Física TEMA 3 º de Bachillerao Movimieno Ondulaorio.- La velocidad del sonido en el agua es de 5 m/s. Calcular el módulo de compresibilidad del agua. Solución: 9 N/m.- Hallar la velocidad de propagación de las ondas sonoras en el Cobre sabiendo que su módulo de Young es de N/m y su densidad de 8 8 g/cm 3. Solución: 3535 5 m/s 3.- La ecuación que represena un movimieno ondulaorio ransversal y armónico es y(,)5 3 sen ( 68-9).Calcular a) la frecuencia, longiud de onda y velocidad de propagación b) La fase y la elongación de un puno siuado a m. del foco para seg. Solución Hz 3 m 3 m/s 9 53 m.- Una onda, cuya frecuencia es de 5 ciclos/seg, iene una velocidad de fase de 35 m/s. Qué diferencia de fase eise en un puno del medio enre un ciero insane y una milésima de segundo después? Qué disancia eise enre dos punos que en un ciero insane ienen una diferencia de fase de 6º? Solución: m. 5.- Una onda Plana Armónica Longiudinal de 78 6 Hz y 6 mm de Ampliud se propaga con una velocidad de 56 m/s. a) Escribir el desplazamieno de un puno en función de la posición y el iempo, cuando se oma el origen de fases, en el origen de coordenadas y para. b) Deerminar el desplazamieno y la velocidad de un puno del medio siuado a m. del origen y seg. c) Cuál es la longiud de la onda? Solución: a) ψ(, ) 6 sen ( - ) b) ψ (,) - 8 m V (,) 7 m/s c) λ 3 m 6.- Una Onda Armónica se propaga con una velocidad de 3 m/s, su ampliud es de 5 cm y su frecuencia de Hz. Un puno que disa cm del origen iene una elongación nula en el iempo s. Enconrar la ecuación de la onda. Solución: y (, ) 5 sen ( - 9 9) 7.- Escribir la ecuación de una Onda Armónica Mono-dimensional que avanza en senido negaivo según el eje X, con una velocidad de m/s, una ampliud de mm, una frecuencia de 5 Hz y cuyo foco inicialmene enía una elongación igual a la ampliud. Cuál será la velocidad de una parícula del medio siuada a m del origen, en el insane seg? Y para 3 seg? Solución: y (, ) cos ( 5) V
8.- En una cuerda horizonal larga se produce una Onda Armónica Transversal cuyo foco comienza a vibrar en el origen (elongación ) y su movimieno es coninuo, repiiéndose veces por segundo. La cuerda iene una masa de 5 g/m y la ensión a que esá someida es de N. Sabiendo que la ampliud del movimieno es de 5 cm. Calcular: a) La velocidad de propagación b) La frecuencia y longiud de la onda c) La ecuación del movimieno d) La velocidad y aceleración de una parícula siuada a 3 6 m del foco para seg Solución: 6 3 m/s Hz 3 6 m 6 8 m/s m/s 9.- Una onda iene la ecuación y cos (/ /6). Deerminar: a) El ipo de onda b) Su velocidad de propagación c) La diferencia de fase para dos posiciones de la misma parícula cuando el inervalo de iempo ranscurrido es de seg d) La diferencia de fase, en un insane dado, de dos parículas sepaas cm en la dirección de avance de la onda. Solución : Onda Armónica Transversal que se desplaza de derecha a izquierda y con el foco inicialmene con ampliud máima m/s 5..- Una onda de cm de ampliud se propaga de izquierda a derecha y su periodo es de seg. Supuesa de ipo sinusoidal, hállese la elongación en el origen para seg conando a parir de la iniciación del movimieno desde la posición de equilibrio. En ese mismo insane la elongación es nula en un puno siuado a cm del origen y hacia su derecha. Hállese la longiud de la onda. Solución: 5 cm 8 m.