Obtención de la tasa social de descuento a partir de la tasa de fallo de una distribución estadística: Aplicación empírica 1

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1 E STUDIOS DE ECONOMÍA APLICADA V OL. 5-, 007. P ÁGS Obención de la asa social de descueno a parir de la asa de fallo de una disribución esadísica: Aplicación empírica CRUZ RAMBAUD, SALVADOR Y MUÑOZ TORRECILLAS, MARÍA JOSÉ Deparameno de Dirección y Gesión de Empresas. Universidad de Almería La Cañada de San Urbano s/n, 0407 Almería Telf scruz@ual.es - mjmorre@ual.es RESUMEN El objeivo de ese arículo es la obención de una asa social de descueno apropiada para valorar proyecos de inversión a largo o muy largo plazo, como suelen ser muchos proyecos gubernamenales y/o medioambienales. La aproximación al problema se llevará a cabo a ravés de la asa de fallo de los bienes en los que se va a inverir. En concreo, se ha elegido la inversión en bosques y el incendio foresal como fallo del sisema, considerando la función de disribución Weibull como la más adecuada para modelizar la evolución de la asa de fallo del sisema. El enfoque de la asa de fallo responde a la consideración del riesgo asociado a la espera de la recompensa o vencimieno de los flujos neos correspondienes, riesgo que puede ser considerado como fallo del sisema, moralidad de la población a la que va dirigida la inversión e incluso disminución de la uilidad marginal del ingreso. Palabras clave: Descueno social, asa de fallo, inversiones a largo plazo. Obaining he social discoun rae from he hazard rae of a saisical disribuion: An empirical applicaion ABSTRACT The purpose of his paper is o obain an appropriae social discoun rae o appraise long-erm or very long-erm invesmen projecs, as environmenal or governmen projecs. The problem will be approached from he hazard rae of goods in which we are going o inves. Specifically, we have chosen foresaion invesmen and fores fire as sysem fail, using he Weibull disribuion in order o modelize he evoluion of he sysem hazard rae. The hazard rae approach considers he risk ha waiing for a reward or he mauriy of cash-flows implies. This risk can be considered as he fail of he sysem, he moraliy of he populaion he projec is inended for, or even he decrease of he marginal uiliy of income. Keywords: Social discoun, hazard rae, long-erm invesmens. Clasificación JEL: H43, Q3, D8. Agradecemos los comenarios y sugerencias de dos evaluadores anónimos. Ariculo recibido en Mayo de 005 y acepado para su publicación en Abrl de 006. Arículo disponible en versión lecrónica en la página ref.: -50. ISSN online ISSN prin

2 50 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas. INTRODUCCIÓN La invesigación objeo de ese arículo se cenra en el problema del descueno en la valoración de proyecos a largo o muy largo plazo, concreamene en la elección de la asa social de descueno que pueda ser aplicable a cualquier proceso de valoración donde inervengan renas generadas en un fuuro disane. Ése es uno de los problemas más imporanes en la valoración de proyecos públicos a largo plazo, ya que el valor de la asa de descueno va a influir en la decisión final de inversión, suponiendo la acepación o rechazo de inversiones que exenderán sus efecos posiivos y negaivos no sólo enre las generaciones presenes, sino ambién en las fuuras, dado el horizone emporal de valoración. Cuando hablamos de proyecos de valoración a muy largo plazo, nos referimos, especialmene, a proyecos medioambienales o a proyecos gubernamenales en general, en los que se realiza un gran desembolso en el momeno inicial y, sin embargo, sus beneficios se disribuyen en el iempo durane un largo período. Es el caso de inversiones en consrucción de carreeras, en repoblación foresal o en conservación de un parque naural, por ciar algunos ejemplos. Tradicionalmene se ha uilizado, en la valoración de proyecos, el méodo del análisis cose-beneficio ACB, realizándose las valoraciones normalmene por medio del valor acual neo VAN y uilizando, como ley de valoración, el descueno compueso a un ipo de inerés consane y, como base para el cálculo del ipo de descueno, los ipos de inerés del mercado o los ipos de reorno de la inversión. Los análisis cose-beneficio que implican esudios financieros a largo plazo han sido criicados habiualmene por conceder escasa imporancia a los efecos fuuros de las políicas conempladas y, en consecuencia, por no oorgar la relevancia requerida a los efecos sobre generaciones fuuras, produciéndose una infravaloración de los sucesos fuuros debido a la reducción geomérica de la función + i n. A pesar de eso, el análisis cose-beneficio es acualmene la principal herramiena para la evaluación económica de programas públicos en la adminisración de recursos naurales, ales como proyecos para el conrol de inundaciones, irrigación, fuerza hidroelécrica, mejora de pueros y proyecos alernaivos de suminisro de energía ield: 995. Esa écnica ha sido ampliamene uilizada desde su aparición en Esados Unidos en los años 30. Así, por ejemplo, en el Reino Unido la aplicación del ACB es obligaoria para los proyecos de inversión en las carreeras principales Barrios y Marínez: 997. Del mismo modo, la normaiva de la Unión Europea obliga de Price 988 define el descueno social como el ipo de descueno usado por la sociedad para dar un peso relaivo ponderación al consumo social o al ingreso en disinos momenos del iempo. Comisión Europea 997: Guide o cos benefi analysis of major projecs y 00: Guide o cos benefi analysis of invesmen projecs. Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

