Unidad 2: Cinemática Mecánica: Cinemática, Dinámica y Estática 2.1. Movimiento. Relatividad del movimiento. Sistema de referencia Tipos de movimiento: Traslación, rotación y su combinación. Cuerpo en traslación: Punto material. 2.2. Posición: formas de describirla a) Vector posición: ley o ecuación del movimiento. Trayectoria. b) Espacio recorrido sobre la trayectoria: espacio. Ley horaria 2.3. Cambio de posición: Vector desplazamiento y espacio recorrido. 2.4. Vector velocidad: definición y características. Valor de la velocidad: celeridad o rapidez. Dirección de la velocidad: vector unitario tangente. 2.5. Aceleración: definición y características. Componentes cartesianas. Sistema de referencia intrínseco: Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleración tangencial y aceleración normal. Tipos de movimiento según valores de a t y a n Radio de curvatura y centro de curvatura. 2.6. Movimientos rectilíneos: Movimiento rectilíneo uniforme: m.r.u.: Características, ecuaciones o leyes y gráficas. Aplicaciones: Alcance entre vehículos, cruce de vehículos. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: m.r.u.a.: Características, ecuaciones o leyes y gráficas. Aplicaciones: Movimiento acelerado, Movimiento decelerado, caída libre, tiro vertical hacia arriba y tiro vertical hacia abajo 2.7. Magnitudes angulares: Posición angular, velocidad angular y aceleración angular. Relación entre las magnitudes lineales y las magnitudes angulares. Movimientos circulares: MCU: Leyes y magnitudes características: periodo y frecuencia. MCUA: Leyes 2.8. Composición de movimientos: Composición de dos MRU Tiro horizontal: composición de MRU (eje X) y un MRUA (eje Y): ecuaciones Tiro oblicuo: composición de MRU (eje X) y un MRUA (eje Y): ecuaciones Prof.: José Moreno Sánchez Cinemática.- 1
Cinemática: Cuestiones y problemas 1. Las ecuaciones de la trayectoria de un móvil son: x = 3t + 2, y = 4t 5, en unidades SI. a) Calcula la posición del móvil para t =1 s, t = 2 s, t = 3 s y t = 4 s.. b) Dibuja la trayectoria del móvil e indica el tipo de movimiento que realiza c) En qué instante está el móvil en el punto P (17, 15)? d) Pasa el móvil por el punto (20, 25)? Y por el punto ( 1, 9)? Por qué? 2. Las ecuaciones de la trayectoria de un móvil son: x = 2t 2 ; y = 10 + t 2, en unidades SI. a) Calcula el vector de posición para t = 1, t = 2, t = 3 y t = 4 s. Cómo es la trayectoria del móvil? b) Calcula la velocidad media: b1) entre t = 1 s y t = 4 s; b2) entre t = 1 s y t = 3 s; b3) entre t = 1 s y t = 2s. c) Cuál es la velocidad instantánea en el instante t = 1 s? 3. El segundero de un reloj de pulsera mide 2 cm, tomando como posición inicial cuando pasa por las 12 y considerando que el origen de coordenadas coincide con el centro del reloj y que el eje X apunta hacia las 3. Calcula para el punto extremo del segundero: a) su vector de posición en el instante inicial, al cabo de 30 s y al cabo de 60 s; b) su velocidad media en los 30 primeros segundos y durante el primer minuto; c) la celeridad media en cada uno de esos intervalos. 4. Indica, justificando tu respuesta, si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas: a) El vector velocidad siempre es perpendicular a la trayectoria b) La aceleración es nula cuando el vector velocidad no varía ni de módulo ni de dirección. c) La aceleración tangencial mide los cambios de dirección del vector velocidad en el tiempo. d) Si el módulo de la velocidad no varía con el tiempo no hay aceleración normal e) Si el vector velocidad siempre tiene la misma dirección no hay aceleración tangencial. 5. Indica la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones, razonando la respuesta: a) En los movimientos rectilíneos no hay aceleración normal. b) En un movimiento circular siempre existe aceleración. c) En cualquier movimiento uniforme el móvil recorre el mismo espacio cada segundo. d) En un movimiento circular uniforme no hay aceleración. e) Si el vector velocidad y el vector aceleración son paralelos no hay aceleración normal. 