- Se produce una eplosión en el aire que libera una energía de 5 J en una cenésima de segundo. Suponiendo que oda la energía se emplea en generar una onda sonora cuya longiud es de 5 cm y que se propaga a 33 m/s, calcular, prescindiendo de la absorción. a) La frecuencia de la Onda. b) Su inensidad a 5 m de la eplosión. c) La inensidad a m de la eplosión d) Su nivel de inensidad en decibelios en ambos casos. Solución: 66 Hz 5 9 W/m 3 98 W/m 3 db 6dB.- Un alavoz de un equipo musical HIFI suena con una poencia de W. Averiguar la disancia mínima a la que podrá siuarse una persona para no superar el umbral del dolor ( db).averiguar ambién la disancia máima a la que se podrá siuar esa persona para poder oír la música si no eisiese absorción (umbral de audición -3dB). Solución: 6 m <78 Km 3.- Una onda plana penera en un medio cuyo coeficiene de absorción es de 7 m -. Calcular el espesor que debe ener dicho medio para que la inensidad de la onda se halla reducido a la miad cuando salga de él. Solución: 57 m
.- Para aislar auomáicamene un edificio se pone en la pared eerior un maerial cuyo coeficiene de absorción es de 56 m -, con un espesor de cm. Calcular en qué ano por cieno reduce esa capa aislane la inensidad sonora de los ruidos de la calle. Solución: 79 9 % 5.- Un acorazado se aleja de la cosa en la que hay un acanilado y a 68 m de ella se dispara un cañonazo. El eco producido por la refleión del sonido es percibido a los seg del disparo. Calcular la velocidad del acorazado suponiendo que la del sonido es de 3 m/s Solución: 3 Km/h 6.- Una cuerda de guiarra iene una longiud de 8 cm y una densidad lineal de g/m. Después de afinarla su primer armónico es un Do de 8 Hz. Averiguar la ensión que sopora Solución: 867 N 7.- Una persona siuada al lado de la vía del ren lo escucha acercarse por su silbao, que lo oye a una frecuencia de 36 Hz. Cuando el ren le sobrepasa y se aleja, el silbao lo escucha con una frecuencia de 3 Hz. Calcular la velocidad del ren, considerando la velocidad del sonido de 3 m/s Solución: 8 Km/h 8.- Un murciélago en vuelo emie un chillido con una frecuencia de 35 Hz y a los 9 cs deeca el eco con una frecuencia de 396 Hz. Averiguar la disancia del obsáculo y la velocidad del murciélago Solución: 5 m 7 Km/h
PROBLEMA El sonido es una onda longiudinal y su propagación se produce con una velocidad que en el agua, como en cualquier oro líquido, viene dada por Q v Como v 5 m / s y Q 9 5 Q ' Pa 3 3 g / cm Kg / m PROBLEMA En ese caso, por raarse de un sólido, la velocidad de sonido se calcula con la fórmula E v siendo E ' N / m y ' Con lo cual v 3535 '5 m / s 88 3 3 8'8 g / cm 88 Kg / m PROBLEMA 3 La ecuación de ondas es y(, ) 5'3sen ( '68 ' 9 ) De donde se pueden deducir fácilmene las siguienes magniudes ondulaorias Ampliud A 5'3 m Pulsación ω '68 /s Nºde ondas K '9 /m a) Cálculo de la frecuencia ω '68 ω N N ' Hz b) Cálculo la longiud de onda K λ 3 m λ K '9 c) Cálculo de la velocidad de propagación λ v λ N 3 ' '3 m T d) Cálculo de la fase para s y m ω K '68 '9 ' e) Elongación Susiuimos los valores de y en la ecuación de onda y, 5'3sen '68 '9 5'3sen ' '53 m ( ) ( )
