Departamento de Matemática Aplicada a la I.T.T. ASIGNATURA: ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS EXAMEN FINAL Otoño 3 Duración: 3 horas FECHA: 9 de Enero de 4 Fecha publicación notas: 6--4 Fecha revisión examen: --4 APELLIDOS Y NOMBRE: DNI: TITULACIÓN: Ejercicio punto En la fabricación de cierto artículo se presenta un primer tipo de defecto con una probabilidad. y un segundo tipo de defecto con probabilidad.5. Se supone independencia entre los dos tipos de defecto. a Calcula la probabilidad de que un artículo sea defectuoso. Sea D el suceso: Un artículo tiene defectos del primer tipo. Sea D el suceso: Un artículo tiene defectos del segundo tipo. Sea D el suceso: Un artículo es defectuoso. P D., P D.5 P D P D D P D + P D P D D. +.5.5.45 b Suponiendo que un artículo es defectuoso, calcula la probabilidad de que tenga sólo un tipo de defecto. P D D D D /D P D D D D D P D P D D D D D D.45 P D D D D.45 P D D + P D D.45 P D P D D + P D P D D.45..5 +.5.45.965 Ejercicio.5 puntos Dos personas A y B lanzan alternativamente un par de dados. A lanza primero los dados, ganando A el juego si obtiene una suma igual a 6; en caso contrario, el juego continúa lanzando B los dados, ganando B el juego si obtiene una suma igual a 7; en caso contrario, el juego continúa lanzando de nuevo A y así sucesivamente hasta que gane uno del dos jugadores. a Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga una suma igual a 6. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga una suma igual a 7. p P suma igual a 6 5 V R 6, 5 ; p P suma igual a 7 6 V R 6, 6
b Calcula la probabilidad de que el número de veces que hay que lanzar los dos dados para que gane A el juego sea 3. Sea X número de lanzamientos de los dos dados hasta que gane A. P X 3 p p p 5 6 5.99 c Calcula la probabilidad de que el número de veces que hay que lanzar los dos dados para que gane B el juego sea 4. Sea X número de lanzamientos de los dos dados hasta que gane B. P X 4 p p p p 5 6 5 6. Ejercicio 3 punto Sea X la variable aleatoria con función de densidad x 9 si 9 < x < fx x si < x < en el resto Calcula P X >.5 P X >.5 P X >.5 + P X <.5 P X >.5.5 4 Ejercicio 4 punto Sean X i i,..., variables aleatorias independientes, cada una de ellas con distribución Poisson de parámetro. Utiliza el Teorema Central del Límite para calcular aproximadamente P 9 < X i <. X i P ois, EX i V arx i E X i EX i Por tanto, V ar X i V arx i aprox X i Nµ, σ
Ejercicio 5.5 puntos 9 P 9 < X i < P < Z < F Z / F Z / F Z /.5 Sea X una población tal que X Nµ 3, σ 6. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 9. Nota: Sea X una variable aleatoria con distribución Chi cuadrado con 8 grados de libertad. La siguiente tabla muestra los valores de su función de distribución en diferentes abscisas a Calcula P 8.7 < X < 5.76 x.64.73 6.87 3. P X x..5.45.9 Si X Nµ, σ se verifica que X N µ, σ/ n Por tanto X sigue una distribución normal de media 3 y desviación típica. 8.7 3 P 8.7 < X < 5.76 P < Z < b Calcula P S > 6. 5.76 3 P.4 < Z <.38 F Z.38 [ F Z.4].96 +.983.899 n S σ χ n P S > 6. P 8S χ 8 8S > 6. 8 P χ 8 > 3..
c Determina k de manera que P S > k.95.95 P S > k P P 8S > k 8 P χ 8 > 8k χ 8 8k.5 8k.73 k.8 Ejercicio 6 punto Sea X, Y una variable aleatoria con función de densidad conjunta x fx, y y e y e y si x >, y > en el resto Calcula a f Y y f Y y fx, y dx x y e y e y dx e y e x y e y, y > es decir, Y Exp b P Y > X P Y > X y x y e y e y dx dy e y e + dy e e e y x y y dy
Ejercicio 7.5 puntos Sean At y Bt dos procesos estocásticos independientes, estacionarios en sentido amplio con media y la misma función de autocorrelación que denotamos por Rτ Consideremos los procesos Xt At sen t, Y t Bt cos t a Calcula E[Xt] Sabemos que E[At] E[Xt E[At sen t] sen te[at] b Calcula, en función de Rτ, las funciones de autocorrelación de Xt y de Y t, R X t, t+τ y R Y t, t + τ Sabemos que R A t, t + τ R B t, t + τ Rτ y que At y Bt son independientes. R X t, t + τ E[Xt Xt + τ E[At sen t At + τ sent + τ] sen t sent + τe[at At + τ] sen t sent + τr A t, t + τ sen t sent + τrt, t + τ R Y t, t + τ E[Y t Y t + τ E[Bt cos t Bt + τ cost + τ] cos t cost + τe[bt Bt + τ] cos t cost + τr B t, t + τ cos t cost + τ Rt, t + τ c Son los procesos Xt e Y t estacionarios en sentido amplio? Xt e Y t no son estacionarios en sentido amplio, ya que R X y R Y son funciones de t y t + τ y no sólo de τ d Sea ahora el proceso Zt Xt + Y t Calcula, en función de Rτ, la función de autocorrelación de Zt, R Z t, t + τ Es el proceso Zt estacionario en sentido amplio? E[Zt] E[Xt + Y t] E[Xt] + E[Y t] R Z t, t + τ E[Xt + Y t Xt + τ + Y t + τ] E[Xt Xt + τ] + E[Xt Y t + τ] + E[Y t Xt + τ] + E[Y t Y t + τ] sen t sent + τ + cos t cost + τ Rτ cos τ Rτ Por tanto, Zt es estacionario en sentido amplio
Ejercicio 8.5 puntos Sea Xt un proceso aleatorio gaussiano con media y función de autocorrelación R X t, t + τ 4e τ. a Calcula la distribución de X V ar[xt] R X 4 X Nµ, σ. b Calcula la distribución conjunta de X y X7 X E[X] N, X7 E[X7] V ar[x] C X, 7 C X, 7 V ar[x7] X X7 N, 4 4e 4e 4 c Son independientes X y X8? CovX, X8 C X, 8 R X 6 4e Por tanto X y X8 no son independientes. d Calcula P X7 + 4X9 > 5 X7 N, X9 4 4e 4 4e 4 4 Entonces X7 + 4X9 N µ, σ 4 4e 4 4 4e 4 4 4 Esto es X7 + 4X9 N µ, σ 3e 4 + 68 5 P X7 + 4X9 > 5 P Z > 3e F 4 +68 Z.8.355 e Calcula el coeficiente de autocorrelación entre las variables aleatorias X7 y X9. Hay relación lineal apreciable entre ellas? Justifica la respuesta. ρx7, X9 C X V ar[x7]v ar[x9] 4e 4 4 e 4.83 No hay relación lineal apreciable entre ellas ya que el coeficiente de autocorrelación está muy próximo a.