7. Oscilaciones CONTENIDO:

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1 7. Osciaciones CONTENIDO: 7. Moviiento arónico sipe: asa unida a un uee 7. Pénduo sipe, físico y de torsión 7.3 Energía de oviiento osciatorio 7.4 Osciaciones aortiguadas y forzadas: resonancia Panteaiento : Esta ección anaiza e oviiento osciatorio de partícuas y sóidos, o que constituye un buen ejercicio para afianzar os conceptos de a Mecánica antes estudiados. Coenzaos describiendo e oviiento arónico sipe, resatando su iportancia coo odeo que perite describir as pequeñas osciaciones de un cuerpo arededor de su posición de equiibrio. Coo apicación, se anaiza entonces e caso de una asa unida a un uee, y os pénduos sipe, físico y de torsión. Se deuestra entonces que as fuerzas asociadas a un oviiento arónico sipe son conservativas y, por tanto, es posibe definir una energía potencia eástica. E útio apartado se dedica a estudio de osciadores aortiguados y forzados, resatando os fenóenos de resonancia de estos útios. E auno debe saber: a) Toda partícua soetida a una fuerza (o oento de fuerzas) proporciona y de signo contrario a despazaiento describe un.a.s. b) Apicar o anterior para identificar cuándo un sistea está soetido a un oviiento arónico sipe c) Describir as características de oviiento arónico sipe d) Definir as propiedades básicas de osciadores aortiguados y forzados: coeficiente de aortiguaiento, decreento ogarítico, constante de tiepo, factor de caidad, resonancia. e) Resover dináicaente y por étodos energéticos probeas que puedan ser descritos coo un.a.s.

2 36 Física: Teoría, cuestiones y probeas Bibiografía: Teoría: [] Burbano S., Burbano E., Gracia C., Física Genera, (Ed. Mira 993) [] Tiper P.A., Física ( Vos.), 3ª Edic. (Reverté 995) [3] Sears F.W.; Zeansky M.W.; Young H.D., Freedan, R.A. Física Universitaria, ( vos.), 9ª Edic. (Addison Wesey 998) [4] Resnick R., Haiday D., Krane K.S., Física ( vos.), 4ª Edic. (CECSA 997) Probeas: [] Burbano S., Burbano E., Gracia C., Probeas de Física, (Ed. Mira 993) [] García Roger J., Probeas de Física ( Vos.), 4ª Edic., (Edunsa, 99) [3] Gonzáez, F. a Física en probeas, Ed. Tebar Fores [4] de Juana J.M., Herrero M.A., Mecánica. Probeas de exáenes resuetos (Paraninfo 993)

3 RESUMEN TEORICO 7. Moviiento arónico sipe 7.. Moviiento osciatorio Existen uchas situaciones en as que una partícua cuenta con una posición en a que se encuentra en equiibrio estabe. Por ejepo, un pénduo en posición vertica, una asa unida a uee horizonta no estirado, etc. os átoos de un sóido tabién se encuentran situados sobre ciertas posiciones de equiibrio. A separar a partícua de su posición de equiibrio, suee ocurrir que ésta adquiere un oviiento de vaivén en torno a dicha posición, es decir, un oviiento que se repite a sí iso una y otra vez. Este oviiento se denoina oviiento osciatorio (o vibratorio) y es uno de os ás frecuentes en a Naturaeza. 7.. Moviiento arónico sipe De todos os oviientos osciatorios, e ás iportante es e oviiento arónico sipe (MAS), que constituye una buena aproxiación de uchas osciaciones observadas en a Naturaeza. Por definición, direos que una partícua tiene un oviiento arónico sipe si está soetida a una fuerza F proporciona a despazaiento x y opuesta a é: F kx () donde k es una constante de proporcionaidad. Puesto que F a, e oviiento arónico sipe tabién puede definirse coo aque caracterizado por una aceeración de a fora: a (k/)x Cx () a definición de oviiento arónico sipe tabién puede extenderse a oviientos anguares. En ese caso, a definición de oviiento arónico sipe es τ kϕ, o bien α Cϕ.

4 38 Física: Teoría, cuestiones y probeas siendo τ e oento de fuerzas, α a aceeración anguar, y ϕ e despazaiento anguar Eongación y veocidad de oviiento arónico sipe Sustituyendo ad x/dt en a definición () de oviiento arónico sipe, teneos d x Cx dt que es una ecuación diferencia cuya soución es: x Acos( Ct δ) (3) donde A y δ son constantes de integración. Podeos deostrar que esta x es soución de d x/dt -Cx derivando x dos veces. a priera derivada con respecto a tiepo es a veocidad v de a partícua: dx v A C sen( Ct δ) (4) dt Derivando de nuevo con respecto obteneos a aceeración de objeto: dv d x a AC cos( Ct δ) Cx dt dt y, por tanto, x es soución ya que satisface a iguadad (). Si representaos gráficaente a función x(t), encontraos un coportaiento coo e ostrado T x en a figura. En ea se refeja e coportaiento periódico de a A función coseno, dando ugar a que e despazaiento x, o eongación, adquiera vaores que se van repitiendo en intervaos de tiepo reguares Apitud, fase y constante de fase Fig. : Moviento arónico sipe Se aa apitud a vaor áxio de a eongación. Puesto que e áxio vaor de coseno es, e áxio de x (a apitud) coincide con a constante A. E arguento de a función coseno, ( C t δ), se denoina fase de oviiento, y a constante δ se denoina constante de fase. Puesto que cos(απ)cos(α) y sen(απ)sen(α), teneos que cuando a fase auenta en π, a partícua vueve a tener a isa posición y veocidad. t (5)

5 Osciaciones 39 a constante de fase depende de nuestra eección de instante cero. En efecto, para t, a eongación será x A cos(δ). Por tanto, δ ipica escoger e origen de tiepos en e instante en que x A cos() A. De iso odo, δπ/ ipica x A cos(π/), δπ ipica x A cos(π) A, y así para cuaquier otro vaor de δ. Es decir, dado δ podeos deducir e vaor inicia de x y, recíprocaente, dado x podeos deducir e vaor de δ. Nótese que cos(α)sen(απ/). Por tanto xa cos( C t δ) tabién puede escribirse de fora equivaente coo x A sen( C t δπ/) A sen( C t δ ), siendo δ δπ/ Periodo, frecuencia y frecuencia anguar A tiepo T necesario para que a fase auente en π, es decir, para que a partícua vueva a tener a isa posición y veocidad, se denoina periodo. Su expresión puede deducirse ediante a condición cos( es decir Ct δ π) cos( C ( t T ) δ) Ct δ π C ( t T ) δ T π (6) C a frecuencia f y a frecuencia anguar ω se definen coo : f π, ω T T C (7) cuyas unidades son s - (herzios, Hz) y rad/s, respectivaente. En térinos de a frecuencia anguar, a eongación x, veocidad v y aceeración de una partícua con MAS se escriben : x A cos( ωt δ) v Aωsen( ωt δ) (8) a Aω cos( ωt δ) ω x 7..6 Ejepo : Masa unida a un uee Considereos e caso de una partícua unida a un uee horizonta (sobre una superficie sin rozaiento). Fijeos e sistea de referencia de odo que, cuando e uee no está estirado, a partícua se encuentra en x. A separar a