PROBLEMA Sabemos que la pulsación o frecuencia angular ω y el número de ondas K son ω T λ T K ω N ω v T K K K λ ω λ K Despejando el valor de K obenemos que N 5 K 8 '976 / m v 35 La frecuencia angular es ω N 5 3'6 / s Con esos daos calculamos la fase susiuyendo en ω K 3'6 8'976 3'6 8' 976 a) Diferencia de fase en un puno y dos insanes diferenes Vamos a obener la diferencia de fase enre un ciero insane y -3 s después 3'6 8'976 3 3'6 8'976 ( ) 3 3 [ 3'6 ( ) 8'976 ] ( 3'6 8'976 ) 3'6 3 ' 6 b) Diferencia de fase enre dos punos en un ciero insane A 3'6 8'976 A B 3'6 8'976 B A B 3 '6 8'976 B 3'6 8'976 A 8'976 A B 8' 976 ( ) ( ) ( ) d Como 6 º '7 '7 8'976 d d m PROBLEMA 5 Según los daos que figuran en el enunciado del problema podemos deducir las siguienes magniudes de la onda ω N 78'6 / s ω K / m v 56 A 6 mm '6 m a) Ecuación de la onda Con odos esos valores la ecuación de la onda será Ψ (, ).6 sen( ) Donde hemos designado con la lera griega Ψ a la magniud que se propaga en la dirección del eje X b) Desplazamieno para m y s Suponemos que la magniud Ψ es en realidad un desplazamieno de las parículas a lo largo del eje X a parir de su posición de equilibrio Ψ, '6 sen '6 sen8 '8 m ( ) ( )
La velocidad de las parículas se calcula derivando la ecuación de desplazamieno dψ v '6 cos( ) d v, '6 cos 6'7cos8 '73 m / s ( ) ( ) c) Longiud de la onda λ 3 ' 6 K m PROBLEMA 6 Del enunciado del problema se deducen los siguienes valores de las magniudes ondulaorias A 5 cm '5 m ω N '57 / s ω '57 K ' 7 v 3 Susiuyéndolos en la ecuación general de las ondas armónicas obenemos que y '5 sen ' 9 ( ) Hay que deerminar el valor de la fase inicial para lo cual sabemos que (, ' ) además y (, ' ) '5 sen( ' 9 ' ) '5 sen ( ' 9 ' ) '5 sen ( 8 '9 ) '9 n ( siendo n,,,3,,5,k ) 8 y, y como De las infinias soluciones elegiremos la primera que enga senido físico, es decir, que sea posiiva menor que ianes Si n n n n 3 n n 5 n 6 n 7 n 8 8 '9 8 '9 8 '9 8 '9 3 8 '9 8 '9 5 8 '9 6 8 '9 7 8 '9 8 '7 5'57 8'3 5'89 ' 7 9'6 5'86 '73 '9 Ésa úlima (n 8) es la solución buscada, con lo que la ecuación de onda es (, ) '5 sen( ' 9 '9) y
PROBLEMA 7 Al igual que en los problemas aneriores, a parir de los daos deducimos en primer lugar las magniudes ondulaorias A mm ' m ω N 5 3'6 / s ω K 5 57'8 / m v La ecuación de la onda la obenemos susiuyendo esos valores en la ecuación general, eniendo en cuena que se propaga de derecha a izquierda y, ' sen 5 ( ) ( ) a) Deducción de la ecuación de la onda Para escribirla nos hace fala deducir en úlimo lugar el valor de la fase inicial, y eso lo podemos hacer por la condición inicial del foco y y (,) A ' (,) ' sen( 5 ) ' ' sen ( ) La ecuación resulane es sen, cuya solución es n ( siendo n,,,3,k ) Tomamos la primera solución posiiva comprendida enre y ianes, que se obiene cuando n y con eso y finalmene La ecuación resulane para esa onda es y, ' sen 5 ( ) o bien y(, ) ' cos( 5 ) b) Cálculo de la velocidad para y dy v ' sen( 5 ) d v,3 ' sen 3 5 sen ( ) ( ) ( ) La velocidad en esa posición y en ese insane es por ano v c) Cálculo de la velocidad para y En ese caso ambién v ya que durane ese iempo la onda ha avanzado una disancia e v p ' ' m. Como el puno consideo esá una disancia mayor ( m), la onda odavía no ha llegado a él y por ano esá odavía en reposo
