Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II mpo Elctostátco (Sgun Pt) EyM - Métoo ls Imágns Algunos poblms lctostátcos tnn concons contono u pcn fícls stsfc po l cucón Posson. Sn mbgo como vmos n st tpo poblms ls concons contono pun stblcs colocno cgs mgn (uvlnts). El métoo mpl ls concons contono mnt cgs mgn s nomn métoo ls mágns. El jmplo lusttvo ms smpl s l un cg puntul stu un stnc sob un po conucto potncl co, como s nc n l fgu. S sb: Slvo n l cg l potncl stsfc: x y En l supfc l conucto: ( x, y, ) σ En ls poxms l cg l potncl v como: π xy, ± En puntos muy ljos: Pc fícl ncont un solucón u stsfg tos ls concons. EyM - 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Métoo ls Imágns P solv l poblm nto po l métoo ls mágns s susttuy l po conucto po un cg vlo - n - como s nc n l fgu. σ El potncl n culu punto l spco s: π Es co n y tmbén s nul n l nfnto. δ Po tnto l poblm mgn, n l smspco >, s tl u El potncl obtno stsfc l msm cucón Posson y ls msms c-c (n y n l supfc l nfnto) tpo Dchlt, y po unc s l solucón l poblm. EyM - - g puntul fnt un po cg nuc cgs sgno opusto n l supfc l conucto. El cmpo n l supfc l conucto sá: E E ( )( ) π ( ) Po tnto l ns supfcl cg nuc sá: s D E π ( ) cg totl nuc n l po sá: π ss S π u s l vlo l cg mgn. σ s E- - S E E El msmo sulto s obtn plcno l tom Guss l supfc nc n l fgu. EyM - 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Dstbucón cgs fnt un po onsno l cg c lmnto fncl volumn como un cg puntul uvlnt s pu fáclmnt constu l sstm mgn como s nc n l fgu l ch. v v v EyM -5 g puntul fnt os pos ppnculs S un cg puntul fnt os pos mtálcos ppnculs potncl co como s nc n l fgu. - - El poblm mgn s must l ch. Obsévs como p consgu u los os pos tngn smultánmnt potncl co s ncso stu un tc cg mgn n l tc cunt. EyM -6 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II g puntul fnt os pos ncos S un cg puntul fnt os pos mtálcos ncos, fomno un ángulo o α, potncl co como s nc n l fgu. α El poblm mgn s must l ch. - - - Obsévs como p consgu u los os pos tngn smultánmnt potncl co s ncso stu vs cgs. El poblm solo tn solucón s π/α n (nto) EyM -7 g puntul fnt os pos pllos S un cg puntul fnt os pos mtálcos pllos potncl co como s nc n l fgu. - - El poblm mgn s must l ch. Obsévs como p consgu u los os pos tngn smultánmnt potncl co s ncso stu un sstm nfno cgs mgn mbos los los pos. onfom vmos consno mágns más ljs, su contbucón l potncl n l on stuo v sno más puñ. EyM -8 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II 7//9 EyM.- 5 EyM -9 g puntul fnt un sf mtálc O Pu vs fáclmnt como l potncl n los puntos A y B l sf son nulos, po jmplo: O A B A π π π π S s tn un cg puntul fnt un sf mtálc potncl co como n l fgu, pu constus un sstm mgn como l nco, consstnt n un cg mgn con l cg y l cnto l sf. os vlos l cg mgn y su stnc l cnto l sf bn s los os n l fgu. B π π π π EyM - g puntul fnt un sf mtálc El potncl co po l cg y l cg mgn vn o po guo numos y nomnos. Elvno l cuo l ª P puntos l sf: π sf π O A B
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II 7//9 EyM.- 6 EyM - cos cos cos cos,, θ θ θ θ π θ θ E Ejcco: cg sob l sf O P θ El potncl n un punto bto P co po l cg y su mgn s:, π θ θ, E s cos cos θ θ ns supfcl cg s obtn como Sno: EyM - Ejcco: cg sob l sf Dspués lguns smplfccons s obtn: cos θ π s cg totl nuc sob l sf sá: S S s π π θ θ θ θ π cos sn u s gul l vlo l cg mgn.
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Ejccos Obtng l poblm mgn l poblm l fgu σ - Obtng l poblm mgn l poblm l fgu - σ - EyM-- ín cg fnt un po S un lín cg ns constnt λ fnt un po potncl co. Tl como s nc n l fgu pu constus un poblm mgn stuno un lín mgn ns -λ un stnc l oto lo l po. P λ λ λ λ El potncl n un punto gnéco P sá: En los puntos l po: λ π EyM - 7//9 EyM.- 7
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II 7//9 EyM.- 8 EyM -5 Ejcco Obtn ls supfcs upotncls os líns cg plls nss λ y λ sps. λ x λ P y K ct π λ, y x y x y x K y x y x y K x K K y x x x K K x K K K y K x K x y K K x x K K y K K K K x x y x x K K x K K K K y K K x EyM -6 Ejcco s supfcs upotncls son pus cos j, cnto n (x, ) y o. K K x K K ct K π λ P potncls myos u co, K b s myo u y x >. s supfcs upotncls stán n l smspco x >. P K sultn x, y l potncl s co. S tt l po bscto nt ls líns. P K< los potncls son mnos u co y x <. s supfcs upotncls stán n l smspco x <. P K sultn x, y l potncl s nfnto. Estmos sob l lín cg postv.
