Transformaciones lineales - p1 Álgebra Lineal 13 de junio de 2017
1. Transformaciones lineales Este capítulo en uno de los más importantes del curso de Álgebra Lineal, aquí estudiaremos transformaciones lineales, sus propiedades y su relación con las matrices. De nición Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Una función : V 7! W se llamará Transformación Lineal de V en W si, para todo 2 V y 2 K, se cumple: y ( + ) = ( ) + ( ) ( ) = ( )
Ejemplo 1 Sean R 3 y R 2 los R-espacios vectoriales convencionales. Veri que que la función : R 3 7! R 2, de nida por la regla es una transformación lineal. ( ) = ( + ) Sean = ( 1 2 3 ) y = ( 1 2 3 ) vectores arbitrarios en R 3, sea además cualquier 2 R. Entonces, ( + ) = ( 1 + 1 2 + 2 3 + 3 ) = (( 1 + 1 ) + ( 3 + 3 ) 2 + 2 ) = (( 1 + 3 ) + ( 1 + 3 ) 2 + 2 ) = ( 1 + 3 2 ) + ( 1 + 3 2 ) = ( 1 2 3 ) + ( 1 2 3 ) = ( ) + ( ) Por otro lado, ( ) = ( 1 2 3 ) = ( 1 + 3 2 ) = ( ( 1 + 3 ) 2 ) = ( 1 + 3 2 ) = ( 1 2 3 ) = ( )
Ejemplo 2 La función : R 2 7! R 3, con las operaciones clásicas en R 2 y R 3, de nida por la regla de correspondencia: es una transformación lineal (veri que). ( ) = (5 4 2 + 3 ) Ejemplo 3 La función : R 2 7! R, con las operaciones clásicas en R 2, de nida por la regla de correspondencia: ( ) = + es una transformación lineal (veri que). Sin embargo, la de nida por T ( ) = + + 5 no lo es (veri que). En realidad, esta última se denomina transformación lineal afín.
Observación 4 (Transformación lineal afín) La transformación : V 7! W de la forma ( ) = ( ) +, donde 2 W es un vector constante y : V 7! W es una transformación lineal, se llama transformación lineal afín. ( es una traslación de ) Proposition 5 Si : V 7! W es una transformación lineal, entonces: ² ( 1 1 + + ) = 1 ( 1 ) + + ( ), para 1 2 V y 1 2 K. ² (0 V ) = 0 W ² Si ½ V es un subespacio vectorial, entonces ( ) = f ( ) : 2 g es un subespacio vectorial de W. ² Si ½ W es un subespacio vectorial, entonces 1 ( ) = f 2 V : ( ) 2 g es un subespacio vectorial de V.
Ejercicio 1 Pruebe lo siguiente. Si : V 7! W es una transformación lineal, entonces ( 1 1 + 2 2 + + ) = 1 ( 1 ) + 2 ( 2 ) + + ( ), para todo 1 2 V y 1 2 K. Basta aplicar repetidas veces la de nición de linealidad: ( 1 1 + 2 2 + + ) = ( 1 1 + ( 2 2 + + )) = ( 1 1 ) + ( 2 2 + 2 3 + + ) = 1 ( 1 ) + (( 2 2 ) + ( 3 3 + + )) = 1 ( 1 ) + ( 2 2 ) + ( 3 3 + + ) = 1 ( 1 ) + 2 ( 2 ) + ( 3 3 + + ). = 1 ( 1 ) + 2 ( 2 ) + + ( )
Ejercicio 2 Si : V 7! W es una transformación lineal, entonces (0 V ) = 0 W. Sea 2 V, entonces (0 V ) = ( + ( )) = ( + (( 1) ))) = ( ) + (( 1) ) = ( ) + ( 1) ( ) = ( ) + ( ( )) = 0 W Observación 6 Observe que, Si (0 V ) 6= 0 W, entonces no puede ser transformación lineal. ( Por qué?)
