Solución Práctica 1 - Primer Trimestre

Solución Práctica 1 - Primer Trimestre Problemas de Optimización Estática Ejercicio 1.- Teoría del Consumidor: el problema de maximización de la utilidad. 1. Plantee el Lagrangeano del problema y formule sus condiciones de primer orden. CPO: L(x, y, λ) = x α y 1 α + λ(b x y) L x = L x = αxα 1 y 1 α λ = 0 L y = L y = (1 α)xα y α λ = 0 L λ = L λ = B x y = 0 2. Interprete económicamente el resultado anterior. De las dos primeras ecuaciones de la CPO se obtiene: λ = αxα 1 y 1 α λ = (1 α)xα y α αxα 1 y 1 α = (1 α)xα y α = αxα 1 y 1 α (1 α)x α y α = U x U y En el óptimo, por tanto, el precio relativo (cociente de precios entre ambos bienes) debe ser iguales al cociente de las utilidades marginales, es decir, a la tasa marginal de sustitución (TMS). Por un lado, la TMS representa la relación entre el aumento en el consumo de un bien respecto de la disminución del consumo del otro, de forma de maneter igual nivel de utilidad. La TMS es por tanto la pendiente de la curva de indiferencia. Por otro, si miramos la tercer ecuación de la CPO, se debe cumplir que el consumidor esté sobre situado sobre su restricción presupuestaria, es decir, que gaste todo su ingreso B en el consumo de ambos bienes. Esta restricción puede escribirse como y = B px x, por lo que Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 1

su pendiente coincide con el precio relativo. De esta forma, dado cierto nivel de ingresos, el precio relativo representa la relación entre las cantidades de ambos bienes que hacen que el indivuo esté ubicado sobre su restricción de presupuesto. Las dos condiciones anteriores implican que, en el óptimo, las pendientes de la restricción presupesutal y la curva de indiferencia sean tangentes en dicho punto (ver punto 6). De esta forma se estará maximizando la utilidad. 3. Encuentre los valores óptimos x e y (llamdas funciones de demanda Marshallianas), y la correspondiente utilidad óptima U (denominada función de utilidad indirecta). Tenemos que: Entonces: = αxα 1 y 1 α (= T MS) (1 α)x α y α = α y (1 α) x Despejando por ejemplo y de la ecuación anterior y sustituyendo en la restricción presupuestaria: [ ] (1 α) B x x = 0 α Despejando x (se omiten los pasos de este despeje) se llega a: x = αb Sustituyendo este resultado por ejemplo en la condición px óptimo de y: = T MS, se obtiene el valor y = (1 α)b Finalmente, a partir de x, y se obtiene el nivel de utilidad máximo: ( ) α ( ) 1 α ( ) α ( ) 1 α αb (1 α)b α (1 α) U (x, y ) = = B Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 2

4. Verifique la condición suficiente de segundo orden. H = det 0 α(α 1)x α 2 y 1 α α(1 α)x α 1 y α α(1 α)x α 1 y α α(1 α)x α y α 1 =...... = α(1 α)x α 1 y α + α(1 α)x α 1 y α p 2 yα(α 1)x α 2 y 1 α +p 2 xα(1 α)x α y α 1 =...... = 2 α(1 α)x α 1 y α + α(1 α) ( p 2 yx α 2 y 1 α + p 2 xx α y α 1), cuyo signo es positivo para todo (x, y) mayor que cero -y por tanto lo será para el punto (x, y )-, por lo que se cumple la condición de segundo orden. (Nota: no hemos continuado con el desarrollado del determinante pues se cumple la condición cualesquieran sean x e y positivos y por tanto obtuvimos un resulado aún más general; sin emabrgo, la condición suficiente sólo exige que el Hessiano orlado sea definido positivo en el punto candidato a solución del problema). 5. Qué significado económico tiene el multiplicador de lagrange en el óptimo (λ ) en este caso? En términos generales, λ puede ser visto como una medida de la sensibilidad (o cambio marginal) de la función objetivo frente a cambios en la restricción. En este caso particular, representa el efecto que tiene sobre la utilidad del consumidor un aumento en la restricción presupuestaria. Es decir, una medida del efecto marginal sobre la utildad derivado de una modificación en el ingreso del individuo. Por ello, λ puede ser interpretado como la utilidad marginal del dinero. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 3

6. Represente gráficamente el resultado. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 4

Ejercicio 2.- Propiedades de las funciones de demanda y de utilidad indirecta 1. Las funciones de demanda Marshallianas (x M e y M ) son homogéneas de grado 0 en (,, B). Tenemos que: x M (,, B) = x (,, B) = αb y y M (,, B) = y (,, B) = Entonces: (1 α)b x M (a, a, ab) = αab a y M (a, a, ab) = (1 α)ab a = αb = x M (,, B) = (1 α)b = y M (,, B) 2. La función de utilidad indirecta, U (,, B), es homogénea de grado 0 en (,, B). Tenemos que: Por lo tanto: ( ) α ( ) 1 α α (1 α) U (,, B) = B ( ) α ( ) 1 α U α (a, a, ab) = (1 α) a a ab = 1 ( ) α ( α 1 (1 α) a α a a 1 α ( ) α ( ) 1 α α (1 α) B = U (,, B) a ) 1 α ab = Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 5

