El Teorema de Green 1 El Teorema de Green Enunciaremos el teorema de Green primero para un tipo especial de región de que llamaremos simple luego se extenderá a regiones más generales que se puedan descomponer en regiones de este tipo especial (o de regiones elementales de tipo 3 o simétricas, como en el curso de matemáticas V). efinición 5.1 (egión Simple). Se dice que una región en es si cualquier línea paralela a uno de los ejes coordenados cruza la frontera de a lo sumo en dos puntos. Se permite que tal línea coincida con la frontera en un cierto intervalo. Teorema 5. (Teorema de Green para regiones simples). Sea una región acotada, cerrada simple en. Sea la curva frontera, suave a trozos, que encierra (acota) a, orientada de manera que un observador, moviéndose a lo largo de la curva, note que le quede a su izquierda ( si la región es interior a la curva frontera, la orientación sería la contraria al movimiento de las manecillas del reloj). A la orientación anterior la llamaremos, simplemente,. onsideremos un campo vectorial F (P, Q) de clase 1, P : Q :. Entonces ( Q P dx + Q d dx d. Observación 5.3. El teorema también es válido tomando a como región elemental de tipo 3 o simétrica (en vez de simple), en la terminología de matemáticas V. Teorema 5.4 (Teorema de Green para regiones más generales). Sea una región cerrada acotada en. Sea la curva frontera, suave a trozos, que acota a orientada positivamente (término definido en el Teorema 5.) sea F(x, ) (P(x, ), Q(x, )) un campo vectorial de clase 1 en. Si se puede descomponer en un número finito de regiones simples (ó de tipo 3, como en matemáticas 5), entonces se cumple que ( Q dx d. orolario 5.5. Si la curva frontera está formada por una curva (cerrada) externa N curvas cerradas interiores 1,,..., N, todas orientadas en sentido anti-horario entonces la fórmula Luis J. Navarro amón Navarro
El Teorema de Green de Green se expresaría como F dσ F dσ 1 N ( Q dx d. Teorema 5.6. Sea la curva frontera cerrada simple, orientada positivamente (como en el Teorema 5.), que acota una región en la cual es válido el teorema de Green. Entonces el área de es Area() 1 x d dx. Prueba. La demostración se obtiene aplicando el teorema de Green, siendo P(x, ) Q(x, ) x. Así 1 dx + x d 1 P dx + Q d 1 ( Q dx d 1 (1 ( 1)) dx d da Area(). Usando el lenguaje de campos vectoriales podemos escribir el teorema de Green de la forma siguiente: Teorema 5.7 (Forma vectorial de Green: Stokes). Sea una región en simple (o simétrica o de tipo 3) sea su frontera, orientada positivamente. Sea F (P, Q) un campo vectorial 1 en. Entonces rot(f) k da, donde rot(f) se interpreta no como el rotacional del campo (P, Q) (lo cual no tendría sentido puesto que el rotacional no fue definido para campos en ) sino de (P, Q, ) k (,, 1). Al calcular rot(f) k se obtiene que rot(f) k Q x P. Aplicando Green será ( Q P dx + Q d da rot(f) k da. Teorema 5.8 (ivergencia en el plano). Sea una región simple (o también se puede puede tomar simétrica o de tipo 3, en la terminología de matemáticas 5) sea su frontera, orientada positivamente (recuerde su definición en el Teorema 5.), parametrizada por, digamos, una función Luis J. Navarro amón Navarro
El Teorema de Green 3 σ : [a, b], σ(t) (x(t), (t)). Sea F(x, ) (P(x, ), Q(x, )) un campo vectorial 1 definido en si η denota la normal unitaria exterior (positiva) a, entonces (F η) dσ div(f) da. Prueba. El vector η está dado por η 1 [x (t)] + [ (t)] ( (t), x (t)). Es claro que η σ, así que η es normal a la frontera. Usando la definición de integral de traectoria (F η) dσ b a b a P(x(t), (t)) (t) Q(x(t), (t)) x (t) x (t) (t) dt [x (t)] + [ (t)] P(x(t), (t)) (t) Q(x(t), (t)) x (t) dt P d Q dx Q dx + P d [P x ( Q )] da div(f) da. ( Ejemplo 5.9. onsideremos la función F(x, ) ) x +, x una curva cerrada x + simple, orientada positivamente, que encierra al origen. Pruebe que π. Solución. omo F no es 1 (F no está definida en el origen) no se puede aplicar el teorema de Green; sin embargo, escogiendo una circunferencia 1 orientada positivamente, de centro el origen con radio r suficientemente pequeño de manera que 1 esté contenida en la región encerrada por, podemos aplicar el teorema generalizado de Green en la región encerrada por las curvas 1 (ver Figura 1), obteniendo, conforme al orolario 5.5, ( Q F dσ dx d. 1 Luis J. Navarro amón Navarro
El Teorema de Green 4 1 r x e P x +, Q Parametrizando 1 con lo cual 1 Figura 1: Teorema de Green en regiones de tipo anillo. π x Q se obtiene que x + x P, luego x r cos t 1 F dσ. r sen t, t π, resulta x (t) r sen t, (t) r cos t, con ( r sen t)( r sen t) + (r cos t)(r cos t) r 1 π Nótese que el valor de la integral no depende de la curva. dt π. dt así Ejemplo 5.1. Sean F(x, ) (3x sen x, sen( ) + cos(1 + ) + x 3 ) la curva (orientada en sentido anti-horario) definida por (x, ) : (x ) + 1, } (x, ) : x + 9, } (x, ) : 3 x }. Usando el teorema de Green, calcular F dσ. Solución. F es 1, para aplicar el teorema de Green cerramos la curva con el segmento (x, ) : x 1}, orientado de izquierda a derecha (ver Figura ). Así es la frontera de una región a la cual se le puede aplicar el teorema de Green, obteniendo F dσ + (Q x P ) da. Luis J. Navarro amón Navarro
El Teorema de Green 5 σ 4 x Figura : errando la curva para aplicar Green. Al calcular Q x 6x P 6x, notamos que Q x P, por lo cual (Q x P ) da. Parametrizando, 1 x t, t 1, sen t dt cos(1) 1. Sustituendo, obtenemos dx dt d. Así, 1 cos(1). Luis J. Navarro amón Navarro