Oscilaciones: Introducción Moviientos Periódicos Periódico: oviiento que se repite Periodo: el tiepo necesario para que se produzca la repetición Ejeplos de oviientos periódicos Rotación de la Tierra alrededor del Sol, período año Oscilación de un péndulo Moviiento de las anecillas de un reloj Masa colgada de un uelle Moviiento arónico siple (MAS): Fora ás sencilla de oscilación En una diensión, x Moviiento arónico siple MAS Moviiento arónico siple: cuando el desplazaiento alrededor de la posición de equilibrio, x es x Acos( ωt A aplitud áxio desplazaiento δ fase inicial, ω frecuencia angular T periodo tiepo que se necesita para que se repita el oviiento T Tiepo que tarda en hacerse una oscilación cos( ωt + δ + π ) cos( ω( t + T ) T π ω υ frecuencia /T núero de oscilaciones por unidad de tiepo
MAS: oviiento circular unifore En el ov. circular unifore, el ángulo barrido es θ ωt xr cos θr cos ωt yr sen θr sen ωt Velocidad y aceleración en un MAS x Acos( ωt dx v xɺ ωasen( ωt dv d x a xɺɺ ω Acos( ωt a xɺɺ ω x a xɺɺ kx Un MAS es un oviiento en el que la aceleración es proporcional y de sentido contrario al desplazaiento
x Acos( ωt x a x ± A v ωasen( ωt v ax ± ωa v ω A x a A t ω cos( ω a ω x ª Ley de Newton F a xɺɺ En un MAS la fuerza es proporcional al desplazaiento y opuesto a él. xɺɺ ( ω x) xɺɺ + ω x Ecuación diferencial de un MAS ω, y por tanto T dependen del problea en cuestión (asa, longitud, fuerza,...). No depende de las condiciones iniciales 3
A y δ sólo dependen de las condiciones iniciales. Si en t, xx, vv x x Acos( ω Acosδ o v v ωasen( ω ω Asenδ Coo o cos( α + β ) cosα cos β senα senβ x Acos( ωt Acosωt cosδ A senωt senδ vo xo cosωt + senωt ω v v ωx senωt + v cosωt o o o Ejeplos de MAS: asa conectada a un uelle horizontal K constante elástica del uelle Fuerza elástica es proporcional al desplazaiento F kx F xɺɺ kx xɺɺ + kx ɺɺ x + ω x k ω T π k 4
La fuerza elástica es conservativa Energía Potencial du F du Fdx dx Fdx kxdx kx + cte Si x o y U() U kx Energía cinética y potencial U kx k ( A cos( ωt ) ω x ω A cos ( ωt En x±a Uax ka ω A En x U ax T v ( Aωsen ( ωt ) ω A sen ( ωt En x Tax ka ω A En x±a T 5
U kx Energía Total Etotal T + U ω A cos ( ωt + ω A sen ( ωt ω A ka U(x) Etotal ka ω A T T k ( A x ) U Masa colgada de un uelle d y ky + g No es la ecuación de un MAS Si toaos coo variable y y-y ky k( y' + y ) ky' + g d y' d y' ky' g g + ky' y ' Acos( ωt U Uel + Ugr ky ' 6
Péndulo siple La aceleración tangencial es d s/. La coponente tangencial de las fuerzas es d s gsenθ ɺɺ + θ ɺɺ s s gsen s + gsen L No es MAS Si θ s/l es pequeño sen s/l s/l sɺɺ + g s L ω g L MAS con solución s s ax cos( ω t Ya que slθ Péndulo siple ɺɺ θ + g θ L Ecuación de un MAS θ θax cos( ω t Si toaos y en θ y U() U( y ) gy gl( cos θ ) + ɺ E T U L θ + gl( cos θ ) EE(θ) no es cte El oviiento es MAS sólo para desplazaientos pequeños respecto de la posición de equilibrio (sólo para ángulos pequeños) Si θ es pequeño cos θ - θ / U( y ) gl( cos θ ) glθ + ɺ g E T U L θ + glθ L θ axsen ( ωt + L glθ ax cos ( ωt E glθ ax cte 7
Moviiento en las proxiidades del equilibrio Si x es un punto de equilibrio estable, la fuerza es de signo contrario al desplazaiento (tiende a devolver a la partícula a x ) F(x) x x x Parábola aproxiándose a U cerca del punto de equilibrio estable F K( x x ) kε Oscilaciones aortiguadas En todos los oviientos reales, incluidos los oscilantes, se disipa energía ecánica debido a algún tipo de fuerza de rozaiento. Cuando la energía ecánica del oviiento oscilante disinuye en el tiepo, se dice que este es aortiguado si las fuerzas de rozaiento o aortiguaiento son pequeñas, el oviiento es casi periódico excepto que la aplitud disinuye lentaente con el tiepo. 8
Oscilaciones aortiguadas En uchas situaciones las fuerzas de aortiguaiento pueden aproxiarse por F bv El grado de aortiguaiento dependerá del valor de b. Por oponerse estas fuerzas al sentido del oviiento estas fuerzas producen siepre un trabajo negativo. Sobre un sistea actúa una fuerza elástica y una fuerza de aortiguaiento. Según la ley de Newton F a x ɺɺ F kx bxɺ x ɺɺ Dividiendo por y con ɺɺ x + γɺ x + ω x b γ ɺɺ x + bxɺ + kx ω k Ecuación del ov. Arónico aortiguado Oscilaciones aortiguadas ɺɺ x + γɺ x + ω x La solución cuando el aortiguaiento es pequeño, γ < ω es x Ae γt cos( ωt + α ) ω ω γ k b 4 A y α son constantes que dependen de las condiciones iniciales el aortiguaiento produce una disinución de la frecuencia (frecuencia disinuye y T auenta). la aplitud de las oscilaciones no es constante, A A* e -γt 9
