Una aplicación Bayesiana a la Modelización de Mercados

Una aplicación Bayesiana a la Modelización de Mercados Maser Oficial en Ingeniería Maemáica Problema planeado por BAYES INFERENCE, S. A.

Exposición del problema (I) Se considera un mercado de compeencia oligopolisa Se consideran producos susiuivos perfecos (mismo valor de la función de uilidad) Se esudia un sólo produco por marca Los consumidores ienen una función de uilidad cardinal de forma que asignan uilidad a cada marca alernaiva Cada consumidor en el periodo puede consumir una unidad de la marca A o de la marca B o alguna de las englobadas denro de la caegoría C de marcas minoriarias

Mercado Desarrollaremos la forma funcional de las demandas para odas las marcas que operan sobre el mercado. A = Primera marca (Primer incumbene) B = Segunda marca (Dispua la incumbencia) C j = Marcas minoriarias [1...] A B C1 C2 C3 Reparo del mercado en función de las demandas sobre las venas oales de la marca esudiada C

Ciclo de mercado OBSERVACIÓN DE LA DEMANDA: -Propia -Ajena MERCADO u ACTUACIÓN DE LA MARCA: - Precio - Publicidad LANZAMIENTO DE LA OFERTA: -p -q

Diccionario de variables y = Demanda del produco de una marca p = Precio insanáneo de una marca P = Precio insanáneo de una marca como variable aleaoria q = Inversión insanánea en publicidad Q = Inversión insanánea en publicidad como variable aleaoria α = Influencia del precio en la demanda β= Influencia de la publicidad en la demanda e = Error en la demanda = Insane de iempo = Número de marcas minoriarias i = Índice de las demandas j = Índice de las marcas minoriarias

Modelo Se puede suponer que en el modelo, el oal del mercado se puede dividir en porcenajes que dependen de las demandas y i. Asumimos que la demanda de una marca y i, es función lineal de los precios p y de las inversiones en publicidad q, para cada una de las marcas. y p q X X X Demanda de la marca "X" en el insane "" Precio de la marca "X" en el insane "" Inversión en publicidad de la marca "X" en el insane "" u p q función de uilidad cuando el precio de la X X X X marca X es px y la inversión en publicidad es qx en el insane "" X= A,B,C,C,...,C 1 2

Modelo Cada marca conoce sus daos e ignora los del reso de marcas Por ejemplo, para la marca A: 1 1 Marca A : y y p q P Q P Q... P Q e A A A A A A B B B B C C C C C C C C A 1 1 1 1 A B C1 C2 C3 C

Modelo Recorrido emporal: [ 1 f ] Cada marca conoce sus daos e ignora los del reso de marcas que se inroducen en el modelo como variables aleaorias (P,Q) 1 1 1 Marca A: y y p q P Q P Q... P Q e A A A A A A B B B B C C C C C C C C A 1 1 1 1 1 1 Marca B : y y P Q p q P Q... P Q e 1 1 1 1 1 1 1 B B A A A A B B B B C C C C C C C C B Marca C : y y P Q P Q p q... P Q e... C C A A A A 1 1 1 1 1 1 1 Marca C : y y P Q P Q P Q... p q e B B B B C C C C C C C C C 1 1 1 1 C C A A A A B B B B C C C C C C C C C 1

Esimación del modelo Se raa de esimar odas las variables aleaorias (indicadas en mayúsculas) con el méodo que se elija en su caso. Para simplificar, susiuiremos cada valor de la variable aleaoria por su media. Supondremos que las disribuciones de P y Q son conocidas. Además debemos deerminar los parámeros (α,β), para lo cual se aconseja emplear regresión lineal a parir de series hisóricas.

Evolución del mercado Inicializaremos el modelo con daos obenidos de una fuene expera que conocería idealmene el esado exaco de odas las variables y parámeros. 1 A B C1 C2 C3 C Con el paso del iempo esos valores se susiuirán por los calculados a parir de las observaciones a fin de ajusar el modelo f A B C1 C2 C3 C

Solución Permie obener la forma funcional de las demandas de las diferenes marcas que componen el mercado Con el modelo se pueden deerminar cómo dependen funcionalmene las relaciones de las demandas a parir de los precios e inversiones publiciarias de las marcas Marca A: y y ˆ p ˆ q ˆ Pˆ ˆ Qˆ ˆ Pˆ ˆ Qˆ... ˆ Pˆ ˆ Qˆ eˆ 1 1 A A A A A A B B B B C C C C C C C C A 1 1 1 1 Marca B : y y ˆ Pˆ ˆ Qˆ ˆ p ˆ q ˆ Pˆ ˆ Qˆ... ˆ Pˆ ˆ Qˆ eˆ 1 1 B B A A A 1 1 1 1 A B B B B C C C C C C C C B Marca C : y y ˆ Pˆ ˆ Qˆ ˆ Pˆ ˆ Qˆ ˆ p ˆ q... ˆ Pˆ ˆ Qˆ eˆ... 1 1 1 C C A A A A B B B B C C C C C C C C C 1 1 1 1 1 1 1 Marca y y ˆ Pˆ ˆ Qˆ ˆ ˆ ˆ Qˆ ˆ ˆ ˆ Qˆ p ˆ q eˆ 1 C :... ˆ C C A A A A BPB B B C P 1 C 1 C1 C1 C C C C 1 C A parir de ese momeno se supone que odos los elemenos que aparecen en el sisema esán perfecamene deerminados

Simulación Se escoge un produco (A) Se fijan precios, inversiones publiciarias e insane emporal (p,q,) Simulamos precios e inversiones de la compeencia, obeniéndose los valores de demanda y A correspondienes al sisema de ecuaciones de nuesro modelo Se oma un percenil adecuado (p.ej 10%) de la disribución de y A arrojada por la simulación, que asegure una probabilidad ala de conseguir ese valor de demanda como mínimo Se ieran (3) y (4) en un mallado bidimensional (p, q) Se escoge el máximo absoluo que denoaremos:,* A 20 y 0 60 40 p1 p2 p3 p4 p5 p6 q1 q5 40-60 q4 20-40 0-20 q3 q2

Simulación Ieraremos el proceso para un número deerminado de insanes de iempo y para cada marca, con lo que se irán obeniendo los valores ópimos de demanda que saisfagan las resricciones esipuladas: y,* marca ( X ) y, y, y,..., y,*,*,*,* A B C C De los ópimos exraemos los valores de p y q que les corresponden y que son las soluciones buscadas. 1 40 30 20 10 0 30-40 20-30 10-20 0-10 Soluciones p q,*,* : ( X, X )

Validación del modelo Consise en esudiar la diferencia enre nuesra solución y la previsa al inicio por el expero Se pueden emplear mixuras de ambas disribuciones: la arrojada por el modelo y la descria por el expero

Alernaivas y ampliaciones Alerar las funciones de uilidad cambiando la forma funcional del modelo Modificar la esrucura de las ecuaciones de nuesro modelo (logarímico, muliplicaivo, ec) Modificar el méodo de esimación de los parámeros, uilizando por ejemplo la aproximación bayesiana Incorporar la inerdependencia de las marcas Miguel Ángel Gómez Villegas Alejandro Ferrer Pérez Inés Cubillo Dapena Alfonso de la Fuene Ruiz