SOLUCIONES EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL Ejercicio nº 1. a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones: 1 0 b) Indica si los puntos (0, 0), (, 1) (1, ) forman parte de las soluciones del sistema anterior. a) Representamos las rectas 1 1 0 Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (1, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es: b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 0) (, 1) no son soluciones del sistema, pero (1, ) sí lo es. Ejercicio nº. Maimiza la función z, sujeta a las siguientes restricciones:
6 4 44 8 Representamos las rectas 6 6 44 4 4 44 8 8 hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que e. Representamos la dirección de las rectas z, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: 0 El punto M, intersección de 4 44 8 es decir, M ( 8, 4 ), es el que proporciona el máimo, que vale: z 8 4 1 Ejercicio nº. En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A cinco de B, el tipo II con una composición de cinco unidades de A una de B. El precio del tipo I es de 10 euros el del tipo II es de 0 euros. Se pregunta: Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
Llamamos a las unidades que se compran de tipo I e a las que se compran de tipo II. Resumamos los datos en una tabla: 5 15 5 15 La función que nos da el coste es z 10 0 10( ). Debemos hacer mínima esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, la recta 10( ) 0 0, que nos da la dirección de las rectas z 10( ). El mínimo se alcanza en el punto de intersección de 5 15 ; 5 15 es decir, en (,5;,5). Por tanto, ha que comprar,5 de tipo I,5 de tipo II. El precio en este caso será de z 10(,5,5) 100 euros. Ejercicio nº 4. Disponemos de 10 000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el 10% las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máimo de 10 000 euros en las de tipo A, como mínimo, 6 000 euros en las de tipo B. además, queremos que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máimo interés anual?
Llamamos al dinero que invertimos en acciones de tipo A e al que invertimos en las de tipo B. Resumimos los datos en una tabla: 10 000 10 000 6 000 La función que nos da el rendimiento total es: 1 1 z 0,1 0,08 100 100 50 ( 10 8 ) ( 5 4 ) ( 5 4 ). Debemos maimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (la unidad es 10000) 1 la recta 5 4 0 5 4 0, que nos da la dirección de las 50 1 z ( 5 4 ). 50 ( ) rectas El máimo se alcanza en el punto (1, 8). Por tanto, debemos invertir 10 000 euros en acciones del tipo A 80 000 euros en las de
tipo B. En este caso, el beneficio anual será de ( ). 19 400 euros 80000 4 10 000 5 50 1 z Ejercicio nº 5. a) Representa el recinto que cumple estas restricciones: 0 0 8 9 b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior. 0 0 8 8 9 9 Representamos las rectas a) Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es: b) Por ejemplo: (1, 1), (, ) (, 0). Ejercicio nº 6. Halla el mínimo de la función z con las siguientes restricciones:
4 1 Representamos las rectas 4 1 1 4 hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que e. Los vértices de dicha región son los puntos: ( 0, 1 ); ( 0, ) ; ( 4, 0), 0 Representamos la dirección de las rectas z, dibujando lo que pase por el origen de coordenadas: 0 Observamos que la recta 0 la recta son paralelas. Por tanto, el mínimo se alcanza en todos los puntos del segmento que une Este mínimo vale: z 0 1 ( 0, 1), 0. Ejercicio nº 7. Cierto fabricante produce dos artículos, A B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje sección de pintura. El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje dos en la de pintura; el artículo B, tres horas en la sección de montaje una hora en la de pintura.
La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros el de A es de 0 euros. Calcula la producción diaria de los artículos A B que maimiza el beneficio. Llamamos a la producción diaria de artículos A e a la de artículos B. Resumimos los datos en una tabla: 9 8 La función que nos da el beneficio es z 0 40 0( ). Debemos obtener el máimo de esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones la recta 0( ) 0 0, que nos da la dirección de las rectas z 0 40. El máimo se alcanza en el punto de intersección de las rectas es decir, en (, ). 9 ; 8 Por tanto, deben producirse unidades de A de B. En este caso, el beneficio será de z 0 40 140 euros. Ejercicio nº 8.