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II ín cg fnt un co mtálco pllo S un lín cg ns λ fnt un co conucto o y stnc su cnto como nc l fgu. Tnno n cunt u ls supfcs upotncls os líns cg son cos pu constus l poblm mgn como s nc n l fgu. O λ λ π En l poblm mgn l potncl n l supfc l co s constnt como s pu vfc fáclmnt n los puntos A y B B O λ P A λ λ λ λ A π π π π λ λ λ λ B π π π π λ EyM -7 ín cg fnt un co mtálco pllo P hc u l potncl s co n l supfc l co s u un ns cg mgn λ conl n l j l co como nc l fgu. O λ λ O λ λ ( ) π π En l poblm mgn l potncl n l supfc l co s ho co s λ λ A π π B λ λ λ P A ( ) λ EyM -8 7//9 EyM.- 9
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Tom l M Est tom stblc u n un gón sn cgs l vlo mo l potncl n un supfc sféc s gul l potncl n su cnto. S un supfc sféc o. El vlo mo l potncl sá: π π π θ π ϕ S π π π (, θ, ϕ ) S (, θ, ϕ ) θ ϕ (, θ, ϕ ) sn θθϕ f sn θθϕ Apntmnt l vlo mo l potncl s solo funcón l o l sf, po pu vs u n l tmpoco pn : π π π π θ ϕ π π (, θ, ϕ ) θ ϕ (, θ, ϕ ) sn θθϕ π sn θθϕ π S π π θ ϕ S π (, θ, ϕ ) S sn θθϕ S EyM -9 Tom l M ultm gul pu vfcs obsvno u lugo Po, y u no hy cgs : S Po tnto: S S S S S E S S f D S El vlo mo sá l msmo p culu o y po tnto tmbén p, o s n l cnto l sf. EyM - S 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II onscuncs l T.M. ) El potncl no pu psnt máxmos n mínmos fu ls cgs. En fcto s xsts un máxmo n un punto P n l u no hy cgs y s o l punto con un sf o puño, l vlo l potncl n P b s l pomo los vlos sob l sf. omo hy un máxmo n P los potncls n l sf son mnos u n P y su pomo no pu s l vlo n P, con lo u no s vfcí l tom l m lugo l hpótss un máxmo n P no s ct. ) El potncl n l nto culu supfc upotncl c u no contng cgs s constnt. En fcto como no hy cgs no pu hb máxmos n mínmos l potncl n ch gón y más l potncl b s contnuo. Po tnto l potncl n too l nto b s constnt y vlo gul l l contono. EyM - Ejcco Un cg puntul s stú fnt un conucto sféco huco scgo n ts poscons como s nc n l fgu (n l toc l conucto). Obtn l cg totl y l potncl n ls supfcs xto nto l conucto. ) Aplcno Guss un supfc sféc n l nto l conucto (E) sultá l flujo D co y l cg nc S co. Po tnto S. S Po más Φl S ct y como no hy cgs n < too l potncl s ct n <, no hy cmpo y po tnto s b omo l cg nt s co l cg totl n l supfc xto c sá co. Po s nuc un s. Db s tl u s S S P obtn l potncl usmos mágns. Amás, u pon con l sf potncl co, s ncst un - n l cnto p mntn co l cg y mntn l stbucón potncls. Po tnto l potncl sá π π π EyM - 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Ejcco ) Aplcno Guss un supfc sféc n l nto l conucto (E) sultá l flujo D co y l cg nc co. Po tnto S -. omo no hy cg nt b pc un s tl u b S S El potncl n l conucto sá ho S s S cg n l supfc xto s stbuy unfommnt po lo u s π ) Al toc l cg l conucto s á nmtmnt l supfc. To l cg s stbuy sob l supfc xto. S s un sf o l s sá /π. sultá El potncl n l conucto sá π π c cg nt l conucto sá. Po más Φl S ct y como no hy cgs n < too l potncl s ct n <, no hy cmpo y po tnto s. s S S EyM - Ejcco: g puntul fnt un sf mtálc Obtng l potncl lo lgo l j co po l cg π fnt l sf mtálc o potncl co, s stá un stnc su cnto. El poblm mgn s l l fgu. O A B El potncl sob l j l poblm mgn s ( ) El potncl s hc co n ± n y - n /. Pu obtns l sgunt tbl vlos / - - - Φ - / EyM - 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Ejcco: g puntul fnt un sf mtálc Po tnto l vcón l potncl sí cómo l l gáfc. - ( x, ) - En l po x l potncl s: π x ( ) x ( ) ómo s xplc l pnt ncumplmnto l tom l m? EyM -5 Ejcco: g puntul fnt un sf mtálc Po tnto l vcón l potncl n x sí cómo l ls gáfcs. EyM -6 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Sstms onuctos Un sstm lctostátco fcunt s l fomo po un léctco homogéno y un conjunto conuctos (lctoos). El cmpo lctostátco n l nto los conuctos s nulo y po tnto l potncl los msmos s constnt. s cgs u pun tn los conuctos s hn stbu como nss supfcls sob los msmos. uno s tn un sstm conuctos l stucón lctostátc pu stblcs: -bn conctno los conuctos