TRANSFERENCIA DE CALOR La Tansfeencia de Calo es una Ciencia de la Ingenieía, una disciplina páctica Su objetivo: Cuantifica los flujos de tanspote de calo en pocesos natuales y de Ingenieía. Temodinámica: Se basa en cietas leyes geneales de la Física (pincipios Pedice la cantidad de enegía ue se euiee paa lleva un sistema desde un estado a oto. Se ocupa de divesas fomas de enegía. No infoma sobe la velocidad de este poceso ni sobe el tiempo necesaio paa completalo. La tansfeencia de calo se ocupa exclusivamente del calo Complementa a los pincipios de la TD, mediante leyes adicionales ue pemiten calcula la velocidad con ue el calo se tansfiee. Los fenómenos de los cuales se ocupa la Tansfeencia de calo son ievesibles. INGENIERÍA TÉRMICA, Mecánica de Fluidos Temodinámica Tansfeencia de Calo En la industia su impotancia está en el Diseño de euipos, pocesos y poductos.
Este cuso junto con los anteioes (MF, TD habilita paa el estudio y diseño de máuinas témicas. Desde el punto de vista básico, la tansfeencia de calo se foma pate de los fenómenos de tansfeencia, o de tanspote, ue incluye además el flujo de fluidos, la ciculación de coientes elécticas, y la difusión de un soluto en un solvente (llamada tansfeencia de masa. En todos los fenómenos de tansfeencia identificamos: Una difeencia de potencial, o fueza conductoa ue causa la tansfeencia Un flujo de la entidad ue se tansfiee, ente puntos a potenciales difeentes. Una esistencia ue el medio opone a la tansfeencia en la egión en ue existe la difeencia de potencial. El potencial paa la tansfeencia de calo es una difeencia de tempeatua ( T= T1-T, en la egión en ue se ealiza la tansfeencia. El calo se tansfiee de alta a baja tempeatua. El medio a tavés del cual el calo se tansfiee opone una esistencia a la tansfeencia (R. Po ejemplo: si la paed de una casa tiene º C po el exteio y a 18ºC po el inteio, habá flujo de calo desde el exteio al inteio. La magnitud de este flujo depende de la difeencia de tempeatua (4ºC o 4K, de conductividad témica del mateial, y
del espeso de la paed. Se tiene entonces la siguiente elación genéica paa el flujo de calo Q a tavés de un medio mateial: En ue T Q = R el flujo de calo Q se expesa en Watts, la difeencia de tempeatua en K (o en ºC y la esistencia en K / Watt. El flujo de calo es, entonces la cantidad de calo tansfeida po unidad de tiempo ente puntos a tempeatuas T1 y T. La esistencia tendá una foma ue depende del modo de tansfeencia de calo y de la geometía de la situación. Modos de tansfeencia de calo: 1.- Conducción: Tansfeencia de calo en un sólido o un fluido en eposo mediante movimientos (otaciones y vibaciones a escala molecula. Este movimiento es más intenso a mayo tempeatua, po lo cual la enegía se tansfiee de alta a baja tempeatua..- Convección: Tansfeencia de calo dento de un fluido ue fluye con movimientos a escala macoscópica. Se mezclan pociones de fluido a difeente tempeatua. 3.- Radiación: Emisión de adiación electomagnética po cuepos a tempeatuas distintas al ceo absoluto. Las adiaciones en el ango de longitudes de onda ente 0,1 y 100 micometos tienen efecto témico cuando se emiten o absoben.
