.- Elements d una recta..- Vector director d una recta..- Vector normal d una recta.3.- Pendent d una recta.- Equacions d una recta..- Equació ectorial, paramètrica i contínua..- Equació explícita.3.- Equació general.4.- Equació canònica 3.- POSICIONS RELATIVES I ALTRES 3..- Posició relatia punt-recta 3..- Posició relatia recta-recta 3.3.- Distància punt-punt 3.4.- Distància punt-recta 3.5.- Distància recta-recta 3.6.- Angle entre rectes
.- Elements d una recta..- Vector director d una recta El ector director d una recta és un ector qualseol que... té la mateixa direcció que la recta. pot pertànyer a la recta o ser paral lel a ella. pot tenir qualseol dels dos sentits.,. es representa com No interessa la sea magnitud o llargada. exemple: El ector director de la recta x y 0 pot ser: El ector ha de ser paral lel a la recta que representa, ja que els ectors se solen representar sobre l eix de coordenades. Tan el ector, 4,,, 3, 6,... Els ectors amb signe positiu tenen sentit contrari al que tenen signe negatiu. La llargada o magnitud del ector és irrelleant; és tan útil, com a ector director, tan el, 4,. com el Y x-y+6 =0 (, 4) b = 6 o (-, -) X exercici: Troba els ectors directors de les rectes de la figura següent: a) x y 3 0 b) 4x y 0 c) y 3 0 / 4
..- Vector normal d una recta Un ector normal és aquell que és perpendicular al ector director d una determinada recta. Es representa per n. Per calcular un ector normal a un altre només cal caniar l ordre de les coordenades i el signe d una d elles. Recorda que si multipliquem n 0 ; ja que n. exemple: El ector normal de la recta determinada pels punts A(4, -3) i B(3, ): exercici: Calcula els ectors normals a cada una de les rectes següents: a) dos punts A(4, 4) i B(, -) b) un punt A(-3,-) i el ector director,.3.- Pendent d una recta El pendent d una recta és el grau d inclinació que té la recta. Generalment es representa per m i que és un nombre sense unitats. El alor de m es pot calcular de dierses maneres, però la més senzilla és a partir del ector director: m. També pot expressar-se com un angle. Aquest angle es calcula: m tg exemple: El pendent de la recta determinada: a) pels dos punts A(, 3) i B(-, 0) és: b) pel punt A(, ) i el ector director 3, 4 exercici: Troba els pendents de les rectes determinades per: a) dos punts A(, 3) i B(-, 0) b) un punt A(, ) i el ector director 3, 4 3 / 4
.- Equacions d una recta..- Equació ectorial, paramètrica i contínua Equació ectorial, paramètrica i contínua. Una recta es pot definir com un conjunt de punts, disposats de tal manera que formin una recta. Una fórmula que permet calcular qualseol punt de la recta o, en el fons, tots els punts és l equació ectorial: x a on és un paràmetre, és a dir, una ariable que pot prendre qualseol alor real. Té la missió d allargar el ector per tal que arribi a qualseol punt de la recta. Mira la figura següent. Y -3x + 4y = x(x, y) A(a,a ) a x b = 7 (4, 3) o X Obsera que per trobar el ector x, es pot calcular mitjançant la suma del ector a i un ector (. director) que arribi fins el punt x. L equació ectorial també es pot expressar amb les sees coordenades: x, y a, a, Si aïllem cada un dels components dels ectors i formem una equació amb cada un d ells tenim les equacions paramètriques: x a y a Si amb aquest sistema fem una igualació (a partir de l únic component comú, ) obtindrem la fórmula de l equació contínua de la recta. 4 / 4
