Grado en Ciencia y Tecnología de los Alimentos Fundamentos de Ingeniería de los Alimentos Práctica 5 Modelos empíricos a partir de datos experimentales 1
1.- Regresión lineal La regresión consiste en deducir, a partir de valores empíricos, el modelo matemático que mejor representa estos valores empíricos. Si el modelo que se pretende ajustar es la ecuación de una línea recta, se trata entonces de una regresión lineal. Hay ciertos modelos, como el potencial, el exponencial y el logarítmico, entre otros, que mediante un cierto tratamiento matemático pueden reducirse también a un modelo lineal, es decir, se linealizan El método que se suele emplear para realizar la regresión es el de los mínimos cuadrados..- Correlación Decimos que dos variables, x e y, están correlacionadas cuando hay una relación cuantitativa entre ellas. x suele ser la variable independiente e y la dependiente (y depende de x). Altura y peso de niños. Peso = f(altura) Velocidad máxima que alcanza un coche y potencia de su motor. Velocidad = f(potencia) La relación puede ser claramente causal o no. La potencia del motor de un coche es la causa de que alcance una mayor velocidad. La relación altura peso tiene parte de causalidad, pero también existen otros factores (x y otros factores son la causa de y). Cuando se hacen correlaciones hay que analizar bien el fenómeno. Hay que evitar las denominadas correlaciones espurias, es decir, que llevan a conclusiones erróneas. Ocurren cuando dos variables, X e Y, son realmente independientes entre sí, pero dependientes ambas de una misma causa común, Z. X Y Z Ejemplo de correlación espuria o espúrea: Cierto biólogo inglés publicó un estudio en el que se comprueba que en los pueblos y ciudades con más cigüeñas en los campanarios, X, nacen más niños, Y. Llegó a la conclusión de que los niños los trae la cigüeña.
Lo cierto es que tanto el número de cigüeñas, X, como el de niños, Y, dependen de la causa común, Z, que es el tamaño del pueblo o ciudad. En las poblaciones grandes hay siempre más cigüeñas y más niños. Tanto cigüeñas como niños están correlacionados con el tamaño de la población, pero no entre ellos mismos. 3.- Nube de puntos Sea un conjunto de pares de valores de las variables X e Y. Si los representamos en un diagrama de dispersión obtendremos una nube de puntos que nos dará una idea gráfica de la posible correlación entre ambas variables (Figura 1) Y Y Y X X X No hay correlación Correlación positiva Correlación negativa Figura 1.- Correlación y nubes de puntos Las nubes de puntos se pueden ajustar a diversos modelos. En muchos casos, por el aspecto de la nube de puntos se puede tener cierta idea del tipo de modelo que la ajusta (Figura y Figura 3) Correlación lineal positiva Correlación lineal negativa Figura.- Modelo lineal 3
Potencial Potencial inversa Potencial Exponencial positiva Exponencial negativa Logarítmica Otros tipos Otros tipos Otros tipos Figura 3.- Otros modelos de correlación 4.- Modelo lineal Los modelos lineales son aquellos en que la variable dependiente, y, es directamente proporcional a la variable independiente, x. Geométricamente responden a la ecuación de una línea recta. El tipo más usado es la ecuación explícita (Figura 4), donde a se denomina ordenada en el origen y b pendiente. La ordenada en el origen es el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas. La pendiente nos indica la inclinación de la recta: si es positiva, la recta es creciente y si es negativa, la recta es decreciente. La pendiente es el cociente entre el incremento que se produce en la variable dependiente, y, cuando se incrementa la variable independiente, x. y a y = a + bx X Y b Y X Figura 4.