Algebra Lineal -II: Álgebra Vectorial en R3

Algebra Lineal -II: Álgebra Vectorial en R3 José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato email: jrico@ugto.mx En estas notas se presentan los conceptos fundamentales del álgebra vectorial en R 3. En estas notas exclusivamente estudiaremos el espacio vectorial R 3, la razón de esta decisión es que el espacio vectorial R 3 es frecuentemente empleado en la estática y dinámica de partículas y cuerpos rígidos, el cálculo de varias variables, entre otras disciplinas, de modo que es conveniente que se dediquen unas cuantas horas al estudio del álgebra vectorial en R 3. Mas aún, en el trascurso de estas notas se analizarán el producto escalar de vectores en R 3, en realidad este producto escalar es en realidad una forma simétrica bilineal del espacio vectorial R 3. El estudio de los espacios vectoriales puede hacerse sin el estudio de formas simétricas bilineales, que conceden a un espacio vectorial las características de un espacio ortogonal. Además, también en estas notas se estudiará el producto vectorial que concede a un espacio vectorial R 3 las características de una álgebra. 1 Producto Escalar, Formas Simétricas Bilineales. Definición: Producto Escalar o Forma Simétrica Bilineal. Una forma simétrica bilineal sobre un espacio vectorial V es un mapeo del producto cartesiano V V sobre el campo en el cual se define el espacio vectorial, en nuestro caso el campo de los números reales R. Este mapeo se denota de dos formas alternativas, en textos de ingeniería se denota como : V V R u v mientras que en textos de matemáticas se denota como (, ) : V V R ( u, v) En estas notas, se empleara la notación ingenieril. Además, la forma simétrica bilineal satisface las siguientes propiedades: 1. Simétrica o conmutativa. u v = v u u, v V. 2. Bilineal Lineal en la primera variable. (λ u+µ v) w = λ u w+µ v w u, v, w V, λ,µ R. Lineal en la segunda variable. u (λ v +µ w) = λ u v +µ u w u, v, w V, λ,µ R. 1

Definición del producto escalar en el espacio Euclídeo. El espacio R 3 junto con la siguiente forma simétrica bilineal o producto escalar, también llamado producto punto, dada por donde : R 3 R 3 R u v = u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 u, v R 3. u = (u 1,u 2,u 3 ), y v = (v 1,v 2,v 3 ). se conoce como el espacio Euclídeo tridimensional. Teorema. Pruebe que el mapeo que justo se acaba de definir satisface las propiedades de una forma simétrica bilineal. Prueba: Sean u = (u 1,u 2,u 3 ), v = (v 1,v 2,v 3 ), w = (w 1,w 2,w 3 ) R 3 y λ,µ R. 1. Primero probaremos la simetría del producto escalar o forma simétrica bilineal u v = (u 1,u 2,u 3 ) (v 1,v 2,v 3 ) = u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 = v 1 u 1 +v 2 u 2 +v 3 u 3 = (v 1,v 2,v 3 ) (u 1,u 2,u 3 ) = v u 2. En segundo lugar probaremos la linealidad de la primera variable (λ u+µ v) w = [λ(u 1,u 2,u 3 )+µ(v 1,v 2,v 3 )] (w 1,w 2,w 3 ) = (λu 1 +µv 1,λu 2 +µv 2,λu 3 +µv 3 ) (w 1,w 2,w 3 ) = (λu 1 +µv 1 )w 1 +(λu 2 +µv 2 )w 2 +(λu 3 +µv 3 )w 3 = λ(u 1 w 1 +u 2 w 2 +u 3 w 3 )+µ(v 1 w 1 +v 2 w 2 +v 3 w 3 ) = λ u w +µ v w 3. Finalmente probaremos la linealidad en la segunda variable u (λ v +µ w) = (u 1,u 2,u 3 ) [λ(v 1,v 2,v 3 )+µ(w 1,w 2,w 3 )] = (u 1,u 2,u 3 ) (λv 1 +µw 1,λv 2 +µw 2,λv 3 +µw 3 ) = u 1 (λv 1 +µw 1 )+u 2 (λv 2 +µw 2 )+u 3 (λv 3 +µw 3 ) = λ(u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 )+µ(u 1 w 1 +u 2 w 2 +u 3 w 3 ) = λ u v +µ u w 4. Además se probará que el producto escalar es positivo definido. Considere Entonces se tiene que y u u = (u 1,u 2,u 3 ) (u 1,u 2,u 3 ) = u 2 1 +u 2 2 +u 2 3 u u = u 2 1 +u 2 2 +u 2 3 0 u R 3 u u = u 2 1 +u 2 2 +u 2 3 = 0 u = (0,0,0) = 0. Está propiedad juega un papel muy importante en muchas áreas de las matemáticas aplicadas y la ingeniería. 2 Interpretación Geométrica del Producto Escalar en R 3 En esta sección, analizaremos la interpretación geométrica del producto escalar en el contexto del espacio Euclideo R 3. Considere un punto P mostrado en la figura 1 y localizado en el espacio tridimensional y suponga que sus coordenadas respecto a un sistema coordenado cartesiano OXY Z están dadas por (p x,p y,p z ) = (p 1,p 2,p 3 ). Es entonces, perfectamente posible definir al vector p, que se origina en el punto O y finaliza en el punto P, que está dado por p = (p x,p y,p z ). 2