6 3 Física: Teoría, cuestiones y probeas partícua una pequeña distancia x respecto de su posición de equiibrio, sabeos de a ección anterior que e uee ejercerá una fuerza de restitución eástica que viene dada por a ey de Hooke : F -kx a-(k/)x Puesto que esta expresión coincide con a definición de MAS, a partícua se overá con un MAS siendo : k π C k /, ω C, T π (9) ω k 7. Pénduo sipe, físico y de torsión 7.. Pénduo sipe Un pénduo sipe está constituido por una partícua puntua de asa suspendida de un hio de ongitud y asa despreciabe. Cuando e hio está vertica, e peso de a partícua es contrarrestado por a tensión de hio, por o que e sistea se encuentra en equiibrio (a fuerza tota es nua). Si separaos e hio un cierto ánguo ϕ respecto de a posición vertica de equiibrio, tendreos que a tensión de hio es contrarrestada por a coponente de peso en a dirección de hio, gcosϕ, pero nos queda a otra coponente de peso, gsenϕ, que será a fuerza neta sobre : F g sen ϕ a g sen ϕ Para ánguos pequeños se cupe que senϕ ϕ. Adeás, coo e arco s descrito por e pénduo es sϕ, teneos que : a que es de a fora a C s con Cg/ y, por tanto, e oviiento de pénduo (con ánguos pequeños) es arónico sipe. Una vez conocida a fora de C podeos afirar que : g s g π C g / ω C, T π ω g () ϕ s g senϕ T g Fig. : Pénduo sipe g cosϕ

7 Osciaciones Pénduo físico E pénduo físico está constituido por un cuerpo rígido de fora arbitraria que puede girar arededor de un eje horizonta que no pasa por su centro de asas. Considereos, en efecto, un objeto coo e ostrado en a figura, que puede girar arededor de un eje (perpendicuar a a figura) que pasa por e punto O. Si desviaos e objeto un ánguo ϕ respecto de su posición de equiibrio, e oento de fuerzas ejercido por e peso respecto a punto de suspensión es : τ gd sen ϕ Puesto que τ Iα, teneos que Iα gd sen ϕ gdϕ donde, a igua que antes, heos supuesto que e ánguo ϕ es pequeño y, por tanto, senϕ ϕ. Usando ahora a definición de aceeración anguar, αd ϕ/dt, teneos: d ϕ I gdϕ dt d ϕ gd dt I que tiene a isa fora que define e MAS, ϕ -Cϕ, con C gd/i. Por tanto, e oviiento de pénduo físico es arónico sipe, siendo gd π I C gd/ I ω C, T π I ω gd () ϕ O ϕ D CM g Fig. 3 : Pénduo físico 7..3 ongitud equivaente de un pénduo físico Se aa ongitud equivaente o reducida de un pénduo físico a a ongitud que debería tener un pénduo sipe para que su periodo fuera idéntico a periodo de ese pénduo físico : T pf o bien, despejando eq : T ps π I gd π g eq I eq D ()

8 3 Física: Teoría, cuestiones y probeas 7..4 Pénduo de torsión Está constituido por un hio o aabre con su extreo superior fijo ientras que e otro extreo eva suspendido un objeto que puede girar arededor de eje de sietría de aabre. Coo sabeos, si ejerceos un oento de fuerzas sobre e extreo ibre, e aabre experientará una deforación por torsión que, para pequeños ánguos, viene dada por a ey de Hooke : τ K ϕ o bien, aando I a oento de inercia de objeto suspendido, y usando τiα d ϕ I Kϕ dt Fig. 4: Pénduo de torsión d ϕ K dt I que, de nuevo, tiene a fora requerida para un oviiento arónico sipe, con C/IK. Por tanto : K π I C K / I ω C, T π I ω K (3) ϕ 7.3 Energía de oviiento osciatorio 7.3. Energía cinética de.a.s. Heos visto que, en un oviiento arónico sipe, a posición y a veocidad vienen dados por : x A cos( ωt δ), v Aωsen( ωt δ) Por tanto, a energía cinética de una partícua dotada con este tipo de oviiento viene dada por: E c v A ω sen ( ωt δ) A ω ( cos ( ωt δ)) (4) es decir E c ω ( A x ) (5)

9 Osciaciones Energía potencia Puesto un.a.s. está soetido, por definición, a una fuerza de a fora Fkx (donde kω ), e trabajo reaizado por dicha fuerza para trasadarse desde un punto x a otro x es : W kxdx kx kx (6) que depende únicaente de as coordenadas inicia y fina. Por tanto, podeos definir una función de energía potencia, E p, de odo que e trabajo puede expresarse coo W E p, con: o bien, E kx p (7) E p ka cos ( ωt δ) (8) Energía ecánica tota a sua de a energía cinética ás a energía potencia es a energía ecánica tota de oviiento arónico sipe. Más concretaente: E T k( A x ) kx ka constante (9) Es decir, a energía ecánica de a partícua es constante (coo era de esperar pues sóo actúan fuerzas conservativas). Según se deduce de (7), a energía potencia auenta a auentar a eongación, siendo áxia para xa, en cuyo caso se tiene E p (/)ka, que coincide con a energía ecánica tota e ipica que a energía cinética ha de ser nua en ese instante. 7.4 Osciaciones aortiguadas y forzadas: resonancia 7.4. Moviiento vibratorio aortiguado Hasta ahora heos considerado que os oviientos osciatorios duran indefinidaente. Sin ebargo, en a reaidad siepre observaos que as osciaciones tienen una apitud que disinuye progresivaente hasta que e sistea acaba deteniéndose. Esto es debido a que siepre existen rozaientos que provocan una pérdida de energía ecánica. Puesto que a energía ecánica tota de un MAS viene dada por E T (/)ka, una disinución en E T ipica

10 34 Física: Teoría, cuestiones y probeas una disinución en a apitud A de as osciaciones. Se dice entonces que e oviiento osciatorio es aortiguado Ecuación diferencia de oviiento aortiguado Heos visto que e caso idea de un MAS está definido por a existencia de fuerzas de a fora kx y que, por tanto, a ecuación diferencia de oviiento es d x kx dt () cuya soución es xacos(ω tδ) donde ω (k/) /. Ahora sabeos que, en una situación rea, siepre existe una fuerza de rozaiento que debe ser suada a a fuerza eástica kx. En os fenóenos de ayor interés, se observa que dicha fuerza de rozaiento es proporciona a a veocidad: F roz bv () (a constante de proporcionaidad, b, recibe e nobre de coeficiente de aortiguaiento) y, por tanto, a fuerza tota sobre a partícua es : d x kx bv () dt a soución de esta ecuación diferencia es (puede coprobarse sustituyendo en a ecuación): x A t / τ e cos( ωt δ ) (3) donde a constante A es e despazaiento inicia, τ R /b es una constante denoinada tiepo de reajación, y a frecuencia ω viene ahora dada por: ω ω (4) siendo ω (k/) / a frecuencia que e sistea tendría si no estuviera aortiguado (tabién aada frecuencia natura). τ R Apitud de oviiento : decreento ogarítico Veos que a soución (3) es uy parecida a a de un MAS savo que a apitud efectiva es ahora : A t / τ ( t) A e R (5)

11 Osciaciones 35 es decir, disinuye exponenciaente con e tiepo (véase figura). Nótese que, si aaos A a a apitud en cierto instante t, e vaor de ésta habrá disinuido a cabo de una osciación (es decir, en e instante tt, siendo Tπ/ω ). a reación entre abas apitudes será : A A t / τ A e R A T / τ e R ( t T ) / τ A e R A A T n A (6) τ R E ogarito neperiano de dos eongaciones áxias sucesivas se denoina decreento ogarítico: A T n A (7) τ R x A(t) t x(t) Fig. 5 : Osciaciones aortiguadas Experientaente, resuta fáci deterinar y T, o que perite cacuar τ R y ω usando (7) y (4) Energía de oviiento: constante de tiepo o iso ocurre con a energía ecánica de a partícua : ( b / ) t ( b / ) t t / τ E T ka ka e Ee Ee (8) donde heos aado τ τr / / b (9) a factor constante que aparece en a exponencia. Dicho factor se denoina constante de tiepo y representa e tiepo que tarda a energía en disinuir un factor /e.