6. Determina en cuál de las situaciones siguientes tiene mayor aceleración un automóvil: a) Pasa de 90 km/h a 108 km/h en 5 s, circulando en línea recta. b) Toma una rotonda de radio 20 m con una rapidez constante de 36 km/h. 7. El vector de posición de un cuerpo es: r = 4t i + (2t +5) j en SI.: Calcula: a) la ecuación de la trayectoria que describe ese cuerpo; b) la velocidad en cualquier instante; c) el vector unitario en la dirección de la velocidad; d) qué tipo de movimiento realiza ese cuerpo?; e) tiene aceleración normal? y aceleración tangencial?. 8. La ecuación del movimiento de un cuerpo es r = (10 + 3 t 2 ). i + 4t 2. j en unidades SI. Calcula: a) el vector velocidad y su módulo en cualquier instante; b) el vector aceleración en cualquier instante; c) el vector unitario en la dirección de la tangente; d) las componentes intrínsecas de la aceleración en cualquier instante; e) qué tipo de movimiento realiza el móvil. 9. Desde el pueblo A sale hacia el pueblo B, que está a 40 km, un automóvil con una velocidad de 90 km/h y en el mismo instante desde B, sale a su encuentro un motorista con una velocidad de 80 km/h. a) Escribe las ecuaciones de ambos movimientos tomando el origen en A y sentido positivo de A hacia B. b) Calcula a qué hora se encuentran y a qué distancia de A se produce el encuentro. 10. Desde el mismo punto pero con una diferencia de 20 s parten dos móviles en la misma dirección y sentido. Si el primero circula a 25 m/s, qué velocidad debe tener el segundo para que lo alcanza al cabo de 100 s? 11. Un cuerpo parte del reposo desde el origen de coordenadas y alcanza una velocidad de 40 m/s en 10 s. Calcula su aceleración, supuesta constante. Escribe las ecuaciones de este movimiento y dibuja las gráficas x-t y v-t. Calcula la velocidad y el espacio recorrido por el cuerpo a los 7 s. Prof.: José Moreno Sánchez Cinemática.- 2
12. Un móvil que parte del reposo se mueve con una aceleración de 3 m/s 2 hasta que alcanza una velocidad de 30 m/s, luego mantiene esa velocidad constante durante medio minuto y por último frena parándose en 6 segundos. Suponemos que la trayectoria es rectilínea. Calcula: a) el tipo de movimiento del móvil en cada etapa; b) la aceleración del móvil en cada etapa; c) el espacio total recorrido por el móvil. 13. Qué tiempo que tarda en pararse un vehículo que circulando a 144 km/h frena y se para tras recorrer 100 m? 14. Cuál es la velocidad inicial y la aceleración de un móvil que a los 5 s va a 25 m/s y ha recorrido 90 m? 15. La ficha técnica de un automóvil presenta las siguientes características: arrancada de 0 a 100 km/h en 12 s; adelantamiento de 80 km/h a 120 km/h en 15 s y frenada de 120 km/h a 0 en 4 s. Las medidas se hicieron en tramos rectos. Expresa esas aceleraciones en m/s 2 y ordénalas en orden creciente de sus valores absolutos. 16. Desde una altura de 1,8 m se suelta un cuerpo. Cuánto tarda en llegar al suelo? Con qué velocidad llega al suelo? 17. Desde el suelo se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad de 25 m/s. a) cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?; b) qué tiempo está la pelota en el aire?; c) Cuál es la velocidad de la pelota cuando está a una altura de 20 m?; d) Cuál es la velocidad y la aceleración de la pelota en el punto más alto? 18. Un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo tarda medio minuto en volver al suelo. Con qué velocidad fue lanzado? Hasta que altura llegó el proyectil? 19. Desde una altura de 1,8 m se lanza verticalmente hacia arriba un balón con una velocidad de 8 m/s, a) Hasta qué altura llega el balón?; b) A qué altura se encuentra el balón 1 segundo después de lanzarlo?; c) Cuánto tiempo tarda el balón en llegar al suelo?; d) Con qué velocidad impacta con el suelo? 20. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia abajo desde una altura de 50 m tarda 2 s en llegar al suelo, calcula la velocidad con que fue lanzado y con la que llega al suelo. 21. Un ciclista recorre una pista circular de radio 50 m con una rapidez constante de 36 km/h. a) Cuánto tarda en dar una vuelta a la pista?; b) Qué espacio recorre en media hora?; c) Cuánto vale la aceleración del ciclista? 22. Un tren de juguete recorre una pista circular de 1 m de radio tardando 12 s en dar cada vuelta. Calcula: a) la velocidad lineal del tren; b) el espacio recorrido por el tren en 1 minuto; c) la aceleración del tren. 23. Un nadador tarda en recorrer 240 m en un río, 2 minutos cuando nada a favor de la corriente y 4 minutos, si nada contra corriente. Calcula la velocidad del nadador y la velocidad de la corriente del río. Si nada perpendicularmente a la corriente tarda 2 minutos en llegar a la otra orilla. Calcula la anchura del río y cuánto se ha desplazado del punto de partida. Si desea cruzar perpendicularmente el río, en qué dirección ha de nadar? Cuánto tarda en cruzarlo? 24. Desde una altura de 20 m se lanza horizontalmente un cuerpo con una velocidad de 15 m/s. Considerando g = 10 m/s 2, a) A qué distancia de la vertical del punto de lanzamiento cae el cuerpo?; b) Con qué velocidad llega el cuerpo al suelo?; c) A qué altura está el cuerpo 1 segundo después de lanzarlo? 25. Desde una mesa de 0,75 m de altura se lanza horizontalmente un cuerpo, a) Con qué velocidad lo hemos de lanzar para que caiga a 2 m de distancia?; b) Y para que caiga a 4 m?; c) En qué caso está el cuerpo más tiempo en el aire? 26. Desde el suelo se lanza un objeto con una velocidad de 25 m/s y una elevación de 36,87º. a) Qué altura máxima alcanza; b) a qué distancia cae?; c) A qué altura está el objeto a los 2 segundos? 27. Desde el suelo lanzamos un cuerpo con una inclinación de 30º. a) Con qué velocidad hemos de lanzarlo para que alcanza una altura de 100 m?; b) Si lo lanzamos con la misma velocidad pero con una inclinación de 60º, Qué altura alcanzará el cuerpo? 28. Calcula la elevación con la que hay que lanzar un penalti para que entre rozando el palo superior de la portería si el balón es lanzado con una velocidad de 90 km/h. La altura de la portería es de 2,44 m, y la distancia entre ella y el punto de lanzamiento es de 11 m. Prof.: José Moreno Sánchez Cinemática.- 3
AUTOEVALUACIÓN 1. El vector posición de un móvil es r = (100 t 4 t 2 ) i + (20 t + 3 t 2 ) j en unidades SI. Calcula: a) el vector velocidad y el vector aceleración del móvil en cualquier instante; b) el vector velocidad y su módulo a los 5 s; c) el vector aceleración y su módulo a los 5 s; d) el ángulo que forman los vectores velocidad y aceleración en el instante t = 5 s; e) los componentes intrínsecas de la aceleración en ese instante. Sol.: a) v ( 100 8t) i (20 6t) j m/s, a 8 i 6 j m/s 2 ; b) v( 5) 60 i 80 j m/s, v(5) = 100 m/s; c) a( 5) 8 i 6 j 2. m/s 2, a(5) = 10 m/s 2 ; d) = 90º, pues son perpendiculares; e) a t = 0, a n = 10 m/s 2. En el instante un móvil que pasa por el origen de coordenadas su velocidad es v 6 j m/s y su aceleración es a 4 i 3 j m/s 2. Realiza un dibujo de la situación planteada e indica el valor correcto, en ese instante, de: i) El módulo de la aceleración es a) 3 m/s 2 b) 4 m/s 2 c) 5 m/s 2 d) 7 m/s 2 ii) La componente tangencial de la aceleración a t : a) 3 m/s 2 b) 4 m/s 2 c) 5 m/s 2 d) 0 iii) La componente normal de la aceleración a n : a) 3 m/s 2 b) 4 m/s 2 c) 5 m/s 2 d) 0 iv) El radio de curvatura,, mide: a) 4 m b) 9 m c) 3,6 m d) v) Las coordenadas del centro de curvatura: a) (4, 0) m b) (0, 9) m c) (9, 0) m d) (, 0) Sol.: (i) c ; (ii) a ; (iii) b ; (iv) b ; (v) c. 3. El vector posición de un móvil es r = 2cos5t i + 2sen5t j en unidades SI. Calcula: a) el vector velocidad y su módulo en cualquier instante; b) el vector aceleración en cualquier instante; c) el vector unitario en la dirección de la tangente; d) las componentes intrínsecas de la aceleración en cualquier instante; e) qué tipo de movimiento realiza el móvil?; f) cuál es la ecuación de su trayectoria?. Sol.: a) v 10 sen5 t i 10 cos5 t j m/s, v = 10 m/s; b) a 50 cos5 t i 50 sen5 t j m/s 2 ; c) u t sen5t i cos5 t j ; d) a t = 0; a n = 50 m/s 2 ; e) movimiento circular uniforme; f) x 2 + y 2 = 4, circunferencia de radio 2. 