Coloración de grafos Hay muchos problemas, como la asignación de tareas y los problemas de almacenamiento, donde es necesario partir el conjunto de vértices (resp. aristas) de un grafo asociado de tal forma que vértices (resp. aristas) adyacentes pertenezcan a diferentes conjuntos de la partición. Tales particiones se interpretan habitualmente en términos de colores, asignando a los elementos de cada parte un mismo color. Por esto se llaman coloraciones (resp. coloraciones de aristas). Los problemas sobre coloración de grafos fueron, en la segunda mitad del siglo XIX, uno de los hitos iniciales de la Teoría de Grafos. En aquel tiempo se planteó uno de los problemas clásicos, "El Problema de los cuatro colores", que no se resolvió hasta 1976 con la ayuda del ordenador. Una coloración de un grafo G=(V,A) es una asignación de colores a los vértices de G, a cada vértice un color, de forma que vértices adyacentes reciban colores distintos. Si en la coloración se usan k colores diremos que es una k coloración. Definición formal Formalmente, una coloracion de G con colores de C es una aplicacion: ω V(G) C tal que si {v,w} E(G) entonces ω(v) ω(w). Observación En algunas fuentes, estas coloraciones se denominan coloraciones admisibles; aquí, por comodidad, las denominamos coloraciones. Grafos coloreables Si existe una k coloración de G se dice que el grafo G es k coloreable. Las coloraciones siempre existen, pues podemos asignar a cada vértice del grafo un color diferente si fuera necesario. Cada coloración de G produce en el conjunto de vértices, V(G), una partición en conjuntos independientes denominados clases de color. Un conjunto de vértices I se llama independiente si dos vértices cualesquiera de I no son adyacentes. Número cromático El número cromático de un grafo G, χ(g), es el número mínimo de colores necesario para colorear G. No es fácil determinar el número cromático de un grafo. De hecho, el correspondiente problema de decisión, conocido por Chromatic Number Problem, es un problema NPcompleto: Dado un grafo G y un entero k, es cierto que χ(g) k?
Algunas observaciones inmediatas sobre el numero cromático son las siguientes: 1. Para todo grafo G, χ(g) V, porque siempre podremos colorear con V colores, asignando a cada vértice un color distinto. Esta es, obviamente, la forma menos efectiva de colorear. 2. Si el grafo contiene al menos una arista, necesitaremos dos colores como mínimo; es decir, si A 1, entonces χ(g) 2. 3. Si G contiene a G como subgrafo, entonces χ(g) χ(g ) 4. Si G tiene k componentes conexas, G 1,G 2,...,G k que tienen números cromáticos χ(g 1 ), χ(g 2 ),..., χ(g k ) respectivamente, entonces χ(g) = máx (1 i k){χ(g i )} 5. Si G y G son isomorfos, entonces χ(g) =χ(g ). 6. Todo grafo planar es 4 coloreable. Coloración de vértices Los algoritmos conocidos para colorear los vértices de un grafo se clasifican en dos grandes grupo: secuenciales e independientes. Dada una ordenación de los vértices del grafo, los algoritmos secuenciales asignan el mínimo color posible al siguiente vértice. Es decir, si queremos colorear el vértice v, teniendo ordenados numéricamente los colores, asignamos a v el color más pequeño que no aparece entre los asignados a los vecinos de v ya coloreados. La ordenación inicial es esencial para colorear con pocos colores. Los algoritmos independientes buscan en primer lugar un conjunto independiente de vértices I 1 de cardinal grande, colorea todos los vértices con el color 1, elimina los vértices de I 1 y repite el proceso en el grafo G I 1, continuando así hasta colorear todos los vértices. Se presenta un procedimiento secuencial para colorear los vértices de un grafo siguiendo un orden impuesto a los vértices, usando la menor cantidad de colores posibles. Este algoritmo es llamado austero (avaricioso, greedy en inglés). Supongamos que C={c 1,c 2,...} es el conjunto de colores; procedemos a describir el algoritmo que denominamos algoritmo austero y consta de los siguientes pasos: Paso inicial. Ordenamos los vértices del grafo. Es importante notar que la eficiencia del algoritmo depende del orden que elijamos. Hacemos una lista de los vértices del grafo (v1, v2,..., vn). Un buen orden debe minimizar los colores prohibidos: se deben colocar los vértices de mayor orden al principio. De todas maneras no hay un criterio establecido para construir dicho orden. Primer paso. Le asignamos el primer color c 1 al vértice v 1. Segundo paso. Procedemos a asignar un color al vértice v 2 así: si es adyacente al vértice v 1 le asignamos el siguiente color c 2, en otro caso le asignamos c 1. k ésimo paso. Para colorear el vértice v k buscamos todos los vértices del conjunto {v 1,v 2,...,
