Teorema de Existencia y Unicidad Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Teorema de Existencia y Unicidad Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Dr. Rafael Morones E. Dept. de Matemáticas ITAM August 5, 2002 1

Contenido 1 Preliminares. 3 1.1 Sucesiones............................... 5 1.2 Espacios métricos completos..................... 6 1.3 Método de Picard........................... 8 2 Teorema de existencia y unicidad 9 2

1 Preliminares. Definición 1 Espacios métricos. Un espacio vectorial V se dice que es un espacio métrico si tiene definida una función de distancia d tal que a cada pareja x, y V les asigna un número real no negativo, esto es tal que x, y V se satisfacen los axiomas d : V R + {0} (1) a) b) c) d) d(x, y) 0 (2) d(x, y) = 0, si y sólo si x = y (3) d(x, y) = d(y, x) (4) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (5) Dos definiciones importantes de distancias: Definición 2 Sean x, y R n, entonces d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n (6) Proposición 1 La función de distancia definida en la ecuación (6) satisface los axiomas (2)-(5). Demostración. a) Claramente una suma de valores absolutos es no negativa. b) n x k y k = 0 x k y k = 0, k = 1, 2,..., n k=1 pero esta última condición implica que x = y. c) Dado que x k y k = ( 1) (y k x k ) = y k x k, k = 1,..., n entonces d(x, y) = d(y, x) 3

d) Dado que x k z k = x k y k + y k z k x k y k + y k z k entonces d(x, z) = = n x k z k k=1 n x k y k + y k z k k=1 n x k y k + k=1 k=1 d(x, y) + d(y, z) n y k z k La otra definición de distancia se refiere a la distancia entre funciones continuas en un intervalo Definición 3 Sean las funciones f, g C[a, b], su distancia d(f, g) se define como d(f, g) = max f(x) g(x), x [a, b] (7) Esta definición es muy interesante ya que como f, g son continuas en [a, b] entonces la función f(x) g(x) también es continua en ese intervalo, más aún el intervalo es cerrado y entonces f(x) g(x) toma su máximo en un punto interior. Proposición 2 La función de distancia definida en la ecuación (7) satisface los axiomas (2)-(5). Demostración. La demostración de que la distancia (7) satisface las propiedades (2) y (4) es inmediata de la propia definición. Para demostrar (3) se tiene que d(f, g) f(x) g(x) = 0 x [a, b] por continuidad ya que si no fuera así existiría un máximo distinto de 0, por lo tanto f(x) = g(x) x [a, b] Para demostrar que (7) satisface la desigualdad del triángulo, se tiene f(x) g(x) = f(x) h(x) + h(x) g(x) f(x) h(x) + h(x) g(x) 4

de aquí max f(x) g(x) max [ f(x) h(x) + h(x) g(x) ] max f(x) h(x) + max h(x) g(x) esto es d(f, g) d(f, h) + d(h, g) Por otra parte, si el espacio V es normado, entonces se puede definir la distancia como la norma para ese espacio y entonces V no sólo es normado sino también es métrico. Para nuestro caso, sea el espacio C definido como C = {x(t) = x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t), x k (t) C[a, b], k = 1,..., n} (8) Una norma para este espacio se define como x C = max x(t) = max t [a, b] n x k (t), t [a, b] (9) k=1 Entonces C es métrico con 1.1 Sucesiones d(x, y) = x y C, x, y C El tema de sucesiones es central en la demostración del Teorema de Existencia y Unicidad y en esta sección se hace un repaso de sus propiedades más importantes incluyendo el concepto fundamental de sucesiones de Cauchy. Definición 4 Una sucesión de puntos {x n } en un espacio métrico V se dice que converge a un punto x V si para todo ɛ > 0 existe un natural N tal que la distancia d(x, x n ) < ɛ n > N y se escribe lim {x n} = x ó {x n } x n Lema 1 (Unicidad) Sea la sucesión convergente {x n } si lim x n = x y lim x n = y entonces x = y n n Demostración. Por hipótesis lim n x n = x y sea ɛ > 0 arbitrario, entonces existe un natural N 1 tal que para todo n > N 1 la distancia d(x 1, x) < ɛ/2. También por hipótesis lim n x n = y por lo que para el mismo ɛ > 0 existe un natural N 2 tal que para todo n > N 2 la distancia d(x n, y) < ɛ/2. 5