3 OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DESCUENTO A PARTIR DE LA TASA DE ALLO... 5 forma explícia a realizar el análisis de los coses y beneficios socioeconómicos de los grandes proyecos esableciendo la valoración en descueno compueso como modelo de referencia. Su superioridad sobre oras meodologías se debe ano a su facilidad de raamieno, permiiendo esablecer oda la valoración con un único parámero el ipo de inerés, como al elevado esaus normaivo que osena. Ahora bien, la uilización de esa ley financiera supone imporanes resricciones en las preferencias financieras en plazos muy largos; por ejemplo, implica que la imporancia del consumo o de riesgos fuuros disminuye geoméricamene. Esas resricciones conducen a menudo a una formulación inapropiada de las preferencias que es relevane para la evaluación de las políicas públicas. En paricular, los análisis relaivos a los recursos naurales y a la calidad del enorno ambienal preenden oorgar una mayor imporancia a los flujos fuuros que los calculados en descueno compueso Lafuene y Sánchez: 997. La normaiva de la Unión Europea señala el descueno compueso como modelo de referencia para la realización del ACB de grandes proyecos. En concreo, exige una asa inerna de rendimieno TIR no inferior al 3% y un VAN posiivo. Se propone como ipo esándar de valoración un raio social de descueno europeo del 5% para proyecos de la Unión Europea cofinanciados, si bien en casos específicos puede jusificarse un valor disino. No obsane, los gobiernos de diversos esados de la UE esablecen disinos valores para el raio social de descueno. Así, el Libro Verde del Reino Unido 3 esablecía un raio social de descueno del 6%, aunque la úlima acualización de ese libro publicada en el año 003 recomienda un raio social de descueno del 3,5%, basado en el cálculo del raio de preferencia social por el iempo y esablece, además, una serie decreciene de raios para proyecos con impacos a muy largo plazo más de reina años y las circunsancias en las que esán permiidas excepciones a esos raios recomendados. En Ialia, según las nuevas direcrices para esudios de viabilidad 4, ese raio social de descueno se fija en un 5%. En España se esablecen disinos valores del raio de descueno social dependiendo del secor implicado: 6% en érminos reales para el secor del ranspore 5 y 4% para proyecos de recursos hídricos. En rancia, el raio de descueno fijado por el Commissaria Général du Plan es igual al 8% 6 en érminos reales, si bien ese raio no ha sido acualizado desde 984. No obsane, a la hora de realizar comparaciones enre paí- 3 Her Majesy Treasury 997 y 003: Green Book, Appraisal and Evaluaion in Cenral Governmen. 4 Conferenza dei Presideni delle Regioni e delle Province Auonome 00: Sudi di faibilià delle opere pubbliche. Guida per la cerificazione da pare dei nuclei regionali di valuazione e verifica degli invesimeni pubblici. 5 Miniserio de Transpores, Turismo y Comunicaciones 99: Manual de evaluación de inversiones en ferrocarriles de vía ancha. Anexo I. Miniserio de omeno 997: Esudio informaivo del cuaro cinurón de Barcelona ramo Abrera-Terrasa. 6 Quine 000: Evaluaion mehodologies of ransporaion projecs in rance. Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

4 5 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas ses, hay que ener en cuena que los raios de esos dos úlimos países son los menos acuales de odos, ya que se esablecieron en 99 y 984, respecivamene. En ese senido, el más acualizado es el propueso por el Reino Unido en el Libro Verde de 003 que es una acualización del que se publicó en 997. El mismo gobierno jusifica esa revisión por los grandes cambios habidos en las condiciones macroeconómicas, incluidos los bajos ipos de inerés, y por la necesidad de una mayor orienación al largo plazo en las valoraciones de proyecos gubernamenales. En Esados Unidos, la Oficina de Adminisración y Presupueso propone diferenes raios de descueno 7. En paricular, suponiendo que las inversiones públicas definidas como aquellos proyecos que ienen impaco en el bienesar social desplazan consumo privado, se fija un ipo de descueno del 7% en érminos reales. Las inversiones inernas del gobierno aquellos proyecos que ienen impaco solamene en la deuda del gobierno deben ser desconadas usando los ipos de inerés de la Deuda del Tesoro Público. Para el caso de las inversiones públicas se propone, además, un análisis de sensibilidad uilizando oros valores para el ipo de descueno. Normalmene se aplica un raio del 3% valor esimado usando ipos medios de inerés de la Deuda Pública a largo plazo para reflejar la preferencia social por el iempo. Vemos, pues, que exisen diferenes prácicas en cuano al ipo social de descueno que uilizan los gobiernos a la hora de valorar las inversiones públicas. Una vez presenada la siuación acual en cuano a la valoración de proyecos gubernamenales, planeamos la obención de la asa social de descueno a ravés de la asa de fallo de los bienes en los que vamos a inverir. En concreo, hemos elegido la inversión en bosques y el incendio foresal como fallo del sisema, considerando la función de disribución Weibull como la más adecuada para modelizar la evolución de la asa de fallo de nuesro sisema. El enfoque de la asa de fallo responde a la consideración del riesgo asociado a la espera de la recompensa o vencimieno de los flujos neos correspondienes, riesgo que puede ser considerado como fallo del sisema, moralidad de la población a la que va dirigida la inversión e incluso disminución de la uilidad marginal del ingreso. La organización de ese arículo es la siguiene: ras la inroducción al problema objeo de esudio, en la sección se resume brevemene la discusión exisene acerca de la asa social de descueno más apropiada. En la sección 3, explicamos dealladamene la meodología uilizada para la obención de la función de descueno aplicable a un proyeco de inversión en reforesación y mosramos los resulados obenidos y las conclusiones que se exraen de los mismos. Por úlimo, en la sección 4, se resumen y presenan las conclusiones del rabajo. 7 Office of Managemen and Budge 99: Circular A94: Guidelines and Discoun Raes for Benefi- Cos Analysis of ederal Programs y 00: Guidelines and Discoun Raes for Benefi-Cos Analysis of ederal Programs Revision of Circular A94. Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