btís y stblcno sus potncls, n cuyo cso l poblm sá tmn ls cgs u éstos tomn, - o bn postno cgs n los conuctos, n cuyo cso l poblm sá tmn los potncls u tomn. En mbs stucons ls cgs (o los potncls) pnán l stucón ltv nt los conuctos. S s muv uno llos ls cgs (potncls) toos cmbn. Po tnto los conuctos l sstm s nfluyn mutumnt. EyM -7 Sstms onuctos pm stucón, conuctos conctos btís con potncls constnts, pu pts como un poblm plc con concons contono Dchlt, y po tnto con solucón únc. En l gón nc po l supfc multplmnt conx S(S... S S ) l potncl sá: S S,, S, S EyM -8 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Unc cg constnt sgun stucón, conuctos con cg constnt, no s cospon n con c- c Dchlt n umnn. El poblm l cálculo l potncl pu pts ho como sgu: SS S, S S S n S S S S P compob u con ls ntos concons s vfc l unc, pu vs u, s os solucons y, l fnc ψ cumpl: ψ n ψ n ψ n ψ S S S S ψ S ψ S ψ S S S S, n ψ Po tnto sult ψ, y l solucón sá únc. S ψ S S S S ( ) S ( ) ψ S S n S S S EyM -9 ofcnts pc P po scut lguns pops los sstms conuctos sul cus l supposcón p xps l potncl n témnos funcons guls n l nfnto, tls u: s k k ϕk ϕ k ϕ k δ k,, ϕ k S S s k k En fcto: kϕk k ϕk con S kϕk kδ k y S kϕk k k k S k D st fom l cg sob un conucto culu sá: ϕ k SS S k S k S S n S S k n k on ϕ k k S S n k S S n ϕ k S k cg c conucto pn toos los potncls l sstm y los cofcnts k u ntvnn n l lcón pnn úncmnt y l gomtí. os cofcnts k con k s nomnn cpc y los más s nomnn nuccón o nflunc (lconos con ls cpcs mutus). EyM - k k 7//9 EyM.- 5
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Tom cpoc S c u un sstm lctostátco stá n ulbo un v u s tmnn ls cgs y potncls n los conuctos l sstm. S s cmbn ls cgs o los potncls l sstm ps oto nuvo sto ulbo. Sn os stos ulbo un sstm, y, tmnos po ls cgs y potncls: (, ) y (, ) con,,...,. El tom cpoc stblc u: k k k k k k EyM - Tom cpoc En fcto: k k k S ( ) Scon S Scon S k k Sk s S } S k Sk S ( ) Scon S sno S con l supfc toos los conuctos, S... S, y l volumn xto los conuctos. D l smtí l sulto obtno sult vnt l tom. Tmbén s uc l tom con fcl u: j j EyM - 7//9 EyM.- 6
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Pops En fcto supóngns os stucons n ls u, n c un, solo un conucto stá y los más stán co oltos Esto : k δ k s cgs n los conuctos j spctvmnt n c Esto : δ sto sán: S S S S k j j j kj S j S j j j S j S j j j jj Y plcno l T cpoc: k k kδ kj j k k k k kδ k k k j j j j j j j j EyM - Ots Pops Supóngs un stucón l sstm n l u toos los conuctos stán potncl co slvo l, cuyo potncl s myo u co. s líns cmpo slán cho conucto (su cg sá postv) án hc l supfc l nfnto y hc ls supfcs los más conuctos, u po tnto tnán cg ngtv.,, S > S S >,,, < s cgs p st sstm sán: M Y po lo tnto s v u:,,,, > < S n lug l conucto s hubs ono sob l -ésmo s obtnín ls pops:,, < EyM - > j 7//9 EyM.- 7
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Sstm un onucto En l cso un sstm fomo po un solo conucto: S s tn un conucto y s post un cg n él, ést s stbuy sob su supfc S como un s, tl u: S ss Al msmo tmpo ést uá un cto potncl. Y l nvs, s l conucto s pon un tmno potncl, conctánol un btí, tomá un cg, u s stbuá supfclmnt. cg u tom l conucto s popoconl l potncl plco, y l constnt popoconl s nomn cpc l conucto, mn u: cpc un conucto pn xclusvmnt su gomtí y l pmtv léctc l mo u l o como v vs con lgún jmplo contnucón. EyM -5 pc un onucto Esféco S un conucto sféco o n un mo léctco pmtv. S l cg totl l msmo, u po smtí s stbuá unfommnt sob su supfc con un ns: s π El potncl co po st ns supfcl s cg, n puntos xtos l sf, s gul u l u cí un cg puntul n l ogn: O () π Po tnto l potncl l sf sá l nto vlo ptculo p : () π Y po tnto l cpc l sf mtálc s: u solo pn l o y. π S l supfc l conucto no s sféc l cg j stbus unfommnt y s complc l cálculo l cpc. EyM -6 7//9 EyM.- 8