12 36 Física: Teoría, cuestiones y probeas Aortiguaiento crítico y sobreaortiguado Exainando a expresión (4) para a frecuencia ω de oviiento osciatorio aortiguado veos que sóo tendrá vaores reaes positivos si e coeficiente de aortiguaiento es enor que cierto vaor crítico : b<b c ω. Cuando b>b c ω, a expresión (4) ipica que ω no es un núero rea y, por tanto, a apitud decrece sin egar a osciar. Se dice entonces que e oviiento está sobreaortiguado. E caso bb c ω, corresponde a ω que, pese a ser rea, tabién ipica que a apitud decrece sin egar a osciar. Se dice entonces que e oviiento está críticaente aortiguado. x sobreaortiguado crítico aortiguado t Fig. 6 : Osciaciones aortiguadas, sobreaortiguadas y críticas Osciaciones forzadas Heos visto que, en as osciaciones aortiguadas, a energía se disipa continuaente hasta que e sistea deja de osciar. Para antener en archa un sistea aortiguado es necesario ir introduciendo energía en e sistea. Cuando se eva a cabo esto, se dice que e osciador es forzado. Así, por ejepo, una anera de suinistrar energía a un sistea forado por un objeto suspendido de un uee vertica es over e extreo superior de uee hacia abajo y hacia arriba, coo se indica en a figura. Si se introduce energía a iso rito que ésta se disipa, a apitud peranecerá constante con e tiepo. En cabio, si se introduce energía a un rito ayor de que se disipa, a apitud Fig. 7 : Osciador forzado crecerá indefinidaente con e tiepo. Para estudiar ateáticaente e oviiento de un osciador forzado, supondreos un sistea que está soetido a as siguientes fuerzas : una fuerza

13 Osciaciones 37 eástica, kx, una fuerza de aortiguaiento, bv, y fuerza exterior ipusora que varía arónicaente con e tiepo : F e F cos(ω e t) (3) donde ω e es a frecuencia anguar de a fuerza, que generaente no está reacionada con a frecuencia natura de sistea ω. a fuerza tota será entonces : d x dx a kx bv F cos( ωe t) F cos( ωet) b kx (3) dt dt que es una ecuación diferencia cuya soución es de a fora : con t / τ x Acos( ωe t δ) Ae cos( ω t δ ) (3) A ( bω e ) bωe tgδ k ω ( k ω e F ) bωe ( ω ω e e ) ( bω e ) F [ ( ω ω e )] (33) De os dos térinos que aparecen a a derecha de (3), e útio decrece uy rápidaente (por contener una exponencia negativa) hasta hacerse copetaente despreciabe a cabo de poco tiepo. Por eo, dicho térino recibe e nobre de soución transitoria. En cabio, e prier térino de a derecha es foraente idéntico a un oviiento arónico sipe no aortiguado (cuya frecuencia anguar coincide con a ipusora ω e ) y recibe e nobre de soución estacionaria. Savo en os prieros instantes, en os que e sistea reaiza una serie de vibraciones anóaas, este térino es quien doina e oviiento por o que podreos considerar : x A cos( ωe t δ) (34) Resonancia Se aa ipedancia ecánica a denoinador de a expresión para a apitud ( bωe ) [ ( ω ωe Z )] (35) Obviaente, cuando a frecuencia ω e de a fuerza externa tiene un vaor ta que a ipedancia se hace ínia, entonces as osciaciones tendrán a áxia

14 38 Física: Teoría, cuestiones y probeas apitud posibe. Se dice entonces que e osciador se encuentra en resonancia. Así, por ejepo, si e sistea no está aortiguado (b), e vaor ínio de Z se acanza cuando a fuerza externa tiene una frecuencia que coincide con a frecuencia natura ω e ω. En este caso, a ecuación anterior ipica Z in y, por tanto, a apitud acanza un vaor áxio infinito A ax. Es decir, a energía de sistea se hace infinita. En cabio, si e sistea está aortiguado (b ), a frecuencia de resonancia será aquea que verifique a condición de ínio para Z (dz/dω ). Efectuando operaciones, dicha frecuencia viene dada por: b ω R ω (36) Existen uchos ejepos faiiares de resonancia. Cuando un grupo de sodados pasa por un puente pequeño, noraente dejan de arcar e paso pues a frecuencia de su archa podría coincidir con una de as frecuencias naturaes de puente. En ese caso, e puente coenzaría a osciar en resonancia pudiendo egar a derribarse. Otro ejepo es a rotura de un vaso de vidrio ediante una onda sonora de frecuencia próxia a a frecuencia de vibración de vaso.

15 CUESTIONES TEORICAS. Diga, razonando a respuesta, si as siguientes afiraciones son verdaderas o fasas: a) a aceeración de un osciador arónico sipe peranece constante durante su oviiento; b) a aceeración de un osciador arónico sipe es aguna vez cero a) Faso. En un.a.s. a aceeración es proporciona a despazaiento respecto de a posición de equiibrio (aunque con dirección opuesta) y, por tanto, no es constante; b) Cierto. a aceeración es cero cuando e objeto pasa por su posición de equiibrio. Cuá es a distancia tota recorrida por un cuerpo en.a.s. en un tiepo igua a su periodo si su apitud es A? Cuatro veces A ya que, en un periodo, e cuerpo describe una osciación copeta: A en a ida y A en a vueta. 3. Si e oviiento de una partícua viene dado por x Acos(ωt), a) cuá es su posición inicia b) cuá es su constante de fase?;? a) En t, se tendrá x Acos() A; b) a expresión genera de un.a.s. xacos(ωtδ) se reduce, para t, a xacos(δ). Coparando esta útia con e resutado de prier apartado x A, teneos cos(δ). Por tanto, δacos( )π 4. Diga si as siguientes cantidades pueden tener, o no, e iso sentido en un osciador arónico sipe: a) a eongación y a veocidad; b) a veocidad y a aceeración; c) a eongación y a aceeración a) Sí, cuando a partícua se aeja de a posición de equiibrio; b) Sí, cuando a partícua se acerca a a posición de equiibrio a a posición de equiibrio; c) No, ya que e.a.s. se define coo aque en que a aceeración es proporciona, pero de sentido contrario, a a eongación.