5 OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DESCUENTO A PARTIR DE LA TASA DE ALLO LA BÚSQUEDA DE UNA TASA SOCIAL DE DESCUENTO APROPIADA Del mismo modo que, en la prácica, enconramos heerogeneidad en las asas sociales de descueno uilizadas por los disinos gobiernos, en la lieraura referida al ema del descueno social, enconramos diversos modelos de descueno. La discusión enre el modelo de no descueno y el modelo de descueno compueso consane se suele adopar como obvia en la lieraura. Sin embargo, dichos modelos no son más que enfoques exremos para reflejar las preferencias emporales: no desconar supone asignar una excesiva imporancia al valor fuuro y, por el conrario, el descueno compueso supone asignar muy poca relevancia al mismo. Muchos adopan la posición de que para proyecos ambienales a largo plazo la asa apropiada de descueno es cero. Pero hay que ser cuidadosos con eso. Se ha ocasionado basane daño a los recursos naurales y ambienales al uilizar asas de descueno muy bajas para evaluar los proyecos de desarrollo. Con asas bajas de descueno, a menudo es posible jusificar proyecos públicos de infraesrucuras alamene desrucores debido a que beneficios suficienemene disanes e incieros se pueden acumular para superar los enormes cosos a muy coro plazo.... Alas asas de descueno ambién pueden hacer que se pasen por alo los impacos ambienales negaivos que se presenen en un fuuro lejano ield: 995. A miad de camino se siúan modelos de valoración descueno hiperbólico 8, cuasi-hiperbólico 9, descueno proporcional 0, ec. que incorporan cieros comporamienos sociales empíricamene conrasados y que pueden ser basane más represenaivos de las preferencias sociales en cuano a valoración de los proyecos de esa nauraleza. El objeivo principal, a lo largo de ese rabajo, será enconrar una asa social de descueno adecuada para valorar proyecos de inerés social cuyo horizone emporal sea el largo plazo. Ese ipo de descueno podrá ser de gran uilidad para una mejor asignación de las inversiones públicas que permia un desarrollo sosenible en su dimensión global, es decir, sosenible ecológica, económica y socialmene. La búsqueda de ese facor de descueno la realizaremos mediane el esudio de disribuciones de probabilidad conocidas y del comporamieno de las asas de fallo 8 Ainslie 975, Harvey 986, Herrnsein 98, Loewensein y Prelec 99, Mazur 987, Prelec 989, Thaler El rabajo empírico de Green y Myerson 996 apuna a la función cuasi-hiperbólica como el modelo que mejor explica el descueno emporal ano a nivel individual como de grupo. 0 Harvey 994, 995. La asa de fallo viene definida por su respeciva función de fallo. Una función de fallo describe maemáicamene el efeco que los incremenos en el iempo de espera ienen en el riesgo de que ocurra algo que impida la ocurrencia de un suceso Gross y Clark: 975. En una revisión de la lieraura referida a la asa de fallo y/o moralidad en relación a la obención de modelos de descueno, enconramos los rabajos de Azfar 999, Bren 993, Cropper e al. 99, Green y Myerson 996, Kula 984, Myerson y Green 995, Nir 000 y Sozou 998, 003. Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

6 54 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas de los bienes en los que se va a inverir. La meodología propuesa es fácilmene exensible a oras siuaciones disinas a las de la aplicación propuesa. Eso es lo que le da valor real frene al méodo clásico del análisis cose-beneficio, aún eniendo en cuena la heerogeneidad en las asas sociales de descueno definidas en las normaivas de los disinos gobiernos. En efeco, consideremos un bien público, por ejemplo, un parque naural en una zona rural cercana a una gran ciudad. Si la asa de fallo esimada para un período de iempo es pequeña podemos esimar pocos incendios foresales gracias a la políica foresal, campañas publiciarias, ec., los beneficios derivados de la inversión incremeno de la calidad de vida, disminución del número de enfermedades cardiovasculares, ec. deberían enerse muy en cuena a la hora de valorar la inversión. Enonces, el ipo de descueno para ese período debería ser muy pequeño y, por ano, el facor de descueno cercano a la unidad. El argumeno anerior podría generalizarse considerando la variable aleaoria que represena la edad aleaoria de una población Henderson y Langford: 998 y no la duración del bien, ya que la inversión en un bien público sólo iene senido cuando puede ser disfruada por la población para la cual esá pensado el proyeco. Tal consideración nos conduce al concepo de moralidad. Cropper e al. 99 llevaron a cabo una invesigación en la que presenaban dos programas alernaivos para salvar vidas bien en el momeno presene, bien en el fuuro denro de x años. Desacamos dos conclusiones de dicha invesigación. Primero, la gene no desconó a un ipo exponencial consane y segundo, incluyeron en el ipo de descueno su propia asa de fallo y/o la de su familia. Por ano, uvieron en cuena la moralidad de un colecivo paricular para elegir un ipo de descueno. En ese caso, lo que nos ineresa es la disribución de probabilidades de los colecivos. De manera parecida, Henderson y Langford 998, op. ci. deducen la función de disribución de n individuos agregando las funciones individuales porque se necesia formar la densidad conjuna de una serie de individuos x, x,..., xn para formar un ipo de descueno social. Así, si el comporamieno individual esá modelizado por una disribución exponencial, la función de disribución agregada la suma de las individuales sería una disribución gamma. Y, en el caso de que cada individuo enga una disribución gamma, la función de disribución conjuna es una gamma Liouville Henderson y Langford: 998, op. ci.. Algunos auores como Kula 984, 985, recogiendo propuesas de economisas como isher 930, Ecksein 957, Henderson 968 y Dasgupa y Pearce 974, esiman la asa de preferencia pura por el iempo a parir del cálculo de la esperanza de vida en un deerminado período de iempo y su proyección a los años que dure la inversión. Evidenemene, los resulados obenidos empleando ese úlimo enfoque no coincidirían con los del anerior, ya que la información suminisrada por la asa de fallo del bien es mucho más direca que la proporcionada por la moralidad de la población que, al fin y al cabo, es una medida indireca de la uilidad social del bien. Además, es evidene que las funciones de disribución serían disinas. En ese Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