Un quiosco vende bolígrafos a 0 céntimos de euro cuadernos a 0 céntimos de euro. Llevamos 10 céntimos de euro pretendemos comprar los mismos cuadernos que bolígrafos, por lo menos. Cuál será el número máimo de piezas que podemos comprar? Llamamos al número de bolígrafos e al número de cuadernos. Tenemos que: 0 0 10, enteros 1 Dibujamos el recinto correspondiente. Las posibles soluciones son los puntos que aparecen señalados: Debemos hacer máimo el número de piezas, es decir, debemos maimizar z. Vemos que ha tres puntos que hacen máima esta suma: (0, 4), (1, ) (, ). El número máimo de piezas que podemos comprar es 4. Ejercicio nº 9. a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del siguiente sistema de inecuaciones: 6 1 1
b) Di si los puntos (0, 1), (0, 0) (0, ) son soluciones del sistema anterior. a) Representamos las rectas 6 1 1 6 1 1 Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es: b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 1) sí es solución del sistema, (0, 0) también lo es, pero (0, ) no. Ejercicio nº 10. Maimiza la función z 150 100, sujeta a las siguientes restricciones: 600 480 Representamos las rectas 600 600 480 480 hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que e. Los vértices de dicha región son los puntos: (0, 0); (0, 00); (40, 0) (10, 60)
Representamos la dirección de las rectas z 150 100, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: 150 100 0 El máimo se encuentra en el vértice (10, 60), en el que z 150 10 100 60 7 500. Ejercicio nº 11. Un orfebre fabrica dos tipos de joas. Las del tipo A precisan 1 g de oro 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro 1 g de plata, las vende a 50 euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales. Calcula cuántas joas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máimo. Llamamos al número de joas del tipo A e al número de joas del tipo B. Resumimos los datos en una tabla: 1,5 750 1,5 750 La función que nos da los ingresos es z 40 50 10(4 5). Debemos hacer máima esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones la recta 10(4 5) 0 4 5 0, que nos da la dirección de las rectas z 10(4 5).
El máimo se alcanza en el punto de intersección de la rectas: es decir, en (00, 00). 1,5 750 ; 1,5 750 Por tanto, ha de fabricar 00 joas del tipo A 00 del tipo B para obtener el máimo beneficio. Los ingresos en este caso serían z 40 00 50 00 7 000 euros. Ejercicio nº 1. En una pequeña empresa se fabrican diariamente solo dos tipos de aparatos, A B. Como máimo pueden fabricarse aparatos de cada tipo, obligatoriamente, al menos un artículo del tipo B. Indica todas las posibilidades de fabricación si se quieren obtener unas ventas superiores a 60 euros, teniendo en cuenta que los precios de los artículos A B son de 0 10 euros, respectivamente. Llamamos al número de aparatos de tipo A e al número de aparatos de tipo B que podemos fabricar. 1 0 10 60 6 e enteros (naturales) Representamos el conjunto de restricciones:
Observamos que la única solución posible es fabricar aparatos de tipo A 1 de tipo B. La venta es entonces de 0 1 10 70 euros. Ejercicio nº 1. a) Construe el recinto de soluciones del siguiente sistema: 6 10 180 b) Los puntos (0, 10), (0, 0) (0, 0), forman parte de las soluciones del sistema anterior? a) Representamos las rectas 10 6 180 0 0 40 40 180 0 6 Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es:
b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que los tres puntos son soluciones del sistema. Ejercicio nº 14. a) Dibuja el recinto definido por: 4 b) Halla los vértices del recinto anterior. c) Halla el máimo de la función z 4, sujeta a las restricciones propuestas en a). En qué punto del recinto alcanza dicho máimo? 4 4 Representamos las rectas hallamos la región que cumple las condiciones del problema. Los vértices del recinto son los puntos: 5 6, 5 8 5 11, 5 B A Representamos la dirección de las rectas z 4, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: 4 0