Ejercicio 3.- Teoría del Consumidor: el problema de minimización del gasto 1. Plantee el Lagrangeano del problema y formule sus condiciones de primer orden. CPO: L(x, y, λ) = x + y + λ(ū U(x, y)) L x = L x = λu x = 0 L y = L y = λu y = 0 L λ = L λ = Ū U(x, y) = 0 2. Interprete económicamente el resultado anterior. Qué relación encuentra con las condiciones necesarias del ejercicio 1? Al igual que en el ejercicio (1), de las dos primeras ecuaciones de la CPO se obtiene: = U x U y Por lo que vale la misma interpretación: en el ótpimo, la TMS es igual a la relación de precios de los bienes. La tercer ecuación de la CPO es simplemente la restricción. Estas dos condiciones implican que en el óptimo el gasto mínimo se alcanza en el punto de tangencia con la utilidad dada. 3. Para el caso de la función de utilidad del tipo Cobb-Douglas, encuentre los valores óptimos x e y (funciones de demanda Hicksianas), y la función de gasto óptima (e). La función de utilidad será, como en el ejercicio 1: U(x, y) = x α y 1 α Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 6

De la CPO tenemos una vez más que: = α y (1 α) x Despejando y en función de x, y sustituyendo en la restricción llegamos a: [ ] 1 α (1 α) Ū = x α x = α [ (1 α) α ] 1 α x Despejando x tenemos: [ x α = (1 α) ] 1 α Ū Y en consecuencia, si sustituimos este resultado en el y obtenido anteriormente: [ ] α (1 α) y = Ū α A partir de estos resultado, se obtiene la función de mínimo gasto: [ α e = (1 α) Realizando varias operaciones se llega a: e = ] 1 α Ū + py [ (1 α) α ( px ) ( α py ) 1 α Ū α 1 α 4. Verifique la condición suficiente de segundo orden. H = det 0 U x U y U x λu xx λu xy U y λu yx λu yy ] α Ū =...... = λu x U y U yx λu x U y U xy + λu 2 y U xx + λu 2 xu yy =...... = 2λU x U y U xy + λu 2 y U xx + λu 2 xu yy = λ(u 2 y U xx 2U x U y U xy + U 2 xu yy ) Recordando que λ = Ux = Uy > 0, el resultado anterior será negativo (condición suficiente para un mínimo) si la expresión entre paréntesis es negativa. Obsérvese que si la función Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 7

objetivo es una función convexa, esta condición se cumplirá. Dado que la función Cobb- Douglas lo es, estamos en condiciones de afirmar que se verifica la condición suficiente. Veamos este resultado analíticamente: U yy = ( α)(1 α)x α y α 1 < 0 U xx = (α)(α 1)x α 2 y 1 α < 0 U xy = U yx = (α)(1 α)x α 1 y α > 0 Por lo que los tres sumandos de la expresión (U 2 y U xx 2U x U y U xy + U 2 xu yy ) son negativos y se cumple la condición suficiente. 5. Cómo podria interpretar desde el punto de vista económico el multiplicador de lagrange en el óptimo? El multiplicador mide la cantidad de gasto por unidad de utilidad marginal. 6. Represente gráficamente el resultado. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 8

Ejercicio 4.- Propiedades de las funciones de demanda y de gasto 1. Las funciones de demanda Hicksianas (x H e y H ) son homogéneas de grado 0 en (, ). Tenemos que: Entonces: [ x H (,, Ū) = α (1 α) ] 1 α Ū y y H (,, Ū) = [ (1 α) α [ ] 1 α [ x H (a, a, Ū) = α a α Ū = (1 α) a (1 α) y H (a, a, Ū) = [ (1 α) α a a ] α Ū = [ (1 α) α ] α Ū ] 1 α Ū = x H (,, Ū) ] α Ū = y H (,, p Ū) y 2. La función de gasto, e(,, Ū), es homogénea de grado 1 en (, ). Tenemos que: Por lo tanto: ( e(,, Ū) = px ) ( ) α 1 α py Ū α 1 α e(a, a, Ū) = ( a ) α ( apy 1 α α 1 α) Ū = = a ( α = a α ( α ) α a 1 α ( 1 α) 1 α Ū = ) α ( py 1 α) 1 α Ū = ae(,, Ū) Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 9

Ejercicio 5.- Relaciones de dualidad Recordemos que: x M (,, B) = αb, U (,, B) = e(,, Ū) = ( α ) α ( py ) [ 1 α Ū, x H (p 1 α x,, Ū) = ( ) α ( ) 1 α α (1 α) B, α (1 α) ] 1 α Ū 1. Probar que x M (,, e(,, Ū)) = xh (,, Ū) (si así lo desea puede resolverlo para y también). x M (,, e(,, Ū)) = α( px α ) α ( 1 α) py 1 α Ū ( ) 1 α ( (... = α 1 α 1 py 1 α α 1 α) Ū = 1 α ( = α 1 α p α 1 py 1 α x 1 α) Ū =... ) 1 α Ū = x H (,, Ū) 2. Probar que x H (,, U ) = x M (,, B) (lo mismo se cumple para y). [ x H (,, U ) = α (1 α) ] 1 α ( ) α ( α (1 α) ) 1 α B = αb = x M (,, B) 3. Probar que U(,, e(,, Ū)) = Ū. U (,, e(,, Ū)) = ( α ) α ( (1 α) ) 1 α ( px ) ( ) α 1 α py Ū = Ū α 1 α 4. Probar que B = e(,, U ). ( e(,, U px ) ( ) α 1 α ( ) α ( ) 1 α py α (1 α) ) = B = B α 1 α 5. Interprete económicamente los resultados anteriores. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 10