7 OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DESCUENTO A PARTIR DE LA TASA DE ALLO senido, sería posible deerminar una jerarquía de bondad enre ambos enfoques, dependiendo de la ipología de la información esadísica exisene. Eso deerminaría la meodología a seguir. En ese caso y a íulo de ejemplo, propondríamos el siguiene orden de prelación enre enfoques: Tasa de fallo del bien. Tasa de moralidad de la población afecada. Tasa de moralidad general de la población. Tasa de inflación monearia. En ese senido, convendría llevar a cabo un análisis previo de qué variable es más ineresane en cada caso, uilizando como crierio la mayor o menor vinculación de la variable con la vida úil del bien objeo de la inversión. 3. APLICACIÓN EMPÍRICA: OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DES- CUENTO APLICABLE A LA INVERSIÓN EN ORESTACIÓN 3.. Daos uilizados Como aplicación prácica para obener la asa de fallo y así poder calcular, poseriormene, el ipo de descueno aplicable a la valoración de proyecos públicos de inversión, se ha elegido la inversión en bosques, es decir, en foresación y el incendio foresal como fallo del sisema. Para calcular la asa de fallo se han uilizado daos de superficie foresal incendiada medida en hecáreas en relación con la superficie foresal oal a lo largo de una serie de años. En concreo, se han uilizado daos referidos a incendios y superficies foresales oales en España y en Andalucía. En primer lugar, se comenzó usando una serie de daos de once años 99 a 00 referida al oal de superficie afecada en España. Esa información se obuvo de uno de los enlaces especializados en la maeria que aparecía en la página web del Miniserio de Medio Ambiene: Para conrasar los resulados obenidos, se uilizó ora serie con daos referidos a Andalucía, para el mismo período, obeniéndose conclusiones similares acerca de la ley de descueno. Esos úlimos daos proceden de la web de la Consejería de Medio Ambiene de la Juna de Andalucía: A pesar de que las dos regresiones arrojaban daos similares, cabía la posibilidad de obener resulados más fiables uilizando una serie emporal más amplia. Por ello, buscamos series más largas de daos. Tras varios inenos fallidos, en los que conacamos vía con varios enlaces especializados info@incendiosforesales.org, salaincendios@dgcn.es y realizamos búsquedas en el Banco de Daos de la Nauraleza denro de la web del Miniserio de Medio Ambiene conacamos Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

8 56 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas finalmene con la Dirección General de Conservación de la Nauraleza y, denro de esa Dirección, con el Área de Defensa conra Incendios oresales. De ese modo, obuvimos los daos de incendios foresales en España para el período Esos daos mosraban el número de incendios y oal de hecáreas afecadas por los mismos. Soliciamos, además, el dao de la superficie foresal oal acual. Pero, para saber el porcenaje de superficie incendiada en relación con la superficie foresal oal en el período elegido 96-00, no era suficiene con la superficie foresal oal acual, ya que durane dicho período se han ido produciendo reforesaciones, de modo que conacamos esa vez elefónicamene con el Banco de Daos de la Nauraleza para soliciar daos sobre superficie foresal enre 96 y 00. Así, nos suminisraron los daos del Invenario oresal Nacional y relaivos a la superficie foresal oal en nuesro país. El Invenario oresal Nacional IN es un rabajo de invesigación que se diseñó para repeirlo cada diez años y que nace como herramiena imprescindible para conocer adecuadamene la esrucura y el funcionamieno de los bosques y así poder llevar a cabo las acuaciones necesarias para su manejo y conservación. El primer IN, diseñado a mediados de la década de los 60, enía como objeivo casi exclusivo la evaluación del poencial maderero de nuesros mones. Por su pare, el segundo, preparado a mediados de los 80, aunque seguía eniendo a la madera como principal proagonisa, añadió ya una serie de parámeros ecológicos, silvícolas y fiosaniarios que complemenaban el esudio. Y, en esos momenos, se encuenra en fase de realización el ercer IN, que se proyecó a mediados de los 90 y se espera esé finalizado en el año 008, cuyos objeivos son mucho más amplios que los de sus predecesores. Teniendo en cuena la serie emporal objeo de nuesro esudio y las fechas de realización de los IN, vemos que los invenarios foresales no se ajusan exacamene a ese período, pero usando los daos del Primer y Segundo Invenario oresal Nacional IN e IN, que abarcan respecivamene los períodos de 965 a 974 y de 986 a 995, pudimos obener finalmene el porcenaje de superficie incendiada respeco a la superficie oal, con las siguienes salvedades: Para el período , en que no había invenario foresal, uilizamos ambién los daos del IN. En el período enre el IN y el IN de 974 a 986, supusimos vigenes los daos del primer invenario. Como el Tercer Invenario oresal Nacional aún no esá erminado, opamos por uilizar el dao que nos dieron en la Dirección General de Conservación de la Nauraleza sobre superficie foresal oal acual en el úlimo ramo de 995 a 00. Como úlima aclaración, decir que, como superficie foresal afecada, se ha omado el oal de superficie foresal, que incluye ano la arbolada como la desarbolada. Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