Figure 1: El Vector p y sus componentes. Es bien sabido, de la geometría analítica que la longitud del vector p, denotada por p que es equivalente a la longitud del segmento de línea recta OP, está dada por p = OP = p 2 x +p 2 y +p 2 z = p p. A partir de ese resultado, es posible definir a los vectores unitarios. Definición: Vector Unitario. Un vector u = (u x,u y,u z ) R 3, se dice que es un vector unitario, y se denota como û, si su longitud es 1; es decir, si û = û û = u 2 x +u 2 y +u 2 z = 1. Mas aún, puesto que 1 = 1, la condición para que un vector û sea unitario puede simplificarse a û 2 = û = û û = u 2 x +u 2 y +u 2 z = 1. La figura 1 también muestra tres vectores unitarios î, ĵ y ˆk, cuya direcciones coinciden con los ejes coordenados X, Y y Z. 1 Estos vectores unitarios, también denominados cartesianos, están dados por î = (1,0,0), ĵ = (0,1,0) ˆk = (0,0,1). Debe notarse que este conjunto de vectores, {î,ĵ,ˆk} constituye una base 2, con características muy especiales, del espacio vectorial R 3, y el vector p puede escribirse como p = p x î+p y ĵ +p z ˆk De manera que p x,p y y p z son las componentes del vector coordenado p y se denominan las componentes o las componentes cartesianas de p. Además, es posible definir un vector unitario ˆp u en la dirección del vector p de la siguiente manera ˆp u = p p = p p p (1) 1 En algunas ocasiones se denotarán como ê 1, ê 2 y ê 3. 2 El concepto de base se estudiará con mayor profundidad durante el curso de álgebra lineal. 3

Figure 2: Los Vectores Unitarios Asociados a a y b. Es fácil probar que efectivamente ˆp u es un vector unitario ˆp u = ˆp p p p p u ˆp u = = p p p p 2 = p p p p p p = 1 = 1. De la ecuación (1), se tiene que p = p ˆp u (2) Es posible entonces intentar una explicación geométrica del producto escalar. Sean a, b R 3, entonces empleando la ecuación (2), los vectores pueden escribirse como a = a â u b = b ˆbu y empleando las propiedades del producto escalar, se tiene que a b = ( a â u ) ( ) b ˆb u = a b â u ˆb u de manera que el problema se reduce a determinar el producto escalar entre â u y ˆb u. Considere el vector â u que está contenido en el plano formado por los vectores a y b y que está girado, con respecto al vector a, 90 en sentido antihorario. El restante vector necesario para formar el sistema coordenado, denotado ˆk, puede considerarse perpendicular al plano formado por los tres vectores y apuntando hacia el lector. Las coordenadas de los vectores unitarios de â u y ˆb u, respecto al sistema coordenado dado por â u, â u y ˆk están dadas por â u = (1,0,0) ˆbu = (Cosθ,Senθ,0) Por lo tanto a b = a b â u ˆb u = a b [(1,0,0) (Cosθ,Senθ,0)] = a b Cosθ. Asi pues, hemos llegado a la interpretación geométrica del producto escalar. Interpretación geométrica del producto escalar. El producto escalar de dos vectores a y b es igual al producto de las longitudes de los vectores por el coseno del ángulo que forman los vectores. 4

