realidad sea negaiva segun el crierio universal y la definición de elemeno acivo. V () s I I s () I I Pasivo Acivo Fig. 0.31 : Senido de la inensidad para elemenos pasivos y acivos. 017
0.2.4 Asociación de elemenos. Dos o más elemenos se pueden asociar o inerconecar para dar lugar a un elemeno equivalene, en función del ipo de inerconexión, exisen dos ipos básicos de asociaciones de elemenos: A) SERIE: Dos elemenos se conecan en serie cuando comparen las mismas inensidades. 1 I A I B V A V B V 12 = V A V B I A = I B 2 Fig. 0.32 : Asociación de elemenos en serie. B) PARALELO: Dos elemenos esán conecados en paralelo cuando comparen la misma ensión enre sus exremos. I I A V A I B V B I = I A I B V A = V B En ambos casos se pueden buscar equivalenes de circuio que permien simplificar el análisis. Fig. 0.33 : Asociación de elemenos en paralelo. serie R eq = R 1 R 2 (0.15) paralelo 1 R eq = 1 1 R 1 R 2 (0.16) De igual modo se pueden obener para la asociación de condensadores y bobinas. 018
0.2.5 Divisor de ensiones e inensidades. DIVISOR DE TENSIÓN: Se aplica cuando se desea conocer la caida de ensión en dos elemenos colocados en serie. V () s R 1 R 2 V R2 R 2 V R2 = V R 1 R s 2 Fig. 0.34 : Divisor de ensión. DIVISOR DE INTENSIDAD: Se aplica cuando se desea conocer la corriene que circula a ravés de dos elemenos colocados en paralelo. I s () I R1 () R 1 R 2 I R2 () R 2 I R1 = I R 1 R s 2 Fig. 0.35 : Divisor de inensidad. 0.3 ANALISIS DE CIRCUITOS. Un circuio elécrico es básicamene un conjuno de elemenos, pasivos y acivos, conecados enre sí con un a deerminada opología. Circuio elecrónico Variables: Exciaciones: x() e() y() Salidas Fig. 0.36 : Elemenos de un circuio elécrico. 019
El conjuno de exciaciones, e(), esá compueso, en general, por fuenes independienes y/ o dependienes. Se considerarán exciaciones procedenes de fuenes de alimenación. Además, es necesario considerar las condiciones iniciales de cada uno de los elemenos (ensiones en los condensadores e inensidades en las bobinas). x() represena cualquier variable elécrica del circuio. Las variables de salida y() pueden ser cualquier magniud (i, v, q,...) pereneciene al circuio elécrico cuya evolución en el iempo se desee conocer. x(0), y(0) referencian las variables asociadas a su esado inicial (=0). La evolución en el iempo de las variables y() depende del ipo de exciación, e(), y de las condiciones iniciales en los elemenos pasivos, bobinas y condensadores (V C (0) e I L (0)). Por oro lado, el ipo de circuios que vamos a analizar se caraceriza por ser LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO. Lineal implica que las variables del circuio cumplen las caracerísicas adiiva y homogenea. Por invariane en el iempo se eniende a aquellos circuios cuyas caracerísicas no dependen del insane en el que se ha aplicado la exciación. El OBJETIVO del análisis de circuios es obener los valores de las magniudes elécricas, y(), a parir de una deerminadas condiciones iniciales. Para ello es necesario ener en cuena lo siguiene: 1) Las relaciones enre variables impuesas por los elemenos de circuio o RELACIONES CONSTITUTIVAS. 2) Las relaciones impuesa por la opología, conocidas como leyes de Kirchoff, que son generales e independienes de los elemenos de circuio y del ipo de exciación. Para circuios lineales e invarianes en el iempo se pueden uilizar oros eoremas que se esudiarán más adelane. Para enunciar correcamene las leyes de Kirchoff asociadas a un circuio es necesario definir una serie de concepos previos: BUCLE: Cualquier camino cerrado en un circuio: MALLA: Cualquier camino cerrado que no coniene ningún camino cerrado en su inerior. NUDO: Puno de un circuio donde coinciden dos o más elemenos de circuio (erminales asociados a ales elemenos). NUDOUNION: Puno de un circuio donde coinciden res o más elemenos de circuio (erminales asociados a ales elemenos). 020