Sea ahora el natural N = min(n 1, N 2 ) entonces para ɛ > 0 y n > N d(x, y) d(x n, x) + d(x n, y) (desigualdad del triángulo) < ɛ/2 + ɛ/2 < ɛ Pero ɛ > 0 es arbitrariamente pequeño y por lo tanto x = y. La definición (4) y el Lema anterior requieren del conocimiento del límite de la sucesión lo cuál no siempre es posible tenerlo. La siguiente definición salva este obstáculo. Definición 5 Una sucesión en un espacio métrico V se dice que es una sucesión de Cauchy si para todo ɛ > 0 existe un entero N tal que d(x m, x n ) < ɛ cuando m, n > N. El siguiente lema es muy interesante Lema 2 Toda sucesión convergente en un espacio métrico V es una sucesión de Cauchy. Demostración. Sea la sucesión {x n } convergente a x, esto implica que para cualquier ɛ > 0 dado existe un natural N tal que para todo n > N la distancia d(x n, x) < ɛ/2, entonces si m, n > N se tiene d(x m, x n ) d(x m, x) + d(x n, x) < ɛ/2 + ɛ/2 < ɛ 1.2 Espacios métricos completos Finalmente sobre la completez de un espacio métrico se tiene la siguiente Definición 6 Un espacio métrico V se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy converge a un punto en V. Y el siguiente Teorema 1 El espacio de funciones continuas en un cerrado, C[a, b], es un espacio métrico completo bajo la distancia d(f, g) = max f(x) g(x), donde f, g C y x [a, b] (10) 6

Demostración. La demostración está hecha en dos partes. Sea {f n (x)} una sucesión de Cauchy en C[a, b] y por tanto d(f n, f m ) 0 cuando m, n. En consecuencia, para toda x [a, b] max f m (x) f n (x) 0 cuando m, n En particular, si x 0 es un punto en el cerrado [a, b] también es verdadero f m (x 0 ) f n (x 0 ) 0 cuando m, n y en consecuencia {f n (x 0 )} es una sucesión de Cauchy en R 1 la que converge a f(x 0 ) R 1 dado que R 1 es completo. Más aún, x 0 es un punto arbitrario en [a, b] lo que implica que {f n (x)} converge puntualmente a una función f. Es necesario demostrar ahora que la sucesión {f n (x)} efectivamente converge a la función f. En seguida se demuestra que {f n (x)} converge uniformemente a f. Dado que {f n (x)} es una sucesión de Cauchy, existe un entero N tal que m, n > N entonces f m (x) f n (x) < ɛ/2 y x arbitraria en [a, b]. Para esta x [a, b] f m (x) f n (x) < ɛ/2 ɛ/2 < f m (x) f n (x) < ɛ/2 f n (x) ɛ/2 < f m (x) < f n + ɛ/2 ahora si m y dado que la sucesión converge puntualmente f n (x) ɛ/2 < f(x) < f n + ɛ/2 f n (x) f(x) ɛ/2 < ɛ (11) para toda n > N. Más aún, x arbitrario en [a, b] y en consecuencia la sucesión converge a f(x) para toda n > N y para toda x [a, b], esto es es una sucesión uniformemente convergente. Finalmente, resta demostrar que f(x) es un elemento de C[a, b], es decir, que es una función continua en [a, b]. Sea ɛ > 0 dado y x 0 [a, b], se requiere demostrar que existe un número δ > 0 tal que f(x) f(x 0 ) < ɛ cuando x x 0 y a x b. Así f(x) f(x 0 ) = f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) Para los términos primero y último es sencillo encontrar n de manera de acotarlos por ɛ/3 a partir del argumento usado en la demostración de (11). Dado que f n es continua (hipótesis) también es posible encontrar una δ > 0 tal que f n (x) f n (x 0 ) < ɛ/3 cuando a x b y x x 0 < δ. Con estos valores se tiene que f(x) f(x 0 ) < ɛ como se requiere y f es continua y C[a, b] es completo con d( ) definida por (10). Finalmente se define continuidad en espacios métricos mediante la siguiente 7