Esta definición permite caracterizar la perpendicularidad de vectores, de la siguiente manera. Definición: Perpendicularidad entre vectores. Dos vectores a y b diferentes de cero son perpendiculares si su producto escalar es 0. Es decir si a b = 0. De la interpretación geométrica del producto escalar, resulta que dos vectores son perpendiculares, también conocidos como ortogonales, si Cosθ = 0 Es decir, si θ = 90 o θ = 90. Geométricamente, este resultado indica que dos vectores son perpendiculares si y sólo si, el ángulo subtendido entre los vectores es un ángulo recto. Puede notarse que los sistemas coordenados empleados hasta ahora en estas notas, por un lado î, ĵ y ˆk, y por otro lado â u, â u y ˆk son mutuamente ortogonales o perpendiculares. Además cada uno de los tres vectores es unitario, también conocido como normalizado, un sistema coordenado con esas características se conoce como un sistema coordenado ortonormal. Existen dos diferentes tipos de sistemas coordenados ortonormales los sistemas a derechas y los sistemas a izquierda. En los sistemas a derechas, {û 1,û 2,û 3 }, si un tornillo a derechas, gira del vector unitario û 1 al vector unitario û 2 el avance del tornillo será en la dirección y sentido de û 3. Finalmente, a partir de los conceptos desarrollados en esta sección es posible determinar la componente de un vector respecto de otro vector. Definición: Componente de un vector respecto de otro. Considere dos vectores a y b, entonces la componente del vector b a lo largo de la dirección del vector a está dada por b a = b â u = b 3 Producto Vectorial. a a = b a a = a b Cosθ = a b Cosθ. En esta sección, se definirá el producto vectorial. Definición del producto vectorial en el espacio Euclídeo. Es posible definir en el espacio Euclideo, R 3, la siguiente operación, denominada producto vectorial : R 3 R 3 R 3 u v = (u 1,u 2,u 3 ) (v 1,v 2,v 3 ) = (u 2 v 3 u 3 v 2,u 3 v 1 v 3 u 1,u 1 v 2 v 1 u 2 ) u, v R 3. donde u = (u 1,u 2,u 3 ), y v = (v 1,v 2,v 3 ). sonlosvectorescoordenadosde u, v R 3 respectoaunsistemacoordenadoortonormalydextralodiestro. El producto vectorial puede calcularse con la ayuda de los vectores unitarios î,ĵ,ˆk y de los determinantes de orden 3, de la siguiente manera î ĵ ˆk : R 3 R 3 R 3 u v = u 1 u 2 u 3 u, v R 3. v 1 v 2 v 3 Otra manera de realizar el producto vectorial es considerar ambos vectores, u = u 1 î+u 2 ĵ +u 3ˆk y v = v 1 î+v 2 ĵ +v 3ˆk como si fueran números reales y la multiplicación vectorial de los vectores unitarios î,ĵ,ˆk está representada gráficamente por la figura 3. Si el producto de los vectores unitarios sigue el sentido antihorario el resultado es positivo; es decir î ĵ = ˆk ĵ ˆk = î ˆk î = ĵ 5

Figure 3: Interpretación Gráfica del Producto Vectorial de los Vectores Unitarios: Antihoraria y horaria. Si el producto de los vectores unitarios sigue el sentido horario el resultado es negativo; es decir î ˆk = ĵ ˆk ĵ = î ĵ î = ˆk El producto vectorial tiene las siguientes propiedades, para todo u = (u 1,u 2,u 3 ), v = (v 1,v 2,v 3 ), w = (w 1,w 2,w 3 ) R 3 y para todo λ,µ R: 1. El producto vectorial es nilpotente; es decir u u = 0 u R 3. Prueba: Sea u = (u 1,u 2,u 3 ) R 3 arbitrario, entonces u u = (u 2 u 3 u 3 u 2,u 3 u 1 u 3 u 1,u 1 u 2 u 1 u 2 ) = (0,0,0) = 0. 2. El producto vectorial es homogeneo en la primera variable. (λ u) v = [λ(u 1,u 2,u 3 ) (v 1,v 2,v 3 )] = (λu 1,λu 2,λu 3 ) (v 1,v 2,v 3 ) = (λu 2 v 3 λu 3 v 2,λu 3 v 1 λv 3 u 1,λu 1 v 2 λv 1 u 2 ) = λ(u 2 v 3 u 3 v 2,u 3 v 1 v 3 u 1,u 1 v 2 v 1 u 2 ) = λ( u v). 3. El producto vectorial es homogeneo en la segunda variable. u (λ v) = [(u 1,u 2,u 3 ) λ(v 1,v 2,v 3 )] = (u 1,u 2,u 3 ) (λv 1,λv 2,λv 3 ) = (λu 2 v 3 λu 3 v 2,λu 3 v 1 λv 3 u 1,λu 1 v 2 λv 1 u 2 ) = λ(u 2 v 3 u 3 v 2,u 3 v 1 v 3 u 1,u 1 v 2 v 1 u 2 ) = λ( u v). 4. El producto vectorial es aditivo en la primera variable. ( u+ v) w = [(u 1,u 2,u 3 )+(v 1,v 2,v 3 )] (w 1,w 2,w 3 ) = (u 1 +v 1,u 2 +v 2,u 3 +v 3 ) (w 1,w 2,w 3 ) = ((u 2 +v 2 )w 3 (u 3 +v 3 )w 2,(u 3 +v 3 )w 1 (u 1 +v 1 )w 3,(u 1 +v 1 )w 2 (u 2 +v 2 )w 1 ) = (u 2 w 3 u 3 w 2,u 3 w 1 u 1 w 3,u 1 w 2 u 2 w 1 )+(v 2 w 3 v 3 w 2,v 3 w 1 v 1 w 3,v 1 w 2 v 2 w 1 ) = u w+ v w. 5. El producto vectorial es aditivo en la segunda variable. u ( v + w) = (u 1,u 2,u 3 ) [(v 1,v 2,v 3 )+(w 1,w 2,w 3 )] = (u 1,u 2,u 3 ) (v 1 +w 1,v 2 +w 2,v 3 +w 3 ) = (u 2 (v 3 +w 3 ) u 3 (v 2 +w 2 ),u 3 (v 1 +w 1 ) u 1 (v 3 +w 3 ),u 1 (v 2 +w 2 ) u 2 (v 1 +w 1 )) = (u 2 v 3 u 3 v 2,u 3 v 1 u 1 v 3,u 1 v 2 u 2 v 1 )+(u 2 w 3 u 3 w 2,u 3 w 1 u 1 w 3,u 1 w 2 u 2 w 1 ) = u v + u w. 6