Ejercicio 6.- Teoría del Productor: el problema de minimización de costos Se pide: 1. Encuentre las condiciones de primer orden e interprete económicamente su resultado. El Lagrangeano de este problema es: Las correspondientes CPO serán: L(K, L, λ) = rk + wl + λ(q 0 Q(K, L)) L = r λq K K = 0 L = w λq L L = 0 L = Q λ 0 Q(K, L) = 0 La tercer ecuación implica que en el óptimo se debe estar sobre la restricción, es decir, el nivel de prodcción óptimo debe coincidir con el nivel dado. Por su parte, de las dos primeras ecuaciones de la CPO se obtiene: λ = r Q K λ = w Q L r Q K = w Q L r w = Q K Q L Por lo tanto, en el óptimo el precio relativo de los factores debe ser iguales al cociente de las productividades marginales, usualemente denomindado relación técnica de sustitución (RTS). Al igual que en el caso del consumidor visto en los primeros ejercicios de la práctica, esta condición puede ser interpretada desde un punto vista geométrico: Q K Q L representa la pendiente de la curva de isoproducto (el lugar geométrico de los puntos (K,L) que implican un nivel de producción Q 0 ), mientras que r representa el negativo de la pendiente de w isocosto (el lugar geométrico de las combinaciones de insumos K y L que producen el mismo costo total). La condición anterior implica, entonces, que en el óptimo ambas pendientes deben igualarse, por lo que necesariamente las curvas de isocosto e isocuanta deben ser tangentes (ver gráfico del punto 5). 2. Para el caso de una función de producción del tipo Q(K, L) = K α L 1 α, encuentre los valores óptimos K y L (funciones de demanda de factores condicionadas), y la correspondiente función de costo mínimo C. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 11

Las condiciones anteriores quedan escritas de la siguiente forma: r w = αkα 1 L 1 α (1 α)k α L = α α L 1 α K L K = (1 α)r αw Q 0 K α L 1 α = 0 Q 0 = K α L 1 α Despejando L del primer resultado, tenemos: L = (1 α)r αw K Sustituyendo en la restricción: ( ) 1 α (1 α)r Q 0 = K α αw K = K Por lo tanto, despejando obtenemos K : ( (1 α)r αw ) 1 α Y ahora podemos obtener L : K = ( w r ) 1 α α Q 0 (1 α) ( (1 α)r L = αw ) ( w r ) 1 α ( α r Q 0 = (1 α) w Con K y L se obtiene la función de costo mínimo: ) α 1 α Q 0 (α) ( w C = r r ) 1 α ( α r Q 0 + w (1 α) w ) α 1 α Q 0 (α) Expresión que, luego de varias operaciones, se puede reducir a: ( r ) ( ) α 1 α w C = Q 0 α 1 α 3. Verifique la condición suficiente de segundo orden. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 12

H = det 0 Q K Q L Q K λq KK λq KL Q L λq LK λq LL =...... = λq K Q L Q LK λq K Q L Q KL +λq 2 LQ KK +λq 2 KQ LL = λ(q 2 LQ KK 2Q K Q L Q LK +Q 2 KQ LL ) Donde todas las derivdas están evaluadas en el punto óptimo obtenido de la condición necesaria de primer orden (K,L ). Para asegurarnos que dicho punto reporta efectivamente el costo mínimo es suficiente que el determinante del Hessiano orlado sea negativo. Dado que λ es positivo, la expresión entre paréntesis debe ser nagativa. Veamos si esto es así: Q 2 L > 0 y Q2 K > 0 Q K = αk α 1 L 1 α > 0 Q L = (1 α)k α L α > 0 Q KK = α(α 1)K α 2 L 1 α < 0 Q LK = α(1 α)k α 1 L α > 0 Q LL = α(1 α)k α L α 1 < 0 Por lo que los tres términos entre paréntesis del determinante son negativos y se cumple la condición suficiente. 4. Qué significado económico tiene el multiplicador de lagrange en el óptimo? Recordando que λ mide el efecto de la constante de la restricción sobre el valor óptimo de la función objetivo, en este caso el multiplicador representa el incremento del costo frente a un cambio en el producto marginal. Por ello, λ puede interpretarse como el costo marginal cuando estamos en el óptimo del problema. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 13

5. Represente gráficamente el resultado. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 14

Ejercicio 7.- Propiedades de las funciones de demanda de factores y de costo 1. Las funciones de demanda condicionadas (K c y L c ) son homogéneas de grado 0 en (r, w). K c (r, w, Q 0 ) = = ( w r ( w r 1 α α (1 α)) Q0 = K c (ar, aw, Q 0 ) = 1 α α (1 α)) Q0 = K c (r, w, Q 0 ) L c (r, w, Q 0 ) = = ( ) α r 1 α Q0 = L c (ar, aw, Q w (α) 0 ) = ( ) α r 1 α Q0 = L c (r, w, Q w (α) 0 ) ( aw ar ( ) α ar 1 α Q0 = aw (α) 1 α α (1 α)) Q0 = 2. La función de costos, C(r, w, Q 0 ), es homogénea de grado 1 en (r, w). C (r, w, Q 0 ) = ( ) r α ( w ) 1 α Q0 = C (ar, aw, Q α 1 α 0 ) = ( ) ar α ( aw 1 α α 1 α) Q0 = = a ( ) ( α r α ) α a 1 α w Q0 = a ( ) r α ( w 1 α α 1 α) Q0 = ac (r, w, Q 0 ) Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 15