9 OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DESCUENTO A PARTIR DE LA TASA DE ALLO La función de descueno a parir de la asa de fallo A coninuación, vamos a realizar un esudio acerca del grado de ajuse de los daos anuales de que disponemos sobre incendios foresales en España durane el período y, para ello, uilizaremos una disribución Weibull, cuya función de disribución viene dada por la expresión: b a μ = e, donde μ, a > 0 y b > 0. La evolución de la asa de fallo sigue normalmene una curva con forma de bañera. La disribución de Weibull se caraceriza por considerar la asa de fallo variable, siendo uilizada por su gran flexibilidad, al poder ajusarse a disinas siuaciones. En efeco, como es conocido, la asa de fallo insanánea de una disribución Weibull es decreciene si b <, consane si b = y creciene si b >. Esa caracerísica conviere a la disribución Weibull en la más adecuada para nuesra invesigación. Ahora bien, algunas disribuciones permien modelizar mejor una zona o zonas de la curva de bañera: Disribución exponencial: es una disribución uniparamérica que describe el iempo de espera hasa la rupura de un componene único. Refleja la fase normal de la operación y, por ano, puede ser uilizada para describir la zona cenral de la curva de bañera. Disribución gamma: es una disribución biparamérica que describe el iempo de espera hasa la rupura de un componene múliple, donde el segundo parámero especifica el número de componenes del sisema. La suma de k variables aleaorias independienes de disribución exponencial con parámero λ es una variable aleaoria de disribución gamma. Por ano, es basane adecuada para describir el comporamieno agregado de un colecivo Henderson y Langford: 998; Weizman: 00. Disribución Erlang: es un caso paricular de la disribución gamma y, por ano, describe la suma de variables exponenciales independienes, modelizando ambién el comporamieno agregado de un colecivo Sozou: 998. Disribución normal: describe el comporamieno durane el período de desgase del componene. Por ano, la asa de fallo es creciene. Disribución Weibull: permie represenar las disinas zonas de la curva de bañera según el valor de b. Exisen oros modelos alernaivos. En el capíulo 4 del libro de Gross y Clark, ciado en la bibliografía, hay una ineresane discusión al respeco y en el rabajo de Murhy, V.K., Swarz, G.B., Yuen, K.K. 973 Realisic models for moraliy raes and heir esimaion-ii. Technical Repor No. 3, Dep. of Biomahemaics, UCLA. Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

10 58 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas Cenrándonos en una disribución Weibull, vamos a llevar a cabo una serie de ransformaciones en la función de disribución, omando dos veces logarimos neperianos: b a μ b = e, lnn [ ] = a μ, b lnn = a μ, lnn ln n = ln n a + b ln n μ. Más concreamene, si disponemos de una serie de daos anuales porcenuales sobre incendios foresales:, p,, p, K,...,, n, pn, podemos consruir valores experimenales de la función de disribución:,,,, K..., n, n, donde = p, = p + p,, n = p + p + K... + pn. Para ello, es preciso asegurarse de que odos los porcenajes p, p,, p n esán calculados sobre el mismo número inicial de hecáreas, es decir, que p k es el porcenaje de hecáreas quemadas en k, no sobre el número de hecáreas que quedaron sin quemar en k, sino sobre las inicialmene disponibles en 0. Tampoco exisiría ningún problema si los daos porcenuales vinieran referidos al número de hecáreas resulanes sin quemar al finalizar el año anerior, ya que, en ese caso, dichos porcenajes represenarían direcamene las asas de fallo que, en el caso de la disribución Weibull, adopa la expresión: b h = ab μ, de donde, omando logarimos neperianos, lnn h = ln ab + b ln μ. Por ora pare, no represena ningún problema el hecho de que se haya producido repoblación foresal en las exensiones objeo de esudio. Pues bien, coninuando con el caso inicialmene planeado, la regresión se lleva a cabo, en primer lugar, con una función lineal del ipo: ln n ln n = ln n a + b ln n, es decir, sin ener en cuena μ. Para ello, se hacen los siguienes cambios de variable: ln n ln n = y, Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

11 OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DESCUENTO A PARTIR DE LA TASA DE ALLO ln n = x, y ln n a = A, quedando y = A + bx, donde A y b son los parámeros a deerminar. De esa forma, una vez calculados los valores: x y n n ln n ln ln lnn ln n lnn ln n lnn ln n n n la regresión nos dará una reca esimada: yˆ = A + b x, de donde podemos obener el valor de a : A ln n a = A a = e. En primer lugar, efecuaremos la regresión pariendo de los daos del porcenaje de superficie foresal afecada sobre el oal de superficie foresal en España, en el período de 99 a 00. Los daos aparecen deallados en el siguiene cuadro, así como los cálculos que nos llevan a obener x e y: Año i % Superficie afecada * p i i ln n i lnn ln n 99 0,364 0, , , , ,34 0,0034 0, , , ,604 0,0604 0,09 7, , ,506 0, ,0798 7, , ,09 0,0009 0, , , ,350 0, , , , ,447 0, , , , ,94 0,0094 0, , , ,679 0, , , , ,86 0,0086 0, ,60090, ,308 0, ,0537 7,6040,89668 i Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

12 60 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas En nuesro caso paricular, una primera represenación gráfica de los valores: en ese caso: x, y, x, y, K..., x n, y n, Tabla. Daos de la regresión. x i y i 7, , , , , , , , , , , , , , , ,7384 7, , , , ,604033, adviere de la exisencia de una asínoa verical para x = ln 99, por lo que se realizaría una raslación al neperiano de 99: igura. Represenación gráfica de los daos de la regresión. 0 7,596-7,597 7,598 7,599 7,6 7,60 7, Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

13 OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DESCUENTO A PARTIR DE LA TASA DE ALLO... 6 lo que nos lleva a omar μ = 99 y efecuar una nueva regresión sobre los valores de ln 99: Tabla. Daos de la regresión sobre los valores de ln. ln 99 lnn ln n 0 5, , , , ,764744, ,56094, , , , , ,497885, ,7384, ,069894, , , , i obeniéndose: y =,93 x 5,4403. El esadísico de la significación conjuna de los parámeros del modelo, que sigue, oma el valor 30,3, mienras que la de las ablas es 5,. una, 9 igura. Represenación gráfica de los daos de la nueva regresión ,5,5, Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