6. El producto vectorial es antisimétrico. 3 u v = v u. Como el producto vectorial es homogeneo y aditivo en la primera variable, se dice que es lineal en la primera variable. De manera semejante, como el producto vectorial es homogeneo y aditivo en la segunda variable, se dice que es lineal en la segunda variable. Como consecuencia, se dice que el producto vectorial es bilineal. Prueba: Considere el vector u + v, puesto que el producto vectorial es nilpotente y bilineal, se tiene que 0 = ( u+ v) ( u+ v) = u ( u+ v)+ v ( u+ v) = u u+ u v + v u+ v v = 0+ u v + v u+ 0 = u v + v u Por lo tanto u v = v u. 7. El producto vectorial no es asociativo, pero satisface la identidad de Jacobi. Puesto que no es asociativo, se tiene que u ( v w) ( u v) w. Probaremos que el producto vectorial satisface la identidad de Jacobi, es decir Considere, u ( v w)+ w ( u v)+ v ( w u) = 0. u ( v w)+ w ( u v)+ v ( w u) = [u 2 (v 1 w 2 v 2 w 1 ) u 3 (v 3 w 1 v 1 w 3 ), u 3 (v 2 w 3 v 3 w 2 ) u 1 (v 1 w 2 v 2 w 1 ),u 1 (v 3 w 1 v 1 w 3 ) u 2 (v 2 w 3 v 3 w 2 )]+ [w 2 (u 1 v 2 u 2 v 1 ) w 3 (u 3 v 1 u 1 v 3 ),w 3 (u 2 v 3 u 3 v 2 ) w 1 (u 1 v 2 u 2 v 1 ), w 1 (u 3 v 1 u 1 v 3 ) w 2 (u 2 v 3 u 3 v 2 )]+[v 2 (w 1 u 2 w 2 u 1 ) v 3 (w 3 u 1 w 1 u 3 ), v 3 (w 2 u 3 w 3 u 2 ) v 1 (w 1 u 2 w 2 u 1 ),v 1 (w 3 u 1 w 1 u 3 ) v 2 (w 2 u 3 w 3 u 2 )] = 0. 3.1 Interpretación Geométrica del producto vectorial. Es posible ahora intentar una interpretación geométrica del producto vectorial. Para tal fin, emplearemos el sistema coordenado ortonormal y a derechas mostrado en la figura 2, donde los vectores â u,â u,ˆk es además un sistema a derechas. En este caso, puesto que el producto vectorial es bilineal, se tiene que a b = ( a â u ) ( b ˆb u ) Pero en términos del sistema ortonormal y a derechas, formado por â u,â u,ˆk, las coordenadas de â u,ˆb u, están dadas por â u = (1,0,0) ˆbu = (Cosθ,Senθ,0) de manera que a b = ( a â u ) ( b ˆb u ) = a b â u ˆb u = a b (1,0,0) (Cosθ,Senθ,0) = a b Senθ(0,0,1) = a b Senθˆk (3) Es pues posible indicar la interpretación geométrica del producto vectorial. El producto vectorial de dos vectores a b es 3 Como tarea pruebe este resultado de forma directa; es decir, mediante cálculo directo. 7