a b c a b c R 1 R 3 R 2 V s () R 4 1 2 d NUDOS: a, b, c, d NUDOSUNION: b, d d MALLA 1: a, b, d MALLA 2: b, c, d Fig. 0.37 : Ejemplo de mallas y nudos asociados a un circuio. LEY DE KIRCHOFF DE LAS INTENSIDADES (KCL): La suma algebraica de las inensidades en un NUDO es cero. LEY DE KIRCHOFF DE LAS TENSIONES (KVL): La suma algebraica de las ensiones en cualquier camino cerrado es cero (BUCLE o MALLA). Para cada circuio se pueden planear las siguienes ecuaciones independienes: 1) KVL: para cada malla, denominadas ECUACIONES CIRCULARES. 2) KCL para cada nudounión menos una, denominadas ecuaciones NODALES. El nudo excluido se le denomina nudo de referencia. En el ejemplo de la Fig. 0.37 se pueden planear dos ecuaciones circulares y una nodal. En definiiva, para resolver un circuio y obener la evolución en el iempo de sus variables elécricas se puede seguir el siguiene proceso: PASO 1: Asignar variables elécricas (ensiones e inensidades) a cada elemeno. PASO 2: Formular las ecuaciones circulares. PASO 3: Formulas las ecuaciones nodales. PASO 4: Escribir las ecuaciones consiuivas de cada elemeno. PASO 5: Resolver el sisema de ecuaciones resulane. 021
EJEMPLO: Analizar el siguiene circuio: V ab V a b 1 R 1 R c I 2 1 I 2 M1 I 3 R 3 M2 V 2 d Fig. 0.38 : Ejemplo de análisis de circuios. V 1 = 6 V V 2 = 14 V R 1 = 1 KΩ R 2 = 9 KΩ R 3 = 2 KΩ PASO 1: Asignar variables elécricas (ensiones e inensidades) a cada elemeno. Tensiones: V ab, V ad, V bd, V bc y V cd Inensidades: I 1, I 2, I 3 PASO 2: Formular las ecuaciones circulares. MALLA 1: MALLA 2: V ab V bd V da = 0 V bc V cd V db = 0 (0.17) (0.18) PASO 3: Formular las ecuaciones nodales. NUDOUNION b: I 1 I 2 I 3 = 0 (0.19) PASO 4: Escribir las ecuaciones consiuivas de cada elemeno. V 1 V 1 = V ad R 1 V ab = I 1 R 1 R 2 V bc = I 2 R 2 R 3 V bd = I 3 R 3 V 2 V 2 = V cd (0.20) (0.21) (0.22) (0.23) (0.24) PASO 5: Resolver el sisema de ecuaciones resulane. En ese caso compueso por las ecuaciones (0.17) a (0.24). Sol: I 1 =324mA, I 2 =1.86mA, I 3 =1.38mA, V ab =3.24V, V bc =16.74V y V bd =2.76V. 022
0.3.1 Análisis de circuios en coninua: DC. Por circuio en coninua se eniende por aquellos circuios elecrónicos en los que las variables elécricas son consanes en el iempo en odos los elemenos incluidos en el circuio. En paricular, las fuenes de alimenación han de ser consanes en el iempo. Sin embargo, no odos los circuios en los que las fuenes de alimenación son consaes pueden ser considerados como circuios de coninua. Las relaciones de los elemenos en DC son: Resisencia: V = I. R. Condensador: Circuio abiero. Bobinas: Coro circuio. 0.3.2. Análisis de circuios en el iempo. El análisis de circuios en el iempo planea el problema de conocer como es la evolución emporal de las variables elécricas en un circuio a parir de un insane deerminado. Se dice que el circuio evoluciona desde un esado inicial, pasando por un periodo ransiorio, hasa alcanzar un esado final esacionario. Definimos el esado esacionario como.... Por ejemplo, el condensador C de la Fig. 0.39 se encuenra inicialmene (=0) cargado a la ensión V C (0) yel S conmuador abiero. En =0 se cierra el conmuador y se le aplica al circuio RC la ensión de la fuene, V I de una forma brusca. I c V 1 S R C V c KVL: V 1 = I C.R V C C: I C = C dv C / d Fig. 0.39 : Circuio RC someido a una evolución en el iempo. La evolución del circuio viene gobernada por la ecuación, dv c V c d RC = V I RC (0.25) 023