16 3 Física: Teoría, cuestiones y probeas 5. Si construios un pénduo ediante una pequeña esfera ena de agua suspendida de un hio idea, Qué e ocurriría a periodo de pénduo si hubiera un orificio en a esfera que dejara sair entaente e agua? E periodo de un pénduo sipe viene dado por Tπ(/g) /, que no depende de a asa. Por tanto, si consideraos que a esfera es ucho ás pequeña que e hio (con o que podeos despreciar ateraciones en a posición de su c.d..), e periodo no cabiará de fora apreciabe. 6. Por qué a energía tota de un sistea asa-resorte nunca puede ser negativa? Porque, si no hay pérdidas por rozaiento, a energía tota debe peranecer constante. A pasar por a posición de equiibrio, toda a energía está en fora de energía cinética (positiva). Por tanto, en cuaquier otra posición a energía tendrá e iso vaor positivo que cuando se encontraba pasando por a posición de equiibrio. 7. Cuá es a ecuación diferencia de un MAS?. Cuá es su soución? Es a ecuación (3), cuya soución viene dada por x A cos (ωtδ), donde x es a eongación, A es a apitud (eongación áxia), ω es a frecuencia anguar (siendo ω k), y δ es a constante de fase. 8. a) Describe siepre, un pénduo sipe, un MAS?; b) Y un pénduo físico? a) No, en un pénduo sipe, sóo se obtiene a ecuación diferencia de un MAS para pequeños ánguos (donde es váida a aproxiación sen θ θ); b) No. En un pénduo físico tabién es necesario que sen θ θ. 9. Qué es a ongitud reducida de un pénduo físico? Es a ongitud que tendría un pénduo sipe de iso periodo que e físico.. Qué significa batir segundos?. Qué ongitud tiene un pénduo sipe que bate segundos? Que e seiperiodo (a itad de periodo) es de segundo. Para un ugar donde g 9,8 /s se tiene s π (/g).

17 Osciaciones 3. Un osciador arónico se ve frenado por una fuerza proporciona a a veocidad. Qué e ocurre a a apitud?. Cuá es su ecuación diferencia?, y su soución? Debido a rozaiento a energía ecánica de osciador decrece, o que coneva una disinución de a apitud. Coo se ha visto en e apartado 7.4., para una fuerza de rozaiento de tipo F bv (fuerza viscosa), e oviiento viene descrito por a ecuación diferencia () cuya soución es: x A e -t/τ cos (ωtδ), donde A es a apitud en t y AA e -t/τ es a apitud en e instante t. a frecuencia anguar ω (ω τ ), donde ω (k/) es a pusación propia de osciador no aortiguado y τ /b es e tiepo de reajación, que es e tiepo que tarda a apitud en hacerse e veces enor, siendo δ a fase inicia.. Qué significado físico tiene e decreento ogarítico? E decreento ogarítico,, se define coo e cociente entre e periodo y e tiepo de reajación e infora de rito de decreciiento de a apitud. 3. E periodo de un osciador aortiguado es igua a de osciador sin aortiguar? No, un osciador aortiguado tiene un periodo dado por T π/ω y un osciador no aortiguado tiene un periodo T π/ω siendo ω (ω τ ), donde τ es e tiepo de reajación. 4. Qué es e aortiguaiento crítico? Decios que hay aortiguaiento crítico si a fuerza viscosa tiene un coeficiente de aortiguaiento bω. Entonces a frecuencia anguar ω se hace cero, o que equivae a que a apitud decrece sin osciar hasta hacerse cero. 5. Cuándo aparecen vibraciones forzadas? Cuando se apica a osciador una fuerza sinusoida de frecuencia ω, (FF cosωt). En este caso, tras un periodo transitorio, e osciador oscia con a pusación ω.

18 3 Física: Teoría, cuestiones y probeas 6. Cuá es a ecuación diferencia de un osciador forzado?. Y su soución? a ecuación (3), cuya soución estacionaria es x Acos(ωt-δ), donde δ ide e adeanto o atraso de x respecto a F. 7. Cuándo decios que un osciador está en resonancia? a apitud de una osciación forzada depende de a frecuencia anguar ω y acanza su vaor áxio cuando ω ω R ω b /. Decios entonces que e osciador está en resonancia. 8. Es frecuente oír que e fenóeno de a resonancia ocurre cuando a frecuencia de a fuerza apicada coincide con a frecuencia natura de osciador, es correcto?. No, esto sóo es así cuando e coeficiente de aortiguaiento b es cero, acanzándose una apitud infinita. 9. Podría egar a roperse un objeto por resonancia? Si, basta con que a fuerza ipusora actúe suficiente tiepo y que a apitud acanzada sea o suficienteente grande para superar e íite de ruptura de ateria.

19 PROBEMAS RESUETOS Cineática de oviiento arónico sipe Fóruas básicas Periodo: T π / ω Frecuencia: ν / T ω / π Despazaiento, veocidad y aceeración: x Acos( ωt δ) Condiciones iniciaes: x Acos δ; v Aωsen δ v Aωsen( ωt δ) ω A a Aω cos( ωt δ) ω x x Cineática de oviiento arónico: Estrategia para resover probeas. os probeas aquí agrupados sóo requieren cacuar posiciones, veocidades y aceeraciones en diversos instantes, sin intervención de a asa ni de as causas o fuerzas que han originado ese oviiento. Se trata por tanto de probeas esenciaente idénticos a cuaquier otro probea de cineática de a partícua. En consecuencia, as sugerencias efectuadas en a ección sigue siendo váidas aquí.. En uchos casos, e probea se reduce a deterinar as constantes A, ω, y δ que aparecen en xacos(ωt δ) (o tabién en as expresiones de v y a). a frecuencia anguar ω puede cacuarse a partir de agnitudes reacionadas: e periodo T o a frecuencia ν. Por otra parte, a apitud A y a constante de fase δ pueden ser obtenidas a partir de os vaores iniciaes de a posición y veocidad: x y v. Eo suee requerir resover e sistea de ecuaciones: x Acos δ; v Aωsen δ. eve cuidado a cacuar funciones trigonoétricas inversas, recuerde que un iso vaor de seno puede corresponder a dos vaores distintos de δ (p.ej, sen π/4 sen 3π/4). Fíjese en os signos de cosδ y senδ para deterinar correctaente e vaor de δ

20 34 Física: Teoría, cuestiones y probeas. Un punto ateria tiene un oviiento arónico sipe sobre e eje X, de apitud y frecuencia anguar π rad/s. Haar: a) su periodo y frecuencia, b) a ecuación de oviiento sabiendo que, iniciaente, a partícua se encuentra en su posición edia oviéndose hacia e sentido positivo, c) veocidad y aceeración en función de tiepo, d) tiepo ínio necesario para que a eongación vaga.5, e) veocidad áxia de a partícua. [Soución:a),5 Hz, b) xsen(πt), c) vπcos(πt), a-π x, d) 7/6 s, e) π /s] Η a) E periodo vadrá: π π T s ω π y a frecuencia: ν / T /,5 Hz b) a posición viene dada por a ecuación x Acos( ωt δ), donde conoceos e vaor de A y ω, pero debeos deterinar δ. Para eo, teneos en cuenta que en t debe cupirse x y v>. Es decir: x Acos δ δ ± / π De as dos posibes souciones para δ, sóo δ π/ conduce a una veocidad inicia positiva: v Aω senδ Aω sen( π/) Aω>. Por tanto, δ π/ es a soución correcta y: x Acos( ωt δ) cos( πt π / ) sen( πt) c) a veocidad y aceeración serán: dx v π cos( πt) dt dv a π sen( πt) π x dt d) Si x.5, tendreos: 7π / 6.5 sen πt πt arcsen( / ) t 7 / 6 s π / 6 De as dos posibes souciones, heos toado 7π/6 ya que conduce a vaor ás pequeño para t. e) a expresión v π cos(πt) será áxia cuando cos(πt). Es decir: v ax π /s