PROBLEMA 8 Las magniudes ondulaorias de ese movimieno son las siguienes A 5 cm '5 m Densidad lineal σ 5 g / m '5 Kg / m Tensión FT N a) Velocidad de la onda v p F σ '5 6 '3 m / s b) Frecuencia, longiud de onda y periodo N ciclos / s Hz T '5 s N λ v pt 6'3 '5 3' 6 m c) Ecuación del movimieno y (, ) Asen '5 sen T λ '5 3' 6 También se puede escribir la ecuación en función de ω y K y, '5 sen ' 988 ( ) ( ) d) Velocidad y aceleración para 3 6 m y s dy v '5 cos cos d '5 '5 3' 6 '5 3' 6 3' 6 v( 3' 6, ) cos cos6 6 '8 m / s '5 3' 6 dv a sen 8 sen d '5 '5 3' 6 '5 3' 6 a (, 3' 6) 8 sen 8 sen6 '5 3' 6
PROBLEMA 9 La ecuación de la onda es ( ) 6 cos, y (en cm y s) a) Tipo de onda Armónica Debido a que coniene la función cos, que es periódica y por ano armónica Transversal La onda se propaga en el eje X ya que depende de la variable, y la magniud perurbada es la disancia y (en el eje Y) a la posición de equilibrio Unidimensional La función de onda solo depende de (una sola coordenada espacial) Propagación De derecha a izquierda pues los dos érminos de la fase ienen signo posiivo Foco Comienza a vibrar desde su posición superior. Eso es porque para y, el cos y la elongación coincide con la ampliud b) Velocidad de propagación De la ecuación de la onda se deduce 6 6 T v m s T p λ λ s cm / c) Diferencia de fase para una parícula y un s En la fórmula de la fase la es la misma pues se raa de la misma parícula en dos insanes diferenes 6 6 6 6 ( ) d) Diferencia de fase para dos parículas en un ciero insane En ese caso la variable es la misma en las dos parículas 6 6 B B A A 6 6 6 6 A B A B A B ( ) 6 6 6 A B '5
PROBLEMA Los daos conocidos de la onda son A cm ' m T s N T ω N 6 Hz y, ' sen K 6 Como se indica en el enunciado del problema que el inicio del movimieno se produce en la posición de y,, y por ano La ecuación de la onda será ( ) equilibrio, enonces ( ) y (,) ' sen K sen n ( n,,,3k ) 6 Tomamos la solución posiiva comprendida enre y, que corresponde a un valor de n La ecuación de la onda es finalmene y (, ) ' sen K 6 a) Cálculo de la longiud de onda (, ') (, ') y Sabemos que ' y ' sen K ' 6 sen 'K 'K n ( n,,,3k ) 6 6 Tomamos la primera solución para n 'K K 6 6 ' ' sen 'K 6 Y finalmene la longiud de onda λ K ' b) Elongación en el origen La ecuación de la onda es y (, ) ' sen 6 ' Susiuyendo las condiciones m y s y (,) ' sen ' sen '5 m 6 ' 6 '8 m
PROBLEMA a) Frecuencia de la onda sonora v 33 Como λ N v N 66 Hz λ '5 b) Inensidad a 5 m de la eplosión Suponiendo que se rae de una onda esférica, la superficie S será una esfera donde E E 5 I 5'9 W / m S r ' 5 ( ) c) Inensidad de la onda a m S r Foco R R Para dos superficies de onda esféricas de ios R y R, la relación enre sus inensidades es I R I R 5'9 I 5 I 3'98 W m / d) Nivel de inensidad I El nivel de inensidad sonoro viene dado por d log ( siendo I W / m ) d d 5'9 log 3 db 3'98 log 6 db I