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Influnc Totl y Apntllmnto EE Un sstm conuctos mpotnt s l fomo cuno os los conuctos s ncuntn n un stucón nflunc totl (ls líns cmpo u sln uno los conuctos ls cb l oto u, típcmnt, l nvulv) como s l cso con y n l fgu. Supóngs l stucón n l u y s pon l conucto t ( ). Aplcno Guss l gón nt y, o u, l flujo D sá nulo. omo llo s pouc culu u s l supfc Guss u s tom hbá s D. Po tnto l potncl n ch gón bá s constnt y, po contnu, gul l vlo o s u. cucón p l cg sá: S S S S omo st cucón b stsfcs culsu u sn los vlos,...,, hbán s.... Y po cpoc tmbén.... Así pus n nfluy n,..., n vcvs. El conucto pus ísl o pntll l conucto l xto. EyM -7 onnso S c u os conuctos fomn un connso cuno stán n stucón nflunc totl como s nc n l fgu. En gnl sá: S S S s conct l conucto potncl co, l potncl n l gón xto l msmo sá co y po tnto no hbá cmpo n cg sob l supfc xto l conucto. Aplcno l T. Guss un supfc n l nto l conucto, on l cmpo s nulo, s uc u - on l cg l conucto stá stbu n su supfc nto. Po tnto l sstm cucons nto s obtn u, En gnl pus: ( ) cg l conucto sá: 6 78 ( ) ( ) ( ) ( ) S llm cpc l connso : ( ) EyM -8 7//9 EyM.- 9
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II onnso Esféco Es l fomo po os conuctos (mus) cuys supfcs son sfs concéntcs como s nc n l fgu. Supóngs u l cg l conucto nto s. Aplcno Guss un sf concéntc con ls mus s obtn l cmpo n l gón nt ls mus como: E π fnc potncls nt ls mus sá: l π π Po tnto l cpc sá: π π EyM -9 onnso línco s mus son os cos coxls concéntcos longtu nfn ( mn u l cmpo nt ls mus s l). Aplcno l T. Guss un supfc c fom po un co coxl con ls mus y longtu y os tps cculs ppnculs l j, sán: ) El flujo sob ls tps nulo po s l cmpo l. ) El flujo sob l sup. lt. s: π E on s l cg n l longtu l mu nto. E π ( ) fnc potncl nt ls mus sá: l π π cpc po un longtu l connso clínco sá: π EyM - 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II onnso Po Está fomo po os plcs mtálcs ps plls nfns potncl y spctvmnt. S s cons x l ccón ppncul ls plcs, como s nc n l fgu, l potncl nt sts vá úncmnt con x como: y E x$ n x$ x Ax B x y S p x y p x sult: En l plc stu n x l ns supfcl cg sá: s x x x x omo l ns s unfom l cg totl sob l plc nfn sá nfnt y po tnto tmbén l cpc. ( x) Tomno un connso po fnto, con supfc plcs S, l cpc, n l supusto u l cg s stbuy unfommnt sá: ss S EyM - Efcto Bos Al hc fnts ls plcs l connso po ls supfcs upotncls jn s pos pllos ls plcs y l cmpo j s unfom y su ccón j s constntmnt ppncul ls plcs. Tmbén l cg j s unfom n ls plcs. os ntos fctos son más ponuncos n l bo l plc u n l cnto l msm, po lo u s nomnn fctos bo. Su stuo nlítco o numéco, unu fctbl, s n xcso complco p su sollo uí. Infno Efcto Bos EyM - 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II 7//9 EyM.- EyM - Poblm - Un sf conucto o tn n su nto un cv xcéntc o sgún s must n l fgu. En l nto l cv y concéntc con ll s ncunt ot sf conucto o. S l sf o s pon voltos y l ot voltos, clcul: ) l potncl n toos los puntos l spco; b) l cpc l connso sí fomo. ) Potncl. - En l xto l sf o s co. - En l pt mc l sf s co. - En l nto l sf l potncl s -Ent y : B A A B A B A b) cpc s l l connso sféco: π EyM - Ejcco S un connso po plcs plls cus lo sps un stnc. Ent lls y llnno l spco hst / s lln un léctco pmtv. lcul l vlo l cpc. x Φ Φ Dspcno fctos bo l potncl sá:,,,,,, y,,, B x A P obtn l cpc ncstmos l cg p.. n x p lo u bst obtn A A A s s omo s s hubn tno os connsos n s
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Ejcco onnso po con os léctcos. s os posbls. ul myo cpc EyM -5 Poblm - S un connso plcs plls cus, lo y sps un stnc, nt ls u xst un léctco pmtv ltv. S conct l connso un btí voltos u s sconct un v cgo, y s comn xt l léctco. En funcón l stnc x l fgu, clcul: ) l cpc l connso; b) l fnc potncl nt sus plcs; c) l cmpo léctco nt lls; ) l vlo u hc slt l chsp cuno s xt totlmnt l léctco (p mm y ). S supon u l chsp s pouc cuno l cmpo nt ls plcs sup l vlo k/cm. x ) Dspcno fctos bo l cpc sá: ( x) x x [ ( ) x] po lo u l umnt x l cpc smnuy. b) cg u u l connso s Est cg s mntn constnt l spl l léctco: x ( x) [ ( ) x] ( )x EyM -6 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Poblm - c) El cmpo nt ls plcs sá constnt