Ejercicio 8.- Óptimo en producción: el caso de dos bienes y dos factores 1. Formule el Lagrangeano de este problema. L = p 1 f 1 (K 1, L 1 ) + p 2 f 2 (K 2, L 2 ) + λ K (K K 1 K 2 ) + λ L (L L 1 L 2 ) 2. Desarrolle las condiciones de primer orden. CPO: (1) L K 1 = p 1 f 1 K 1 λ K = 0 (2) L L 1 = p 1 f 1 L 1 λ L = 0 (3) L K 2 = p 2 f 2 K 2 λ K = 0 (4) L L 2 = p 2 f 2 L 2 λ L = 0 (5) L λ K = K K 1 K 2 = 0 (6) L λ L = L L 1 L 2 = 0 3. A la luz de los resultados anteriores, interprete la racionalidad económica de los mismos en un marco de competencia perfecta. En particular discuta cómo opera la movilidad de factores entre las empresas y el rol de los multiplicadores de Lagrange. De (1) y (3) se tiene que: λ K = p 1 f 1 K 1 = p 2 f 2 K 2 De forma similar, a partir de (2) y (4) se obtiene: λ L = p 1 f 1 L 1 = p 2 f 2 L 2 Los multiplicadores λ K y λ L pueden ser interpretados como el valor de la productividad marginal del capital y trabajo en el óptimo, respectivamente. Indican cuál debe ser la remuneración del capital y el trabajo en una economía competitiva. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 16

Como se observa en los resultados anteriores, de las primeras cuatro ecuaciones de la CPO se deduce que, si estamos situados en un punto que maximice la producción conjunta, el valor de las productividades marginales del capital y el trabajo deben ser iguales entre ambas empresas. Si esto no fuera así, y por ejemplo el trabajo fuera más productivo en la industria 1 que en la 2, los trabajadores encontrarían mayores beneficios en la primer industria. El trabajo dejará la industria 2 para ir a la industria 1, lo que traerá aparejado un aumento de la productividad del trabajo en la segunda industria y una disminución en la primera, hasta el punto en que nuevamente se igualen las productividades. Este mismo razonamiento puede hacerse para una diferencia en la productividad del capital entre las industrias. El resultado anterior también puede ser visto como que el precio (imputado) relativo de los factores de producción debe ser igual al cociene de las productividades marginales. Combinando (1) y (2) se tiene: f 1 L 1 f 1 K 1 = λ L λ K De la misma manera, de (2) y (3) se llega a: Por lo tanto, f 2 L 2 f 2 K 2 = λ L λ K f 1 L 1 f 1 K 1 = λ L λ K = f 2 L 2 f 2 K 2 Este resultado es equivalente al obtenido en el ejercicio 6 de minimización de costos, donde la isocuanta debe ser tangente a la isocosto en el óptimo. En este caso, el resultado se cumple en ambas empresas con la misma relación de precios y productividades marginales. Vale nuevamente la interpretación anterior respecto de los desajustes en las productividades marginales entre sectores. Si esto sucediera, el factor realtivamente menos valuado en una industria se moverá hacia la otra, aumentando el retorno de ese factor y el producto total hasta que se igualen los precios relativos con el ratio de productividades, punto donde no existen incentivos a moverse de una industria a otra. 4. Plantee el Hessiano orlado y la condición suficiente, dado el número de variables y restricciones de este caso puntual. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 17

H = det 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 p 1 fk 1 1 K 1 0 p 1 fl 1 1 K 1 0 1 0 0 p 2 fk 2 2 K 2 0 p 2 fl 2 2 K 2 0 1 p 1 fk 1 1 L 1 0 p 1 fl 1 1 L 1 0 0 1 0 p 2 fk 2 2 L 2 0 p 2 fl 2 2 L 2 Tenemos 4 variables y 2 restricciones, por lo que debemos estudiar el signo de los determinantes de los últimos 2 (4-2=2) menores principales, H y H3. Como ( 1) n = ( 1) 4 = 1, se debe cumplir que H > 0 y H 3 < 0. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 18

Ejercicio 9.- Óptimo en consumo: una economía de intercambio puro 1. Formule el Lagrangeano de este problema y las condiciones de primer orden. L = U 2 (x 2, y 2 ) + λ(ū 1 U 1 (x 1, y 1 )) + λ x (x x 1 x 2 ) + λ y (y y 1 y 2 ) Las CPO resultan: (1) L x 2 = U 2 x 2 λ x = 0 (2) L y 2 = U 2 y 2 λ y = 0 (3) L x 1 = λu 1 x 1 λ x = 0 (4) L y 1 = λu 1 y 1 λ y = 0 (5) L λ = Ū 1 U 1 (x 1, y 1 ) = 0 (6) L λ x = x x 1 x 2 = 0 (7) L λ y = y y 1 y 2 = 0 2. Encuentre las relaciones entre las utilidades marginales e interprete el significado de los multiplicadores. De (1) y (2) se obtiene: De (3) y (4) se obtiene: Ux 2 2 Uy 2 2 = λ x λ y Tomando estos dos resultados se llega a: Ux 1 1 Uy 1 1 = λ x λ y Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 19