Definición 7 Sea V 1 y V 2 dos espacios métricos con distancias d 1 (, ) y d 2 (, ) respectivamente. Sea la función F : V 1 V 2 se dice que F es continua en el punto x 1 V 1 si, dado ɛ > 0 existe δ > 0 d 2 (F (x 1 ), F (x)) < ɛ siempre que d 1 (x 1, x) < δ Se dice simplemente que F es continua si F es continua para todo punto en V 1. 1.3 Método de Picard El método de Picard es un método de solución de ecuaciones diferenciales de orden uno mediante aproximaciones sucesivas. Sea el problema de valores inciales ẋ(t) = f(t, x) condición inicial x( ) = x 0 (12) donde f y f/ x son continuas en un dominio D = {(t, x) : t < α, x x 0 < β; α, β > 0} R 2 La integración formal de la ecuación (12) respecto a t en R es posible dado que f es continua ahí x(t) = f(s, x(s))ds + C La constante de integración C se obtiene a partir de la condición inicial y x(t) = x 0 + f(s, x(s))ds Se construye ahora una sucesión de funciones φ n (t) denotada como iteraciones de Picard de la siguiente forma φ 0 (t) = x( ) = x 0 φ 1 (t) = x 0 + φ 2 (t) = x 0 +. φ n (t) = x 0 +.. f(s, φ 0 (s))ds f(s, φ 1 (s))ds f(s, φ n 1 (s))ds En la siguiente sección, donde se demuestra el teorema de existencia y unicidad, se hace evidente que la condición f/ x asegura la convergencia de la sucesión 8

{φ o, φ 1,..., φ n,...} y más aún, que converge a la función x(t), la solución del problema de valores iniciales (12). Por el momento su supondrá que es así y sea el problema Ejemplo. Resolver mediante el método de Picard el problema de valores iniciales ẋ = x, x(0) = 1 (13) Solución. Integrando (13) y se propone la función x(t) = 1 + φ n (t) = 1 + 0 0 x(s)ds φ n 1 (s)ds para construir las iteraciones de Picard. Entonces φ 0 = 1 φ 1 = 1 + φ 2 = 1 + φ 3 = 1 +. φ n = n k=0 0 0 0 t k k! 1ds = 1 + t (1 + s)ds = 1 + t + t 2 /2 (1 + s + s 2 /2)ds = 1 + t + t 2 /2 + t 3 /(3!) Claramente esta sucesión es convergente y su límite es la función continua exp(t). 2 Teorema de existencia y unicidad Antes de formular este teorema conviene extender no sólo la notación sino la generalidad de la aplicación del mismo. En el caso de una sola ecuación diferencial ẋ = f(t, x(t)) con f : R 2 R continua en un dominio D R 2 (ver la ecuación (12)) y con f/ x también continua en D. Para escribir el teorema de existencia y unicidad de manera más general, sea x(t) = x 1 (t),..., x n (t) R n ẋ = ẋ 1 (t),..., ẋ n (t) R n f (t, x(t)) = f 1 (t, x(t)),..., f n (t, x(t)) R n 9