Si el aortiguaiento es uy grande γ > ω, y ω no es real: no hay oscilaciones y la partícula si se la desplaza y se deja libre, se aproxia a la posición de equilibrio sin pasarla o pasándola coo ucho a la vez. Cuanto ayor sea el aortiguaiento b ás tiepo tarda el sistea en volver a la posición de equilibrio. Si b c ω, entonces ω. A b c se la llaa condición del aortiguaiento crítico. Cuando bb c, la asa vuelve a la posición de eq en el enor tiepo posible sin realizar ninguna oscilación b < b c ov. aortiguado Sobreaortiguaiento b b c ov. aortiguado críticaente b > b c ov. Sobreaortiguado Críticaente aortiguado Sobreaortiguado El trabajo realizado por la fuerza de aortiguaiento es negativo, así pues hace disinuir la energía ecánica del sistea. Esto lo podeos ver calculando la potencia que produce esta fuerza. dw F cosφds P F cosφv Fv bv Se dice que se disipa energía y potencia cuánto vale la variación de energía? E + de (v dv dv v kx bv kx bv + kx dv + dx kx ) v( dv + kx) bv La variación de la energía ecánica es igual a la potencia disipada. Esta energía es cedida al edio, noralente coo calor. Cuando el aortiguaiento es pequeño ( b / ) t E( t) E e
Oscilaciones Forzadas Considereos una fuerza externa adicional, adeás de la fuerza aortiguadora y de la restauradora. La fuerza externa auenta la energía ecánica del oscilador si actúa en el sentido del oviiento, y absorbe energía si lo hace en sentido contrario al oviiento. Esto es lo que ocurre en el caso de la asa suspendida de un uelle. El trabajo realizado por el peso es positivo cuando el uelle se estira, y negativo cuando el uelle se coprie. El trabajo neto realizado en un ciclo, en una oscilación es, y la fuerza constante no odifica la energía del sistea. Una fuerza constante sólo varía la posición de equilibrio del sistea. Un tipo particularente iportante de fuerza externa es aquella que varía sinusoidalente con el tiepo F ext F senωt F ext F senωt donde ω es la frecuencia angular de la fuerza externa que no tiene porqué estar relacionada con ω. Una asa sujeta a un uelle de constante recuperadora K, soetido a una fuerza aortiguadora bv y a una fuerza externa tiene coo ecuación del oviiento dv d x Σ ω x bv + F senωt a d x dx + b + ω x F senωt La solución de esta ecuación es x( t) A' e ( b / ) t cos( ω' t + δ ') + Asen( ωt δ ) donde A y δ son constantes que pueden obtenerse de los valores iniciales de x y v.
x( t) A' e ( b / ) t cos( ω' t + δ ') + Asen( ωt δ ) A F + ( ω ω ) b ω bω bωa senδ ( ω ω ) + b ω F tan bω δ ( ω ω ) El prier térino se llaa solución transitoria. Después de un tiepo bt/ >> la exponencial se hace uy pequeña, y esta parte de la solución copleta resulta despreciable debido a la disinución de la aplitud. El segundo iebro de x(t) se llaa solución estacionaria, en ella A no varía en función de t. Después de un tiepo t >> /b podeos despreciar la solución transitoria, y la posición de la partícula vendrá dada por x( t) Asen( ωt δ ) sin que iporten las condiciones iniciales. dx La velocidad en el estado estacionario es v Aω cos( ωt δ ) La potencia que produce la fuerza ipulsora P Fv F senωt) Aω cos( ωt δ ) AωF senωt cos( ωt ( δ ) Teniendo en cuenta cos( ωt δ ) cosωt cosδ + senωtsenδ P A ω F sen ω tsen δ + δ ω tsen ω t ( cos cos ) La potencia producida varía con el tiepo a lo largo de un ciclo. Durante un ciclo, el coseno es tantas veces positivo coo negativo y su valor edio es nulo. El valor edio del sen durante un ciclo es ½. sen (θ),5 4 6 8 θ (radianes)
la potencia edia durante un ciclo es F bω F P ω AF senδ bω A P bω A ( ) b sen δ ω ω + bω ( A ) ( ω ω ) + bω F La potencia áxia se tiene para ωω, entonces. P Se puede ver tabién que P es áxia cuando sen δ Cuando P es áxia se dice que hay resonancia δ9ºπ/. En la resonancia el desplazaiento está desfasado π/ respecto de la F ipulsora, pero la velocidad está en fase con la fuerza F, la partícula se ueve en el sentido de la F ipulsora. F b Cuando el aortiguaiento es pequeño (b <<), la potencia de entrada o en la resonancia es grande y la curva de resonancia es aguda, la potencia es grande sólo en la resonancia. Si b es grande la potencia en la resonancia es pequeña y la curva de resonancia es aplastada. Aortiguaiento pequeño Aortiguaiento grande 3