v k 1 } que son adyacentes a v k y determinamos los colores que han sido usados en sus coloraciones; luego usamos el primero disponible en el orden de C que no haya sido usado en la coloración de los vértices adyacentes a v k. Ejemplo: En unas jornadas científicas se van a dictar cierto número de conferencias. Si los horarios de dos conferencias se solapan, éstas tienen que dictarse en salones distintos. Consideremos el grafo G que tiene como vértices a las conferencias, y en el cual dos conferencias son adyacentes si y sólo si sus horarios se solapan. Entonces decir que G es k colorable equivale a decir que k salones son suficientes para dictar todas las conferencias. El número cromático (G) representa el mínimo número de salones necesario para poder dictar todas las conferencias.. Ejemplo: Consideremos el siguiente grafo con los vértices ordenados y C = {a, b, c,... } Figura1. Ejemplo de grafo para colorear Usamos el algoritmo austero para asignar los colores: Al vértice v 1 le asignamos el colora a; puesto que el vértice v 2 es adyacente a v 1 le asignamos el color b; el vértice v 3 es adyacente a v 2 pero no es adyacente a v1, de este modo le asignamos el color a; v 4 es adyacente a v 2 y v 3, luego le asignamos el color c; v 5 le corresponde a; v 6 le corresponde b y a v 7 le corresponde b. El número de colores usado es tres el cual es su numero cromático. La coloración correspondiente siguiendo el algoritmo austero es: Figura 2. Ejemplo de grafo coloreado
Ejemplo: Cualquier árbol A de orden n>=2 tiene número cromático 2. En efecto, si se toma un vértice u como raíz y se pinta del color 1, y los adyacentes a u se pintan de color 2, y los que están a distancia 2 de u se pintan de color 1, y los que están a distancia 3 de u se pintan de color 2, y así sucesivamente, es claro que se obtiene una 2 coloración. Como un color no es suficiente si n>=2, se tiene χ(a)=2. Figura 3. Ejemplo de coloración de un árbol Coloración de aristas Una coloración de aristas de un grafo G (no necesariamente simple) es una asignación de colores a sus aristas de modo que aristas adyacentes reciban colores distintos. Si se usan k colores hablaremos de una k coloración en aristas. Una coloración en las aristas origina una partición del conjunto de aristas A(G) en las llamadas clases de color de las aristas, cada una de las cuales consta de todas las aristas de un determinado color. Si G tiene una k coloración en aristas decimos que G es k coloreable en aristas. Se llama índice cromático de G al mínimo k para el que G es k coloreable en aristas. Designaremos a este número con la notación N'(G). También es un problema NP completo determinar el índice cromático de un grafo. Y los algoritmos conocidos para colorear las aristas de un grafo siguen las mismas estrategias descritas para la coloración de vértices. Ejemplo: Consideremos la tabla de horarios de un liceo. Se puede construir un multigrafo bipartito tomando como conjunto de vértices V 1 a los profesores, y como conjunto de vértices V 2 a los grupos. Por cada clase que un profesor debe dictar a un grupo durante la semana se traza una arista del profesor al grupo. Supongamos que cada clase dura una hora. Entonces tomemos como conjunto de colores las horas posibles (por ejemplo lunes de 8 a 9, martes de 11 a 12, etc.) A cada arista se le debe asignar un horario de modo tal que las que salen de un mismo profesor tengan horarios diferentes, y las que llegan a un mismo grupo también. El índice cromático de este multigrafo representa la mínima longitud total de la tabla de horarios (es decir el menor número total de horas ocupadas en la semana).