El máimo se alcanza en el punto 11 A, vale: 5 5 11 44 46 z 4 9, 5 5 5 5 5 Ejercicio nº 15. Unos grandes almacenes desean liquidar 00 camisas 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A B: La oferta A consiste en un lote de una camisa un pantalón, que se venden a 0 euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas un pantalón, que se vende a 50 euros. No se desea ofrecer menos de 0 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maimizar la ganancia? Llamamos al número de lotes de A e al número de lotes de B. Resumimos los datos en una tabla: 00 100 10 Maimizar las ganancias equivale a maimizar los ingresos. La función que nos da los ingresos es z 0 50 10( 5). Debemos obtener el máimo de esta función sujeta a las restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones la recta 0 50 10( 5) 0 5 0, que nos da la dirección de las rectas z 0 50. El máimo se alcanza en el punto de intersección de las rectas es decir, en (50, 50). 00 ; 100 Por tanto, se deben hacer 50 lotes de la oferta A 50 de la B. Los ingresos en este caso serían de z 0 50 50 50 4 000 euros. Ejercicio nº 16. Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo del tercero. Se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento las cantidades del segundo del tercero han de ser como mucho 5 0 gramos, respectivamente; la cantidad de A es como mucho el doble que la de B. Calcula los kilos de A los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale euros uno de B 10 euros. Puede eliminarse alguna restricción? Llamamos a los kilos de A e a los de B. Resumimos los datos en una tabla:
8 4 16 5 0 4 10 (Esta se puede eliminar, pues, si necesariamente, 10) 5, La función que nos da el coste es z 10 ( 5). Debemos minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones la recta ( 5) 0 5 0, que nos da la dirección de las rectas z 10. El mínimo se alcanza en el punto de intersección de las rectas es decir, en (1,6; 0,8). 4 ; Por tanto, han de comprarse 1,6 kilos de A 0,8 de B. El coste en este caso será de z 1,6 10 0,8 11, euros. Ejercicio nº 17. Una fábrica produce neveras utilitarias de lujo. La fábrica esta dividida en dos secciones: montaje acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla: El máimo número de horas de trabajo disponibles diariamente es de 10 en montaje 180 en acabado, debido a las limitaciones de operarios. Si el beneficio es de 00 euros por cada nevera utilitaria de 400 euros por cada nevera de lujo, cuántas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el máimo beneficio?
o Llamamos al n de neveras utilitarias e Resumimos los datos en una tabla: al n o de neveras de lujo. 10 6 180 40 60 La función que nos da el beneficio es z 00 400 100( 4). Debemos obtener el máimo de esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones la recta 100( 4) 0 4 0, que nos da la dirección de las rectas z 00 400: El máimo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: es decir, en (0, 0). 40 ; 60 Por tanto, deben fabricarse 0 neveras de cada uno de los dos tipos. El beneficio será z 00 0 400 0 14 000 euros. Ejercicio nº 18. La casa X fabrica helados A B, hasta un máimo diario de 1 000 kilos. La fabricación de un kilo de A cuesta 1,8 euros uno de B, 1,5 euros. Calcula cuántos kilos de A B deben fabricarse, sabiendo que la casa dispone de 700 euros /día que un kilo de A deja un margen igual al 90% del que deja un kilo de B.
Llamamos a los kilos de A e a los de B. Sea m el margen de B; entonces el de A es 0,9m. Resumimos los datos en una tabla: 1000 1,8 1,5 700 El margen total es z 0,9m m m(0,9 ). Esta es la función que debemos maimizar, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones la recta m(0,9 ) 0 0,9 0, que nos da la dirección de las rectas z m(0,9 ). Observamos que 1,8 1,5 700 no impone ninguna restricción nueva. El máimo se alcanza en el punto M (0, 1 000). Por tanto, deben fabricarse 1 000 kilos de helado de tipo B nada de tipo A.