unu su vlo pná x: ( x) E( x) ( )x Emx E x Y l vlo ncso : Emx. olt. ) El vlo máxmo cmpo u s pouc s EyM -7 Ejcco ) P clcul l cpc tnmos n cunt u l spc fctos bo l potncl solo ví con y suponno Φ n : A ϕ B ϕ ϕ α El cmpo sá E ϕ ϕ ϕ α ns supfcl cg sob α sá: s n ( D D ) ϕ ϕ α α EyM -8 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Ejcco cg n α sá: Y l cpc α α α b) P obtn l potncl bst cons l uvlnt ccutl l stuctu (os connsos n s y ) ; T h cg n ls mus s Y l potncl : T T c) s cgs n l c supo nfo l conucto son y. s k k ss ss k EyM -9 Ejcco ) Dspcno fctos bo l potncl sá solo funcón θ: snθ sn θ snθ θ θ θ A A θ θ Atg B snθ θ Atg B A θ A tg B θ θ tg tg A E θ θ θ snθ EyM -5 7//9 EyM.- 5
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Ejcco b) ns supfcl cg n l mu sá: A A s θ θ sn θ snθ cg n l mu sá: π ϕ A sn θ ( sn θ ϕ ) πa c) cpc sá: π θ θ tg tg EyM -5 Poblm -5 Sn ts conuctos clíncos spso spcbl, longtu y os, b y c (<b<c), colocos sgún must l fgu, moo u nt l conucto nto y l ntmo s tn y nt l ntmo y l xto xstn os mos stntos: uno longtu y pmtv y oto longtu - y pmtv. S l conucto ntmo u slo y scgo y s plc un fnc potncl voltos nt l nto y l xto, clcul: ) ls stbucons supfcls cg n ls os cs l conucto ntmo; b) l cpc nt los conuctos nto y xto. ) El potncl n ls ts gons l poblm b s solucón l cucón plc: ϕ Po smtí ntono l j y s no hy fctos bo ϕ A B b c EyM -5 7//9 EyM.- 6
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Poblm -5 Po tnto: A B ; A B ; A B A () A c A c () B B c B c A b B A b ( ) A b B A b B() 5 B b b b b Flt un sxt cucón p po tmn ls constnts. Est cucón s obtn l hcho u l cg totl l conucto ntmo b s co. Po tnto: πb πb πb s s s A A A s E s E s E b ; b ; b b b b A A A ( )( 6) b b b A on ls cucons () (6) s obtnn: s b b b c ( ) b s b ( ) b c s b ( ) b c b b EyM -5 Poblm -5 P obtn l cpc, convn v l sstm como l soccón ts connsos como s nc n l fgu. cpc sá: Po tnto: ( ) P clcul ls cpcs hy u tn n cunt l cpc po un longtu l connso clínco os y : π π π π ( ) b c c b b ( b ) ( c ) π b ( ) EyM -5 7//9 EyM.- 7
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II 7//9 EyM.- 8 EyM -55 Ejcco () onnso sféco con léctco no homogéno Solo hy cmpo n l gón nt sfs. Po Guss pun obtns D y E: () () D sn D S D π ϕ θ θ π θ π ϕ () D π () () D E π π π π () E E π π EyM -6 Ejcco Un lctoo mtálco ocup l volumn. Está cubto po un léctco pmtv Fos/m y spso. En l supfc l léctco s poy un sguno lctoo spso spcbl. S s conct un btí fom u l lctoo xto stá y l nto voltos: ) Suponno spcbl l fcto bos xps l cucón p clcul l potncl n l gón ntm nt lctoos y ls concons contono plc. ( p) π α α ϕ,,,, < u h h h h u h h h El potncl n l gón nt lctoos spon l cucón plc ;,, n n n n ϕ α ϕ on ls cc:
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II 7//9 EyM.- 9 EyM -6 Ejcco b) Obtng l potncl n l gón l pto nto. ( p) c) lcul l ntns l cmpo léctco n l gón nt conuctos. A A B A A A B u h u h u h () E EyM -6 Ejcco ) Obtng l ns supfcl cg n l supfc nto l lctoo xto. ) lcul l cpc nt lctoos. A E D D n s S s S s α α ϕ α ϕ α α
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II A Ejcco f) S l lctoo xto s g un ángulo β n tono l j clcul l cpc. o únco u cmb s l supfc ls mus l connso u sá l ls supfcs nfnts los lctoos. cg n l lctoo xtno sá ( β ) ( β ) ss s ( ) S ( β ) ( ) α ϕ β ( α β ) ( ) ( α β ) ϕ ( α β ) ( ) EyM -6 Engí Elctostátc Al stu l Tom Poyntng s fnó l ngí l cmpo lctomgnétco como: W ( E D H B) Po tnto l ngí l cmpo lctostátco sá: W E Dv v E v Ints po xps l ngí tmbén n funcón ls funts l cmpo, s c n funcón ls cgs l sstm. P llo consés un sstm lo más gnl posbl, con conuctos cgos, stbucons cg, supfcs scontnu l cmpo, tc. EyM -6 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Engí Elctostátc En too punto s vfcá u: y po tnto: W E E Dv Dv P tnsfom l ntgno, s sb u: ( D) D D po tnto: W ( D) v Dv I I sgun ntgl psnt l contbucón l ngí ls nss volumétcs cg. Aunu s too l spco l ntgl solo s xtná ls stbucons cg po tnto: I Dv v EyM -65 Engí Elctostátc pm ntgl psnt l