ACTIVIDAD N 01 NOCIONES BÁSICAS DE ARITMÉTICA PARA MECATRÓNICA AUTOMOTRIZ NÚMEROS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS Introducción El concepto de número es considerado como fundamental dentro de las matemáticas, al grado tal que existe una rama dedicada especialmente a su estudio, es la Aritmética la cual a su vez es la base del Algebra. Puede decirse que la idea de número aparece desde que el hombre tiene necesidad de contar, es decir relacionar los objetos que le pertenecen con este concepto en su mente, por ello utiliza símbolos diversos para representarlos y así facilitar su manejo y comprensión. La herramienta básica de estas dos ramas de las matemáticas son los números, tanto en su concepto, como en su notación o simbolización. En esta primera parte, recordaremos los diferentes conjuntos de números desde los naturales N, enteros Z, racionales Q, irracionales I y hasta llegar a los números reales R sobre los que descansan buena parte de las matemáticas tradicionales o elementales. I. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS. 1.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS NATURALES Los números naturales se representan sobre una semirrecta, se comienza en el extremo izquierdo escribiendo el 0, después se determina arbitrariamente el tamaño de la unidad y se coloca su extremo izquierdo en el 0 y en el extremo derecho encontramos el 1. Así continuamos sucesivamente con el 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Se puede observar que un número es mayor que cualquier número situado a su izquierda, del mismo modo, un número es menor que cualquier número situado a su derecha. ING. JUAN J. NINA CHARAJA 1
1.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO ENTERO Los números enteros se representan en una recta numérica por medio de puntos ubicados a igual distancia, a la derecha y a la izquierda, de un punto determinado por el número 0 de la siguiente forma: 1.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS RACIONALES Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fracción común a / b, con numerador a y denominador b distinto de cero. 1.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES EXPRESIONES IRRACIONALES Expresiones como: -0,1416..., 6,17163, En donde las cifras decimales se repiten infinitamente, conforman el sistema de numeración de los irracionales. ING. JUAN J. NINA CHARAJA 2
1.5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS REALES Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. ING. JUAN J. NINA CHARAJA 3
II. CUATRO OPERACIONES FUNDAMENTALES 2.1. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BÁSICAS ING. JUAN J. NINA CHARAJA 4
EJERCICIOS: ING. JUAN J. NINA CHARAJA 5
III. FRACCIONES. ING. JUAN J. NINA CHARAJA 6
PARA RECORDAR ING. JUAN J. NINA CHARAJA 7
PARA APRENDER ING. JUAN J. NINA CHARAJA 8
3.1. FRACCIONES(NÚMEROS) RACIONALES Todo racional impropio se puede convertir en fracción mixta considerando cuantas veces el denominador está contenido en el numerador. Esta cantidad de veces indica la parte entera. Luego la diferencia entre el numerador de la fracción original y el producto de la parte entera y el denominador, entrega el numerador de la fracción mixta. 3.1.1. OPERACIONES CON RACIONALES. A) SUMA Y RESTA EN RACIONALES. Para poder Adicionar o Sustraer dos o más racionales es conveniente que tengan el mismo denominador. Esto se logra cuando se determina el m.c.m. entre ellos. Luego se deberá amplificar cada fracción por un uno escrito en forma conveniente y posteriormente sumar o restar los numeradores. ING. JUAN J. NINA CHARAJA 9
B) MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN RACIONALES. Para Multiplicar dos racionales bastara con multiplicar los numeradores, anotar el resultado como numerador y luego multiplicar los denominadores y anotar el resultado en el denominador. Es conveniente simplificar antes de efectuar las multiplicaciones. Para Dividir dos racionales bastara con invertir el segundo racional anotando su numerador como denominador y su denominador como numerador y luego multiplicar como ya se ha explicado. Uno de los detalles más importantes que los estudiantes suelen olvidar es que existe una prioridad respecto a las operaciones a realizar. Siempre se debe resolver los paréntesis en todo proceso, especialmente cuando representen numeradores o denominadores de racionales o expresiones racionales. Luego las multiplicaciones y divisiones. Y al final, cuando todo este desarrollado las sumas o restas correspondientes. Algunos procesos se simplifican cuando trabajamos con racionales, pero es común tomar las medidas en forma decimal, razón por la cual veremos cómo transformar desde un sistema a otro. ING. JUAN J. NINA CHARAJA 10