- Ecuación explícita de la recta 5.- Recta de regresión mínimo cuadrática La recta de regresión es la que se obtiene a partir de la nube de puntos y es la que representa mejor la distribución de esos puntos como modelo lineal. Se suele emplear el método de los Mínimos Cuadrados, que consiste en encontrar aquella recta tal que la suma de los cuadrados de las distancias, d i, de los puntos a la recta sea la mínima posible. 4
di d1 d... di... dn Mínimo eq. 1 d 10 d 8 d 9 d 5 d6 d 4 d 3 d d 1 Figura 5.- Distancias de los puntos a la recta mínimo cuadrática Bajo esta condición se puede demostrar que la pendiente, b, y la ordenada en el origen, a, se determinan mediante: Problema 1: i i n xi yi xi yi b n x x yi b xi a n eq. eq. 3 Determinar la ordenada en el origen y la pendiente de la recta que representan los datos adjuntos. Emplear una hoja de cálculo Excel o similar determinando los valores de la pendiente, b, y la ordenada en el origen, a, con las ecuaciones anteriores. x y 0 1 3 4 3 5 5
Solución: Para determinar a y b según la eq. y la eq. 3, es necesario determinar cuánto suman las 4 equis, las 4 y griegas, el cuadrado de las equis y el producto de la equis por la y griega. Tabla 1 x y x xy 0 0 0 1 3 1 3 4 4 8 3 5 9 15 6 14 14 6 Como n = 4, resulta: 4 46 6 14 104 84 0 b 1 4 14 6 56 36 0 14 16 8 a 4 4 La ecuación de la recta que representa a los valores empíricos es: y x La representación gráfica de la nube de puntos y de la recta mínimo cuadrática se muestra en la Figura 6. Obsérvese que los puntos están perfectamente alineados, existiendo una perfecta coincidencia entre los puntos empíricos y los calculados con la ecuación de la recta. Esta situación es extremadamente improbable de que ocurra: normalmente hay una cierta dispersión entre los valores observados y los valores calculados. Diremos que un ajuste es bueno cuando la dispersión de la nube de puntos respecto de la recta mínimo-cuadrática es pequeña. 6
Y 8 7 y = x + 6 5 4 3 1 0-4 -3 - -1-1 0 1 3 4 5 6 - X Figura 6 Para determinar la bondad de ajuste es necesario emplear estadísticos relacionados con la dispersión de los datos respecto de los valores calculados. Problema propuesto 10: Determinar la ordenada en el origen y la pendiente de la recta que representan los datos adjuntos. Emplear la hoja de cálculo Excel o similar pero usando la opción "Línea de tendencia" de las gráficas de dispersión. x y 0 4 4 8 8 1 10 14 6.- Bondad de los ajustes 6.1.- Covarianza Es una medida de lo que se dispersan los valores de una muestra bidimensional tanto del valor medio de la x como del valor medio de la y. Se determina mediante la expresión: V xy xi x yi y Sxy n eq. 4 7
O bien mediante xy i i Vxy Sxy x y n eq. 5 La covarianza no se suele utilizar como estadístico de la bondad de un ajuste, porque no está normalizado, pero sí es la base para el coeficiente de correlación de Pearson, r. 6..- Coeficiente de correlación de Pearson, r El coeficiente de correlación de Pearson, r, nos permite saber si el ajuste de la nube de puntos a la recta de regresión obtenida es satisfactorio. Se define como el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas (raíz cuadrada de las varianzas). Vxy Sxy Sxy r VV SS SS x x y x y y eq. 6 Teniendo en cuenta el valor de la covarianza y las varianzas, se puede evaluar mediante cualquiera de las dos expresiones siguientes, totalmente equivalentes: r xy i i xy n xi yi x y n n eq. 7 r n xi yi xi yi i i i i n x x n y y eq. 8 La ventaja del coeficiente de correlación de Pearson respecto de la covarianza es que está normalizado. 8