contbucón l ngí ls nss supfcls cg. P vlo hy u tnsfom l ntgl volumn un ntgl supfc uto l tom Guss. Po p plc l T.G. ls funcons mplcs bn s contnus n l cnto plccón. Sn mbgo, y pcsmnt n l cso l psnc nss supfcls cg, l nuccón D s un funcón scontnu sob ch supfc. Supóngs un ls supfc sob ls u hy s. o S S Pun conss os supfcs, S y S, muy póxms l nto mn u s subv l spco n os volúmns: volumn nto l supfc scontnu y, sto l spco lmto po l supfc xto l scontnu y l supfc l nfnto. S hy vs chs supfcs los volúmns y sán l sum los poucos po lls. EyM -66 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Engí Elctostátc ntgl I sá: I ( D) v ( D) v ( ) o y n c uno los os volúmns s pu plc l T.G. I S D S S S D S D v Don S s l sum tos ls supfcs ntos y S l sum ls xtos. En l límt cuno ls supfcs S y S stén nfntmnt póxms: Y po tnto: I ΣS S S ( D D ) S S D S EyM -67 Engí Elctostátc ntgl sob l supfc l nfnto s nul s l potncl y l cmpo son guls. ntgl sob l supfc S sultá: Po tnto: ( D D ) S ( D D ) ns S S S S s W ss S v s ntgls supfc y volumn s xtnn ho solmnt ls stbucons cg n lug hclo too l spco. EyM -68 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Engí un Sstm onuctos En l cso un sstm conuctos s supon u ls nss cg son supfcls y stán xtns sob ls supfcs los msmos Po tnto l ngí lctostátc sá: W ss ss ss ss Σ S S S S En l cso ptcul un connso - : W ( ) ( ) W EyM -69 Engí un Bol g En l cso un stbucón volumétc unfom cg ns n un sf o, l ngí sá: W v Esf Tnno n cunt l potncl n l nto l sf (vés jcco l spcto) () 6 l ngí vlá: W v 6 π π Esf ϕ θ 6 ( ) 5 π 5 π on l sulto fnl s h xpso n funcón l cg totl: π snθθϕ EyM -7 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Engí un Bol g W π El sulto obtno pu ntpts l sgunt fom. Supóngs un cg stbu po too l spco ( ). Entoncs l ngí s co. W lm π S s gupn ls cgs hbá u vnc l fu pulsón nt lls potános ngí l sstm. Est ngí fomcón l stbucón cc l mput fom más compct ls cgs (l smnu ). En l cso límt n u s s un cg puntul, s uá un ngí nfnt. W lm π Po llo l cg puntul no tn l físc y s solo un poxmcón mtmátc útl. EyM -7 Engí Intccón S un sstm fomo po stbucons volumétcs cg con potncls y cmpos:, E y E Po supposcón l cmpo totl sá:, ngí sá po tnto: W ET DT v E Dv E Dv ( E E ) ( D D ) E E ( E D D E ) v WF WF WI v os os pmos témnos son l ngí ncs p fom ls cgs y l tc témno s l ngí ntccón Po: E Dv Ev ( E ) v ( E ) v v E S v E Ev S Po tnto: I ( ) v v W E T v EyM -7 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Engí un Sstm gs Puntuls S un sstm fomo po cgs puntuls. ngí l sstm sá: W v sno un volumn n tono l cg -ésm. ( ) A fnc l ngí totl u smp s gul o myo u co, l ngí ntccón pu s postv o ngtv. EyM -7 δ v Sá po tnto: W δ ( ) v ( ) Po tnto: W El potncl pu scompons como: ( ) ( ) ( ) on l pm témno s l contbucón l potncl n tos ls cgs slvo l -ésm y l sguno témno s l potncl co po ést (u s nfnto). El témno nfnto s l ngí ncs p fom ls cgs puntuls. El oto témno, nomno ngí ntccón, s l ngí ncs p, un v foms ésts, colocls n l stucón ltv u tngn. Engí Intccón os gs Puntuls ngí ntccón os cgs puntuls s: W π ( ) π π lmnt s ls os cgs son l msmo sgno hy u l tbjo p nfntls y l ngí ntccón s postv. S ls os cgs son stnto sgno s tn y l ngí ntccón s ngtv. EyM -7 7//9 EyM.- 5
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Ejcco Un stbucón volumétc cg tn fom sf o y cg unfommnt stbu con ns. A stnc su cnto hy un cg puntul vlo. lcul ) ngí ntccón l sstm. b) ngí u hy u pot p llv l cg puntul l cnto l stbucón. ) ngí ntccón nt ls os cgs ( puntul, volumétc) l nco sá WI ( ) v v v δ π π π W I δ ( ) snθθϕ π W π π If snθθϕ π π π π π π π W W If W If EyM -75 Engí Intccón un g y un mpo Supóngs un gón n l u l cmpo co po uns tmns funts s conoco. S ntouc un cg puntul n ch gón mtno u l psnc l cg no lt l cmpo xstnt. E En l ct gón l nuvo cmpo sá l supposcón l xstnt nts coloc l cg más l u c l cg. E E E ngí sá: W E Dv E D v t t ( E E ) ( D D ) E D v t E v E D v EyM -76 ( E D ) 7//9 EyM.- 6