donde es continua en y las derivadas x k (t) es continua en t [a, b] y toda k = 1,..., n f : R n+1 R n D = {(t, x(t)) a < t < b, x x 0 < ρ, ρ > 0} (14) f i x 1,..., f i x n, i = 1,..., n existen y son continuas en D, y también f (s, x(s)) ds = f 1 (s, x(s))ds,..., f n (s, x(s))ds Con esta notación, supondremos que el punto (t, x(t)) D cuando t está en el intervalo [t 1, t 2 ], ahora sea (t 1, t 2 ) entonces la función Ax = y(t) = x 0 + f (s, x(s)) ds, t [t 1, t 2 ] (15) define a una función continua y en el intervalo [t 1, t 2 ]. Como x C[t 1, t 2 ] se tiene que el mapeo A : C[t 1, t 2 ] C[t 1, t 2 ] Por otra parte y( ) = x 0 y la continuidad de A asegura la existencia de una vecindad alrededor de donde los puntos (t, y(t)) D. Sea la ecuación diferencial ẋ = f (t, x(t)) (16) toda solución x de (16) que satisface la condición inicial x( ) = x 0 y que está definida en el intervalo [t 1, t 2 ] también satisface la ecuación integral x(t) = x 0 + f (s, x(s)) ds, t [t 1, t 2 ], esto es, toda solución x(t), t [t 1, t 2 ] de la ecuación diferencial (16) satisface la ecuación x(t) = Ax (17) resultado que implica que una solución x(t), t [t 1, t 2 ] de la ecuación diferencial (16) es un punto fijo del mapeo A. Con estos preliminares se formula el siguiente Teorema 2 Sea la ecuación diferencial ẋ = f (t, x(t)) (18) 10

B Γ Γ r (t, x o o ) 2 b 2 r 2 a Figura 1: El dominio B donde f es continua y definida en un dominio B R n+1, y suponga que f i x 1,..., f i x n, i = 1,..., n son funciones definidas y continuas en B. Entonces en todo punto (, x 0 ) B existe una solución única x(t) de la ecuación (18) que satisface la condición x( ) = x 0, definida en alguna vecindad del punto (, x 0 ). Demostración. El dominio B (no vacío) es una colección de puntos abierta y conexa, entonces existen números reales positivos a, b tales que si (, x 0 ) B, es posible construir el compacto (conjunto de puntos cerrado y acotado) Γ = {(t, x) t a, x x 0 b} que esté completamente contenido en B. Las funciones f, f i / x j, i, j = 1,..., n son continuas en B y por tanto son continuas en Γ. Esto implica que existen reales p, q positivos tales que f (t, x) p, f x j q, j = 1,..., n (19) siempre que (t, x(t)) Γ 11

De aquí y del teorema del valor medio 1 f (t, x 1 ) f (t, x 2 ) n q x 1 x 2 siempre que (t, x 1 ), (t, x 2 ) Γ. (Γ es un convexo?) A continuación se demuestra que es posible escoger un real r > 0 tal que se satisfacen las condiciones siguiemtes r a (20) r b p r < 1 nq (21) (22) Sea el subconjunto Γ r (ver la Figura (1)) contenido en Γ y definido por entonces Γ r = {(t, x(t)) t r, x x 0 b}, i) Sea C r el conjunto de las funciones continuas x(t) que satisfacen a) x(t) es continua para toda t t r b) El punto (t, x(t)) Γ r si t r Esta condiciones requieren que x(t) x 0 b t [ r, + r] lo que implica que C r es un subconjunto de las funciones continuas C[ r, +r] cuya gráfica está contenida completamente en Γ r. De aquí que r a. ii) Sea ahora x(t) en C r y sea y definida por Entonces y = y(t) = Ax = x 0 + y(t) x 0 = f (s, x(s)) ds, t r f (s, x(s)) ds f (s, x(s)) ds p t pr b De aquí la condición (21), la que asegura que la gráfica de y = y(t) = Ax permanezca en Γ r para toda x C r. Más aún, dado que y es continua la condición (21) implica que A : C r C r y también, dado que y( ) = x 0 se tiene que el mapeo y satisface la condición inicial. 1 El teorema del valor medio para funciones de varias variables se puede formular como g (t, x 1 ) g (t, x 2 ) = D x (x 1 x 2 ) 12