21 Osciaciones 35. Una partícua se ueve con una aceeración dada por a 6π x (unidades cgs). Sabiendo que e despazaiento áxio es de 4 c y que se ha coenzado a contar e tiepo cuando e despazaiento es positivo y a aceeración adquiere su vaor absouto áxio, deterinar: a) a ecuación de oviiento; b) a veocidad y aceeración áxias; c) a veocidad y aceeración cuando e despazaiento es a itad de áxio [Soución: a) x4 cos(4πt), b) 6π c/s, -64π c/s, c) 8π 3 c/s, -3π c/s ] Η a) Según e enunciado, a apitud de.a.s. es A4 c. Adeás, coparando a 6π x, con a expresión genera a ω x, teneos que: ω 6π 4π rad/s Por otra parte, teniendo en cuenta: x Acos( ωt δ) x() Acos( δ) a Aω cos( ωt δ) a() Aω cos( δ) veos que a aceeración es iniciaente áxia (en vaor absouto) cuando cos(δ)±, es decir δ o bien δπ. a priera posibiidad (δ) ipica x()acos()a>, ientras que a segunda (δπ.) ipica x()acos(π) A<. Puesto que e enunciado nos dice que e despazaiento es iniciaente positivo, a soución correcta para a constante de fase es δ. Por tanto x Acos( ωt δ) 4cos(4πt) v Aωsen( ωt δ) 6πsen(4πt) a Aω cos( ωt δ) 64π cos(4πt) b) a veocidad será áxia cuando sen(4πt)±, ientras que a aceeración será áxia cuando cos(4πt)±. Es decir, v ±6π c/s ; a ax ±64π c/s ax c) Sustituyendo xa/ c en v ω A x, teneos v ω A x 4π 6 4 8π y sustituyendo xa/ c en a ω x, teneos: a 6π 3π c/s 3 c/s

22 36 Física: Teoría, cuestiones y probeas 3. Una partícua se ueve con rapidez constante a o argo de una circunferencia de radio R centrada en e origen. Iniciaente se encuentra en a posición indicada en a figura: a) Deostrar que a coponente x de su posición describe un oviiento arónico sipe, y deterinar cuá es su apitud y periodo, b) Obtener a expresión para x [Soución: a) AR, TπR/v, b) x(t)r cos(vt/r)] y R v x Η y a) En un instante cuaquiera, a partícua se encontrará en una posición arbitraria coo a ostrada en a figura, forando un ánguo θ con e R eje x. Por tanto: θ x x ( t) R cos θ Donde: s Rθ y, puesto que v es constante: s s vt Es decir: x ( t) R cos( vt / R s / R) Coparando esta ecuación con x ( t) Acos( ωt δ) teneos que a coponente x de oviiento circuar unifore corresponde a un.a.s. de apitud AR, constante de fase δs /R, y frecuencia anguar: v ω R E periodo de este oviiento será entonces: π πr T ω v b) Puesto que a partícua se encuentra iniciaente sobre e eje x, teneos que x()a (o bien s ). a constante de fase es entonces nua y a ecuación de su oviiento se reduce a: x ( t) R cos( vt / R)

23 Osciaciones 37 Dináica de oviiento arónico sipe Fóruas básicas Condición de.a.s.: F -kx a-(k/)x: τ kϕ, o bien α Cϕ. Frecuencia anguar y periodo: Expresiones cineáticas: k π ω, T π ω x Acos( ωt δ) v Aωsen( ωt δ) ω a Aω A cos( ωt δ) ω k x x Dináica de oviiento arónico: Estrategia para resover probeas. Dado un objeto, soetido a diferentes fuerzas, identifique a ínea (recta o curva) sobre a que e objeto describe un oviiento periódico. Identifique tabién a posición de equiibrio dentro de esta ínea.. Escoja una variabe de ongitud x, o de ánguo θ, que perita definir sin abigüedad a posición de objeto dentro de a ínea anterior. Es conveniente que a variabe escogida sea cero cuando e objeto se encuentra en a posición de equiibrio. 3. Cacue a fuerza neta sobre e objeto en función de a variabe x escogida en e apartado anterior. E probea estará prácticaente resueto si consigue expresar F en a fora F-kx, con o que podrá identificar e vaor de a constante k. Si a variabe fuera un ánguo θ, o que debe cacuar generaente es e oento de fuerzas y expresaro en a fora τ kϕ. 4. Una vez conocida k, podrá cacuar a frecuencia anguar ω k / y e periodo de a osciación. E enunciado debe dar tabién os datos suficientes para conocer a apitud de.a.s. y a constante de fase, con o que xa cos(ωtδ), y e probea ya es puraente cineático.

24 38 Física: Teoría, cuestiones y probeas - 4. Un uee, de 4 c de ongitud natura, se encuentra en posición vertica con su extreo superior fijado a techo. A poner una asa de 5 g en su extreo inferior, observaos que a ongitud de uee es de 45 c. A continuación, despazaos a asa 6 c hacia abajo, con respecto a a posición de equiibrio, y uego a sotaos. Cacuar: a) a constante de uee, b) Posición, veocidad y aceeración de a partícua en función de tiepo, c) Veocidad, aceeración y fuerza cuando a partícua se encuentra subiendo a c por encia de a posición de equiibrio. [Soución: c) 9,8 N/, b) x,6 cos(4t), c),79 /s; 3,9 /s ;, N] Η a) En a situación de equiibrio, e peso es igua (en óduo) a a fuerza eástica: g kx b) a frecuencia anguar es: ω k g x g, ,8 N/,45,4 k / 9,8 /.5 4 rad/s Iniciaente, a partícua se encuentra en reposo v, en a posición x.6 (consideraos positivos os despazaientos hacia abajo). Por tanto: Por tanto: x v,6 Acos δ 4Asen δ δ ; x Acos( ωt δ),6 cos(4t) v Aωsen( ωt δ),84 sen(4t) a Aω A,6 cos( ωt δ),76 cos(4t) c) Cuando x. y a partícua se encuentra subiendo (v<), teneos:,9 rad,,6 cos(4t) cos(4t) / 3 4t -,9rad,84 sen(4t) < Soucion correcta :4t,9 rad t,37 s Por tanto: v,84 sen(4t),84 sen(,9),79 /s a,76 cos(4t),76 cos(,9) 3,9 /s F a,5 3,9, N

25 Osciaciones Se tienen dos uees de constantes recuperadoras k y k. a) Haar a constante recuperadora de sistea forado con os dos uees en paraeo, b) Haar a constante recuperadora de sistea forado con os dos uees en serie [Soución: a) k k k, b) k k k /(k k )] ΗΗ k F k F a) A suspender un peso g de os dos uees dispuestos en paraeo, e sistea se defora una distancia x ta que kx g donde k es a constante recuperadora de un uee equivaente a conjunto de esos dos uees. Puesto que os dos uees se deforan o g iso, x, tendreos para cada uno de eos que: F k x; F k x Apicando a segunda ey de Newton a objeto suspendido de os uees: F F g Sustituyendo aquí as reaciones anteriores, teneos: k x k x kx Por tanto: k k k b) A suspender un peso g de os dos uees dispuestos en serie, a deforación tota de sistea, x, es a sua de as dos deforaciones individuaes, x y x, experientadas por cada uno de os uees: x x x Puesto que os uees son de asa despreciabe, abos k están soetidos a a isa fuerza T que, en este sistea, verifica T g. Por tanto: g kx; g k x ; g k x k siendo k a constante recuperadora de un uee equivaente a conjunto de os dos uees. T Despejando as deforaciones y sustituyendo en x x x, obteneos: Es decir: g g k o bien k k k g g k k kk k k k