14 6 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas 5,4403 Así, a = e = 0, y b =, 93. Por ano,,93 ˆ 0, = e. Veamos, a coninuación, cuál es la expresión de la ley financiera de descueno asociada a ˆ. Para ello, calcularemos, en primer lugar, la asa de fallo asociada a ˆ : ˆ b 0, 93 h = ab μ = 0, Como puede observarse, la asa de fallo de la variable aleaoria T es ligeramene creciene lo que se inerprea como un leve aumeno anual en el número de hecáreas quemadas con respeco a las que van quedando sin arrasar. Eso hace que la asa insanánea de descueno de la ley financiera asociada a la función de disribución, que es igual a la asa de fallo de la variable aleaoria T, sea creciene implicando que las cuanías más alejadas del insane inicial van a ser desconadas a un ano medio anual más alo que las más cercanas. A parir de la asa de fallo, podemos obener la ley de descueno, como se indica a coninuación:,93 ˆ ˆ 0, A,99 = = e. Vamos a suponer que la variane que describe la edad aleaoria de un bien público iene un campo de variación ilimiado por la derecha, es decir, del ipo [0,+. Téngase en cuena que la asa social de descueno se emplea en la valoración de proyecos a largo o muy largo plazo, afecando no sólo a una, sino a varias generaciones. Eso hace que sea más conveniene uilizar modelos probabilísicos con un horizone emporal infinio, como es el caso de la disribución Weibull. Ahora bien, las asas anuales medias de descueno resulanes pueden ser demasiado pequeñas para valorar proyecos de inversión que, en definiiva, ienen un horizone emporal limiado. Por ello, sería conveniene runcar la disribución por la derecha en el insane 0 que represene el final del horizone de la inversión. En efeco, sea una función de disribución en el inervalo [0,+. Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

15 OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DESCUENTO A PARTIR DE LA TASA DE ALLO igura 3. unción de disribución en el inervalo [0, Consideremos la nueva función: G :[0, ] R, al que: G = 0. Se puede comprobar fácilmene que G es una función de disribución: Si = 0, enonces Si = 0, enonces 0 0 G 0 = = = G 0 = =. 0 G es monóona no decreciene. G es coninua por la derecha en cada puno. Por ano, G es una función de disribución que esá runcada por la derecha. La función de densidad de esa nueva disribución será: 0 y su asa de fallo: g = f 0 Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

16 64 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas g f 0 f λ = = =. G 0 0 La ley financiera de descueno asociada a esa función de disribución será: f z dz dz 0 z 0 0 n ln + n ln [ 0 z ] A,0 = e = e = e =. 0 Se puede comprobar que A,0 es una ley financiera de descueno regular: Si = 0, enonces Si 0, enonces A 0,0 =. A 0, 0 = 0. El valor 0 uilizado para efecuar el runcamieno depende de la vida máxima o la vida media de cada ipo de bien. En ese senido, sería ineresane cuanificar la duración del muy largo plazo para cada uno de los bienes públicos que se pudieran evaluar, aunque en algunos casos consideremos horizones emporales inferiores a la vida máxima, de acuerdo con el esudio que queramos llevar a cabo en cada momeno. Así, podríamos considerar: a El ipo de proyeco público esudiado. b El número de generaciones involucradas en el esudio. c La vida úil del proyeco. d El plazo medio de renovación del bien. e El grado de deerioro del bien. f Ecéera. Así, si queremos hallar el VAN de un bien público desinado a la mejora de la calidad de vida de un colecivo, es probable que se engan en cuena 50 ó 00 años. Obsérvese que el efeco sobre la asa de fallo provocado por el runcamieno por la derecha es que ésa aumena, ya que: 0 <, enonces 0 <, lo que implica que: y por ano, f f >, 0 h > h. Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

17 OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DESCUENTO A PARTIR DE LA TASA DE ALLO Ese resulado es lógico porque, al ser mayor la función de densidad de la disribución runcada, la asa de fallo aumena, incremenándose la probabilidad de desaparición del bien. Si esuviéramos ineresados en esudiar el valor acual de la inversión en foresación para una generación, en la disribución Weibull anerior endríamos que runcar por 0 = 00 vida máxima esimada de una generación, obeniéndose la siguiene abla: Tabla 3. Leyes y asas de descueno asociadas a los disinos plazos. Años Ley de descueno Tasa de descueno equivalene 99 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

18 66 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas Años Ley de descueno Tasa de descueno equivalene 03 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6800 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

19 OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DESCUENTO A PARTIR DE LA TASA DE ALLO Años Ley de descueno Tasa de descueno equivalene 063 0, , , , , , ,5663 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , La inerpreación de esos resulados es la siguiene: el riesgo de incendios va aumenando a medida que aumena el iempo, lo que hace que los beneficios originados por el bien público engan cada vez menos valor inicial a medida que se alejan en el fuuro y eso ha de verse reflejado en la expresión de la ley de descueno, que como podemos observar es decreciene con respeco a, con un ano medio de descueno anual mayor a medida que se aleja el insane en el que se producen los ingresos derivados de esas insalaciones: ahorro medioambienal, ahorro saniario, aumeno de la calidad de vida, concienciación ciudadana, disminución del personal conraado en prevención: empleados foresales, bomberos, ec. Obsérvese que las Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