PROBLEMA a) Disancia mínima P P La inensidad es I S r r Como el umbral del dolor se produce con un nivel sonoro de db r log De donde se obiene que r ' 6 m A una disancia del alavoz menor de 6 m el sonido nos produciría una sensación dolorosa b) Disancia máima de audición Si el umbral de audición se produce con un nivel sonoro de -3 db r 6 3 log Con lo que r '78 m 78 Km Hay que comenar que la disancia máima de audición por aenuación es enorme. En la prácica el sonido se deja de escuchar a una disancia del foco mucho menor, debido al fenómeno de absorción PROBLEMA 3 Como se raa de una onda plana, no iene aenuación y por ano solamene hay que considerar el fenómeno de absorción. Como I f '5I '7 ' I I e I e 7 '7 '5 '5 y despejando el valor de I f Ie ' 57 m PROBLEMA Suponiendo ondas planas sin aenuación, como en el problema anerior la disminución de la inensidad se deberá eclusivamene a la absorción de la onda en la pared. I f α I f α La reducción es R( %) y como además I f I e e I I I f '56 ' I e f ' 799 I I Y por ano la reducción en anos por cieno (%) será I f R % '799 79 '9 % ( ) I
PROBLEMA 5 El sonido del cañonazo se refleja en el acanilado y regresa al barco, produciéndose el fenómeno del eco. El barco durane ese iempo recorre una ciera disancia alejándose de la cosa Sonido BOOM d Disancia recorrida por el barco v Disancia recorrida por el sonido d vs Donde v b es la velocidad del barco y v s la velocidad del sonido. Susiuyendo los daos conocidos vb ' Sisema de ecuaciones cuya solución nos da y v b 68 3 ' b 3 m v b 8 '9 m / s 9'9 Km / h PROBLEMA 6 En una cuerda vibrane, sujea por sus eremos, la relación enre la longiud de onda λ y la longiud de la cuerda es λ L (Donde n,,3,k ) n El primer armónico se produce para n, y por ano λ L L ' 8 m Tenemos ambién que el sonido que se producirá por la vibración de dicha cuerda iene una frecuencia relacionada con la velocidad de la onda en la cuerda y esa velocidad esá a su vez relacionada con la ensión de la cuerda v λ N FT F λ N F N T T σλ v σ σ Y como σ g / m ' Kg / m FT ' '8 8 867 N
PROBLEMA 7 Al esar siuado el foco sonoro en el ren en movimieno se producirá el efeco Dopler, donde la relación enre la frecuencia emiida por el foco N y la medida por el observador N es vm v N' N v ± v F Cuando el ren se acerca v F O 3 36 N 3 v F () Cuando el ren se aleja O v F 3 3 N 3 v F () Dividiendo una por la ora las ecuaciones y 3 N 36 3 vf 3 3 N 3 v F 36 3 v 3 3 v De donde se obiene la velocidad del ren v F 9'9 m / s 7 '8 Km / h F F
PROBLEMA 8 El foco del sonido de ulra-frecuencia es el murciélago, que esá en movimieno. El observador de la onda reflejada ambién es el propio murciélago, por lo ano el foco y el observador esán en movimieno y además con la misma velocidad (v O v F v M ) a) Cálculo de la velocidad del murciélago Por el efeco DOPLER la frecuencia es 3 v 396 35 3 v Y despejando se obiene que b) Disancia al obsáculo O F v v N' Susiuyendo los valores N v v F 3 v 396 35 3 v v M m / s 7 Km / h M M v M a b Mienras la onda va al obsáculo y regresa el murciélago ha recorrido una disancia a Disancia recorrida por el sonido Disancia recorrida por el murciélago a b v a v M S Susiuimos el valor de a de la segunda igualdad en la primera vm b vs '9 b 3 '9 De ahí obenemos que b 5 m