CONDUCCION LEY DE FOURIER Las leyes geneales de la física (pincipios de la Temodinámica y leyes de movimiento del fluido no son suficientes paa el estudio de la tansfeencia de calo. Se necesitan leyes paticulaes específicas paa la conducción y la adiación. (La convección no euiee leyes extas ya ue es un fenómeno ue esulta de la combinación ente la conducción de calo y el flujo de un fluido. Se tansfiee calo de alta a baja tempeatua. Fouie (en 18 encontó ue el flujo de calo en el inteio de un sólido o de un fluido en eposo es popocional al gadiente local de tempeatua y a la conductividad témica del mateial. Esta ley se deivó de obsevaciones empíicas. Supone ue el mateial se compota como un medio continuo. La expesión matemática de la ley es como sigue: En un medio en ue existe un campo de tempeatua T(X,Y,Z,t, la ley de Fouie expesa los flujos de calo instantáneos en las tes diecciones po:
x y z =-k = -k = -k x y z X Y Z es el flujo de calo po unidad de tiempo y po unidad del áea nomal a la diección de popagación. k es la conductividad témica del mateial. Convención de signo: Los flujos de calo son positivos en el sentido positivo de la coodenada. Paa esto, la tempeatua debe decece en el sentido positivo de la coodenada, es deci, / x < 0. Po lo tanto, el signo menos sive paa hace positivo un flujo ue depende de una deivada intínsecamente negativa. Unidades de : W/m o kcal/h m, o BTU/h pie T: ºC o K o ºF. Coodenadas en metos o pies Unidades de conductividad témica: W/m ºC o W/m K en sistema SI; Kcal. /h m ºC en MKS y BTU/h pie ºF en sistema inglés. Las conductividades témicas pueden vaia con la diección en sólidos con fibas (ej. madea, mateiales compuestos.
En la mayoía de los metales y aleaciones, así como en los fluidos, las conductividades son independientes de la diección (mateial isótopo. Finalmente, las conductividades pueden se dependientes de la tempeatua. La foma más usual de dependencia de k con T es la lineal ceciente. Valoes seleccionados de conductividad témica W/m K, a 0ºC. Plata 410 Cuazo 41.6 Refig.R- 1 0.073 Cobe 385 Mámol 1.83 Helio 0.141 Aluminio 0 Vidio 0.78 Aie 0.04 Fieo 73 Agua 0.556 CO 0.015 Aislantes: k< 0.1 W/m K Ecuación de consevación de Enegía o Ecuación del Calo. Expesa el pime pincipio de la TD paa un sólido o un fluido en eposo. En un medio tidimensional con un campo de tempeatua T= T(x,y,z,t, el balance instantáneo de enegía en un volumen de contol fijo en el espacio se escibe: Enegía enta + Enegía geneada = Enegía sale + Enegía acumulada Las enegías entan y salen del volumen de contol po conducción. Se genea enegía dento de este volumen mediante fuentes ue pueden se elécticas, uímicas o nucleaes. La enegía puede acumulase en el V.C. debido a la capacidad témica del cuepo
Si se tiene una fuente témica, Sea S la tasa de geneación de enegía po unidad de volumen y de tiempo en el volumen de contol. El balance anteio expesado en foma difeencial se escibe como:. ρ C t (x = - x ( y - y (z - z + S Reemplazando en los flujos de calo po conducción la ley de Fouie tenemos: ρ C = (k t x x + (k x y y + (k y z z +S z Si la conductividad es constante e isótopa, esta ecuación se puede pone en la foma más común: ρ t T T T = k( + + x y z C +S Los téminos, de izuieda a deecha, epesentan el témino tansiente o de acumulación de enegía en el volumen de contol, los téminos conductivos y el témino fuente.
Fomulación geneal de poblemas de conducción: OBJETIVO: Detemina los flujos de calo en un mateial sólido sometido con condiciones extenas y con un estado inicial. En geneal T= T(x,y,z,t. Se detemina pimeo el campo de tempeatua esolviendo la ecuación del calo. Luego se detemina los flujos de calo mediante la ley de Fouie. La ecuación paa sólido isótopo y de conductividad constante t Condición inicial paa la tempeatua: ρ = k C T + S T(x, y,z,0 = f(x, y,z Condiciones de bode paa la tempeatua: Se necesitan dos po cada diección (ya ue la ecuación es de º oden en T. Son de vaios tipos: 1. Tempeatua impuesta (T 1 en un bode en x = 0: T(0, y,z,t= T 1. Flujo de calo impuesto en un bode en x = 0: o (0, y, z,t = -k x De esta condición se deduce ue si el flujo impuesto a una paed