No hay correlación r 0 Hay correlación no lineal r 0 Correlación lineal positiva r 1 1 Figura 7.- Correlación y coeficiente de Pearson Correlación lineal negativa r 1 Las principales características del coeficiente de correlación son las siguientes El coeficiente de correlación, r, presenta valores entre 1 y +1. Cuando r es próximo a 0, no hay correlación lineal entre las variables. La nube de puntos está muy dispersa o bien no forma una línea recta. No se puede trazar una recta de regresión. Cuando r es cercano a +1, hay una buena correlación positiva entre las variables según un modelo lineal y la recta de regresión que se determine tendrá pendiente positiva, será creciente. Cuando r es cercano a -1, hay una buena correlación negativa entre las variables según un modelo lineal y la recta de regresión que se determine tendrá pendiente negativa: es decreciente. 6.3.- Coeficiente de determinación, R Para estimar la bondad de un ajuste frecuentemente se prefiere utilizar el Coeficiente de Determinación, R, que es el Coeficiente de Correlación de Pearson elevado al cuadrado. Se determina mediante cualquiera de las dos expresiones siguientes: R R xy i i xy n xi yi x y n n n xi yi xi yi i i i i n x x n y y eq. 9 eq. 10 9
7.- Ejercicios de regresiones lineales Problema : Ajustar los valores de la Tabla a un modelo lineal usando el método de los mínimos cuadrados. Determinar la bondad del ajuste calculando el coeficiente de correlación de Pearson y el coeficiente de determinación. x Tabla y 1-1,1 0, 3 1,0 4,1 Necesitamos determinar la suma de las variables, del producto xy, y de sus cuadrados (Tabla 3) Tabla 3 x y xy x y 1-1,1-1,1 1 1,1 0, 0,4 4 0,04 3 1,0 3 9 1 4,1 8,4 16 4,41 10, 10,7 30 6,66 Con estos valores, tan solo tenemos que substituir en las ecuaciones de la pendiente, de la ordenada en el origen, del coeficiente de correlación de Pearson y del coeficiente de determinación. La ecuación de la recta es: 4 10.7 10. b 1.04 4 30 10. 1.04 10 a. 4 y1.04x. La bondad del ajuste vendrá dado por r y R : 4 10.7 10. 0.80 r 0.996 4 30 10 4 6.66. 0.880 10
El ajuste es bastante bueno ya que es muy próximo a 1. La correlación es positiva ya que r es positivo. No obstante, la pendiente es positiva es signo de que la correlación es positiva (y crece conforme x crece). El coeficiente de determinación es: R También es muy próximo a la unidad. 0.996 0.994,5,0 1,5 y = 1,04x -,05 R = 0,994 1,0 0,5 0,0 0 1 3 4 5-0,5-1,0-1,5 Figura 8 Comprobar los resultados usando la opción "Línea de tendencia" de las gráficas de dispersión en Excel u otra hoja de cálculo análoga. Problema 3: De un catálogo de coches se ha extraído la información que se muestra en la tabla adjunta referente a la potencia y la velocidad máxima que desarrollan distintos modelos del Citroën Saxo. Tabla 4 Modelo Citroën Saxo P (CV) V (Km/h) 1.5D SX Furio 58 158 1.1i SX 60 16 1.4i SX 75 175 1.6i VTS 100 193 1.6i 16V VTS 10 05 11