Figure 4: Interpretación Geométrica del Producto Vectorial. 1. Un vector de magnitud a b Senθ. Debe notarse que está magnitud representa el área del paralelogramo formado por los vectores a y b. 2. Perpendicular a ambos a y b. 3. En el sentido del dedo pulgar, cuando se aplica la regla de la mano derecha. Es decir, cuando usando la mano derecha, los dedos se enrollan de manera que se muevan del a al vector b, el dedo pulgar indica el sentido del vector a b. 4 Triple Producto Escalar. En esta sección se analizará el significado geométrico del triple producto escalar. A partir de las definiciones del producto escalar y producto vectorial, el triple producto escalar de tres vectores u, v, w R 3 está dado por u ( v w) = (u 1,u 2,u 3 ) [(v 1,v 2,v 3 ) (w 1,w 2,w 3 )] = (u 1,u 2,u 3 ) (v 2 w 3 v 3 w 2,v 3 w 1 v 1 w 3,v 1 w 2 v 2 w 1 ) = u 1 v 2 w 3 u 1 v 3 w 2 +u 2 v 3 w 1 u 2 v 1 w 3 +u 3 v 1 w 2 u 3 v 2 w 1 u, v, w R 3. o empleando la interpretación del producto vectorial como un determinante, se tiene que u 1 u 2 u 3 u ( v w) = v 1 v 2 v 3 u, v, w R 3. w 1 w 2 w 3 A partir de estas definiciones es posible probar las siguientes propiedades del triple producto escalar. 1. Conmutatividad o simetría. u ( v w) = ( v w) u u, v, w R 3 (4) 2. Ciclicidad. En el apunte de determinantes se probará que el valor de un determinante no se altera si se realiza un número par de intercambios de columnas adyacentes, es decir u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = w 1 w 2 w 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 u 1 u 2 u 3 Esta propiedad de los determinantes, en términos del producto escalar, conduce a u ( v w) = w ( u v) = v ( w u) u, v, w R 3 (5) A continuación se presentará una interpretación geométrica del triple producto escalar. 8

4.1 Interpretación Geométrica del Triple Producto Escalar. Considere los vectores a, b y c mostrados en la Figura 5 y considere el triple producto escalar dado por ( a b) c = c ( a b) Como se indicó en la sección 3.1, el producto vectorial a b es un vector perpendicular al plano formado por los vectores a y b y cuya magnitud es igual a a b = a b senθ Debe notarse que la magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo cuyos lados están dados por los vectores a y b. Figure 5: Interpretación Geométrica del Triple Producto Escalar. Por lo tanto, la magnitud del triple producto escalar está dado por ( a b) c = a b c cosγ = a b c sen(90 γ) donde c sen(90 γ) representa la altura del paralelepípedo rectángulo formado por los vectores a, b y c. Por lo tanto ( a b) c = a b senθ c sen(90 γ) representa el volumen del paralelepípedo rectángulo formado por los vectores a, b y c. Debe notarse que si el ángulo, γ, entre los vectores a b y c es mayor a 90, el seno del ángulo 90 γ es negativo, de manera que el valor del triple producto escalar es negativo. Sin embargo, el valor absoluto del triple producto escalar es siempre el volumen del paralelepípedo rectángulo formado por los vectores a, b y c. A partir de esta interpretación, ( a b) c = 0, si y sólo si los vectores a, b y c son coplanares. Pues, en este caso, el volumen del paralelepípedo rectángulo formado por los vectores a, b y c es nulo. 5 Triple Producto Vectorial. En esta sección se mostrará como un triple producto vectorial puede representarse como la suma de dos vectores multiplicados por productos escalares. Considere los vectores a = (a 1,a 2,a 3 ), b = (b 1,b 2,b 3 ) y c = (c 1,c 2,c 3 ) y el triple producto vectorial c ( a b) = = c 2 (a 1 b 2 a 2 b 1 ) c 3 (a 3 b 1 a 1 b 3 ) c 3 (a 2 b 3 a 3 b 2 ) c 1 (a 1 b 2 a 2 b 1 ) c 1 (a 3 b 1 a 1 b 3 ) c 2 (a 2 b 3 a 3 b 2 ) = (c 1 b 1 +c 2 b 2 +c 3 b 3 )a 1 +( a 1 c 1 c 2 a 2 c 3 a 3 )b 1 (c 2 b 2 +c 3 b 3 +c 1 b 1 )a 2 +( a 2 c 2 c 3 a 3 c 1 a 1 )b 2 (c 3 b 3 +c 1 b 1 +c 2 b 2 )a 3 +( a 3 c 3 c 1 a 1 c 2 a 2 )b 3 (c 2 b 2 +c 3 b 3 )a 1 +( c 2 a 2 c 3 a 3 )b 1 (c 3 b 3 +c 1 b 1 )a 2 +( c 3 a 3 c 1 a 1 )b 2 (c 1 b 1 +c 2 b 2 )a 3 +( c 1 a 1 c 2 a 2 )b 3 = a( b c) b( a c) 9