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II E W Engí Intccón un g y un mpo E W El pm témno s l ngí fomcón l cmpo, l sguno s l ngí fomcón l cg puntul y l tco s po tnto l ngí ntccón. ( E D E D) v E Ev Ev ( E ) v Ev E Dv Ev E S ntgl sob l supfc l nfnto s nul suponno guls l potncl l cmpo ognl y l cmpo co po l cg puntul. Po tnto: W Ev δ ( ) v ( ) EyM -77 E D v S ( E D E ) D v Engí Intccón un Dpolo y un mpo S s ntouc un polo n l sno un cmpo pstblco, l ngí ntccón nt l polo y l cmpo sá l sum ls ngís ntccón c un ls cgs con l cmpo. W ( ) Po s ls cgs stán muy póxms y l potncl l cmpo s un funcón contnu s poá poxm: W ( ) x x y y Po tnto: p p ( ) E EyM -78 7//9 EyM.- 7
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Ejcco Un polo léctco momnto p s ncunt n un gón n l u l potncl vl (). lcul n pm poxmcón l ngí ncs p g l polo 8º spcto su cnto. En un stucón ncl l ngí ntccón, n pm poxmcón, nt l polo y l cmpo s: W p E p S s g l polo 8º su nuvo momnto pol s : p p Y ho l ngí ntccón nt l polo y l cmpo s: p p W ngí ncs hbá so l fnc nt l ngí fnl y l ngí ncl: W W p p E EyM -79 Ejcco Un cásc léctc sféc pmtv y os nto y xto y b s t s l nfnto y s cnt n l ogn coons on hy un cg puntul culombos. lcul ) ntns nuccón léctc n mbs stucons. b) El cmbo ngí nt mbs stucons. c) El tbjo uo p l l cmbo y l snto l fu. ) En l stucón ncl l cmpo s l l cg puntul y vl E, D π π En l sgun stucón l nuccón s l msm u n l pm y vl lo msmo n tos ls gons D D D D π b ntns cmpo léctco pn po lo u: E, E, E EyM -8 π π π 7//9 EyM.- 8
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Ejcco b) El cmbo ngí stá soco l cmbo vlo l cmpo u solo s h pouco n l gón : W E E D π b π π snθθϕ < 8 π π b c) El tbjo lo po un gnt tno s gul l ncmnto ngí. omo st s ngtvo l fu xtn s l fvo l cmpo ncl. fu u jc l cmpo tná snto conto. Po tnto á n ccón. El léctco s tío po l cg puntul y s stú n poscón ngí mínm. EyM -8 Ejcco Un stbucón volumétc cg tn fom sf o y cg totl unfommnt stbu. En su cnto hy un cg puntul y l constnt léctc too l spco s l l vcío. lcul ) El tbjo ncso p llv l cg puntul l nfnto. b) fu l u stá somt l cg cuno stá stnc l cnto l stbucón. ) ngí ntccón nt ls os cgs ( puntul, volumétc) l nco sá WI ( ) v v v π π WI - snθθϕ π π π 8π π ngí ntccón nt ls os cgs l fnl sá co y l tbjo W W W 8π EyM -8 If I 7//9 EyM.- 9
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II 7//9 EyM.- EyM -8 Ejcco b) fu cuno > s E F π π fu cuno < s E F π π EyM -8 Accons Mcáncs S hbí ntouco l concpto cmpo tvés sus fctos mcáncos (fus) sgún l cucón: Ev F En l cso un cg puntul l fu sob l msm sá: E Ev F δ En l cso os cgs u fomn un polo sá: [ ] E p E E E y E x E E E E E E F y x
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Accons Mcáncs Po l s l momnto pol un vcto constnt, y sno E otconl sult: F ( p ) E ( p E) En l cso s E constnt l fu sob l polo sá nul, po hbá un p fus: M F ( E) p E ( pe cos( ϕ) ) ( p E) ( W ) M pesn ϕ ϕ W ϕ ϕ E F x M F EyM -85 Sstms onuctos g onstnt os sultos ntos ncn u pun obtns ls fus y ps pt l vcón l ngí lctostátc l sstm. En l cso sstms conuctos pun conss os stucons: l un sstm conuctos slos con cgs fjs (no pun cmb l volucon l sstm), y l un sstm conuctos con potncls fjos. En l pm stucón ls cgs sob los conuctos son constnts. Supóngs u ls fus sp uno los conuctos un stnc fncl l (un splmnto vtul n mcánc). l EyM -86 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Sstms onuctos g onstnt El tbjo mcánco lo po l sstm sá W mc F l on l fu F s l fu léctc u ctú sob l cupo n st stucón cg constnt. omo s tn un sstm slo u no cb ngí l xto l tbjo mcánco lo b hcs cost l ngí lctostátc lmcn, y po tnto: W W W W F l mc Tnno n cunt u un cmbo n un funcón scl pouco po un cmbo poscón l s obtn l poucto scl l gnt l funcón po l, sá: W W l F l F W mc EyM -87 Sstms onuctos g onstnt S l cupo conucto u s stá consno solo pu g n tono un j, po jmplo l j, l tbjo mcánco lo po l sstm p un splmnto ngul ϕ sá: ϕ W mc ( M ) W ϕ on (M ) s l componnt l p u ctú sob l cupo n concons cg constnt. Sguno l pocmnto plco ntomnt s obtn ( l cucón nto) u: ( W ) M ϕ EyM -88 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Sstms onuctos Potncl onstnt S l sstm conuctos s mntn potncl constnt, mnt su conxón btís, un splmnto l uno los conuctos mplcá un cmbo ls cgs toos los conuctos, u sán pots po ls btís, p mntn constnts los potncls. S n l conucto k-ésmo s pouc un cmbo k su cg, mntnénos su potncl k, l ngí pot po ls btís sá: Wbt kk k El tbjo mcánco lo po l sstm como conscunc l splmnto vtul s W F l mc on ho l fu s l u ctú sob l cupo n concons potncl constnt. v tnsfnc cg pouc tmbén un cmbo n l ngí lctostátc totl l sstm n: W kk Wbt EyM -89 k Sstms onuctos Potncl onstnt ly consvcón l ngí u u: W W W mc bt Po tnto: W mc W Fv l k Fv l k k kk Wbt k W k ( W ) l F ( W ) v k k Y fom nálog s obtn u s l cupo stá stngo ot ntono l j (po jmplo) l componnt l p s: ( W ) M ϕ EyM -9 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Poblm - Un sstm stá fomo po ts smcos coxls ígmnt unos, u pun g lo su j, stuo st últmo n l supfc un líuo léctco pmtv ltv. os os los smcos son los ncos n l fgu y su longtu s. S nt l conucto nto ( ) y l xto ( ) s plc un fnc potncl voltos, hll: ) l sum ccutl l sstm y l cpc totl l msmo; b) l potncl l plc ntm (spcto l xto); c) l ngí lctostátc l sstm; ) s s sconct l btí, on n u ccón tn g l sstm (supóngs spcbl l fcto l gv). (ot: spc l fcto bos)., α,,, ) El sum ccutl l sstm pu conss como l soccón s os conjuntos os connsos n pllo,,,, os, cosponn los connsos u stén l y los, los u tnn l luo como léctco. El cospon l u stá nt y mnts u l l u stá nt EyM -9 y Poblm - A pt l cpc po un longtu l connso clínco os y s pu obtn l cpc un scto ángulo α y longtu como: α Po tnto: α ( ) α ( ) Y po tnto: T,, ( π α ) ( ) ( π α ) ( ), ( ) ( ),,,, ( )( ),,,,,,,,, b) S no hy fctos bos l potncl ví como: A B [ α ( π α ) ] ( ) EyM -9 y po tnto l potncl n l plc ntm vlá: 7//9 EyM.-
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Poblm - ) ngí sá: W T ) El sstm voluconá cg constnt. Po tnto su ngí sá: W T El sstm s splá hc ngí lctostátc mínm, o s hc cpc máxm. omo l cpc umnt l ntouc l líuo l sstm gá hst u l ángulo α s co. EyM -9 Poblm -8 ) lcul l ngí lctostátc l sstm l fgu sbno u l cg l sf conucto nto s y l léctco tn un pmtv b) A pt l sulto nto clcul l cpc l sstm y l potncl l sf nto. () b) cpc: )Solo hy cmpo n l gón nt sfs. Po Guss pun obtns D y E: π π D S D snθθϕ D π θ ϕ () () D D() E() π () π π ngí sá: W E Dv π π ( ) W snθθϕ π θ ϕ 8π π ( ) Y l potncl: W π EyM -9 7//9 EyM.- 5
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Ejcco S spon un connso clínco con mus ltu h y os y b (<b). S con él os xpmntos sumgénolo un pofun p n un líuo pmtv u pnt nt sus mus. El pmo llos s l potncl constnt y l sguno cg constnt. El pocso uscón l cg n l sguno xpmnto s l fu l líuo. lcul n mbos xpmntos: ) ngí lctostátc n funcón l pofun p sumg nto l líuo. Dón s lcn l mínmo l ngí? b) s fus lctostátcs u suf l connso cuno s sumg n cho líuo. S comn obtnls pt ls ngís tlo clmnt su móulo, ccón y snto. b h p ) Y u l cpc un connso clínco ltu h y os y b (<b) y mo pmtv vl: πh ( b ) l ngí lctostátc potncl constnt vl: EyM π W h p b -95 Ejcco Est ngí ví lmnt con p nt un vlo mínmo Wmn hst un vlo máxmo Wmx. π π Wmn W ( p ) h, Wmx W ( p h) ( b ) Po ot pt, l ngí lctostátc cg constnt vl: W π h p ( b ) ( b ) h on l cg u nclmnt potncl vl: π h ( b ) En st cso l ngí s nvsmnt popoconl l pofun sumg p y y ví nt un vlo mínmo Wmn hst un vlo máxmo Wmx. W mn W ( p h) π, Wmx W ( p ) ( b ) h π ( b ) h EyM -96 7//9 EyM.- 6
Elctc y Mgntsmo mpo Elctostátco II Ejcco b) fu s obtn como l gnt l ngí lctostátc. D st moo potncl constnt: W π F W p p p ( b ) Mnts u cg constnt l fu vl: W ( b ) F W p p p π h p El snto l fu s obtn onno ls ntos xpsons: ) Potncl constnt: fu s g hc on cc l ngí. En st cso s psnt l máxmo ngí cuno l co stá compltmnt sumgo, po lo u ls fus lctostátcs tnn sumg l co. b) g constnt: fu s g hc on cc l ngí. El mínmo ngí s psnt uí cuno l co st nto l líuo, po lo u ls fus lctostátcs tnn nuvo sumg l co. EyM -97 7//9 EyM.- 7