Velocidad máxima, máxima, V V (Km/h) Se pide determinar la relación Velocidad Máxima Potencia como un modelo lineal e interpretar los resultados obtenidos Solución: Se ha realizado una regresión lineal usando como variable independiente, la x, la potencia expresada en CV, y como variable dependiente, la y, la velocidad en Km/h. Se encuentra lo siguiente: b = 0.747 a = 117 R = 0.9915 Es decir, la ecuación que nos permite calcular la velocidad máxima, V, de un Citroën Saxo según la potencia del motor, P, es la siguiente: V 0.75P 117 eq. 11 50 00 150 100 50 0 1.6i 16V VTS 1.6i VTS 1,4i SX 1.1i SX 1.5D SX Furio y = 0,7468x + 116,91 R = 0,9915 0 50 100 150 Potencia, P (CV) Figura 9.- Velocidad máxima frente a potencia en el Citroën Saxo Comentarios: Potencia y velocidad son dos variables correlacionadas según un modelo lineal, cuya ecuación es: El ajuste es excelente. La correlación es positiva, ya que la pendiente también lo es. Por cada CV de potencia, la velocidad máxima se incrementa en 0 75 Km/h Es posible predecir qué velocidad se podría alcanzar a partir de una potencia determinada o bien a la inversa, determinar qué potencia se necesita para alcanzar una velocidad. Estas predicciones se pueden realizar sin restricciones dentro del rango analizado (Interpolación). En cambio, fuera del rango sólo son posibles si no nos alejamos excesivamente de él (Extrapolación) 1
Modelo Citroën Saxo P (CV) Tabla 5 V (Km/h) V (Km/h) calculada 1.5D SX Furio 58 158 58x0 75+117 = 160 1.1i SX 60 16 16 0% 1.4i SX 75 175 173-1 1% 1.6i VTS 100 193 19-0.5% 1.6i 16V VTS 10 05 07 1% % Error (160-158)/158*100 = 1 3% Nuevo Modelo Intermedio Nuevo Modelo muy Potente Nuevo Modelo poco Potente 90 ------ 184 Este caso es una interpolación y como el ajuste es muy bueno, el resultado es correcto. 150 ------ 9 Resultado razonable. La extrapolación es también razonable. 10 ------ 14? Demasiada velocidad para tan poca potencia. Se ha hecho una extrapolación excesiva 8.- Modelos no lineales En ciertos modelos no lineales es posible realizar una regresión lineal si previamente hacemos cambios de variables adecuados. Antes de proceder a la regresión, hay que transformar la ecuación no lineal, y = f(x), en otra del tipo Y = A + BX, donde Y, X, A y B son funciones de y, x, a y b respectivamente. En la Tabla 6 se muestra un resumen de cómo ciertos modelos (potencial, exponencial y logarítmico) pueden linealizarse. El procedimiento en general consiste en sacar logaritmos a ambos lados de la ecuación del modelo y se realiza el cambio de variable necesario para que el resultado sea una ecuación lineal. Por ejemplo, un modelo potencial se linealiza gráficamente cuando se representa log y frente a log x. Para la regresión, se hacen los cambios de variable Y = log y; X = log x. La ordenada en el origen resultante, A = log a, y la pendiente, B =b. 13
En el modelo exponencial se hace el cambio Y = log y y en el logarítmico X = log x. En muchas ocasiones es más ventajoso usar logaritmos neperianos que logaritmos decimales. Tabla 6.- Algunos modelos no lineales que pueden linealizarse 9.- Ejercicios de regresiones con modelos no lineales Problema 4: El péndulo de Galileo Una de las principales aportaciones de Galileo Galilei (1564-164), fue encontrar la relación entre el tiempo o periodo de oscilación de un péndulo y su longitud. Esto permitió construir por primera vez en la historia relojes de gran precisión basados en péndulos. Dicen que la idea de correlacionar estas variables se le ocurrió en la iglesia de su ciudad natal, Pisa, mientras, absorto, observaba cómo oscilaban las lámparas del techo... Estos datos podrían corresponder a un supuesto e hipotético experimento realizado por Galileo... Tabla 7 L (m) 14 T (s) 0.1 0.6 0.3 1.1 1.0.1 3.0 3.4 6.0 5.0 9.0 6.0 Se pide deducir cuál es la ley general que rige el movimiento de los péndulos.