A partir de esta identidad, es posible encontrar muchas otras, que pueden ser de utilidad. Por ejemplo, aprovechando la antisimetría del producto vectorial se tiene que ( a [ b) c = c ( a ] [ b) = a( b c) ] b( a c) = b( a c) a( b c) 5.1 Interpretación geométrica de la identidad del triple producto vectorial. En esta sección se presentará una simple interpretación geométrica del triple producto vectorial. Primeramente, es necesario notar que por la interpretación geométrica del producto vectorial, el vector representado por el triple producto vectorial c ( a b) es perpendicular al vector ( a b) y por lo tanto c ( a b) está contenido en el plano formado por los vectores a y b y es también perpendicular a c. Por lo tanto, el triple producto vectorial puede escribirse como c ( a b) = λ 1 a+λ 2 b. y latarea sereduceadeterminar los escalares λ 1 y λ 2. Sin embargo, puesto que c ( a b) es perpendicular a c, se tiene que [ 0 = c c ( a ] ] b) = c [λ 1 a+λ 2 b = λ 1 c a+λ 2 c b Figure 6: Interpretación Geométrica del Triple Producto Vectorial, Vista en Perspectiva. Por lo tanto, es necesario resolver la ecuación Si de la ecuación (6) se despeja λ 1, se tiene que 0 = λ 1 c a+λ 2 c b (6) λ 1 = λ 2 c b c a = λ 2 c a c b = µ c b donde µ = λ2 c a es un número arbitrario, pues λ 2 lo es. Sustituyendo este resultado en la ecuación (6) y despejando λ 2, se tiene que 0 = µ( c b)( c a)+λ 2 c b o λ 2 = µ c a Por lo tanto, el triple producto vectorial puede escribirse como c ( a b) = µ( c b) a+µ( c a) [ b = µ ( c a) ] b ( c b) a 10

Si se emplea un sistema coordenado cartesiano tal que a = a 1 î b = b1 î+b 2 ĵ c = c 1 î+c 2 ĵ +c 3ˆk Se tiene que c ( a ] b) = (c 1 î+c 2 ĵ +c 3ˆk) [a 1 î (b 1 î+b 2 ĵ) = (c 1 î+c 2 ĵ +c 3ˆk) (a1 b 2ˆk) = a 1 b 2 c 2 î a 1 b 2 c 1 ĵ (7) Por otro lado [ µ ( c a) ] b ( c b) a [ ] = µ c 1 a 1 b (c1 b 1 +c 2 b 2 ) a [ ] = µ a 1 b 2 c 2 î+a 1 b 2 c 1 ĵ [ ] = µ c 1 a 1 (b 1 î+b 2 ĵ) (c 1 b 1 +c 2 b 2 )a 1 î (8) Comparando las ecuaciones (7) y (8), se tiene que [ ] a 1 b 2 c 2 î a 1 b 2 c 1 ĵ = µ a 1 b 2 c 2 î+a 1 b 2 c 1 ĵ Por lo tanto, se tiene que a 1 b 2 c 2 = µa 1 b 2 c 2 a 1 b 2 c 1 = µa 1 b 2 c 1 Por lo tanto, la única solución consistente para este sistema de dos ecuaciones en una única incógnita µ es igual a µ = 1. Por lo tanto, finalmente c ( a b) = λ 1 a+λ 2 b = ( c b) a ( c a) b = a( b c) b( a c) Este resultado presenta una interpretación geométrica de la identidad del triple producto vectorial. 6 Ejemplos Resueltos. Ejemplo 1. Considere los siguientes dos vectores en R 3 p = [ 1 2 3 ] q = [ 4 1 2 ] Determine su producto escalar, son perpendiculares? Y su producto vectorial p q. Solución: Para el producto escalar considere p q = [ 1 2 3 ] [ 4 1 2 ] = (1)(4)+(2)(1)+( 3)(2) = 0. Puesto que el producto escalar es cero, los vectores p y q son perpendiculares. Para el producto vectorial, existen dos posibles procedimientos. El primer procedimiento implica el uso de un determinante de tercer orden p q = î ĵ ˆk 1 2 3 4 1 2 = î(4+3)+ĵ( 12 2)+ˆk(1 8) = [ ] 7î 14ĵ 7ˆk = [ 7 14 7 ] El segundo procedimiento implica la regla de la multiplicación de los vectores unitarios p q = [ 1 2 3 ] [ 4 1 2 ] [ ] [ ] = 1î+2ĵ 3ˆk 4î+1ĵ +2ˆk [ ) ( ) = (1)(1)ˆk (1)(2)ĵ (2)(4)ˆk +(2)(2)î+( 3)(4)ĵ ( 3)(1)î = 7î 14ĵ 7ˆk = [ 7 14 7 ] 11