que es una ecuación diferencial. La ensión del condensador no puede cambiar insanáneamene, sino que lo hace conforme a la ley I C =C.dV C /d, modificando su ensión desde un esado inicial V C (0), hasa un esado final esable V C ( ). Para deducir la ecuación diferencial se ejecuan los mismos pasos que en el caso de DC viso aneriormene, solo que el resulado acual no ha sido un conjuno de ecuaciones algebraicas sin un ecuación diferencial. La evolución fuura, dependerá de: 1) las condiciones iniciales: V C (0), 2) de la exciación exerna. V I (). 0.3.2.1: Resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Se expondrá a coninuación, de forma resumida, el méodo clásico para la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Dada una ecuación diferencial, a 1 dx() a d 0 x () = e () (0.26) x() represena la incógnia, x(0) es el valor de x() en =0 o condición inicial. e() es la exciación del sisema o circuio elecrónico y a 1 y a 0 son parámeros del circuio. A la ecuación (0.26) se la denomina ecuación diferencial complea. A La ecuación obenida anulando las exciaciones exernas se la denomina ecuación homogénea: a 1 dx() a d 0 x () = 0 (0.27) Se propone como solución de la ec. (0.26) la siguiene: x() = x l () x f () (0.28) donde: x l (): es la solución en régimen libre o a enrada cero. Se obiene a parir de la ecuación homogénea, con condiciones iniciales no nulas y anulando la exciación exerna. Represena la respuesa naural del sisema, a parir de las condiciones iniciales almacenadas en los elemenos del mismo. x f (): es la solución en régimen forzado o esado cero. Se obienen a parir de la ecuación diferencial complea, anulando las condiciones iniciales. Represena la respuesa 024
forzada a que es someido el sisema como consecuencia de la exciación exerna aplicada. A coninuación se expondrá la forma de obener ambas componenes de x(). Obención de x l (): Es necesario recorrer los pasos siguienes: paso 1: Subsiuir el operador d n /d n por s n, obeniendo una ecuación algebraica. a 1 s a 0 = 0 (0.29) se denomina ecuación caracerísica del sisema. paso 2: Hallar las soluciones de esa ecuación. Se denominan raíces de la ec. caracerísica: a s 0 1 = a 1 (0.30) paso 3: Se propone como solución de la ec. homogénea: x l () K 1 e s 1 = (0.31) Siendo K 1 una consane que se deermina a parir de las condiciones iniciales: x(0) = x 0 Obención de x f (): Se propone una solución, por inspección, sobre la ecuación diferencial complea, con las condiciones iniciales nulas. x(0)=0. paso 4: se propone x f () por inspección. x f () = inspeccion (0.32) La solución propuesa obedece al conocimieno previo del sisema. Obención de x(): paso 5: se compone la solución global como suma de ambas. x() K 1 e s 1 = x f () (0.33) 025
paso 6: se calcula la consane K 1 imponiendo la condición inicial (=0) sobre la solución propuesa x(). x() 0 = K 1 x f ( 0) (0.34) Con lo cual nos queda como solución final, x () ( x( 0) x f () 0 ) e s 1 = x f () (0.35) EJEMPLO: Circuio RC someido a una exciación escalón. V 1 S R I c C V c Ecuación diferencial RC dv c V d c = V I Condición inicial: x(0) = x 0 Fig. 0.40 : Circuio RC someido a un ransiorio. Previamene podemos idenificar los coeficienes: a 1 = RC y a 0 =1. paso 1: Ec. Caracerísica: a 1.s a 0 =0 paso 2:Raíces de la ec. caracerísica: s 1 = 1 / RC. A τ =RCse la denomina consane de iempo, y esá relacionada con la velocidad a la cual se produce el ransiorio. A la inversa de la consane de iempo, α, se la denomina facor de amoriguamieno. paso 3: Se propone la solución: V Cl () K 1 e s 1 = = K 1 e RC (0.36) paso 4: Se propone V Cf () por inspección. En ese caso V Cf =V 1 verifica la ec. diferencial complea. paso 5:Se compone la solución global como suma de ambas. 026