U 1 x 1 U 1 y 1 Es decir, en el óptimo se debe cumplir que: = λ x λ y = U 2 x 2 U 2 y 2 T MS 1 = T MS 2 Esto es: la relación marginal de sustitución entre los bienes x e y debe ser la misma para los dos individuos, condición que se satisface si las ganancias del intercambio son totales (recordemos que esta es la única actividad económica que se efectiviza bajo los supuestos de este modelo). El conjunto de todos los puntos que satisfacen esta igualdad se conoce familiarmente en microeconomía como la curva de contrato. Por otra parte, sabemos que en el óptimo debe cumplirse que: λ x = U 2 x λ y = Por lo que, en el óptimo y dado cierto nivel de utilidad del individuo 1 (recordemos que esto debe cumplirse según lo establece la condición (5) de las CPO), los multiplicadores λ x y λ y representan las utilidades marginales derivadas del consumo de ambos ambos bienes para el agente maximizador (ambas positivas). Pero si consideramos ahora la condición que se cumple en el óptimo para λ, tenemos que: λ = U 1 Combinando esta condición con la expresión para λ deducidas de las ecuaciones (3) y (4), se tiene que: λ = 2 U U 1 U 2 y U 2 = λ x U 1 x = λ y U 1 y Y tomando las expresiones de λ x y λ y el resultado anterior nos queda: λ = 2 U U 1 = U 2 x Ux 1 = U y 2 Uy 1 Esta última expresión es negativa (recuerde que las utilidades marginales son positivas). Si esto no fuera así, lo que implicaría que la derivada parcial de U 2 respecto de U 1 fuera positiva, el aumento en la utilidad del individuo 1 derivada de un mayor consumo de los bienes implicaría un aumento del nivel de utilidad del individuo 2. Por lo que en esta situación existiría una distribución de los bienes x e y distinta a la encontrada bajo < 0 Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 20

las condición de primer orden, que reportaría un mayor nivel de utilidad para ambos individuos; y entonces no habríamos encontrado verdaderamente el óptimo del problema. En suma, que el multiplicador tenga un signo negativo nos indica que no es posible encontrar una asignación distinta que nos ubique en un punto donde uno de los indivuos mejore sin que el otro no lo haga (los puntos que cumplen esta condición se los denomina óptimos de Pareto). 3. Plantee el Hessiano orlado y la condición suficiente, dado el número de variables y restricciones de este ejercicio. El orden para realizar las derivadas parciales será x 2, y 2, x 1, y 1 y, para simplificar la notación, omitiremos los sub índices de las variables endógenas (sin embargo recuerde siempre que, por ejemplo, Ux 1 es la derivada de U 1 respecto de x 1, repitiendo en forma análoga el razonamiento para las otras funciones de utilidad). 0 0 0 0 0 Ux 1 Uy 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 H = det 0 1 0 Uxx 2 Uyx 2 0 0 0 0 1 Uxy 2 Uyy 2 0 0 Ux 1 1 0 0 0 λuxx 1 λuyx 1 U 1 y 0 1 0 0 λu 1 xy λu 1 yy Tenemos 4 variables y 3 restricciones, por lo que debemos estudiar el signo de los determinantes del último (4-3=1) menor principal, que coincide con el Hessiano orlado de mayor dimensión, H. Como ( 1) n = ( 1) 4 = 1, se debe cumplir que H > 0. Ejercicio 10.- Un problema de maximización de la utilidad. 1. Plantee el Lagrangeano del problema y formule las condiciones de Kuhn-Tucker. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 21

L = xy + λ 1 (100 x y) + λ 2 (40 x) Las condiciones de K-T son: L x = y λ 1 λ 2 0 L y = x λ 1 0 L λ1 = 100 x y 0 L λ2 = 40 x 0 xl x = x(y λ 1 λ 2 ) = 0 yl y = y(x λ 1 ) = 0 λ 1 L λ1 = λ 1 (100 x y) = 0 λ 2 L λ2 = λ 2 (40 x) = 0 2. Son las condiciones de Kuhn-Tucker condiciones necesarias en este problema? Justifique. Si, puesto que las restricciones de este problema son lineales. 3. Encuentre los valores x, y solución del problema y el valor de los multiplicadores. Probarl el caso en que x = y = 0 no tiene sentido, pues en ese caso U(x,y) sería 0 (y es fácil observar que cualquier valor distinto de 0 para ambas variables, que cumpla las restricciones de desigualdad, nos daría un valor postivo -y por tanto superiorque este). Debemos entonces probar otra solución, donde x e y sean diferentes de cero. Esto nos conduce directamente, a través de las condiciones de holgura complementaria, a que L x = L y = 0. Lo cual implica: Por lo que: y λ 1 λ 2 = x λ 1 = 0 Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 22