Ejemplo 2. Considere los siguientes dos vectores en R 2 p = [ 1 2 ] q = [ 4 1 ] Determine su producto escalar, Cual es el ángulo entre los vectores p y q?, Cual es la proyección del vector p sobre el vector q. Determine el área del paralelogramo definido por los vectores p y q. Solución: Para el producto escalar considere La magnitud de los vectores p y q está dada por p q = [ 1 2 ] [ 4 1 ] = (1)(4)+(2)(1) = 6. p = p p = [ 1 2 ] [ 1 2 ] = 5 q = q q = [ 4 1 ] [ 4 1 ] = 17 Por lo tanto θ = Cos 1 p q p q = Cos 1 6 5 17 = 49.3987 El vector unitario en la dirección del vector q ˆq = q [ ] 4 1 [ q = = 17 ] 4 1 17 17 Entonces, la proyección del vector p sobre el vector q está dada por p ˆq = [ 1 2 ] [ ] 4 1 17 17 = 6 = 1.4552 17 Este mismo resultado, sin consideración del signo puede calcularse como p ˆq = p Cosθ = 5Cos49.3987 = 1.4552 Figure 7: Interpretación Gráfica del Ejemplo 2. Para el paralelogramo generado por los vectores p y q, considere el producto vectorial p q en R 3 dado por î ĵ ˆk p q = 1 2 0 4 1 0 = î(0+0)+ĵ(0+0)+ˆk(1 8) = 7ˆk. 12

El signo menos indica que el producto vectorial es negativo pues su dirección es en la dirección negativa del eje Z. La magnitud, que es el área del paralelogramo, puede explicarse a partir de la figura 7, de la siguiente manera A = p Senθ q = p 1 Cos 2 θ q = ( ) 2 6 5 1 17 5 17 = ( 5 17 ) 2 62 = 85 36 = 49 = 7 Ejemplo 3. Considere los siguientes tres vectores en R 3 p = [ 2 3 3 ] q = [ 2 1 4 ] r = [ 1 3 2 ] Determine el volumen del paralelepípedo rectángulo generado por los tres vectores. Solución. Considere el triple producto escalar de los tres vectores r ( p q) = [ 1 2 3 ] ([ 2 3 3 ] [ 2 1 4 ]) 1 3 2 = 2 3 3 2 1 4 = 12 18 4+12+3 24 = 19. El valor absoluto de este producto es el volumen del paralelepípedo rectángulo generado por los tres vectores. Ejemplo 4. Considere los siguientes tres vectores en R 3 a = [ 1 2 1 ] b = [ 3 2 5 ] c = [ 1 1 2 ] 1. Determine el producto vectorial de los vectores a b y demuestre, empleando Geogebra, que su magnitud es el área del paralelogramo formado por los vectores 0, a, a+ b, b 2. Determine el ángulo entre los vectores c y el producto vectorial a b y verifique que el resultado corresponde con el obtenido en Geogebra. 3. Determine el triple producto escalar c ( a b) y verifique, empleando Geogebra, que el valor absoluto de este triple producto escalar es el volumen del paralelepípedo rectángulo generado a partir de los vectores a, b y c. Solución. La determinación del producto vectorial a b está dada por a b = [ 1 2 1 ] [ 3 2 5 ] = î ĵ ˆk 1 2 1 3 2 5 = [ 12 2 8 ]. La Figura 8 muestra y verifica el cálculo del producto vectorial a b, vea el resultado del vector axb mostrado en la parte derecha de la pantalla. La magnitud del producto vectorial a b está dado por a b = 12 2 +( 2) 2 +( 8) 2 = 212 = 14.5602 La Figura 9 muestra y verifica el cálculo de la magnitud del producto vectorial a b, vea el resultado Magnitudaxb = 14.6802, mostrado en la parte derecha de la pantalla. Note, además, que este resultado 13

Figure 8: Determinación del Producto Vectorial de los vectores a b. Figure 9: Comprobación de que la Magnitud del Vector a b es el Área del Paralelogramo Asociado con los Vectores a y b. 14

