Ecuaciones de primer grado. Conceptos Básicos Ecuación. Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen cantidades desconocidas llamadas variables y que se verifica para un valor determinado de la variable. Ejemplo. La igualdad únicamente cuando x x es una ecuación ya que se verifica Miembros. Son las expresiones algebraicas que se encuentran a ambos lados del signo igual. La expresión que se encuentra a la izquierda del signo igual se denomina primer miembro y la que se encuentra a la derecha segundo miembro. Ejemplo. En la ecuación x es el segundo miembro. x x x : el primer miembro es x y x Términos. Son cada uno de los sumandos que están presentes en cada miembro de la ecuación. Los términos que no tienen variables se denominan términos independientes. Grado. Al mayor exponente de la variable o las variables que tiene una ecuación se les denomina grado de la ecuación. Ejemplos. En la ecuación x, el primer miembro es x y el segundo miembro es, los términos son, x y. La incógnita es x y la ecuación es de primer grado porque el mayor exponente de x en la ecuación es. En la ecuación x x y el x x 4x, el primer miembro es segundo miembro es 4x, los términos son x, x, 4x y. La incógnita es x y la ecuación es de segundo grado porque el mayor exponente de la variable es.
. En la ecuación x 0, el primer miembro es miembro es 0, los términos son es de tercer grado ya que el mayor exponente de x x y el segundo x, y 0. La incógnita es x y la ecuación es. Raíz o solución. El valor (o los valores) de la variable que satisfacen la ecuación se denomina raíz o solución de la ecuación. Resolver una ecuación es obtener el valor o los valores de la variable que verifican la ecuación. x 9 es solución de la ecuación Ejemplo. Para verificar que x x 49, se reemplaza ese valor en la ecuación dada. Observa: x x 49 9 9 49 4 8 49 6 6 Como la igualdad se satisface, entonces se afirma que x 9 es solución de la ecuación x x 49 Dos ecuaciones con el mismo conjunto solución se denominan ecuaciones equivalentes. Ejemplo. Las ecuaciones x 0 y x son equivalentes, pues ambas tienen como solución el valor x. En la primera ecuación. x 0 x 0 En la segunda ecuación. Ejercitación. Determinar si cada par de ecuaciones es equivalente. ) ) x x 4 4 x 6 x 6 6 x ) x x x 4) x x x
Ejemplo. Resolver la ecuación x x 49, hallando ecuaciones equivalentes. Para llegar a la solución de la ecuación, mediante un razonamiento lógico, se aplican las propiedades de las igualdades. Entonces: x x 49 Se parte de la ecuación dada. x x 49 Se resta a los dos miembros. xx Se realizan las operaciones. x x x x Se resta x a los dos miembros. x x Se reducen términos semejantes. Se divide entre los dos miembros. x 9 Se simplifica y se obtiene la solución. Las ecuaciones xx y x son ecuaciones equivalentes a la ecuación dada; por tanto tienen la misma solución x 9. Ejercitación. Usar el ejemplo anterior para resolver cada una de las siguientes ecuaciones. ) 4x ) 4 x 0 ) 6x x 4) x 6 x x 6
La transposición de términos consiste en pasar un término de un miembro de la ecuación al otro sin que la ecuación cambie, esto es posible con la propiedad uniforme de las igualdades. Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo. Esto es, Sí, entonces Sí, entonces Ejemplo. Resolver las siguientes ecuaciones: ) x 8 ) x 6 Se utiliza la transposición de términos en cada ecuación y se efectúan las operaciones. ) x 8 ) x 6 x 8 x x 6 x Ejercitación. Usar la transposición de términos para resolver las siguientes ecuaciones y verificar la respuesta.. x 8. z. 6 x 9 4. 8 6 w 4