20 68 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas asas de descueno obenidas solamene ienen en cuena el riesgo y no oras razones de ipo financiero para desconar. * * Cuando se lleva a cabo el ajuse de la nube de punos,,,, K... *, n, n a una disribución eórica de probabilidad puede ocurrir que, en vez de ajusar la nube de punos a una sola disribución de probabilidad, sea más conveniene hacerlo a varias disribuciones, en los siguienes dos senidos:. Que exisa una parición del inervalo [0,+ en cada uno de cuyos elemenos sea más adecuada una función de disribución disina.. Que exisa una familia de funciones de disribución que describan mejor, cada una de ellas, las causas de fallo del sisema en el inervalo [0, +. En el primer caso, esaremos hablando de una mixura de funciones de disribución, mienras que en el segundo de una composición de funciones de disribución. Pues bien, veamos a coninuación el primer caso. Para ello, supongamos que exisen k inervalos: [,, [, [,..., [ [ k-, +,, 0,, 3 k + que consiuyen una parición de [0, +, en cada uno de los cuales se produce el ajuse de una función de disribución:,,, 3 K, k, dando lugar a la función de disribución conjuna:,, = 3, k, si 0 <, si si M... si k <, <,. 3 Teniendo en cuena la coninuidad de las funciones de disribución, se habrá de verificar que: lim i = i + i ; i =,, K..., k. i Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

21 69 OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DESCUENTO A PARTIR DE LA TASA DE ALLO... Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5- Uno de los problemas que se planearían en ese primer caso es el número ópimo k de inervalos en que ha de dividirse el inervalo [0, +. En ese caso, aparecerían k leyes financieras de descueno, cada una de ellas vigene en los respecivos subinervalos aneriores: [0,,, [,, [ 3 3, : :, [ + k k k k. + Lógicamene, la ley financiera aplicable al inervalo conjuno [0, + sería, en general, el produco financiero de esas k leyes. Así, si i i < : [,0 A = ] L 3 3 i i i i i =, por lo que: < < < =. si,, si,, si,, 0 si,,0 3 3 A k k M Obsérvese que:. La condición de coninuidad para las funciones de disribución garaniza la coninuidad de la ley financiera,0 A.. Si odas las funciones de disribución, k,, 3,, K, procedieran de la misma familia, por ejemplo, fuesen odas ellas disribuciones Weibull con diferenes... si si si si

22 70 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas parámeros a y b, el produco financiero anerior sería un proceso financiero. Nóese, por ano, el paralelismo enre el concepo de mixura de funciones de disribución y el de produco o proceso financiero. igura 4. unción de disribución conjuna. 0 igura 5. unción de descueno asociada a la función de disribución anerior. A,0 0 Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

23 OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DESCUENTO A PARTIR DE LA TASA DE ALLO... 7 En el segundo de los dos casos, la función de disribución global sería suscepible de ser descompuesa en k funciones de disribución,,, 3, K..., k, odas ellas vigenes en el inervalo [0, + : = α + α + K... +, α k k en donde el peso de i, α i, dependería de la ponderación de la causa de fallo descria por i en el conjuno oal de facores que influyen en el fallo del sisema. Lógicamene, la exigencia de que, ano,, 3, K..., k, como, sean funciones de disribución, hace que: α + α + K... + α =, α 0, i =,... k. k i K, La ley financiera de descueno asociada a será: A,0 = = [ α + α + K... + ]= α k k = α + α + K... + α [ α + α + K... + ]= k α k k [ ] + α [ ] + K... + [ ]= = α α k k = α A,0 + α A,0 + K... A,0 = α k k k = A,, A,, K... α A A,0 K α n n n = α K α i, i= obeniéndose la misma combinación lineal convexa que con las funciones de disribución. Ese concepo fue inroducido por Cruz 997. Una vez explicada la meodología para la obención de la función de descueno y aplicada a la serie de daos para el período en España, vamos a repeir el procedimieno uilizando los daos de Andalucía para el mismo y, por úlimo, los daos del oal nacional para una serie más larga Como el procedimieno seguido es el mismo, pasaremos direcamene a mosrar y comenar los resulados. Pariendo de los daos del porcenaje de superficie foresal afecada sobre el oal de superficie foresal en Andalucía para el período de 99 a 00: Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

24 7 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas Año i % Superficie afecada * p i i ln n i lnn ln n 99 0,77 0,0077 0, , , ,77 0,0077 0,0080 7, , ,565 0, , , , ,89 0,0089 0,0034 7, , ,06 0,0006 0,0050 7, , ,044 0, ,0094 7, , ,05 0,0005 0,045 7, , ,9 0,009 0,064 7, , ,07 0,0007 0,0336 7, , ,0 0,000 0,0456 7,6040 4,3 00 0,085 0, ,054 7,6090 4,653 i Y omando, de nuevo, las dos úlimas columnas como valores represenar gráficamene esos valores: x i e y i, podemos igura 6. Represenación gráfica de los daos de la regresión. 0 7,596 7,597 7,598 7,599 7,6 7,60 7,60 7, Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

25 OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DESCUENTO A PARTIR DE LA TASA DE ALLO lo que nos lleva, de nuevo, a omar μ = 99 y efecuar una nueva regresión sobre los valores de ln 99: Tabla 4. Daos de la regresión sobre los valores de ln. lnn ln n ln , , , , ,76967, , , ,55374, , , ,46450, , , , , ,38, ,6534 i obeniéndose: y =,0858 x 8,4364. El esadísico de la significación conjuna de los parámeros del modelo, que sigue, oma el valor,7, mienras que la de las ablas es 5,. una, 9 Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

26 74 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas igura 7. Represenación gráfica de los daos de la nueva regresión ,5,5, ,4364 Así, a = e = 0, y b =, Por ano,,0858 ˆ 0, = e. La asa de fallo asociada a ˆ será: ˆ b, 0858 h = ab μ = 0, y la expresión de la ley financiera de descueno asociada a ˆ :,0858 ˆ ˆ 0, A,99 = = e. Por úlimo, haremos una nueva regresión sobre los daos del porcenaje de superficie foresal afecada sobre el oal de superficie foresal en España para el período de 96 a 00. Los daos aparecen deallados en el siguiene cuadro, así como los cálculos que nos llevan a obener x e y: Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

