Matemáticas Universitarias
1 Sesión No. 7 Nombre: Operaciones básicas con matrices, producto e inversa. Objetivo de la asignatura: En esta sesión el estudiante aplicará las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación e inversa de una matriz para la solución sistemas de ecuaciones lineales en problemas prácticos. Contextualización En esta sesión se introducirá el concepto de matriz y se considerará los tipos especiales de matrices. A través de esta operación matricial el alumno aprenderá que una de las principales aplicaciones de las matrices es resolver sistemas de ecuaciones de 3 variables o incógnitas. Realizarás operaciones tales como suma, resta, producto de matrices y calcularás la matriz inversa.
2 Introducción al Tema Buscando formas para describir situaciones en matemáticas y economía, llegamos al estudio de arreglos rectangulares de números. Por ejemplo, considera el sistema de ecuaciones lineales. 3x + 4y + 3z = 0 2x + y z = 0 9x 6y + 2z = 0 Lo que caracteriza a este sistema son los coeficientes numéricos en las ecuaciones, junto con sus posiciones relativas. Por esta razón, el sistema puede ser descrito por el arreglo rectangular 3 4 3 2 1 1 9 6 2 Que es llamado matriz. Consideraremos a tales arreglos rectangulares como objetos por sí mismos y, se acostumbra encerrarlos entre corchetes.
3 Explicación Un arreglo rectangular de números que consiste en m renglones y n columnas. a 11 a 21 a m1 a 12 a 1n a 22 a 2n a m2 a mn Es llamado matriz de m x n o matriz de orden m x n. para la entrada a ij, llamamos a i el subíndice del renglón y a j el subíndice de la columna. Suma de matrices Si A y B son matrices de m x n, entonces la suma de A + B es la matriz m x n obtenida sumando las correspondientes entradas de a Y b; esto es, Por ejemplo, sean A + B = a ij + b ij A = 3 0 2 3 6 y B = 5 ; sumar 2 1 4 1 2 5 Como A y B son del mismo tamaño (2X3), su suma está definida: A + B = 3 + 5 0 + ( 3) 2 + 6 3 4 = 8 2 + 1 1 + 2 4 + ( 5) 3 1 1 Nota: Las matrices a sumar deben de tener el mismo orden.
4 http://4.bp.blogspot.com/- pgcz5anqcdo/ukrizv8geci/aaaaaaaaala/j6vzzzat9zy/s1600/propiedades.png Ejemplos de suma y resta de matrices: Vitutor. (s.f). Suma de matrices. Recuperado de: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/operaciones.html
5 Multiplicación de matrices. Además de las operaciones de suma de matrices y multiplicación por un escalar, bajo ciertas circunstancias puede definirse el producto AB de las matrices A y B esta circunstancia es que el número de columnas de A sea igual al número de renglones de B. Tres puntos clave de la definición son: 1. Sea A de orden m x n y B sea de n x p, es equivalente a decir que el número de columnas de A debe de ser igual al número de renglones de B. 2. El producto será una matriz de orden m x p, tendrá tantos renglones como A y tantas columnas como B. 3. La definición se refiere al producto de AB en ese orden; A es el factor izquierdo y B el factor derecho. Para AB decimos que B esta pre multiplicado por A, o bien, que A esta pos multiplicado por B. Ejemplo: La matriz izquierda tiene tamaño de 2 x 3 y la derecha de 3 x 2, por lo tanto la matriz resultante tendrá un tamaño de 2 x 2. http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtucfdq/sfcd1lixtfi/aaaaaaa AFpo/_8e76CfDYKw/s400/multiplicacion_de_matrices.png
6 Inversa de una matriz Cálculo de la matriz inversa por determinantes Ditutor. (s.f.). Matriz inversa. Recuperado de: http://www.ditutor.com/matrices/matriz_inversa.html
7 Conclusión Recordemos que una matriz es un arreglo rectangular de números encerrado entre corchetes. Además de la operación básica de multiplicación por un escalar, están definidas las operaciones básicas de suma y resta que se aplican a matrices del mismo orden. En la siguiente sesión aprenderemos el concepto de función, función lineal y su gráfica. http://www.colegioglenndoman.edu.co/aula%20virtual/lineale s%208.gif
8 Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Matrices invertibles y elementos de álgebra matricial. (2011). En Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM. Consultado el 25 de abril de 2013: http://brd.unid.edu.mx/matrices-invertibles-y-elementos-dealgebramatricial/ Multiplicación de matrices. (s/f). Consultado el 25 de abril de 2013: http://brd.unid.edu.mx/multiplicacion-de-matrices/ Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.
9 Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de las operaciones básicas con matrices, aplicarás dichos conceptos en la solución de los siguientes problemas. I.- En los siguientes problemas, calcula las matrices requeridas si: A = 2 1 5 B = 6 3 3 2 3 a) A + B b) 2(A-2B) c) (A B) II.- En los siguientes problemas, calcula las matrices requeridas si: A = 1 2 3 0 0 2 B = 2 C = 1 0 3 1 4 1 1 3 4 a) AB b) AC Sube tu trabajo a la plataforma.
10 Bibliografía Haussler, E. (1997). Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A. Cibergrafía Ditutor. (s.f.). Matriz inversa. Consultado el 25 de abril de 2013: http://www.ditutor.com/matrices/matriz_inversa.html