y λ 2 = x Debemos adoptar algún supesto adicional y probar si el candidato hallado es compatible con las condiciones de K-T. Supongamos que la restricción sobre x no se encuentra activa (x < 40), lo que por las condiciones de holgura implica que λ 2 = 0. De la ecuación anterior se deduce x = y. Y como se debe cumplir la restricción presupuestaria (recuerden que L y implica que x = λ 1 y x es distinto de 0, por lo que λ 1 también lo es y la holgura implica que L λ1 = 0, es decir, la restricción presupuestaria está activa), se tiene: 100 = x + y = x + x = 2x x = 50 e y = 50 Pero habíamos supuesto x < 40; entonces este candidato no puede ser solución! Entonces, debemos adoptar la hipótesis alternativa de que sí se satisface la restricción sobre x, por lo que x = 40. A través de la restricción presupuestaria obtenemos el valor de y: 100 = 40 + y y = 60 Por ultimo, a partir de las condiciones de K-T se obtienen rápidamente los valores de los multiplicadores: x = λ 1 λ 1 = 40 y λ 1 λ 2 = 0 60 40 λ 2 = 0 λ 2 = 20 4. Interprete económicamente el resultado anterior, incluyendo el significado de los multiplicadores. Dadas la forma de la función de utilidad, el óptimo del consumidor en este problema restringido se enuentra en el punto donde la restricción de racionamiento se vuelve activa. Si esta restricción no existitera, es fácil probar que el óptimo se alcanzaría en el punto donde el individuo reparte en partes iguales su consumo (x = y = 50). Esto es así pues la función de utilidad pondera de igual forma el consumo de ambos bienes, lo que implica que para el consumidor, el consumo de cada bien es igual de satisfactorio. Sólo a los efectos comparativos, en este caso la utilidad máxima se alcanza en el nivel U = 40x60 = 2400, mientras que en el caso sin restricciones de cantidad la utilidad Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 23

hubiera sido 2500 (U = 50x50 = 2400). Es decir, la existencia de racionamiento del bien x reduce el nivel de utilidad del consumo para este individuo. Por último, en lo que respecta a los multiplicadores, sabemos que en el óptimo estos coinciden con la derivada parcial de la función de valor máximo respecto de la constante de restricción. En este caso, si en términos generales llamamos B al presupuesto y X 0 al racionamiento de x, tenemos que: λ 1 = U B = 40 λ 2 = U X 0 = 20 En estas condiciones, λ 1 representa la utilidad marginal de dinero, mientras que λ 2 representa la utilidad marginal del consumo de x. 5. Verifique la condición suficiente de segundo orden a través de alguna de las formas vistas en el curso. a) U(x,y) es cuasi-cóncava en el cuadrante no negativo (para un desarrollo de esta propiedad ver el ejemplo 2 de la página 368 y el ejemplo 4 de la página 370, capítulo 12 de Chiang y Waingwright, disponibles en el EVA de la asignatura); b) las restricciones son lineales (por tanto diferenciables y cuasi-convexas); c) el punto (x, y ) = (40, 60) cumple las condiciones de K-T; y d) U x (x, y ) = y = 60 > 0. Por tanto, estamos en las condiciones del teorema de suficiencia de Arrow-Enthoven. Es posible considerar una forma alternativa para probar la cuasi-concavidad de una función difrenciable en el cuadrante no negativo (como nuestro caso). Esta forma implica considerar un determinante orlado con similitudes al ya conocido, donde en vez de ubicar como orla las derivadas de la o las restricciones se coloca las derivadas de la función y en vez de las derivadas segundas del Lagrangeano se colocan las derivadas segundas de la función objetivo. Para el caso de una función f(x,y), este determinante es: B = 0 f x f y f x f xx f xy f y f yx f yy Para que la función f(x, y) sea cuasi-cóncava se deben cumpir dos condiciones: una necesaria y otra suficiente. La condición necesaria es que los menores principales directores alternen de signo, siendo B 1 0 y B 2 = ( 1) 2 = 1 0. Y la condición suficiente es que si la desigualdad se cumple estrictamente, la función es estrictamente cuasi-cóncava. Esto siempre que las derivadas parciales se evalúen en Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 24

el cuadrante no negativo. Notar que este resultado puede extenderse a una función de n variables (resultado que figura en la página 369 del Chiang and Wainwright, capítulo 12, sección 12.4). En nuestro caso, el determinante orlado resulta: B = 0 U x U y U x U xx U xy U y U yx U yy = 0 y x y 0 1 x 1 0 Donde: B 1 = 0 y y 0 = y2 0 y B 2 = 0 y x y 0 1 x 1 0 = 2xy 0 Por lo tanto, se verifica la condición necesaria. Sin embargo, no se verifica la condición suficiente, pues ambos determinantes pueden ser 0 si x e y son ambos cero. Dicha condición suficiente sólo es válida cuando ambas variables son estrictamente positivas. Si bien este resultado puede resultar inaplicable en nuestro ejercicio, resulta conveniente notar que el óptimo encontrado implica trabajar sobre el cuadrante positivo, lugar geométrico en que la condición suficiente sí aplica. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 25

6. Represente gráficamente el resultado obtenido. y x=40 U=U y* =60 x +y =100 x* =40 x Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 26