V C () K 1 e s 1 = V 1 (0.37) paso 6: Se calcula la consane K 1 imponiendo la condición inicial sobre la solución propuesa V C (). V C0 = K 1 V 1 K 1 = V C0 V 1 = V C ( 0) V Cf ( 0) (0.38) con lo que se obiene la solución final: V C () ( V C0 V 1 ) e s 1 = V 1 (0.39) V C ( que supone una evolución exponencial de V C () desde el valor inicial, V C (0), hasa el valor ), valor que alcanza después de un iempo infinio. En realidad, puede considerarse que después de 4 o 5 consanes de iempo (τ) se ha alcanzado el valor final esacionario (dependiendo de la precisión deseada para el análisis). Ora forma de expresar ecuación anerior es, V C () = ( V C () 0 V Cf () 0 ) e RC V Cf (0.40) que expresa la dependencia con los valores inicial y esacionario de la forma de onda. 0.3.2.2 Exciación senoidal. Consideremos que la exciación es de ipo senoidal. La forma más general de expresa ese ipo de señales es la siguiene: V s () = V dc V so sin( ω ϕ) (0.41) en la se pueden disinguir los siguienes parámeros: V dc : V so : 2V so : (ωϕ): Nivel de offse o coninua. [Volios] Ampliud o valor de pico. [Volios] Valor de pico a pico. Argumeno. [radianes] o [grados] 027
ω: pulsación o frecuencia angular. [radianes/segundos] ϕ: Fase inicial. [radianes] o [grados] T: Periodo de la señal. [segundos] f: Frecuencia, frecuencia lineal: [Hz] o [segundos 1 ]. Además f= 1/T = ω / 2π. V s ϕ Vso Vdc Fig. 0.41 : Forma de onda de una señal senoidal. Al aplicar una exciación senoidal a un circuio, la referencia de iempos se suele omar con la fase inicial de la exciación nula (ϕ=0). Las relaciones ensióninensidad para los elemenos más comunes se muesran a coninuación. RESISTENCIA: V R () = V so sin( ω) (0.42) I R () = V so sin( ω) R (0.43) V R I R Fig. 0.42 : Relación ensióninensidad para una resisencia alimenada por una señal senoidal de ensión. 028
La ensión y la inensidad se encuenran en fase. CONDENSADOR: V C () = V so sin( ω) (0.44) π I C () = CωV so sin ω 2 (0.45) V C π/2 I C Fig. 0.43 : Relación ensióninensidad para un condensador alimenada por una señal senoidal de ensión. Las ampliudes de la ensión e inensidad se encuenran relacionadas por: I C = CωV so (0.46) si ω > 0 => I C > 0. En coninua, un condensador se compora como un circuio abiero. si ω > => I C >. A alas frecuencias, el circuio se compora como un coro circuio. El desfase enre ambos es de π/2 radianes o 90º. BOBINA: V L () = V so sin( ω) (0.47) I L () = V so Lω ω π sin 2 (0.48) 029
V L π/2 I L Fig. 0.44 : Relación ensióninensidad para una bobina alimenada por una señal senoidal de ensión. Las ampliudes de la ensión e inensidad se encuenran relacionadas por: I L = V so Lω (0.49) si ω > 0 => I L >. En coninua, una bobina se compora como un coro circuio. si ω > => I L > 0. A alas frecuencias, una bobina se compora como un circuio abiero. El desfase enre ambos es de π/2 radianes o 90º, en ese caso, la inensidad se encuenra rerasada respeco de la ensión. 0.3.2.3 Represenación fasorial de señales senoidales. La respuesa de deerminados circuios elecrónicos a una señal senoidal es ora señal senoidal con diferenes ampliudes y desfases, pero de la misma frecuencia. Ese hecho concreo se puede generalizar. Así, para circuios lineales e invarianes en el iempo, la respuesa a una señal senoidal, en régimen esacionario, es ora señal senoidal, con la misma frecuencia, y disina magniud y fase. V so sen(ω) Circuio Lineal Invariane en el iempo V so sen(ωϕ) Fig. 0.45 : Respuesa de un sisema lineal e invariane en el iempo a una señal senoidal. 030
Por régimen esacionario se eniende, las siuaciones en las que ha desaparecido oda respuesa ransioria (>4τ) o aquel para el que la respuesa a enrada cero o naural no influye noablemene. Para formalizar y faciliar el análisis de circuios exciados senoidalmene se ha inroducido la noación fasorial con la que se busca una represenación equivalene de los circuios en la que se elimina la variable iempo, que se asume por defeco. Dada una señal senoidal, V s () = V so sin( ω ϕ) (0.50) Definimos el fasor Ṽ, como un número complejo, Ṽ = V R jv I = V ϕ (0.51) para el que sus pares real e imaginaria se relacionan con el módulo y fase de la forma, 2 V R = V R V 2 I (0.52) ϕ = V I aan V R (0.53) y además, V = V so (0.54) ϕ = ( ω ϕ) (0.55) Dado que odas las