Funciones de Varias Variables

Tema Funciones de Varias Variables. Definiciones Generales Definición: Una función de varias variables reales f : A R n R m es una correspondencia que a cada x = (x,,..., x n ) R n le asigna a lo más una imagen y = f( x) = (y, y,..., y m ) R m. De manera similar al caso de las funciones reales de variable real, se define el conjunto dominio de f, Dom f, como el subconjunto de A formado por los elementos para los cuales existe la imagen por f, y el conjunto Im f será el subconjunto de R m constituido por los vectores imágenes de alguna anti-imagen en A. Si Dom f=a, entonces y sólo entonces f será una aplicación. Ejemplo : Las aplicaciones lineales estudiadas en el Álgebra Lineal son funciones de varias variables, por ejemplo: T : R 3 R T (x,, x 3 ) = (x, x + 3x 3 ) Tenemos entonces que y = x, y = x + 3x 3. Ejemplo : La función f de R 3 en R: f : R 3 R, f(x,, x 3 ) = x 3 + cos( + x 3 ) Ejemplo 3: f : R R, f(x, ) = ( +, 3x e ) Ejemplo 4: La función σ(t) definida de la forma: σ : R R 3, σ(x) = (cos x, sin x, ) 9

CA LCULO / INGENIERO GEO LOGO / TEMA no es (estrictamente hablando) una funcio n de varias variables, se tarta de una funcio n de una variable real, cuya imagen tiene varias componentes reales. Dentro de las funciones de varias variables reales se distinguen varias casos particulares: Funciones escalares: Si m = (como ocurre en el ejemplo ), se dice que la funcio n es una funcio n escalar de n variables reales. Es habitual en esta situacio n denotar a la funcio n sin utilizar el sı mbolo de vector. Toda funcio n no escalar (funcio n vectorial) se compone entonces de varias (exactamente m) funciones escalares componentes: si f~(x,..., xn ) = (y,..., ym ), entonces evidentemente yj = fj (x,..., xn ), con j =,..., m, son las m funciones escalares componentes de la funcio n vectorial f~. Utilizaremos a menudo la notacio n f~ (f,..., fm ) para representarlas. Curvas: Si n = (como es el caso del ejemplo 4), las funciones componentes de f~ : R Rm (en este caso funciones reales de variable real) pueden interpretarse como las ecuaciones parame tricas de una curva en el espacio Rm, por esta razo n se denominan en general curvas en Rm a las funciones de este tipo. Superficies: Si n =, las funciones componentes pueden interpretarse como las ecuaciones parame tricas de una superficie en Rm (evidentemente con m 3). Campos vectoriales: Si n = m, es decir, si la funcio n es del tipo f~ : Rn Rn, se suele denominar campo vectorial, sobre todo en los ejemplos de tipo fı sico.. Gra ficas y Conjuntos de Nivel..5 4. 5 -.5 -. - - -4 - - - - 4-4 Figura.: Gra ficas de la funciones f (x, y) = x + y (izquierda) y g(x, y) = sen(x + y ) (derecha). Definicio n: Dada una funcio n escalar de n variables reales f : Rn R, se llama gra fica De hecho es muy comu n en los textos matema ticos einar la notacio n vectorial en cualquier tipo de funcio n de varias variables. En estos apuntes se einara u nicamente en las funciones escalares.

CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA de f al subconjunto de R n+ siguiente: gráfica(f) = {(x,,..., x n, x n+ ) R n+, x n+ = f(x,..., x n )} Sólo es posible entonces visualizar la gráfica de una función escalar en los casos n = (funciones reales de variable real, la gráfica se dibuja en el plano R ) y si n = (funciones escalares de dos variables reales, la gráfica se visualiza en el espacio R 3 ). Para el caso de las funciones vectoriales, no existe el concepto de gráfica, aunque evidentemente sí que podemos definir la gráfica de cada una de las funciones escalares componentes. Un caso diferente es el que tenemos con las curvas y las superficies, tal y como se han introducido en la sección anterior, es decir interpretar una función vectorial como una colección de ecuaciones paramétricas. Analizaremos este caso en la sección siguiente. Definición: Dada una función escalar de n variables f(x,..., x n ), se define el conjunto de nivel de valor K como el subconjunto de R n siguiente: C K (f) = {(x,,..., x n ) R n, f(x,..., x n ) = K} Si n = los conjuntos de nivel se reducen en general a un conjunto discreto de puntos. Si n = los conjuntos de nivel son curvas de nivel. Si n = 3 tenemos superficies de nivel y si n 4 se tratará de hipersuperficies de nivel. Es posible visualizar los conjuntos de nivel como intersecciones o cortes de la gráfica de la función con los hiperplanos correspondientes a la ecuación x n+ = k. - - - - - - - - - Figura.: Gráfica de la función f(x, y) = ( y )e x y nivel. y de algunas de sus curvas de.. Ecuaciones Implícitas y Ecuaciones paramétricas de curvas y superficies Tal y como se ha comentado en la sección anterior, una curva en R m puede ser definida, desde un punto de vista analítico, como una función: σ : R R m. Las funciones

CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA escalares componentes de σ(t) son las funciones: σ(t) = (x,..., x m ) x = x (t), = (t), x 3 = x 3 (t) Es posible restringir el dominio de σ(t) a un intervalo en R, de forma que la curva: σ : [t, t ] R m une los puntos de R m : P = σ(t ) y Q = σ(t ). Desde el punto de vista físico, podemos interpretar la función σ(t) como la posición de una partícula que se mueve en el espacio R m a tiempo t. Si las funciones componentes: x (t),..., x m (t) son derivables, entonces el vector σ (t) = d σ dt = (x (t),..., x n(t)) es un vector tangente a la curva σ en el punto σ(t)...5..5..5..5.. 3.5 3 4 5.5. Figura.3: (izquierda) Representación gráfica de la curva σ(t) = (5t, t 3 ). (derecha) Representación gráfica de la curva tridimensional σ(t) = (cos t, sen t, t 3 ) De esta manera, para el caso de las curvas en R, tendremos: mientras que en R 3 tendremos:.. Superficies Cuádricas σ : I R R, σ(t) = (x(t), y(t)) σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) Hemos visto cómo la gráfica de una función f(x, y) se corresponde con una superficie en R 3, dada por la expresión z = f(x, y) De manera análoga al caso de las curvas en R, donde podíamos tener bien la gráfica de una función: y = f(x), o bien una ecuación implícita: F (x, y) =, ahora nos encontramos con que una ecuación de la forma: F (x, y, z) =

CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 3 determinará una superficie en R 3. En el caso más sencillo, si F es una función de tipo lineal, tendremos la ecuación de un plano. Para el siguiente grado de complicación, funciones cuadráticas, las superficies que se obtienen reciben el nombre de superficies cuádricas. De esta forma: Las cuádricas son las superficies de R 3 que están definidas por medio de una ecuación implícita polinómica de grado. La ecuación general de una cuádrica es por tanto de la forma: A + By + Cz + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = Siempre es posible, con las traslaciones y rotaciones adecuadas, escribir una cuádrica por medio de su ecuación reducida, obteniéndose finalmente que sólo existen 9 tipos de cuádricas no degeneradas. Son las siguientes:. Elipsoide. La ecuación de un elipsoide de semiejes a, b y c, centrado en el origen de coordenadas es: a + y b + z c =. Hiperboloide de una hoja: 3. Hiperboloide de dos hojas: a + y b z c = a + y b z c = 4. Cono: 5. Paraboloide elíptico: a + y b = z a + y b = z 6. Paraboloide hiperbólico: a y b = z 7. Cilindro parabólico: y =, < z < 8. Cilindro elíptico:

4 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 9. Cilindro hiperbólico: a + y b =, < z < a y b =, < z < Algunas superficies cuádricas: a) esfera, b) elipsoide, c) cilindro circular, d) hiperboloide de una hoja, e) hiperboloide de dos hojas y f) cono..3 Límites de funciones de varias variables Definición: Dada una función f : R n R m, sea x R n, diremos entonces que el límite cuando x tiende a x de f es b R m si para cada ɛ > existe un δ > tal que, para x Dom( f), si x x δ se verifica que f( x) b < ɛ. Es necesario precisar en este punto que el cálculo de límites en funciones de varias variables es extraordinariamente más complejo que el correspondiente a funciones reales de variable real. Una manera sencilla de explicar este hecho es la siguiente: en funciones de una variable, a la hora de calcular x x f(x) existen únicamente dos posibilidades para acercarse al punto x, por la izquierda y por la derecha en la recta real, sin embargo simplemente en funciones escalares de dos variables (x,y) (x,y ) f(x, y), el número posibles caminos que acerquen en el plano (x, y) hasta el punto (x, y ) es claramente infinito, es por otro lado evidente que el límite en el punto existirá si y sólo si existe por todos esos caminos y coinciden los valores obtenidos por cada uno de ellos. Veamos un ejemplo concreto: Ejemplo: Analicemos el límite: (x,y) (,) + y

CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 5 Si nos restringimos a la recta x = en el plano xy, tenemos que la función es la función constante y en consecuencia el límite por ese camino (x =, y ) existe y es nulo. Si nos restringimos a la recta y = la función es constante de valor uno luego el límite existe y vale uno en este caso. Concluimos con que el límite no existe. Propiedades: No son difíciles de demostrar varias propiedades de los límites de las funciones vectoriales análogas a las presentadas para las funciones de una variable. Resumimos las principales: Si el límite existe, entonces necesariamente es único. Si f y g son dos funciones de R n en R m ambas con límite en x, entonces existe el límite de su suma y es igual a la suma de los límites. Si b es el límite de f( x) en x, entonces existe el límite de λ f( x) en x y es igual a λ b. Para funciones escalares, el límite del producto es el producto de los límites y el del cociente otro tanto (salvo que el denominador tenga límite nulo). Ejemplo: Calcular el límite: (x,y) (,) y + y Es evidente que se presenta una indeterminación del tipo. Para poder resolverla es muy adecuado escribir la función en coordenadas polares, y tener en cuenta que (x, y) (, ) equivale a r. Tendremos así: (x,y) (,) y + y = r 4 sen θ cos θ r r r sen θ = = r 4 En la última igualdad se ha aplicado la propiedad que establece que el producto de un infinitésimo (en este caso r, que tiende a cero cuando lo hace r) por una función acotada (sen θ) es de nuevo un infinitésimo..3. Límite de una función según una curva Tal y como se ha comentado anteriormente, a la hora de calcular el límite cuando x tiende a x de una función f( x), puede plantearse la posibilidad de alcanzar el punto x por diferentes caminos. Para dar un poco de rigor a este concepto consideraremos de manera general una curva (continua ) c(t) en R n tal que c(t ) = x y definiremos el límite de f( x) según c(t) como el t t f( c(t)), que obviamente es ya un límite dependiente de una sola variable real. c(t) es una curva continua en R n si las componentes son funciones continuas t R.

6 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA Ejemplo: Calculemos el límite de la función f(x, y) = xy 3 cuando (x, y) tiende a (, ) según las curvas: a) la recta y = x, b) la parábola x = t, y = 4 t y c) la elipse x = cos t, y = + sen t. a) La recta y = x admite como ecuaciones paramétricas x = t, y = t de manera que el punto (, ) se alcanza en t =. Tenemos por tanto que el límite pedido es: ( (t) t t 3) ( = 4t t 4) = t t b) En este caso, el límite sobre la parábola y = 4 x será: t ( t t ( ) ) 3 4 t = (t 64 ) t7 = t c) Se trata ahora de una curva cerrada, la elipse x 4 + (y ) =. Con la parametrización dada tenemos que el punto se alcanza en = cos t, = + sen t, una solución posible es evidentemente t =. Planteamos en consecuencia el límite: t ( 4 cos t cos t ( + sen t) 3) = 4 = Los tres límites han resultado ser idénticos, sin embargo no podemos deducir de ello que el límite de f(x, y) en el (, ) sea, puesto que podría darse el caso de que con otras curvas obtuvieramos otros resultados. En este ejemplo concreto no puede darse esta situación, la función no es más que un polinomio y los polinomios son siempre funciones continuas, tendremos así que el límite y la función valen exactamente en ese punto..4 Continuidad de las funciones de varias variables Desde el punto de vista conceptual la continuidad de las funciones de varias variables es absolutamente equivalente a la estudiada para funciones reales de variable real, es decir, una función f( x) es continua en x si existe su límite en dicho punto y además coincide con el valor de la función en el mismo f( x ). Cualquier punto que no verifique esta definición en un punto de discontinuidad para f. Sin embargo, la clasificación de las discontinuidades es ahora tarea casi imposible si tenemos en cuenta la complejidad de los límites correspondientes. Evidentemente una función es continua en un conjunto si lo es en cada uno de sus puntos, desde un punto de vista intuitivo, para funciones escalares de dos variables, este hecho se traduce en que la gráfica (superficie en el espacio) no presente ningún tipo de ruptura sobre el dominio estudiado.