corresponde al área del paralelogramo sombreado asociado con los vectores a y b, vea el resultado PoligonoFormadoPorAyB = 14.6802, mostrado, igualmente, en la parte derecha de la pantalla. A continuación se determinará el ángulo entre el vector c y el vector a b. Se sabe que a b = 12 2 +( 2) 2 +( 8) 2 = 212 c = 1 2 +( 1) 2 +2 2 = 6 Por otro lado ( c a ) b = [ 1 1 2 ] [ 12 2 8 ] = 12+2+ 16 = 2 Por lo tanto, de la interpretación geométrica del producto escalar, se tiene que ( c a ) b 2 Cosθ = a = = 0.0560772 b c 212 6 y el ángulo θ entre los vectores c y a b está dado por θ = Cos 1 ( 0.0560772) = 93.2146 Figure 10: Cálculo del Ángulo Entre los Vectores a b y el Vector c. Este resultado puede verificarse mediante la Figura 10, que muestra que, en la parte derecha de la pantalla, AnguloEntreAxByC = 93.2147. Además este resultado muestra que los vectores c y a b están localizados en semiespacios opuestos, donde el plano formado por los vectores a y b es el que separa los semiespacios, vea también la Figura 12. Para calcular la componente del vector c en la dirección del vector a b, es necesario determinar un vector unitario en la dirección del vector a b. Este vector está dado por û a b = a [ ] b 12 2 8 a = = [ 0.8241 0.1373 0.5494 ] b 212 15

Figure 11: Cálculo de la Componente del Vector c en la Dirección del vector a b. Este resultado puede verificarse mediante la Figura 11, que muestra que, en la parte derecha de la pantalla, axbunitario, que el vector unitario está dado por 0.8242 axbunitario = 0.1374 0.5494 Los errores, mínimos, ocurren en la cuarta cifra significativa. A partir de este resultado puede obtenerse la componente del vector c en la dirección del vector a b como c a b = c û a b = [ 1 1 2 ] [ 0.8241 0.1373 0.5494 ] = 0.1374. Este resultado puede igualmente verificarse en las Figuras 11 o 12, que en su parte derecha indica que ComDecalolargoaxb = 0.1374. Debe notarse que este resultado es igualmente la altura del paralelepípedo rectángulo cuya base está formada por el paralelogramo asociado a los vectores a y b. Finalmente, el volumen del paralelepípedo rectángulo asociado a los vectores a, b y c está dado por ( c a ) b == 1 1 2 1 2 1 3 2 5 = 10 3 4 12+2+5 = 2 Este resultado puede verificarse tanto en la Figura 11 como en la Figura 12, que en su parte derecha indica que TRIPLEPRODESCcab = 2. De igual manera este resultado puede volverse a verificar como el volumen del paralelepípedo rectángulo notando que debe ser el producto del área del paralelogramo asociado a los vectores a y b por la altura del paralelepípedo rectángulo; es decir (PoligonoFormadoPorAyB) (ComDecalolargoaxb) = (14.5602)( 0.1374) = 2.0005 Nuevamente, el error aparece en la quinta cifra significativa. Debe notarse que en la Figura 12, el área del polígono aparece como poly1. 16

Figure 12: Determinación del Volumen del Paralelepípedo Rectángulo Asociado a los Vectores a, b y c. 7 Ejemplos Propuestos. Problema 1. Para los siguientes ejercicios use los siguientes vectores, de R 3. p = [ 1 2 0 ] q = [ 2 1 0 ] r = [ 3 5 2 ] s = [ 2 2 2 ]. 1. Determine que parejas de vectores de entre p, q, r y s son perpendiculares. 2. Encuentre el ángulo entre las siguiente parejas de vectores ( p, r), ( p, s), ( q, r) y ( q, s). 3. Determine las magnitudes de los vectores p, q, r. Determine vectores unitarios en la dirección y sentido que los vectores p, q, r. 4. Determine el área del paralelogramo definido por las siguientes parejas de vectores que se supone tienen origen común en un punto, que puede considerarse el origen, ( p, q), ( p, s), ( q, r). 5. Calcule el volumen del paralelepido rectángulo formado por las siguientes tercetas de vectores que se suponen tienen un origen común, ( p, q, r) y ( p, q, s), ( p, r, s). 6. Determine los siguientes triple productos vectoriales p ( q s) y r ( q p) Problema 2. Para los siguientes ejercicios use los siguientes vectores, de R 3. p = [ 1 5 3 ] q = [ 2 3 2 ] r = [ 1 3 5 ] s = [ 1 1 2 ]. 1. Determine que parejas de vectores de entre p, q, r y s son perpendiculares. 2. Encuentre el ángulo entre las siguiente parejas de vectores ( p, r), ( p, s), ( q, r) y ( q, s). 3. Determine las magnitudes de los vectores p, q, r. Determine vectores unitarios en la dirección y sentido que los vectores p, q, r. 17

4. Determine el área del paralelogramo definido por las siguientes parejas de vectores que se supone tienen origen común en un punto, que puede considerarse el origen, ( p, q), ( p, s), ( q, r). 5. Calcule el volumen del paralelepido rectángulo formado por las siguientes tercetas de vectores que se suponen tienen un origen común, ( p, q, r) y ( p, q, s), ( p, r, s). 6. Determine los siguientes triple productos vectoriales p ( q s) y r ( q p) 18