4. Alberto comienza a caminar a 6 km/h a las 8:00 horas, 500 m más atrás y 15 minutos más tarde comienza a caminar Benito a 7 km/h A qué hora alcanzará Benito a Alberto? Qué distancia ha recorrido cada uno? Sol.: 10:15 horas; 13,5 km y 14 km 5. Un automóvil que circula a 90 km/h acelera y tras recorrer 600 m adquiere una velocidad de 126 km/h. Cuál es la aceleración del vehículo? Qué tiempo tarda en recorrer esos 150 m?. Sol.: 0,5 m/s 2, 20 s. 6. Se suelta un cuerpo y tarda 4 s en llegar al suelo. a) Desde qué altura se dejó caer?; b) Con qué velocidad llega al suelo?; c) A qué altura está el cuerpo a los 2 s? (g = 10 m/s 2 ). Sol.: a) 80 m; b) 40 m/s; c) 60 m. 7. Desde el brocal de un pozo soltamos una piedra y tardamos 3 s en oír su impacto con el agua. Sabiendo que la velocidad del sonido es de 340 m/s y que la aceleración de la gravedad vale 9,8 m/s 2, calcula a qué profundidad se encuentra el agua. Sol.: 41 m. 8. Desde una altura de 80 cm se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad de 12 m/s. Calcula: a) la altura máxima que alcanza la pelota; b) la velocidad con que llega la pelota al suelo; c) la altura de la pelota a los 2 segundos de lanzarla. Sol.: a) H = 8 m; b) v = 12,65 m/s; c) h = 4,8 m 9. Un cuerpo lanzado horizontalmente tarda medio segundo en llegar al suelo donde impacta con una velocidad de 13 m/s. Desde qué altura se lanzó el cuerpo? Con qué velocidad fue lanzado? Sol.: a) 1,25 m; b) 12 m/s 10. El caño de una fuente es un tubo cilíndrico de 6 cm de diámetro que está situado horizontalmente a una altura de 123 cm. El agua ocupa todo el cilindro y cae a una distancia de 1 m. Calcula: a) la velocidad con que sale el agua. b) Los litros por minuto que echa la fuente. g = 9,8 m/s 2. El caudal (m 3 /s) es igual a la sección (m 2 ) por la velocidad (m/s). Sol.: a) 2 m/s; b) 340 L/min. 11. Un atleta lanza un peso a 24 m de distancia. La trayectoria de lanzamiento se inicia a 2 m de altura y con una elevación de 45º. Calcula: a) el tiempo que está el peso en el aire. b) La velocidad inicial del peso. c) La altura máxima que alcanza el peso. Sol.: a) 2,3 s; b) 14,9 m/s; c) 7,63 m. Prof.: José Moreno Sánchez Cinemática.- 4
Ejercicios para entregar 2.1 El vector posición de un cuerpo es r = (10 + 20t) i + (20t 5t 2 ) j m si t en s. Calcula: a) su velocidad y su aceleración en cualquier instante; b) el ángulo que forman el vector velocidad y el vector velocidad en el instante t = 2 s; c) qué tipo de aceleración tiene el cuerpo en ese instante? 2.2 Una bola que se deja caer tarda 1 segundo en llegar al suelo. Justifica la respuesta correcta: a) La bola se soltó desde una altura de: a1) 1 m; a2) 5 m; a3) 10 m; a4) 15 m b) La bola llega al suelo con una velocidad de: b1) 0 m/s; b2) 1 m/s; b3) 5 m/s; b4) 10 m/s c) Al cabo de medio segundo, la altura de la bola es de: c1) 0,5 m; c2) 1,25 m; c3) 2,50 m; c4) 3,75 m 2.3 Un globo aerostático asciende verticalmente con una velocidad constante de 4 m/s, uno de sus tripulantes suelta un saco de arena cuando están a 20 m de altura. Con qué velocidad llega el saco al suelo? A qué altura está el globo cuando el saco impacta con el suelo? 2.4 Desde la línea de 6,25 m un jugador de baloncesto lanza el balón con una elevación de 20º y desde una altura de 2 m. Con qué velocidad ha de lanzar el balón para que entre en la canasta, situada a 3,05 m de altura? Prof.: José Moreno Sánchez Cinemática.- 5