x a y a x a y a x a y a exemple: Les equacions de la recta que e donada per un punt A(, -4) i el ector director 3, l equació ectorial serà: x, y, 4 3, x 3 les equacions paramètriques són: y 4 x 4 y x 4 l equació contínua: o bé y 3 3 x 3 y 4 són:..- Equació explícita Quan la ariable dependent (la y) es troba completament aïllada de la resta de paràmetres i ariables. Té la forma següent: y mx b. pendent y = mx + b ordenada en l origen. dependent. independent Ordenada en l origen: expressa el alor de la coordenada y per on la recta traessa l eix Y. Pendent: expressa el grau d inclinació de la recta respecte el semieix positiu de les X. La relació entre el alor del pendent i l angle de la recta és: m tg exemples: a) Forma explícita: y = x 5 m = i b = 5. x b) Forma explícita: y 3 m i b = 3. c) Forma implícita: x + y + 5 = 6 y = x + m = i b =. La forma explícita s utilitza molt per la sea facilitat a l hora de representar la recta en l eix de coordenades. Per a la sea representació són necessaris únicament dos punts. El dos més fàcils són quan la x = 0 i quan la y = 0 respectiament. Així en els exemples anteriors tenim: a) si x = 0 y = 0 5 y = 5 un punt de la recta és (0, 5) si y = 0 0 = x 5 x = 5 un punt de la recta és (5, 0) c) si x = 0 y = 0 + y = un punt de la recta és (0, ) 5 / 4
si y = 0 0 = x + x un punt de la recta és (, 0) Pot ser que alguns casos la m = 0 o que la b = 0. Quan la m = 0 es tracta d una recta horitzontal i paral lela a l eix X. Quan la b = 0 es tracta d una recta que passa pel centre de coordenades; és a dir, pel (0, 0). Quan la recta té la forma x = K es tracta d una recta ertical i paral lela a l eix Y. Un cas especial de x = k és quan k = 0 es tracta d una recta ertical que correspon a l eix Y. Quan m = b = 0 es tracta d una recta horitzontal i que correspon a l eix X. La sea forma és: y = 0. exemples: y= -x - 4 Y x=6 x y= + 5 X y= -5 y=x.3.- Equació general Quan la ariable dependent (la y) NO es troba completament aïllada de la resta de paràmetres i ariables. Por tenir múltiples formes d expressar-se, però la més utilitzada és: ax by c. ex: x 3y = -4 x + y = 0... Aquesta forma implícita té àries utilitats pràctiques: La forma ax by c permet conèixer: un ector director de la recta en qüestió. El ector director és: b, a. El que és interessant d aquest ector director és que ens dona la direcció que té la recta d on l hem tret. Si ho recordes, a partir d un ector pots saber el seu ector normal, que es calcula n a,b. a el pendent de la recta en qüestió. El pendent es pot calcular així: m b 6 / 4
Obserant les rectes següents ens en farem una idea. exemples: a) La recta -3x + 4y = Les constants són: a = 3 i b = 4; per tant... el ector director serà b, a 4, 3 el ector normal serà n a,b n 3, 4. a 3 el pendent serà: m m 0, 75. b 4 Si la recta la transformem en la forma explícita... 3 3x 4y 4y 3x y x y 0,75x 3. 4 4 podrem obserar les sees constants: m = 0,75 i b = 3. Amb el ector director i l ordenada en l origen podrem representar la recta de forma senzilla (mireu la figura següent). b) La recta x + y = -4 Les constants són: a = i b = ; per tant..,. el ector director serà el ector normal serà: n,. a el pendent serà: m m. b Si la recta la transformem en la forma explícita: x y 4 y x 4. podrem obserar les sees constants: m = i b = 4.. Y x + y = - 4-3x + 4y = b = 3 X (-4, -3) b = -4 7 / 4
.4.- Equació canònica L ordenada en l origen d una recta és l ordenada del punt de la recta que té per abscissa zero; és a dir, (0, b). L abscissa en l origen d una recta és l abscissa del punt que té per ordenada zero; és a dir, (l, 0.) Suposant que una recta té d ordenada en l origen i abscissa en l origen, l equació de la recta que passa per (0, b) i (l, 0.) té la forma: x y equació canònica de la recta l p Y (0, p) x y l p (l, 0) X exemple: Passa aquestes equacions a la forma canònica i després representa-les. a) -3x + 4y = b) x + 4y = 9 c) 3x y = 4 a) 3x 4y b) x 4y 9 x x 9 c) 3x y 4 3 4 3 4 x y x y ( 0, p) = (0, 3) i (l, 0) = (-4, 0) 4 3 4 9 x y y (0, p) = (0, 5) i (l, 0) = (-9 0) 9 9 9,5 4 x y x y (0, p) = (0, -4) i (l, 0) =,3, 0 4 4 '3... 4 Y (0, 9) a) c) (-4, 0) (3, 0) (0, - 3) (0, -4) (0, 5) X b) 8 / 4