26 33 Física: Teoría, cuestiones y probeas 6. Un boque se encuentra sobre una superficie que se ueve horizontaente efectuando osciaciones de frecuencia anguar 7 rad/s. Si e coeficiente de rozaiento entre e boque y a superficie es de.3, cuá debe ser a apitud de oviiento de a superficie para que e boque no desice sobre ea?. [Soución: 6 c] Η N Si e boque no desiza sobre a superficie, su oviiento es tabién arónico sipe. Por tanto, cuando a F R eongación coincide con a apitud A, a g fuerza que actúa sobre é debe ser de a fora: F R kaω A Siendo a asa de boque. as fuerzas que actúan sobre e boque son: ) e peso, g ) a reacción nora de a superficie, N g 3) a fuerza de rozaiento con a superficie, F R Puesto que as dos prieras se cancean entre sí, a fuerza neta sobre e boque coincide con a fuerza de rozaiento: FF R µg Iguaando as dos expresiones para a fuerza neta ω A µg obteneos µ A g ω Sustituyendo datos:,3 9,8 A,6 6 c 7 Heos supuesto que a superficie no tiene asa.

27 Osciaciones Una cuerda horizonta fija en sus extreos, de ongitud, está tensada ediante una fuerza f. En su centro está sujeta una boita de asa. Despreciando a asa de a cuerda y no teniendo en cuenta a fuerza de a gravedad, cuá es e período para pequeñas osciaciones de a separara transversaente una distancia "y" y sotara?. [Soución: ω 4F/] Η Supongaos que teneos a cuerda horizonta de ongitud y que separaos a boita una cantidad y ϕ pequeña y a dejaos en oviiento. E diagraa de fuerzas apicadas sobre a boita (sin tener en cuenta a de a y gravedad) es e que aparece en a figura. Sóo tendreos oviiento en e eje Y, ya que en e eje X as coponentes horizontaes de as fuerzas F se anuan. Apicando a segunda ey de Newton a eje Y: Fy ay F senϕ ay F F Coo a distancia y es uy pequeña podeos suponer que a ongitud de a cuerda prácticaente no varía. E ánguo ϕ es entonces uy pequeño, y su seno puede aproxiarse a a tangente: sen ϕ tg ϕ y /( / ) y / Sustituyendo esto en a ecuación de oviiento, teneos: F sen ϕ a y y F a y es decir, 4F a y y que corresponde a un oviiento arónico sipe cuya frecuencia anguar viene dada por: 4F ω T π F

28 33 Física: Teoría, cuestiones y probeas 8. Una cuerda vertica de ongitud está tensa bajo un peso de kg atado a su extreo. En e centro de a cuerda hay una asa pequeña de g. Separaos este pequeño peso de su posición de equiibrio una distancia pequeña x y o sotaos. a) Deostrar que se ueve con un.a.s.; b) haar a frecuencia de a vibración. [Soución: 885,4 rad/s] ΗΗ a) Coo e peso de kg es ucho ayor que a asa de g, podeos despreciar e efecto de peso α de a boita, y tendreos e diagraa de sóido ibre T que aparece en a figura. Apicando a segunda ey de Newton a as coponentes horizontaes: T a T sen α donde, por geoetría: T sen x α x / / Obteneos entonces: Mg F 4Tx / Nos fata únicaente deterinar cuánto vae a tensión T de a cuerda. Para deterinara aisaos e cuerpo de kg a que está unido a cuerda. Si a boita reaiza una osciación uy pequeña, podeos suponer que este cuerpo prácticaente no se ueve, por o que: Σ T cos α Mg F y Adeás, si a osciación es uy pequeña, e ánguo α tabién es uy pequeño, por o que podeos aproxiar: cosα Nos queda entonces: Tcosα Mg T Mg T Mg Si sustituios esto en a expresión que teníaos de oviiento de a pequeña asa: F 4( Mg / ) x Coo podeos ver, teneos a expresión de un oviiento arónico sipe, coo queríaos deostrar. b) En a ecuación a frecuencia anguar será: k 4 Mg / ω k / 4Mg / 4 9,8 /, 885,4 rad/s

29 Osciaciones Dos boques, de asas 5 kg y kg, están unidos por un uee vertica de asa despreciabe. E conjunto, se apoya sobre un pano horizonta coo se uestra en a figura. Si oscia verticaente con apitud c y frecuencia 5 Hz: a) Cuá es a fuerza áxia y a fuerza ínia que debe soportar e pano sobre e que se apoya e conjunto?, b) Qué vaor ínio debería tener a apitud de as osciaciones para que, en ciertos instantes, e pano no soporte ninguna fuerza? [Soución: 639N, 47N,.3c] ΗΗ E óduo de a fuerza áxia ejercida por e uee sobre a asa es: F ka ω A (πf ) A 5 4π 5, 96 N que tabién es a fuerza ejercida por e uee sobre a asa. Sobre actúan as siguientes fuerzas: ) peso de boque apoyado sobre ea, ) peso de, 3) fuerza ejercida por e uee, F96N, 4) reacción de a superficie, N. os dos pesos están dirigidos hacia abajo, ientras que a reacción N está dirigida hacia arriba. a dirección de F depende, en cabio, de si e uee se encuentra en fase de contracción o de aargaiento. a) Cuando e uee se contrae, F está dirigida hacia abajo. Por tanto, teniendo en cuenta que a asa peranece en reposo: N F g g En este caso, a reacción nora de a superficie acanza su áxio vaor: N ax F ( ) g 96 (5 )9,8 639 N Cuando e uee se aarga, F está dirigida hacia arriba. Por tanto, teniendo en cuenta que a asa peranece en reposo: N F g g En este caso, a reacción nora de a superficie acanza su ínio vaor: N in F ( ) g 96 (5 )9,8 47 N b) Para que e pano no soporte ninguna fuerza, debe cupirse N in. Es decir: ( ) g ( ) g F (πf ) A A,3 (πf )

30 334 Física: Teoría, cuestiones y probeas. Un resorte vertica, de asa despreciabe y constante k, tiene su extreo inferior fijado a sueo ientras que en su otro extreo eva unido un hio idea. E hio pasa por una poea de radio R y asa M, y eva suspendido en su otro extreo un boque de asa. Deterinar: a) a ecuación diferencia de oviiento de a asa arededor de su posición de equiibrio, b) periodo de a osciación, c) tensiones de hio a cada ado de a poea. [Soución:Tπ[(M)/k] /,FgkAcos(ωtδ), T gaω cos(ωtδ)] ΗΗ T T En a situación de equiibrio, se verifica: T g ( T T ) R T T g kd T kd Cuando está separada una distancia x de su posición de equiibrio, se verifica: Para uee: T k( d x) Para a asa: a g T Para a poea: I α ( T T ) R a ecuación para a poea puede sipificarse aún ás recordando e oento de inercia de un ciindro, I(/)MR, y teniendo en cuenta que e hio no resbaa sobre a poea, arα. Por tanto: Iα ( T T ) R MRα ( T T ) Ma ( T T ) Teneos entonces un sistea de tres ecuaciones: T k( d x) T k( d x) k a g T a x x ( M ) a g T M Ma ( T T ) que es a ecuación diferencia de oviiento, y corresponde a un.a.s. b) De resutado anterior teneos que e periodo de a osciación es: k M ω T π M k c) Sabeos que e oviiento es de a fora xa cos (ωtδ). Por tanto: T k( d x) g ka cos( ωt δ) T g a g Aω cos( ωt δ)