Tiempo de oscilación, T(s) Solución: Gráficamente el tiempo o periodo de oscilación, T, frente a la longitud del péndulo, L El Péndulo de Galileo 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0,0 1,0 0,0 0,0,0 4,0 6,0 8,0 10,0 Longitud del péndulo, L(m) Para encontrar el modelo que relaciona periodo de oscilación, T, con la longitud del péndulo, L, Galileo bien pudo hacer las siguientes deducciones gráficas (Figura 10) Se deduce que el modelo es potencial porque los valores empíricos se linealizan cuando se representa logaritmo de T frente a logaritmo de L. T al y ax b b Como vamos a ajustar a un modelo potencial, hacemos el cambio de variables: X = log x e Y = log y. Por lo demás se procede exactamente igual a una regresión lineal, ajustando a una expresión del tipo Y = A + BX. Por último, de B y A calculados se despejan b y a respectivamente. 15
T log T T log T 7,0 10,0 6,0 5,0 4,0 3,0,0 1,0 No es lineal 1,0 No es exponencial 0,0 0,0,0 4,0 6,0 8,0 10,0 L 0,1 0,0,0 4,0 6,0 8,0 10,0 L 7,0 6,0 Tampoco es logarítmica 5,0 4,0 3,0,0 1,0 10,0 1,0 Es potencial 0,0 0,1 1,0 10,0 log L 0,1 0,1 1,0 10,0 log L Figura 10 Tabla 8 L(m) T(s) X = log x Y = log y x y X Y XY X^ Y^ 0,1 0,6-1 -0,185 0,1849 1 0,04917 0,3 1,1-0,588 0,041393-0,0164 0,734018 0,001713 1,0,1 0 0,319 0 0 0,10385 3,0 3,4 0,47711 0,531479 0,5358 0,764469 0,847 6,0 5,0 0,778151 0,69897 0,543904 0,605519368 0,488559 9,0 6,0 0,95443 0,778151 0,74545 0,910578767 0,605519 Sumas 0,686636,150363 1,74035 3,017145009 1,531304 n= 6 i 63.01745009 (0,686636) i n xi yi xi yi 61,74035 0,686636,150363 B 0,5085 n x x eq. 1 bb 0,5085 eq. 13 16
log T yi b xi,150363 0,5085 0,686636 A 0,300 n 6 eq. 14 De aquí deducimos el valor de la constante a: a A 0,300 10 10 1, 996 eq. 15 Y la bondad del ajuste: R n xi yi xi yi i i i i 0.9988 n x x n y y eq. 16 10,0 1,0 y = 1,996x 0,5085 R = 0,9988 0,1 0,1 1,0 10,0 log L Figura 11 La representación gráfica log T frente a log L es la mostrada en la Figura 11. Si la representación se realiza deshaciendo los logaritmos, tenemos la Figura 1 17
T 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0,0 1,0 y = 1,996x 0,5085 R = 0,9988 0,0 0,0,0 4,0 6,0 8,0 10,0 Figura 1 Lo interesante de todo esto es que se deduce que: L y generalizando: 1 0'5 T L L L eq. 17 T k L eq. 18 Ecuación que representa la Ley del Péndulo obtenida por Galileo. En palabras se puede enunciar como sigue: El periodo de oscilación de un péndulo es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Nota: En tiempos de Galileo todavía no se conocían los logaritmos ni tampoco las técnicas de regresión: Evidentemente Galileo llegó a estas conclusiones mediante una vía distinta, lo que pone de manifiesto su gran capacidad científica. Problema 5: El método del carbono 14 para la datación arqueológica A partir de los datos adjuntos en los que se dan valores de carbono 14 residual respecto del tiempo transcurrido, determina: 1. Parámetros de la distribución de %C14-Tiempo, sabiendo que es exponencial negativa 18
%C14 residual Escala logarítmica %C14 residual. Cuánto C14 quedará en el hueso que llevo en la mano si ambos tenemos 1.000 años. Solución: Tabla 9 Edad, t (años) %C 14 residual 0 100 1000 9 5000 53 10000 30 0000 9.3 Primeramente representamos los porcentajes de C 14 residual frente a la edad del material arqueológico. 10 100 80 60 40 0 0 0 5000 10000 15000 0000 5000 Edad, t (años) Figura 13.- Porcentaje de carbono 14 residual en restos arqueológicos Se observa que el descenso no es lineal: hay que encontrar el modelo buscando la representación gráfica que linealice los datos. Esto ocurre cuando el eje de abscisas es lineal y el de ordenadas es logarítmico, lo que corresponde con un modelo exponencial. 1000 100 10 1 0 5000 10000 15000 0000 5000 Edad, t (años) Figura 14.- Representación semilogarítmica para el porcentaje de carbono 14 residual 19
Haciendo el cambio de variable Y = log y, la regresión nos conduce a las siguientes soluciones: a 100 b 1,194 10 R 0,999 4 14 14 % C 4% de C residual Para el modelo: y ae bx % C14 ae bt Granada, marzo de 014 0