.5.- Altres equacions Equació punt-pendent L equació de la recta que passa per un punt A (a, a ) que té de pendent m, és: y a m x a y exemple: L equació de la recta que passa pel punt A(-, 8) i amb un pendent de m= és: m x y x 8 y x 6 y x 5. a a Equació punt-punt L equació es pot trobar calculant un ector director AB gràcies al qual, després, es podrà calcular el pendent. com que, ara, ja tenim un punt i el pendent, ens trobem amb un problema idèntic al cas anterior. També es pot trobar calculant la recta trobant, únicament, el ector director i utilitzant un punt qualseol dels dos que ens ha donat el problema. exemple: L equació de la recta que passa pel punt A(3, -) i B(5, 0) és: El ector director es calcula: AB B A 5 3, 0,. Si el representem, es pot obserar que el pendent es calcula diidint la component y entre la x del ector director m m. L equació general explícita, per exemple, es pot calcular amb la fórmula punt-pendent: y a m x y 0 x 5 a y x 5. Si només utilitzem el ector director, i un dels dos punts que ens han donat (per ex, A(3, -)) es pot calcular la fórmula de l equació ectorial, paramètrica o contínua de forma immediata. Si ho fem amb l equació contínua... x a y a y x 5 y x. 5 x 3 y x 3 y. És senzill arribar fins l equació general explícita: exercicis complementaris:,, 3, 4, 5 i 6. 3.- POSICIONS RELATIVES I ALTRES 3..- Posició relatia punt-recta Només hi ha dos possibles posicions: El punt pertany a la recta (o la recta passa pel punt). Les coordenades del punt han de complir les condicions de la recta. El punt no pertany a la recta. Les coordenades del punt no compleixen les condicions de la recta. 9 / 4
exemple: Els punts A(-, 4) i B(5, 0) pertanyen a la recta r:x 3y 5 0? A(-, 4) 3 45 = 0; -5 = 0 ; 9 0 El punt no pertany a la recta r. B(0, 3) 53 0-5 = 0 ; 5-5 = 0 ; 0 = 0 El punt pertany a la recta r. 3..- Posició relatia recta-recta Les posicions relaties entre rectes permet tres casos: paral leles: quan no tenen cap punt en comú. coincidents: quan tenen infinits punts en comú. secants: quan tenen un punt en comú. perpendiculars: quan els seus ectors són perpendiculars. coincidents paral leles secants Quadre de la posició relatia entre dues rectes: recta secants paral leles coincidents perpendiculars E. general E. general implícita E. ectorial Solucions explícita A B m m' Una solució A' B' A B C m = m Sense solució A' B' C' b b' a A A' B B' C C' (A, B) i (A, B ) / (A, B ) m = b=b a a a Infinites solucions m = 0 Una solució m' En general: - Dues rectes en la forma implícita són... Coincidents: si tots els termes són proporcionals. Paral leles: si els coeficients són proporcionals. Secants: si els coeficients No són proporcionals. - Dues rectes en la forma explícita són... Coincidents: si els dos termes (pendent i ordenada a l origen) són proporcionals. Paral leles: si els dos pendents són iguals però l ordenada a l origen no. 0 / 4