es ceo, / x = 0, ue es la condición de paed pefectamente aislada. 3. Paa una supeficie sólida en contacto con un fluido en movimiento, habá tansfeencia de calo po convección. El fluido estaá bien mezclado y tendá una tempeatua unifome, T1. El calo po unidad de áea ue ecibe o entega una supeficie sólida en contacto con un fluido a distinta tempeatua es popocional a la difeencia ente la tempeatua de la paed y la tempeatua media del fluido. Esta es la llamada "Ley de enfiamiento de Newton", ue se expesa: h es el "coeficiente convectivo" = h T El coeficiente convectivo se expesa en W / m K y no es una popiedad física, sino ue debe deteminase independientemente paa cada situación, a pati de infomación adicional. h depende de la geometía, del égimen del flujo del fluido y de las popiedades temofísicas de éste. Se veá su deteminación en la pate de convección de este cuso. La condición de bode de convección ente la supeficie en x=0 a un fluido a tempeatua T 1. h( T 1 - T(0, y,z,t = -k T(0, y,z,t x
En esta condición se igualan el calo tansfeido a la supeficie po el fluido (convección a la izuieda de la supeficie con el calo ecibido po la supeficie, y ue es tansfeido al esto del sólido po conducción. PROCESOS TRANSIENTES A pati de un cambio de condiciones de bode, la tempeatua en cada punto evoluciona en el tiempo. T(x,y,z,t PROCESOS PERMANENTES Después de un tiempo suficiente desde el cambio de condiciones de bode, se alcanza un "égimen pemanente", en ue la tempeatua ya no vaía en el tiempo. Esta condición se expesa: T t = 0 CASOS DE CONDUCCION UNIDIRECCIONAL PERMANENTE El poblema más simple de conducción se descibe así: Se tiene una placa o paed de espeso L, con dos caas a difeentes tempeatuas (T 1 > T, se ha alcanzado un égimen pemanente no hay geneación de calo (S=0. no hay gadientes de tempeatua definidos según las diecciones y y z: / y = 0, / z = 0, el égimen es pemanente / t = 0, La ecuación del calo se educe a: d d T x = 0
Condiciones de bode: T=T 1 en X=0, T=T en x = L La solución es: x T(x = (T -T 1 +T 1 L Aplicando la ley de Fouie a esta distibución de Tempeatua, se obtiene el flujo de calo a tavés de la paed, ue es: = -k x - = k(t T L k T = - L 1 en ue T= T - T 1. El flujo de calo es, entonces, independiente de la coodenada x. Si la placa tiene un áea A, nomal al flujo de calo, el calo total ue la ataviesa es: ka(t 1 Q = -T L Los dispositivos paa la deteminación expeimental de conductividades témicas se basan en epoduci esta situación. Si se escibe la ecuación anteio en la foma: ( T 1 - Q = T L/kA Se obseva en el denominado un gupo de vaiables denominado "esistencia témica" de la placa. Esta ecuación sugiee una analogía ente el flujo de calo y la intensidad de
coiente en un cicuito. Tansfeencia de calo a tavés de placas compuestas: Consideemos dos placas paalelas en contacto, con sus coespondientes espesoes y conductividades. La tempeatua en la supeficie de contacto es T, y las tempeatuas en las caas libes de las placas izuieda y deecha son T 1 y T espectivamente 1 = k1( T1 T L 1 = k ( T T L En la supeficie de contacto, 1 =, luego el flujo de calo es común a ambas placas. L1 ( T1 T = ( T T = k 1 L k Sumando las dos ecuaciones y despejando, vemos ue las placas tienen esistencias témicas ue están conectadas en seie. Sin fuentes o sumideos de calo en la supeficie de contacto, el mismo flujo de calo ataviesa las dos placas. Este es: En téminos del flujo Q, es: (T 1 -T = L1 / k1+ L / k (T 1 -T Q = L1 / k1 A+ L / k A Paa obtene este esultado, se usó la solución de una placa paa las dos placas po sepaado.
Extensión a un aeglo de n placas paalelas: = (T 1 i=n i=1 L -T i / k i Placa con convección en ambas caas: Fluido 1: T1 Fluido : T (tempeatuas de mezcla Las caas izuieda y deecha estaán a T1' y T' Po lo tanto: k(t = -T L 1 El calo se expesa también según la condición de bode de convección: = h1 ( T 1 - T 1 = h ( T - T Despejando las tes difeencias de tempeatua, y sumándolas, se obtiene: (T 1 -T = 1/ h1+ L/k +1/ h Con esta ecuación se calculan pédidas o ganancias de calo de un ecinto a tavés de sus paedes, conociendo las tempeatuas inteio y exteio. Se extiende fácilmente esta ecuación paa placas compuestas con convección en sus dos caas.