31 Osciaciones 335. Deterinar a frecuencia de osciación de sistea forado por un disco de asa y radio R unido a un resorte de constante eástica k, suponiendo que a fuerza es ta que no existe desizaiento de ciindro. k R [Soución: ω k/3] Η k N Supongaos que separaos e uee una distancia x respecto de su kx posición de equiibrio. E disco R g F R tenderá entonces a overse con una aceeración a en sentido contrario a estiraiento de uee. Apicando a segunda ey de Newton a disco en a dirección horizonta: a FR kx y apicando a ecuación de oviiento de rotación: a F R R Iα I R donde e signo enos indica que e sentido F R es contrario a de oviiento. Para un disco se cupe que IR /. Por tanto: a FR R R FR a R Introducido este útio resutado en a priera ecuación, teneos: a a kx Es decir: k a x 3 que corresponde a un.a.s. (a ω x) con: ω k 3 3 a kx

32 336 Física: Teoría, cuestiones y probeas Pénduo sipe, físico y de torsión Fóruas básicas Pénduo sipe: g ω C ; π T π ω g Pénduo físico: gd ω ; I π T π ω I gd ongitud equivaente: eq I D Pénduo de torsión: π ω ; T π IK IK ω Pénduo Físico: Estrategia para resover probeas. Coience identificando e punto de suspensión.. Cacue e oento de inercia de objeto respecto de un eje horizonta que pase por e punto de suspensión. Para eo, siga a estrategia ya estudiada en a ección 5. En ocasiones, e sóido suee tener una fora geoétrica sencia (ciindros, varias, etc.) para a que e oento de inercia es conocido y no requiere ser cacuado. 3. Cacue a posición de centro de asas de objeto siguiendo a estrategia estudiada en a ección 4. En ocasiones, a fora geoétrica de sóido es uy sencia y a posición de centro de asas es obvia, por o que no requiere ser cacuada. 4. Utiice a expresión de ω (o de T) para e pénduo físico (véase e cuadro superior) y despeje de ea a agnitud que nos piden cacuar en e enunciado de probea. 5. Si tabién nos piden cacuar a ongitud equivaente de pénduo, basta apicar a expresión eq I/D

33 Osciaciones 337. Una pequeña esfera está suspendida de un hio idea encontrándose ésta a 4. c de sueo. E hio pasa a través de una arandea situada en e techo ta coo se indica en a figura. A hacer osciar e sistea, observaos que tarda 5 in 45.4 s en reaizar 5 osciaciones copetas. Tirando de otro extreo de hio, subios a esfera a. de sueo, observando ahora que e tiepo epeado en reaizar 5 osciaciones es de 5 in 4 s. Cacuar a atura de techo y e vaor de g en ese ugar [Soución:, 9.8 /s ] Η E periodo de un pénduo sipe viene dado por: T π / g En a priera edida de enunciado (con a asa a h una distancia y,4 de sueo), a ongitud de hio es (véase a figura): y h y E tiepo que tarda en efectuar 5 osciaciones es t 5 5 in 45,4 s345,4 s. Por tanto, e tiepo correspondiente a una soa osciación será e periodo: T t5 / 5 345,4 / 5 6,9s En a segunda edida de enunciado (con a asa a una distancia y, de sueo), a ongitud de hio es (véase a figura): h y Ahora se tiene que t 5 5 in 4s34 s. Por tanto: T t5 / 5 34 / 5 6,8 s Sustituyendo estas ongitudes y periodos en a expresión de periodo de un pénduo sipe, obteneos: h y y ( T / T ) y,,,4 T 4π h g ( T / T ), h y, 4π h y T g 4π 4π 9,8 /s g T 6,8

34 338 Física: Teoría, cuestiones y probeas 3. Una varia de 3 de ongitud y kg de asa oscia suspendida por un eje horizonta que pasa por uno de sus extreos. Cacuar: a) Periodo de as osciaciones, b) ongitud equivaente de pénduo, c) Periodo de as osciaciones si a varia oscia arededor de eje horizonta que pasa por a varia a un cuarto de su ongitud. [Soución: a).84 s, b), c).66 s] Η a) E pénduo físico de este probea está constituido por una varia de ongitud que gira arededor de un eje perpendicuar a ea y que pasa por uno de sus extreos. Su oento de inercia será entonces: I 3 3 kg 3 3 Por otra parte, a distancia d entre e punto de suspensión y e centro de asas viene dada por d / 3/. Sustituyendo datos, e periodo de pénduo es: T I gd 3 π,84 s 9,8 3 / b) Despejando de a expresión de periodo de un pénduo sipe, y sustituyendo T por e resutando anterior, se obtiene: T g,84 9,8 T π / g 4π 4π c) Para deterinar e periodo de pénduo arededor de otro eje, debeos conocer e oento de inercia respecto a dicho eje. Esto puede hacerse apicando e teorea de Steiner: si I es e oento de inercia de un cuerpo respecto a un eje que pasa por e c.d.., e oento de inercia I respecto a un eje paraeo a anterior pero situado a una distancia a de c.d.. es: II a. En nuestro caso: 7 I ( / 4) 48 P /4 Coo a distancia d es ahora igua a /4, e nuevo periodo cd será: T π I gd π (7 / 48) g( / 4) π ,8,66 s

35 Osciaciones Una recta ateria de 98 c de ongitud tiene su densidad proporciona a a distancia a uno de sus extreos. Cacuar e periodo de pénduo físico que resuta suspendiéndoa de aque extreo. [Soución: 3 s] ΗΗ En este caso, e pénduo está constituido por una varia de ongitud y densidad variabe. Para haar e periodo, necesitaos cacuar e oento de inercia I, a asa de a varia, y a distancia d. Toaos e sistea de referencia con e origen en e extreo enos denso de a varia y con e eje X coincidiendo con a dirección de ésta. a densidad es entonces: ρ kx Para cacuar a asa tota de a varia, consideraos que está constituida por infinitos eeentos de ongitud dx. a asa d de cada eeento será entonces: x dx d ρdx kxdx O e integrando: k xdx k Por otra parte, e oento de inercia de a varia respecto a un eje perpendicuar a ea y que pasa por e extreo O, será: 3 I x d k x dx k 4 4 y a distancia d entre e centro de asas y e punto de suspensión: k x dx d xd k Sustituyendo en a expresión de periodo: T π I gd π ( 4 k k 4 ) g 3 3 / 3 / 3 3 π π g s 9.8

36 34 Física: Teoría, cuestiones y probeas E periodo de un pénduo físico viene dado por: Mgd I T π siendo d a distancia entre e cd y e punto de suspensión. Puesto que as posiciones de cd de a varia y de ciindro son obvias, podeos cacuar a posición (respecto a O) de cd de todo e pénduo ediante: ) ( 3 ) ( R R R OG d Por otra parte, e oento de inercia de conjunto es II I, donde: 3 3 I ) ( 3 3 ) ( R R R R I Por tanto: ) 3( 3 3 ) ( 3 3 R R R R I y ) /8 6 (7 4 ) 3( 3 3 π R g R R T de donde (con ): 8 7 ) ( 8) (36 7 R R R R R 4,5 c 5. E pénduo de un reoj de pared está forado por una varia de de ongitud y asa en cuyo extreo hay sodado un ciindro acizo y hoogéneo de asa 3. Cacuar e vaor de radio de ciindro para que e periodo de pénduo sea de s. (Tóese gπ ) [Soución: 4,5 c] ΗΗ G G G