Secants: si els dos pendents són diferents. - Dues rectes en la forma ectorial són... Coincidents: si tant el punt com el ector director són proporcionals. Paral leles: si únicament és proporcional el ector director. Secants: si els ectors directors no són proporcionals. - Dues rectes en la forma contínua són... Coincidents: si els dos ectors directors són proporcionals i els alors numèrics del numerador iguals. Paral leles: si els dos ectors directors són proporcionals i els alors numèrics del numerador diferents. Secants: si els ectors directors no són proporcionals. - Dues rectes en la forma paramètrica són... Coincidents: si els dos els coeficients de la K són proporcionals i els termes independents són iguals entre elles. Paral leles: si els dos els coeficients de la K són proporcionals i els termes independents diferents. Secants: si els dos els coeficients de la K NO són proporcionals. - Per saber la posició relatia de dues rectes en forma canònica és millor passar-les a una altra forma. exemple: Les rectes r i s són... a) r:x 3y 5 0 i s : x y 3 0 x y x y b) r: i s: 4 x 3 k x k c) r: i s: y 4 k y 3k, 3, 4, x, y 3, k 4, d) r: x y k i s: e) r: y 3x 5 i s: y 3x 5 exercici: Troba una recta de cada: una de coincident, una de paral lela i una de secant de cadascuna de les rectes següents: recta coincident Paral lela Coincident x y 4 0 x4 y 3 x 4 k y k x, y 0, 3 k, y x exercicis complementaris: 7, 8, 9, 0,,, 3, 4 i 5. / 4
3.3.- Distància punt-punt La distància entre dos punts A a, i b, AB b a, b a: dist a A, B b a b a B és, eidentment, el mòdul del ector b exemple: La distància de A(, ) a B(3, 5) és: dist A, B 3 5 36 37 exercici: Calcula a perquè la distància de P(, 7) a Q(5, a) sigui 7. (Sol: a = 7) 3.4.- Distància punt-recta Per calcular la distància entre un punt i una recta, generalment, s utilitza la fórmula següent: dist P, r ap Bp C A B tenint en compte que el punt és p, P i la recta té la forma r : Ax By C 0. p exemple: Calcula la distància entre P(3, ) i r: 6x 3y = 0 Apliquem la fórmula: dist P, r 6 3 3 6 3 3 45 5 0,5 exercici: Calcula la distància de P a la recta r, quan P és (3, ) i r : x 3y 7 0. (Sol: d = 0 ) / 4
3.5.- Distància recta-recta En un pla de dues dimensions, ens podem trobar en tres situacions: a) que les rectes siguin secants la distància és zero. b) que siguin coincidents. Com el cas anterior, la distància és zero. c) que siguin paral leles la distància entre elles és constant i per això podem agafar un punt P qualseol d'una de les dues rectes i utilitzem la fórmula de la distància d un punt P d una de les rectes a l'altra (dist. (P, r)). exemple: Calcula la distància entre les rectes x 5 x 3 r : i s :. y y, 0 3, Com que les dues rectes tenen els ectors directors diferents: i no són paral leles la distància entre les dues rectes és zero. r s les dues rectes exemple: Calcula la distància entre les rectes r: x + y5 = 0 i s: y= x + 4. Com que les dues rectes tenen el mateix pendent: i les dues rectes són paral leles la distància serà: un punt d una de les rectes es calcula: r: x + y5 = 0 si x= 0 y = 5. Un punt de la recta r és: A(0, 5). m r m s l altra recta (s) serà s: y= x + 4 x + y 4 = 0. A= i B=. aplicant la fórmula... dist 0 5 4 P, r 6, 36 9 exercici: Calcula la distància entre les rectes: r : s : 6, 9 3,8 6 (Sol: d=0,45 aprox.) 3 / 4
3.6.- Angle entre rectes Com que les rectes poden quedar representades, parcialment, pels seus ectors directors, l angle u cos u,. u entre aquestes es pot calcular amb la fórmula : Aquesta mateixa fórmula, es pot adaptar tenint en compte els paràmetres (A, B i C) de les rectes. La fórmula següent: cos r, s A AA' BB' A' B B ' exemple: Calcula l angle que formen les rectes r :x 3y 6 0 i s : 5x y 4. r: A=; B=3 i C=6 s: A=5; B= i C=4 Els ectors directors de les dues rectes són: 3, i, 5 paral leles es pot calcular el seu angle: r s com que les dues rectes no són cos u u u, cos u, 3 3,, 5 5 cos 3 5 u, 0 6 cos u, 60 cos u, 65 cos u, 0, 4 65 = 8º5 30 exercicis complementaris: 6, 7, 8, 9, 0,, i 3. + exercicis: 4, 5, 6, 7, 8, 9... 4 / 4