. Ecuaciones de primer grado con una incógnita Una ecuación de primer grado con una incógnita (también llamada ecuación lineal) es una expresión de la forma ax b c donde a, b y c son números reales y el exponente de la incógnita es. Ejemplo A continuación se presentan algunos ejemplos de ecuaciones de primer grado con una incógnita. ) x ) 46 y ) w 8 Para resolver una ecuación de primer se deben tener en cuenta los siguientes pasos: ) Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro las cantidades conocidas (términos independientes). ) Se reducen términos semejantes en cada miembro. ) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita. Ejemplo Resolver la ecuación 6x 8 x. 6x 8 x Ecuación dada 6x x 8 Se hace la transposición de términos x Se reducen términos semejantes x Se dividen ambos miembros entre. x Se simplifica. Ejercitación 4. Resolver las siguientes ecuaciones y verificar la solución.. 4x 8 x. x x. y 6 y 8y 4 4. x 0 6x x
Si la ecuación incluye signos de agrupación se realizan los siguientes pasos: Primero, se suprimen los signos de agrupación. Para esto, se debe tener en cuenta que si el signo menos precede un signo de agrupación, entonces se cambia el signo de los términos que están en su interior. Cuando unos signos de agrupación están incluidos dentro de otros, se suprime cada uno de los signos de agrupación iniciando por el más interior. Luego, se hace la transposición de términos y la reducción de términos semejantes. Finalmente, se despeja la incógnita correspondiente. 9 0. Ejemplo Resolver la ecuación x x x Se suprimen los signos de agrupación de dentro hacia fuera x x 9x 0 x x 9x 0 x x 9x 0 x x 9x Se hace la transposición de términos x 4 Se reducen términos semejantes x 4 Se despeja la incógnita. x Se simplifica Luego la solución de la ecuación x x x 9 0 es x Ejercitación. Resolver cada ecuación y verificar la solución.. x x 8 x. x x x x. y y y 8y y 9 4. 4x x x 8 6
Sí la ecuación contienen productos indicados se aplican los siguientes pasos: Primero, se efectúan los productos indicados y cambios de signos respectivos. Luego, se hace la transposición de términos y la reducción de términos semejantes. Por último, se despeja la incógnita correspondiente. Ejemplo Resolver la ecuación x x x 8 x 9. x x x 8 x 9 x x x x Se realizan los productos. x x Se cancela x en cada miembro. x x Se hace la transposición de términos. x Se hace un cambio de signo x Luego la solución de la ecuación x x x 8 x 9 es x Ejercitación 6. Resolver cada ecuación y verificar la solución.. x 4 x. x x x x. 4y y y y 4. x x x x
Sí la ecuación contiene denominadores se aplica el siguiente procedimiento: Primero, se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores de la ecuación. Segundo, se multiplica cada miembro de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Tercero, Se aplica la propiedad distributiva en cada uno de los miembros. Cuarto, se simplifica cada fracción, de tal manera que no queden denominadores en la ecuación. Luego, se resuelve la ecuación resultante, efectuando los productos indicados, la transposición y reducción de términos semejantes. Por último, se despeja la incógnita correspondiente. Ejemplo. Resolver la ecuación y y y. 6 y y y 6 mcm 6,, 6 y y y 6 6 6 6 6 Se multiplican los términos por 6 y y y Simplificamos las fracciones y y 9 4y Efectuamos los productos y y 4y 9 Se hace la transposición de términos y 4 Se reducen términos semejantes 4 y Se despeja la incógnita y Se simplifica Ejercitación. Resolver cada ecuación y verificar la solución.. x x x x. 4 9 6 x x x x 0 0 8
. y y y 4. 9 x x x 6 4 4 Para resolver una ecuación racional, se debe seguir el mismo procedimiento utilizado para resolver una ecuación con denominador, teniendo en cuenta los criterios para simplificar fracciones algebraicas. x 4 x 4 x 6 Ejemplo. Resolver la ecuación x x x 4 4 6. x 4 x 4 x 4 x 4 4 4 mcm x x x 4x 4 x 4x 4 x 4x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x x 4 4 x 0 x x x 0 x x x 4 x 4 x 6 Luego, la solución de la ecuación es x Ejercitación 8. Resolver cada ecuación. Luego verificar la solución... x 4 0x 4 x4 x4. 4 0 9 x x x 9
Respuestas Ejercitación. ) Equivalentes. ) No son equivalentes ) No son equivalentes 4) No son equivalentes. Ejercitación. ) x ) x ) x 4) x Ejercitación. ) x ) z ) x 4 4) w 4 Ejercitación 4. ) x ) x ) y 4) x Ejercitación. ) x ) Ejercitación 6. ) x ) Ejercitación. x ) y 4) 4 x ) y 4) 9 x 4 x ) 4 x ) y ) x 4 4) x Ejercitación 8. ) x 8 ) x ) x 0 4) x 0