Ejercicio 11.- Un segundo problema de maximización de la utilidad. 1. Plantee el Lagrangeano del problema y las condiciones de Kuhn-Tucker. L = xy 2 + λ 1 (100 x y) + λ 2 (120 2x y) Las condiciones de K-T son: L x = y 2 λ 1 2λ 2 0 L y = 2xy λ 1 λ 2 0 L λ1 = 100 x y 0 L λ2 = 120 2x y 0 xl x = x(y 2 λ 1 2λ 2 ) = 0 yl y = y(2xy λ 1 λ 2 ) = 0 λ 1 L λ1 = λ 1 (100 x y) = 0 λ 2 L λ2 = λ 2 (120 2x y) = 0 2. Son éstas condiciones necesarias? Justifique. Si, pues las restricciones son lineales y por tanto califican. 3. Encuentre los valores x, y solución del problema y el valor de los multiplicadores. Nuevamente, aquí no tiene sentido probar la solución x = y = 0. Dado que ambas variables deben ser positivas, por las condiciones de holgura complementaria se tiene que L x = L y = 0. Lo cual implica: y 2 λ 1 2λ 2 = 0 2xy λ 1 λ 2 = 0 Debemos adoptar algún supesto adicional y probar si el candidato hallado cumple las condiciones de K-T. Supongamos que la restricción presupuestaria no se encuentra Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 27

activa (x+y < 100), lo que por las condiciones de holgura implica que λ 1 = 0; y que sí es activa la resticción de cupones (2x + y = 120), por lo que λ 2 > 0. Incorporando el primer supusesto en las dos ecuaciones anteriores y adoptando la restricción de cupones, se tiene: y 2 2λ 2 = 0 2xy λ 2 = 0 120 2x y = 0 Este es un sistema de 3x3. Despejando λ 2 de la primera y sustituyendo en la segunda tenemos: λ 2 = y2 2 2xy y2 2 = 0 y(4x y) = 0 Entonces, o bien y es cero, o bien y = 4x. El primero resultado ya fue descartado, por lo que si sustituimos el segundo en la última ecuación anterior se llega a: Y por tanto: 120 2x 4x = 0 x = 20 y = 4x = 4,20 y = 80 Tenemos entonces hasta aquí x = 20, y = 80 y λ 1 = 0. De la ecuación y 2 2λ 2 = 0 obtenemos el valor del otro multiplicador: λ 2 = 3200. Por ultimo, debemos comprobar si este resultado es compatible con la restricción presupeustaria. Sustituyendo los valores de x e y en la misma tenemos que: 20 + 80 = 100 Por lo que la restricción es activa en el punto óptimo y el mismo satisface las condiciones de K-T. 4. Interprete económicamente el resultado anterior, incluyendo el significado de los multiplicadores. Qué implicancia tiene el valor obtenido para el multiplicador asociado a la primer restricción? Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 28

Si esta economía no estuviera sujeta a dificultades de provisión de bienes y únicamente operara la restricción presupuestaria, realizando un análisis similar al hecho hasta aquí nos permitiría observar que el óptimo se alcanza en el punto en que se consume todo el ingreso (B=100) y las cantidades óptimas hubieran sido x = 100/3 = 33, 3 e y = 200/3 = 66, 6. Este resultado es compatible con el hecho de que, dados que los percios son 1, para este consumidor el consumo del bien y es doblemente preferible al consumo del bien x (observen la función de utilidad). Es decir, este consumidor destinará 1/3 de su consumo al bien x y 2/3 al bien y. Sin embargo, debido a que opera la restricción de cupones y el bien x es más çaro de conseguir que el bien y en esta economía con racionamiento (observen la restricción de cupones), el óptimo se encuentra en un punto de mayor consumo de y y menor del bien x. Compare los niveles de utilidad en ambos casos: qué sucede? Una última interpretacióne es interesante resaltar. En este caso, λ 1 puede ser interpretada como la utilidad marginal del dinero. Dado que la restricción presupuestaria es activa, deberíamos esperar que este multiplicados fuera positivo, sin emabrgo su valor es 0. Esto implica que, si bien la restricción se encuentra matemáticamente activa, no lo está desde el punto de vista económico, lo cual significa que una relajación de esta restricción (un aumento de la cantidad de dinero) no tiene efectos sobre las decisiones de consumo de los indiviuos. Esto es así pues la restricción de racionamiento es la que efectivamente está operando en las decisiones del consumidor: si aumenta el ingreso, el individuo no podrá destinar ese mayor dinero al consumo de los bienes, pues no tiene cupones suficientes para hacerlo. 5. Verifique la condición suficiente de segundo orden. a) U(x,y) es cuasi-cóncava en el cuadrante no negativo (para probar esto puede aplicarse un análisis análogo al del ejemplo 2 de la página 368 del Chiang y Waingwright); b) las restricciones son lineales (por tanto diferenciables y cuasiconvexas); c) el punto (x, y ) = (20, 80) cumple las condiciones de K-T; y d) U x (x, y ) = (y ) 2 = 6400 > 0. Por tanto, estamos en las condiciones del teorema de suficiencia de Arrow-Enthoven. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 29

6. Represente gráficamente el resultado obtenido. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 30

Ejercicio 12.- Precios fuera del mercado planeado 1. Plantee el Lagrangeano del problema y las condiciones de Kuhn-Tucker. L = (400 Q 1 )Q 1 + (380 Q 2 )Q 2 20(Q 1 + Q 2 ) 10K + λ 1 (K Q 1 ) + λ 2 (K Q 2 ) L = Q 2 1 Q 2 2 + 380Q 1 + 360Q 2 10K + λ 1 (K Q 1 ) + λ 2 (K Q 2 ) Las condiciones de K-T son: L Q1 = 380 2Q 1 λ 1 0 L Q2 = 360 2Q 2 λ 2 0 L K = 10 + λ 1 + λ 2 0 L λ1 = K Q 1 0 L λ2 = K Q 2 0 Q 1 L Q1 = Q 1 (380 2Q 1 λ 1 ) = 0 Q 2 L Q2 = Q 2 (360 2Q 2 λ 2 ) = 0 KL K = K( 10 + λ 1 + λ 2 ) = 0 λ 1 L λ1 = λ 1 (K Q 1 ) = 0 λ 2 L λ2 = λ 2 (K Q 2 ) = 0 2. Son éstas condiciones necesarias y suficientes? Justifique. Las condiciones de K-T son necesarias pues las restricciones del probelma son lineales. Para probar la suficiencia, debemos ver si la función de beneficios (π = Q 2 1 Q 2 2 + 380Q 1 + 360Q 2 10K) es cóncava o cuasi-cóncava. Utilizando el método del los determinantes presentado en el ejercicio 1, tenemos: Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 31