3.2. TRANSFORMACIÓN DE FRACCIÓN A DECIMAL Bastara con dividir el numerador por el denominador. Sin embargo es conveniente recordar que existen algunas características que nos simplificaran el proceso. Cuando el denominador está compuesto por factores primos de 2 ó 5 el decimal a obtener es finito. Cuando el denominador está compuesto por factores primos distintos de 2 ó 5 el decimal a obtener es periódico. Cuando el denominador está compuesto por factores primos como el 2 ó el 5 y cualquier otro, el decimal a obtener es semiperiódico. EJERCICIOS: ING. JUAN J. NINA CHARAJA 11
3.3. TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN(RACIONAL) Para transformar un decimal a fracción se debe considerar los siguientes casos: Fracción decimal finito: Para transformar un decimal finito a fracción bastara con considerar la cifra como numerador y una potencia de 10 con tantos ceros como decimales tenga la cifra, como denominador. Fracción decimal periódica: Para transformar un decimal periódico a fracción bastara con considerar la cifra como numerador y como denominador una cifra con tantos 9 como decimales tenga el número. ING. JUAN J. NINA CHARAJA 12
Este último caso es digno de un estudio aparte, dado que parece no cumplir con los requerimientos del sistema, sin embargo: Este caso indica claramente que No es conveniente aplicar un sistema en forma mecánica, dado que suele conducir a errores. Siempre es necesario y conveniente analizar cada uno de los pasos que estemos dando. Fracción decimal semiperiódica: Este es quizás uno de los difíciles de recordar por la complejidad de los pasos que involucra. Para transformar un decimal semiperiódico a fracción bastará con considerar la cifra completa menos el ante período como numerador y como denominador una cifra con tantos 9 como decimales periódicos tenga el número y tantos ceros como cifras tenga el ante período. ING. JUAN J. NINA CHARAJA 13
EJERCICIOS: ING. JUAN J. NINA CHARAJA 14
IV. RADICACIÓN 4.1. POTENCIACIÓN EN R Recordemos en primer lugar algunas definiciones y propiedades de la potenciación de números reales: 4.2. RADICACIÓN EN R Recordemos en primer lugar algunas definiciones y propiedades de la radicación de números reales: EJERCICIOS: ING. JUAN J. NINA CHARAJA 15
V. RAZONES Y PROPORSIONES 5.1. Una razón es una comparación entre dos cantidades. Una razón puede venir dada en forma de fracción, pero no hay que confundir los conceptos. Algunas diferencias fundamentales: A. Una razón puede comparar dos magnitudes heterogéneas (con distintas unidades). Ej: consumo 6 litros/100 km. B. Una razón puede no ser un número racional. Ejemplo: la razón entre la longitud de una circunferencia y su radio. 5.2. Una proporción es una igualdad entre dos razones. ING. JUAN J. NINA CHARAJA 16
5.3. MAGNITUDES PROPORCIONALES A. Dos magnitudes, a y b, son directamente proporcionales cuando la razón entre las cantidades de una de las magnitudes (por ejemplo, a) y sus correspondientes de la otra magnitud (en el ejemplo, b) es constante. Ejemplo: para resolver el siguiente problema, podemos pensar que se trata de dos magnitudes directamente proporcionales. Si 20 argollas de acero pesan 4,60 kg, cuánto pesan 450 argollas? El peso de cada argolla es el mismo, y también la constante de proporcionalidad. Para hallarla, hacemos 4,60 kg dividido por 20, que es igual a 0,23 kg. Para calcular el peso de las 450 argollas multiplicamos 450 x 0,23 kg = 103,50 kg. También podemos resolver el problema con el siguiente esquema: B. Dos magnitudes, a y b, son inversamente proporcionales cuando el producto entre las cantidades de la primera magnitud (a) y sus correspondientes de la segunda magnitud (b) es constante. Ejemplo, para resolver el siguiente problema que se presenta podemos pensar que se trata de dos magnitudes inversamente proporcionales. Dos engranajes están conectados. El mayor de ellos tiene 125 dientes, el menor 50 dientes. Si el mayor gira a 30 r.p.m. A qué velocidad gira el menor? Podemos resolver el problema con el siguiente esquema: EJERCICIOS: ING. JUAN J. NINA CHARAJA 17