Ejercicio 3 Si : V 7! W es una transformación lineal y ½ V es un subespacio vectorial, entonces ( ) = f ( ) : 2 g es un subespacio vectorial de W. (FREDY) Ejercicio 4 Si : V 7! W es una transformación lineal y ½ W es un subespacio vectorial, entonces 1 ( ) = f 2 V : ( ) 2 g es un subespacio vectorial de V. (FREDY)
2. Núcleo e imagen de una transformación lineal Núcleo El núcleo de una transformación lineal : V 7! W, denotado por ker ( ), es el siguiente subconjunto de V: ker ( ) = f 2 V : ( ) = 0g
Ejemplo 7 Sean R 2 y R 3 los espacios vectoriales convencionales. Halle el núcleo de la transformación lineal : R 3 7! R 2, cuya regla de correspondencia es: ( ) = ( + ) Sea = ( 1 2 3 ) 2 R 3, entonces, ( ) = 0 () ( 1 2 3 ) = (0 0) () ( 1 + 3 2 ) = (0 0) o de modo equivalente de donde 2 = 0 y 1 = 3. Es decir, ( 1 + 3 = 0 2 = 0 ker ( ) = n ( 0 ) 2 R 3 : 2 R o Observe que dim (ker ( )) = 1 ( por qué?).
Ejercicio 8 Pruebe lo siguiente. Dada una transformación lineal : V 7! W, entonces ker ( ) es un subespacio vectorial de V. Primeramente, como (0) = 0, entonces 0 2 ker ( ). Así, ker ( ) 6= ;. Seguidamente, tomemos 2 ker ( ), entonces ( ) = 0 y ( ) = 0. Luego, lo que dice que + 2 ker ( ). ( + ) = ( ) + ( ) = 0 + 0 = 0 Seguidamente, sea 2 K (campo sobre el cual están de nidos ambos espacios vectoriales), entonces: ( ) = ( ) = 0 = 0 lo que dice que 2 ker ( ). Por lo tanto, ker ( ) es un subesapcio vectorial de V.
Imagen La imagen de una trasformación lineal, : V 7! W, es el siguiente subconjunto de W: Im ( ) = f ( ) : 2 Vg = (V)
Ejemplo 9 Sea R 2 y R 3 convencionales. Dada la transformación lineal : R 2 7! R 3 cuya regla es: ( ) = ( 0 ) El núcleo está conformado por todos los vectores ( ) 2 R 2 para los que Así, ( ) = (0 0 0) () ( 0 ) = (0 0 0) ker ( ) = f(0 0)g Por otro lado, la imagen es el -plano en R 3.
Algunas transformaciones lineales importantes Ejemplo 10 (Transformación nula) La transformación nula de un espacio vectorial V en otro W, es la que transforma todos los vectores de V en el vector nulo de W. Es decir, ( ) = 0, para todo 2 V. Observe que en este caso, ker ( ) = V y Im ( ) = f0g Ejemplo 11 (Transformación identidad) La transformación identidad de un espacio vectorial V al mismo espacio vectorial V, denotada por Id : V 7! V, es la que transforma todos los vectores de V al mismo vector. Es decir, Id ( ) =, para todo 2 V. Observe que en este caso, ker (Id) = f0g y Im (Id) = V
Observación 12 (Endomor smo) Cuando una transformación lineal lleva elementos de un K-espacio vectorial en el mismo espacio vectorial, es decir, : V 7! V, ésta toma el nombre de endomor smo. Ejemplo 13 (Transformación rotación) Considere el siguiente endomor smo : R 2 7! R 2, de nido por la regla de correspondencia ( ) = ( cos sen sen + cos ) Observe que ker ( ) = f0g y Im ( ) = R 2 Considerando R 2 convencional, este endomor smo gira el vector = ( 1 2 ) un águlo, tal como indica la gura siguiente.
( ) = ( cos sen sen + cos ) 2 (4 2) = µ 4 cos 2 2 sin 2 4 sin 2 + 2 cos 2 = ( 2 4)
Ejemplo 14 En la siguiente gura, el grá co de ( ) = 2 4 + 3 (el conjunto de puntos en azul) fue rotado mediante la transformación lineal rotación 6 (conjunto de puntos en rojo).
Ejercicio ² Usando MatLab o algún programa de su preferencia, gra que la función ( ) = 2 4 + 3 en el plano cartesiano. ² Aplique la transformación lineal 3 4 sobre cada punto ( ) del grá co de (sobre una cantidad representativa de puntos). ² Realice una nueva grá ca de los puntos 3 4 ( ). ² Interprete lo que sucedió. ² Modi que lo anterior, para que la rotación sea ahora sobre un punto de referencia: (a) Sobre el vértice ( ). Muestre su grá ca. (b) Sobre el foco ( 1 2 ). Muestre su grá ca. (c) Sobre cualquier punto ( ). Muestre su grá ca.