Otas geometías: La ecuación del calo en otos sistemas coodenados se escibe, paa conductividad constante e isótopa, en las siguientes fomas. Solo hay ue expesa en foma apopiada el Laplaciano: En coodenadas cilíndicas: ρ t T 1 1 = k( + + T T + φ z C + S Los componentes de flujo de calo (ley de Fouie son: = k φ 1 = k φ z = k z En coodenadas esféicas: 1 T 1 1 T ρc = k( + ( sinθ + +S t sinθ θ θ sin θ φ = k θ = k θ φ k = sin θ φ Paa obtene estas fomas solo basta enconta la expesión del Laplaciano en los distintos sistemas coodenados. Geometía cilíndica:
Es impotante en el caso de tubos ue conducen un fluido. Esta situación se da en los intecambiadoes de calo industiales. Considee un casuete cilíndico (tubo de adio inteno 1 y adio exteno. Sea T=T 1 en 1 y T=T en. Si solo se define un gadiente adial de tempeatua, en égimen pemanente y sin geneación intena de calo, la ecuación del calo se educe a: T 1 + = 0 Cuya solución es T= M ln + N El flujo adial de calo es Q = -π kl Obteniendo la distibución de tempeatua se demuesta ue: dt d Q = πlk(t 1 -T ln( / 1 El concepto de esistencia témica se usa paa paedes cilíndicas concénticas de lago común y difeente conductividad témica: Paa una paed con 3 capas: Q = ln( πl(t1-t / 1/ k1+ ln( 3 / / k+ ln( 3 / 4 / k 3
Igual ue paa paedes planas, se tata el caso de convección con un fluido inteio a tempeatua T 1 y un fluido exteio a T. Habá tes esistencias ( convectivas y una conductiva. El calo tansfeido adialmente a tavés de una y dos capas de mateial, espectivamente, es: Q = h 1 1 1 πl(t 1-T ln( / 1 1 + + k h Esta ecuación epesenta el calo tansfeido de un fluido a oto a tavés de una paed cilíndica (tubo. Si se desea aisla el tubo, se coloca una capa de mateial de conductividad k, hasta un adio 3. Paa ue la aislación sea efectiva, la esistencia agegada debe se mucho mayo ue las estantes. Q = πl(t 1 -T 1 ln( / 1 ln( 3 / + + h11 k1 k 1 + h 3 SISTEMAS CON GENERACIÓN INTERNA DE CALOR La geneación intena de calo distibuida en el volumen se taduce en la inclusión de un témino fuente en la ecuación del calo. Ejemplo: Conducto eléctico cilíndico (nichome, de adio R, longitud L. Se genea en el inteio el calo S en W/m 3. La tasa de geneación po unidad de volumen es unifome. Sea la tempeatua ambiente, To y el coeficiente convectivo
exteio: h. La tempeatua supeficial del alambe, Tp, está po detemina. La ecuación del calo paa conducción adial, pemanente, con geneación de calo es: k d dt ( d d +S=0 dt d =-S k + C 1 En el eje del alambe (=0 el flujo de calo debe se nulo, lo ue implica dt/d =0 en esa posición, po lo tanto C 1 =0. El calo disipado po la supeficie es: Esto es igual al calo total geneado en el alambe (tasa de geneación multiplicada po el volumen. A este esultado hemos llegado sin aplica la condición de bode. Es deci, el alambe estaá obligado a disipa toda la enegía geneada en su inteio, paa lo cual adoptaá la tempeatua supeficial necesaia. Integando una vez: Q=-k πr L( dt(r = -k πr L(-SR / k = Sπ R L d En la supeficie T=- S 4k +C
T p =- SR 4k +C Deteminamos C aplicando la condición de bode de convección: de donde Q=S R L=h(T - T =h(- SR π p o 4k +C - T oπ RL C = SR h + SR 4k + T o con lo cual T p= T o+ SR Paa disipa el calo geneado, la supeficie adopta una tempeatua cuyo exceso sobe el ambiente: -aumenta con el calo geneado y -disminuye con aumentos del coeficiente de convección Este ejemplo muesta ue en sistemas con geneación intena de calo, el calo disipado está impuesto, y la tempeatua es la vaiable dependiente, ue esulta de la capacidad de disipación del sistema. h