27 OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DESCUENTO A PARTIR DE LA TASA DE ALLO Año i % Superficie afecada * p i i ln n i lnn n i 96 0,78 0,0078 0,0078 7,58 6, ,4 0,004 0,0039 7,587 5, ,087 0, , ,583 5, , 0,00 0, ,5874 5, ,46 0,0046 0, ,5835 4, ,90 0,0090 0, , , ,95 0,0095 0,03 7,5846 4, ,7 0,007 0,0448 7, , ,07 0,0007 0,0655 7,5858 4, ,348 0, ,0003 7, , ,35 0,0035 0,038 7, , , 0,00 0,0360 7, , ,373 0, ,0734 7,5873 3, ,547 0, ,038 7,5878 3, ,76 0,0076 0, ,5883 3, ,476 0, ,0448 7, , ,7 0,007 0, , , ,69 0,069 0, ,58984, ,053 0,0053 0, ,59035, ,0 0,00 0,085 7,59085, ,48 0,048 0, ,5936, ,588 0, ,047 7,5986, ,46 0,0046 0,0663 7,5937, ,635 0, ,99 7,5987,3 985,865 0,0865 0,363 7,59337, ,036 0,0036 0,499 7,59388, ,574 0, ,4773 7,59438, ,539 0, ,53 7,59488, ,669 0,0669 0,698 7,59539, ,794 0, ,7775 7,59589,630 Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

28 76 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas Año i % Superficie afecada * p i i ln n i lnn ln n i 99,08 0,008 0,8794 7,59639, ,4 0,004 0,905 7,59689, ,349 0, ,9555 7,59740, ,7 0,07 0,67 7,59790, ,56 0,0056 0,88 7,59840, , 0,00 0,050 7,59890, ,365 0, ,45 7,59940, ,49 0,0049 0,907 7,59990, ,305 0, ,3 7,60040, ,699 0, ,390 7,60090, ,346 0, ,456 7,6040,8083 igura 8. Represenación gráfica de los daos de la regresión. 0-7,58 7,585 7,59 7,595 7,6 7, En ese caso, omando μ = 960 y efecuando una nueva regresión sobre los valores de ln 960, obenemos: y =,5794 x 7,004. Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

29 OBTENCIÓN DE LA TASA SOCIAL DE DESCUENTO A PARTIR DE LA TASA DE ALLO El esadísico de la significación conjuna de los parámeros del modelo, que sigue una, 9, oma el valor 4,77, mienras que la de las ablas es 5,. igura 9. Represenación gráfica de los daos de la nueva regresión Así, 7,004 = a e = 0, y b =, Por ano,,5794 ˆ 0, = e. La asa de fallo asociada a ˆ será: ˆ b 0, 5794 h = ab μ = 0, y la expresión de la ley financiera de descueno asociada a ˆ :,5794 ˆ ˆ 0, A,960 = = e. Como hemos explicado aneriormene, es conveniene runcar la función de disribución Weibull por la derecha en el insane que represene el final del horizone de la inversión. Así, pariendo de los daos de esas dos úlimas regresiones, obendríamos los valores de las leyes y asas de descueno para la vida de la inversión. En ambos casos obenemos ambién leyes financieras de descueno decrecienes a lo largo del iempo y asas de descueno equivalenes crecienes. Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-

30 78 Salvador Cruz Rambaud y María José Muñoz Torrecillas 5. CONCLUSIONES En ese arículo se recoge una aplicación prácica, desde el enfoque de la asa de fallo, para la obención de la asa social de descueno asociada a un proyeco público de inversión con horizone emporal en el largo plazo, como es la inversión en reforesación. En ese ipo de proyecos de inversión puede considerarse como fallo del sisema el incendio foresal. Por eso hemos considerado, para su cálculo, el número de hecáreas incendiadas en relación con el oal de hecáreas de superficie foresal. En concreo, hemos uilizado series de daos de incendios de España y de Andalucía para un período de años y, por úlimo, una serie de 3 años con daos de España, ésa úlima para conrasar los resulados obenidos con las dos primeras y depurar la fiabilidad de los ajuses. A parir de una serie de daos porcenuales anuales sobre incendios foresales anos por cieno de superficie afecada, hemos consruido los * valores experimenales de la función de disribución i y, uilizando la regresión lineal, hemos ajusado dichos valores empíricos a una disribución Weibull b a μ del ipo = e, donde μ, a > 0 y b > 0. Una vez obenida esa disribución, hemos calculado la función asa de fallo asociada a la misma. Las conclusiones acerca de la asa de fallo obenida a parir de las res series de daos uilizadas han sido similares. La asa de fallo obenida es ligeramene creciene, inerpreándose ese crecimieno como un leve aumeno anual en el número de hecáreas quemadas con respeco a las que van quedando sin arrasar. Eso hace que la asa insanánea de descueno de la ley financiera asociada a la función de disribución, que es igual a la asa de fallo de la variable aleaoria T, sea creciene implicando que las cuanías más alejadas del insane inicial van a ser desconadas a un ano medio anual más alo que las más cercanas. Asimismo, a parir de la expresión de la asa de fallo hemos obenido la expresión la ley de descueno. De nuevo, las conclusiones obenidas a parir de las res series de daos uilizadas han sido similares. Se raa de una ley de descueno decreciene con respeco a, cuyos anos equivalenes en descueno compueso para diferenes períodos de descueno van aumenando. La uilización de una Weibull runcada viene jusificada por la propia nauraleza de esa función y ambién por el horizone emporal de los proyecos con que esamos raando. Si bien la variane que describe la edad aleaoria de un bien público iene un campo de variación ilimiado por la derecha, es decir, del ipo [0,+, como es el caso de la Weibull, las asas medias de descueno anuales van a ser demasiado pequeñas para valorar proyecos de inversión que, en definiiva, ienen un horizone emporal limiado. Por ello, se ha considerado conveniene runcar la disribución por la derecha en el insane 0 que represene el final del horizone emporal de la inversión. Esudios de Economía Aplicada, 007: 49-8 Vol. 5-