señales oscilarán con la pulsación ω, esa se elimina de la represenación fasorial, y se asume que la iene por defeco. Se raa de una represenación en el plano complejo, que carece de dimensiones y senido físico (exisen oros ipos de represenaciones complejas, odos ellos válidos). Ese senido físico puede ser exraído del fasor, omando su pare imaginaria. Ello es debido a que en la ec. (0.50) se ha omado la represenación en seno para señales senoidales. Si hubiese sido un coseno, el paso de fasor a la señal física real se realizaría mediane la selección de la pare real del fasor correspondiene. Se puede definir la impedancia compleja como la relación exisene enre un fasor de ensión y uno de inensidad, 031
Z = V Ĩ (0.56) La impedancia compleja no es un fasor, ya que no es una expresión dependiene del iempo. Se mide en Ω. Definimos la admiancia compleja como, Y = 1 Z (0.57) que posee dimensiones de admiancia. Una resisencia R, en régimen senoidal esacionario, iene una impedancia compleja real: Z R = R (0.58) Un condensador C, iene una impedancia compleja imaginaria pura: 1 Z C = π 2 = ωc 1 jωc (0.59) Una bobina L, iene una impedancia compleja imaginaria pura: Z L = ωl π 2 = jωl (0.60) La asociación serieparalelo se puede realizar del mismo modo que se ha viso con anerioridad, aplicado a fasores. El análisis del esado esacionario de un circuio someido a una exciación senoidal se puede realizar de una forma similar al análisis de circuio realizado hasa ahora. La diferencia esriba en que, como paso previo, será necesario obener una represenación fasorial de circuio. Una vez resuelo el circuio, y definido el fasor asociado la variable de salida que deseamos conocer, será necesario pasar a la represenación emporal. Para ello: 1) Se oma la pare imaginaria del fasor. 1) Se le añade ω a la fase. Mediane ese méodo de análisis se pueden realizar esudios sobre el comporamieno en frecuencia de los circuios, ya que el resulado obenido es función de la frecuencia de enrada ω (análisis de filros). 032
0.3.3. Teoremas fundamenales de circuios lineales. TEOREMA DE SUPERPOSICION: La respuesa de un circuio lineal a un conjuno de dos o mas exciaciones independienes es la misma que la suma de las respuesas obenidas anulando odas las fuenes, menos una. TEOREMA DE THEVENIN: Cualquier circuio lineal, descrio desde el puno de visa de dos erminales, puede ser susiuido por un generador V TH, igual a la ensión en circuio abiero medida desde los erminales, en serie con una impedancia, Z TH, visa desde esos erminales cuando se anulan las fuenes independienes. A A C1 C2 V TH R TH C2 B Fig. 0.46 : Equivalene Thevenin. B Solo se podrán anular las fuenes independienes. Las dependienes son función de alguna variable de conrol. V TH no posee el valor de V AB en circuio cerrado (conecado a C2). No se puede aplicar el eorema de hevenin en un circuio que no sea lineal. La aplicación del eorema de hevenin significa una simplificación del circuio en la que se hacen desaparecer variables. Hay que eviar la eliminación de variables que puedan ser necesarias. Ejemplo: Obención del equivalene Thevenin del circuio de la figura. C1 A A R R C2 1 3 V 1 R R TH 2 V 2 C2 V TH B B Fig. 0.47 : Ejemplo: Equivalene Thevenin. V TH = (R 2 / (R 1 R 2 )). V 1 R TH = R 3 (R 2.R 1 / (R 1 R 2 )) 033
TEOREMA DE NORTON: Un circuio lineal, descrio desde el puno de visa de dos erminales, puede ser susiuido por una fuene de inensidad, I N, igual a la inensidad en circuio, en paralelo con una impedancia, Z N, visa desde esos erminales cuando se anulan las fuenes independienes. A A C1 C2 I N R N C2 B B Fig. 0.48 : Equivalene Noron. 0.4. BIBLIOGRAFIA. [1] HAYT, W. H. y KEMMERLY, J. E.: "Análisis de circuios en ingeniería". Ed. McGraw Hill. [2] SCOTT, D.E.: "Inroducción al análisis de circuios: Un enfoque sisémico". Ed. McGraw Hill. 034