B = 0 380 2Q 1 360 2Q 2 10 380 2Q 1 2 0 0 360 2Q 2 0 2 0 10 0 0 0 Donde los determinantes de los menores principales son: B 1 = 0 380 2Q 1 380 2Q 1 2 = (380 2Q 1) 2 0, 0 380 2Q 1 360 2Q 2 B 2 = 380 2Q 1 2 0 360 2Q 2 0 2 = [ 2(360 2Q 2) 2 2(380 2Q 1 ) 2 ] 0 0 380 2Q 1 360 2Q 2 10 B 3 = 380 2Q 1 2 0 0 360 2Q 2 0 2 0 =... 10 0 0 0 380 2Q 1 2 0... = ( 10) 360 2Q 2 0 2 = 10.( 40) = 400 < 0 10 0 0 Los determinantes alternan de signo, siendo el signo de B 3 negativo (sg( B 3 ) = ( 1) 3 = 1 0), y la función es diferenciable (es un polinomio de grado 2), por lo que la función es cuasi-cóncava. Tomando este último resultado y si observamos que π K < 0 para todos los valores posibles, y que las restricciones son diferenciables y cuasi-convexas por ser lineales, se cumplen tres de las cuatro condiciones del teorema de Arrow-Enthoven. Adicionalmente se sabe que las restricciones califican (también por ser lineales), por lo que las condiciones de K-T serán necesarias y suficientes para obtener el óptimo del problema. 3. Encuentre la capacidad y producción óptima para este problema. Comencemos suponiendo que Q 1, Q 2, K > 0, por lo que a través de las condiciones de holgura complementaria tenemos que: Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 32

380 2Q 1 λ 1 = 0 360 2Q 2 λ 2 = 0 10 + λ 1 + λ 2 = 0 Para proseguir debemos realizar algún supuesto más. Consideremos por ejemplo que λ 2 = 0, por lo que del sistema de ecuaciones anterior se tiene que: λ 1 = 10 380 2Q 1 10 = 0 Q 1 = 185 360 2Q 2 = 0 Q 2 = 180 Dado que λ 1 0, se debe cumplir que K Q 1 = 0 por lo que K = 185. Finalmente, los valores hallados son compatibles con K Q 2 0, puesto que 185 > 180, satisfaciendo así todas las condiciónes de K-T. 4. Encuentre los precios óptimos a partir de las demandas en cada mercado. A partir del punto anterior tenemos que Q 1 = 185, Q 2 = 180. Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de demanda tenemos: P 1 = 400 Q 1 P 1 = 400 185 = 215 P 2 = 380 Q 2 P 2 = 380 180 = 200 5. Cuánto paga cada mercado por la capacidad (es decir, cuáles son los valores de los multiplicadores)? Del punto 2 se obtuvo λ 1 = 10 y λ 2 = 0. Recordando que a partir de las condiciones de K-T se debe cumplir que λ 1 +λ 2 = 10 (siendo 10 el costo por unidad de capacidad utilizada), el valor de los multiplicadores implican que el mercado principal paga por toda la capacidad (λ 1 = 10). 6. Ahora suponga que el costo de la capacidad asciende a 30 por unidad. Resuelva los tres items anteriores para este caso. Razonando en forma similar a los puntos anteriores, se llega a que: Q 1 = Q 2 = K = 177, 5 y λ 1 = 25, λ 2 = 5. Este último resultado implica que ambos mercados comparten el costo por la capacidad instalada (λ 1 + λ 2 = 30). Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 33

Ejercicio 13.- Aplicación del Teorema de la Envolvente: la Identidad de Roy Aplicando el teorema de la envolvente para el caso restringido, demuestre que la función de demanda marshalliana es igual al negativo del cociente de las derivadas parciales de la función de utilidad indirecta respecto del precio del bien y del nivel de ingresos. Es decir: x M (,, B) = U (,, B)/ U (,, B)/ B Recordemos que las funciones de demanda marshalianas(x M, y M ) se derivan del problema de maximización de la utilidad sujeto a la restricción presupuestaria. El Lagrangeano de este problema era: L = U(x, y) + λ[b x y] A partir del teorema de la envolvente tenemos que: du dφ = L φ Con φ un parámetro determinado y L φ la derivada parcial del Lagrangeano respecto de dicho parámetro, evaluada en el ótpimo (x M, y M, λ M ). Para el parámetro, la derivada del Lagrangeano es: L = λx Entonces, aplicando el teorema de la envolvente se tiene que: du d = L x=x M = U x=x M + λ (B x y) x=x M = λx x=x M = λx M Por otro lado, aplicando el teorema respecto al parámetro B, se tiene: du db = L = U + λ (B x y) = λ B B B x=x M x=x M x=x M Si se realiza el opuesto del cociente de ambos diferenciales se llega a: du /d du /B = λm x M λ M = x M. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 34