iii) Sean ahora los puntos x 1 = x 1 (t) y x 2 = x 2 (t) en C r, entonces Ax 1 Ax 2 = f (s, x 1 (s)) ds f (s, x 2 (s)) ds f (s, x 1 (s)) f (s, x 2 (s)) ds n q x 1 x 2 ds [ ] n q r max t r x 1 x 2 = α x 1 x 2 C La imposición de la condición (22) r < 1/nq implica que α < 1, en consecuencia max t r Ax 1 Ax 2 = Ax 1 Ax 2 C para todo x 1, x 2 en C r y donde 0 < α < 1. α x 1 x 2 C Dado que C es una medida de distancia en C r, la última relación arriba implica que la distancia entre imágenes de dos puntos en C r bajo el mapeo A es menor que las distancia entre ellos, se tiene que A es un mapeo contracción o simplemente contracción de C r en sí mismo. Con esta información es posible comenzar ahora con el proceso de las aproximaciones sucesivas. Sea x( ) = x 0 y t r la primera aproximación, las subsiguientes se definen como x 1 = x 1 (t) Ax 0 x 2 = x 2 (t) Ax 1. x k = x k (t) Ax k 1. Claramente de la definición de A se tiene que x k ( ) = x 0 y x k C r, k = 0, 1,...,. También x k = Ax k 1 = A(Ax k 2 ) = A 2 x k 2 =... = A k x 0 para toda k. Sean m, s enteros positivos con s > m. De la propiedad de contracción del mapeo A se tiene que x m x s C = Ax m 1 Ax s 1 α x m 1 x s 1 C = α Ax m 2 Ax s 2 α 2 x m 2 x s 2 C =... α m x 0 x s m C 13

De la desigualdad del triángulo se tiene de aquí que Esto es pero α m x 0 x s m C α m [ x 0 x 1 C + + x 1 x 2 C +... + x s m 1 x s m C ], α m x 0 x s m C α m x 0 x 1 C [ 1 + α + α 2 +... + α s m 1] α m x 0 x 1 C 1 α s m 1 α αm 1 α x 0 x 1 C αm 1 α b x m x s C αm 1 α b α m 1 α b 0 cuando m por lo que la sucesión de aproximaciones sucesivas x i, i = 0, 1,... es convergente y es una sucesión de Cauchy. Dado que C[ r, + r] es un espacio métrico completo se tiene, en consecuencia, que existe una función continua x(t) definida en el cerrado [ r, +r] tal que 1. lim k x k (t) = x(t) de manera uniforme en el cerrado [ r, + r]. 2. El punto (t, x(t)) está contenido en Γ r para toda t t r y x( ) = x 0, en consecuencia x(t) pertenece a C r y por lo tanto, para toda k Ax Ax k α x x k C (23) Pero el límite del lado derecho de esta última expresión es cero cuando k lo que implica Ax = lim Ax k = lim x k+1 = x (24) k k Esto es x = x(t) es un punto fijo del mapeo A y por lo tanto es una solución de la ecuación diferencial (18) con condición inicial x( ) = x 0. Por lo tanto se demuestra la existencia de una solución. Para demostrar unicidad, sea y(t) otra solución de (18) que satisface la condición inicial y( ) = x 0 y definida en el cerrado t r 1. Por continuidad y de lo arriba discutido, se tiene que existe un número positivo µ = min(r, r 1 ) tal que el punto (t, y(t)) permanece en una vecindad Γ µ siempre que 14

t esté en el cerrado t µ. Como x(t) y y(t) son soluciones, se tiene en consecuencia que max t µ x(t) y(t) = x y C = Ax Ay C α x y C, 0 < α < 1 Pero esto sólo es verdadero sólo si x y C = 0 lo que implica que x(t) = y(t) con t µ y en consecuencia la solución es única. 15