VI. REGLA DE TRES La regla de tres es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporción, cuando se conocen tres. La Regla de Tres puede ser simple o compuesta. Es simple cuando solamente intervienen en ella dos variables o magnitudes y es compuesta cuando intervienen en ella más de dos magnitudes. En una regla de tres el supuesto está constituido por los datos de la parte del problema que ya se conoce y la pregunta por los datos de la parte del problema que contiene la incógnita. 6.1. La Regla de Tres Simple Directa La regla de tres simple directa es una relación que se establece entre tres valores conocidos y una incógnita, donde se puede establecer una relación proporcional entre los valores involucrados, esto es, que cuando una variable cambie su valor, otra variable también lo hará dependiendo de la primera. La forma más fácil de entender las relaciones entre variables es en las recetas de comida. Entre mayor sea la cantidad de comida, mayor será la cantidad de ingredientes. Normalmente se representa de la siguiente forma: Siendo A, B y X valores conocidos e Y la incógnita cuyo valor queremos averiguar. Esto se lee de la siguiente manera: A es a B como X es a Y. Y se resuelve de la siguiente manera: 6.2. La Regla de Tres Simple Inversa El segundo caso se resolvería aplicando la llamada Regla de Tres Inversa, ya que: Más obreros tardarán menos tiempo. Menos obreros tardarán más tiempo. Por tanto: 6 obreros ----- 12 días 8 obreros ------ Y Por ser inversa se multiplican entre sí los dos valores de la primera línea horizontal y se divide el resultado por el valor de la segunda línea horizontal. ING. JUAN J. NINA CHARAJA 18
6.3. La Regla de Tres Compuesta Ejemplos: 1) Para realizar una obra 40 obreros, trabajando 6 horas diarias, han necesitado 100 días. Cuántos obreros, trabajando sólo 4 horas diarias se necesitarían para terminar la misma obra en 120 días? 2) Para alimentar las 248 máquinas de una fábrica durante 24 horas se gastan 89 280 euros. Si trabajan 12 horas 324 máquinas iguales, cuánto gastarán? EJERCICIOS: ING. JUAN J. NINA CHARAJA 19
VII. PORCENTAJES Es el número de partes que se tomaron de un entero que se dividió en 100 partes. Se representa por el símbolo (%). Los porcentajes se pueden representar como una fracción o como un decimal. Ejemplo: 7.1. Calcular Porcentajes Para determinar el porcentaje de un número sigue los siguientes pasos: Calcule el 8% de 87: Multiplica el número por el porcentaje Divide el resultado por 100 Redondea a la precisión deseada 7.2. Determinar un porcentaje Ejemplo: 68 que porcentaje es de 87? Divide el primer número por el Segundo Multiplica el resultado por 100 Redondea con la precisión deseada Termina tu respuesta con el signo % 7.3. Convertir un decimal a un porcentaje Sigue los siguientes pasos para convertir un decimal a un porcentaje, Por ejemplo: Convierte 0.83 a un porcentaje. Multiplica el decimal por 100 (ej. 0.83 * 100 = 83) Agrega el signo porcentual a tu respuesta (ej. 83%) Convierte 1.25 a un porcentaje Multiplica el decimal por 100 (ej. 1.25 * 100 = 125) Agrega el signo porcentual a tu respuesta (ej. 83%) Convertir un porcentaje a un decimal Convierte 83% a un decimal. Divide el porcentaje por 100 (ej. 83 100 = 0.83) ING. JUAN J. NINA CHARAJA 20
7.4. Descuento de Precios A menudo los negocios venden productos o servicios a un precio de descuento. El negocio hará un descuento en un producto, utilizando un porcentaje del precio original. Por ejemplo, una habitación en temporada alta cuesta originalmente $20 pero podría tener un 25% de descuento en temporada baja. Para averiguar la cantidad del descuento calcula el 25% de $20, luego resta el descuento del precio original para averiguar el precio de venta. Cálculo del descuento: Precio de la habitación = 20 5 = $15 Estos son algunos términos que puedes ver para productos descontados: 50% menos, Ahorre 50%, 50% OFF. 7.5. Precio total con impuesto de venta Muchas ciudades a nivel mundial recaudan un impuesto de ventas sobre precios al consumidor. El impuesto a las ventas se determina averiguando un porcentaje del precio de compra. El porcentaje del impuesto varía entre las diferentes ciudades y países, en el caso de Nicaragua el impuesto (IVA) es igual al 15%. Si el impuesto a las ventas es 15% y se hace una compra de C$250.00, Calcule el valor total al pagar. El impuesto a la venta es El PRECIO TOTAL DE VENTA ES = PRECIO + IMPUESTO, por lo tanto, Precio = C$250 + C$37.50 = C$287.50 EJERCICIOS: ING. JUAN J. NINA CHARAJA 21
VIII. REGLAS DE REDONDEO DE LOS NÚMEROS Los números se redondean por la regla de adición. Esta regla se puede formular del siguiente modo. Supongamos que después de redondear el número, deben quedar n cifras significativas. En tal caso: Si la (n+1)-ésima cifra suprimida es menor que 5, la n-ésima cifra conservada no varía. Si la (n+1)-ésima cifra suprimida es mayor que 5, la n-ésima cifra conservada se aumenta en 1. Si la (n+1)-ésima cifra suprimida es igual a 5, pueden ocurrir dos casos: Entre las cifras suprimidas, además de la cifra 5 hay otras distintas de cero. En éste caso, la n-ésima cifra conservada se aumenta en 1. Todas las demás cifras suprimidas, salvo la cifra 5, son ceros. En éste caso la n-ésima cifra conservada se aumenta en 1, si es impar, y no varía si es par. EJERCICIOS: ING. JUAN J. NINA CHARAJA 22