37 Osciaciones Un pénduo de torsión está forado por una esfera suspendida de un aabre de de radio y de ongitud. a esfera tiene c de radio y 4 g de asa y, cuando a giraos respecto a eje vertica, e periodo de a osciación resutante es de s. Cacuar e óduo de rigidez de aabre [Soución: N/ ] ΗΗ Para pequeñas deforaciones, e ánguo de torsión, ϕ, es proporciona a oento de fuerzas apicado τ a : ϕ K τ a A este oento de fuerzas τ a, se opondrá un oento de fuerzas de restitución eástica τ ϕ τ K que seguirá actuando a cesar de apicar τ a. En e caso de un objeto ciíndrico, a constante K viene dada por: Por tanto: K γ 4 4 r πg r πgr τ ϕ Kϕ ϕ ( K / I) ϕ que ipica un.a.s. en e ánguo de torsión cuyo periodo es: 4 T π siendo I e oento de inercia de una esfera respecto a uno de sus diáetros: I MR 5 Sustituyendo en T as expresiones para I y K, se obtiene: Es decir: 4πR T r 6πR M 6π, G 4 5r T 5 ( I K M 5πG 3,4 4 ) N/

38 34 Física: Teoría, cuestiones y probeas Trabajo y energía de as osciaciones Fóruas básicas Energía cinética de un.a.s.: E sen ( ) ( c A ω ωt δ ω A x ) Energía potencia: E p kx ka cos ( ωt δ) Energía ecánica tota : ET ka Trabajo reaizado por una fuerza eástica : W E p Trabajo y energía de as osciaciones: Estrategia para resover probeas. Defina a partícua o sistea que desea estudiar e identifique todas as fuerzas que actúan sobre ea.. Distinga qué fuerzas son conservativas (peso, fuerzas eásticas,...) y qué fuerzas son no conservativas (rozaientos,...) 3. Escoja una posición de referencia para e punto cero de energía potencia gravitatoria. Haga o iso para e punto cero de energía potencia eástica. 4. Escriba as expresiones de a energía ecánica (cinética ás potencia gravitatoria, ás potencia eástica...) en a situación inicia, E i, y fina, E f. 5. Si todas as fuerzas son conservativas (no hay rozaiento) a energía ecánica debe ser constante. Iguae as energías ecánicas inicia y fina E i E f, y despeje a incógnita 6. Si existen fuerzas no conservativas (rozaiento) a energía ecánica no es constante. Cacue e trabajo reaizado para vencer esas fuerzas no conservativas, W nc. Puesto que a variación de energía ecánica es debida a a energía disipada por as fuerzas no conservativas, iguae W nc E E f - E i y despeje a incógnita

39 Osciaciones Una baa de 5 g choca contra e boque de 975 g ostrado en a figura, y se incrusta en é. Si a frecuencia de a osciación resutante es de 8/π Hz y su apitud es de 5 c, haar: a) Veocidad y aceeración áxias que acanza e sistea después de choque, b) Veocidad de a baa antes de a coisión, c) Trabajo efectuado por a baa para incrustarse en e boque [Soución: a: 8 /s, 8 /s ; b: 96 /s; c: 59 J] Η a) a asa osciante es e conjunto boquebaa. Puesto que conoceos a frecuencia (8/π Hz) y a apitud de as osciaciones (.5 ), podeos deducir: a frecuencia anguar: ω πf π 8 / π 6 rad/s a veocidad áxia de conjunto: v Aω,5 6 8 /s y a aceeración áxia: a Aω,5 6 8 /s b) E choque de a baa es copetaente ineástico. Por tanto, apicando a conservación de a cantidad de oviiento entre os instantes inediataente anterior y posterior a choque, se obtiene: v ( M ) v Despejando v y sustituyendo datos: M 3 v v 8 96 /s,5 c) Apicando e teorea de trabajo-energía, e trabajo efectuado sobre a baa e incrustarse en e boque será: Sustituyendo datos: W E c E fina c E inicia c v ( v ) W.5(8 96 ) 59 J y, por tanto, e trabajo reaizado por a baa es: W baa W 59 J

40 344 Física: Teoría, cuestiones y probeas 8. Un boque de.5 kg se encuentra sobre un pano incinado 45. E coeficiente de rozaiento entre e boque y e pano es de.. E boque parte de reposo y, tras desizar 4, choca con un uee de constante k4 N/M cuyo extreo ás aejado está fijo a fina de pano. a) Cuá es a áxia deforación de uee?, b) Qué atura acanzará e boque tras chocar por priera vez con e uee? [Soución: a) 6 c, b) 3,9 ] Η siendo: Por tanto es decir a) aeos x a a deforación de resorte y toeos a posición ás baja de boque coo origen de energías potenciaes. Apicando W Fr E ec, podreos estabecer a iguadad: µ g cos α(4 x) kx gh h ( 4 x) sen 45 (4 x)( / ),5 9,8 (4 x ),,5 9,8 (4 x) 4x x 3,x,47 que es una ecuación de segundo grado. Considerando únicaente a soución positiva: x,6 6 c b) aando d a a distancia, y apicando de nuevo que W Fr E ec, teneos: siendo h ' ( d x) sen α. Por tanto: y, despejando d: 4 µ g cos α( d x) gh' kx kx x d x µ g cos α( d x) g( d ) sen α kx gx( µ cos α sen α) 3,9 g( µ cos α sen α)

41 Osciaciones Un pénduo está constituido por una partícua de asa g suspendida de un hio idea de de ongitud. Despazaos e pénduo, respecto de su posición de equiibrio, hasta eevar a partícua c por encia de su posición de equiibrio. a) Cacuar su veocidad, energía cinética y tensión cuando pase por a vertica, b) Supongaos que a pasar por a vertica, e hio encuentra un cavo O situado por debajo de punto de suspensión O. Cacuar as tensiones de hio en sus posiciones extreas, c) Cacuar e periodo de pénduo, ta coo se describe en e apartado anterior, para pequeñas apitudes. Tóese g /s [Soución: a) /s,.4 J, b).8 N,.6 N, c).4 s ] Η, T β g O O β α s T α g a) Puesto que a energía ecánica debe conservarse (ya que W T ), a energía potencia inicia debe ser igua a a energía cinética cuando a asa pasa por a posición de equiibrio. Por tanto: v gh v gh, E c v,,4 J y a tensión de hio será: T g Fc v g,4 N /s b) Suponiendo que en e choque no hay pérdida de energía, a energía potencia en e extreo de a derecha debe ser igua a a energía potencia en e extreo izquierdo. Por tanto, a partícua se eevará a isa atura vertica de c en abos ados. os ánguos ostrados en a figura serán entonces: h cos α cos α ( h) /,8 /,9 h cosβ cosβ ( h) /,8 /,8 y as tensiones de hio en as posiciones extreas: T g cos α,,9,8 N T g cosβ,,8,6 N c) os periodos correspondientes a pénduos de ongitud, y, son: T π / g,8 s, T π / g Por tanto, e periodo de pénduo descrito en e apartado anterior será: T T / T /,4,4 s s,