Coloración de regiones (Relaciones con listas y particiones en bloques) Una coloración de un grafo G es equivalente a una lista con ciertas restricciones. Supongamos que V(G)={v 1, v 2,...,v n }, entonces una coloración usando los k colores C={a 1, a 2,..., a k } es una lista (n upla) con repetición (a i1,a i2,...,a in ) tal que si v s y v t son adyacentes entonces a is a it. Dada una coloracion χv(g) C definimos la relación entre los vértices de G de la siguiente manera: urv si χ(u)=χ(v), es decir, dos vértices están relacionados si tienen el mismo color. Esta es una relación de equivalencia. Esta relación induce una partición sobre el conjunto V(G) cuyos bloques son las clases de equivalencia. Cada bloque (clase) está constituido por vértices que tienen el mismo color. Es importante notar que los vértices que están relacionados no son adyacentes; si dos vértices son adyacentes se encuentran en bloques (clases) distintos. Recíprocamente, si se particiona el conjunto de vértices de un grafo G de tal manera que vértices adyacentes se encuentran en bloques distintos, entonces esta partición induce una coloración de los vértices de G. Se colorean los vértices del mismo bloque con un mismo color y bloques distintos con colores distintos. Estas observaciones son útiles para resolver problemas. Como ejemplo, se citan los grafos bipartitos. El conjunto de vértices se puede particionar en dos conjuntos V 1 (G) y V 2 (G) de tal manera que vértices adyacentes se encuentran en conjuntos distintos, así es posible usar dos colores para colorear los vértices de dicho grafo. A los vértices de V 1 (G) se les asigna un color y a los vértices de V 2 (G) se les asigna otro color, y resulta una coloración de G. Coloración de mapas Los mapas se colorean de modo tal que países con un segmento de frontera común tengan colores diferentes. Aunque algunos mapas se pueden colorear con menos de 4 colores. Colorear mapas equivale a colorear las caras de un grafo plano. Este problema a su vez equivale a uno de coloración por vértices, en un grafo en el cual las caras son vértices y dos vértices están unidos por una arista si y sólo si las caras correspondientes tienen un segmento de frontera común. Este nuevo grafo también es planar.
Ejemplo: Coloración del mapa de los estados de Venezuela Figura 4. Mapa de los estados de Venezuela Figura 5. Grafo de caras acotadas de los estados de Venezuela Figura 6. Coloración del grafo de los estados de Venezuela con cuatro colores
Figura 7. Coloración del mapa de los estados de Venezuela con cuatro colores Polinomio cromático Dado un grafo G y un número natural x, llamemos PG(x) al número de coloraciones por vértices de G con colores {1, 2,..., x}. A PG(x) se le llama polinomio cromático de G, ya que como veremos siempre es un polinomio en x. Ejemplo: Para hallar el polinomio cromático del grafo G de la figura 8. Figura 8. Ejemplo de polinomio cromático Se comienza por asignar al vértice a uno cualquiera de los x colores disponibles. Ahora b se puede pintar con cualquiera de los x 1 colores restantes; c sólo se puede pintar de x 2 maneras, ya que no puede tener igual color que a ni que b; d se puede pintar con cualquier color diferente al de b, es decir x 1 posibilidades; e se puede pintar con cualquier color diferente al de c, es decir x 1 posibilidades. Por el principio del producto: PG(x)=x(x 1)(x 2)(x 1)(x 1)=x(x 1)3 (x 2).
Ejercicios: Hallar el número cromático de los siguientes grafos. Figura 8. Ejercicios de coloración de grafos Fuentes: Matemáticas Discreta, Semestre A2005. Tema: Introducción a la teoría de grafos. Prof. José Luis Chacón. Introducción a la teoría de grafos. Fausto Toranzos. Universidad de Buenos Aires. Matemática Discreta. Tema: Coloración de grafos. Prof. José Nieto. Universidad del Zulia.