Figura 9.1 Lámina de Scordelis bajo una carga uniformemente repartida que simula su peso propio. Datos del problema en N y m (fuente [15]).

Analisis de placas y lamina 124 9.- COMPARACIÓN DE MÉTODOS MEDIANTE EJEMPLOS NUMÉRICOS DE CÁLCULO DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS A continuación se va ha hacer un análisis comparativo de los resultados obtenidos, para el cálculo de placas rectangulares, con los métodos anteriormente expuestos. La programación de los métodos se ha realizado con el programa MATLAB [P1], que permite una manejabilidad superior en cuanto al lenguaje que se emplea. Ello facilita la comprensión de lo programado para el lector que quiera saber los detalles de la resolución. Todos los programas realizados se pueden consultar en el CD que se adjunta. El cálculo para laminas por el método de los elementos finitos (MEF), se ha realizado con el programa Ramshell [P3] con la estructura completa sin utilizar las simetrías y con un mallado estructurado similar al equivalente en nodos y armónicos para los métodos de banda finita. 9.1.- LÁMINA DE SCORDELIS Se procede al análisis comparativo de la lámina de Sordelis, que se muestra en la Figura 9.1. Para ello, se va a analizar la estructura mediante el MEF convencional, se ha programado la resolución mediante la formulación de banda finita clásica de Reissner- Mindlin y la nueva formulación con elementos sin rotación con la estructura completa, sin utilizar las simetrías que ofrece. Las funciones discretizadoras utilizadas son las funciones armónicas clásicas, (series de Fourier). Se analiza para Banda Finita clásica debido al ahorro que presentan sus expresiones en las condiciones de contorno que tiene el problema, se recuerda que el sistema de ecuaciones discreto se desacopla gracias a las propiedades ortogonales de dichas series armónicas. Figura 9.1 Lámina de Scordelis bajo una carga uniformemente repartida que simula su peso propio. Datos del problema en N y m (fuente [15]).

Analisis de placas y lamina 125 9.1.1.- Comparación de los desplazamientos verticales Los resultados obtenidos de los cálculos de la flecha en el punto medio de uno de sus bodes libres es el que se presenta a continuación con la Figura 9.2. nodos en x armónicos en y flecha 6gdl BFC nodos GDL MEF (elem.tlcl) 5 5-0,9297 25 150-0,1470 9 9-0,3716 81 486-0,2002 17 9-0,2460 153 918-0,2068 33 9-0,2115 297 1782-0,2133 65 9-0,2005 585 3510-0,2201 nodos en x armónicos en y flecha 3gdl CL 5 5-0,9297 9 9-0,3716 17 9-0,2460 33 9-0,2115 65 9-0,2005 Figura 9.2 Flecha en el punto medio de uno de los bordes libes de la cubierta de Scordelis (fuente propia). Para hacer un análisis comparativo se grafican estos valores (Figura 9.3). Se encuentra una clara tendencia a convergir a un valor próximo a -0.220, tal como nos lo indica el MEF. Se observa que la nueva formulación con elementos sin rotación (3GDL CL) tiene la misma tendencia a converger a este valor. Por otro lado el método de banda finita de Reissner- Mindlin (6GDL BFC) converge a un valor distinto. Esto describe que el comportamiento es mejor en el caso de utilizar la nueva formulación que en la formulación de Reissner-Mindlin, y además con la ventaja de tener la mitad de grados de libertad para una misma discretización. 0 Convergencia de la flecha -0,15-0,3-0,45 w -0,6-0,75-0,9 flecha 6 GDL BFC 3 GDL CL MEF -1,05 50 100 500 1.000 5.000 GDL Figura 9.3 Representación de la flecha en el punto medio de uno de los bordes libres de la cubierta de Scordelis, frente a los grados de libertad usados en el análisis (fuente propia).

Analisis de placas y lamina 126 La representación de los movimientos que sufre la lámina se dibujan a continuación con una serie de figuras con gráficos para cada método de cálculo utilizado. Las figuras para el MEF se encuentran en el Anejo III. 6 GDL BFC 6 GDL BFC n=9,m=9 n=17,m=17 Figura 9.4 Representación de los movimientos para el método 6GDL BFC (deformación x 10) (fuente propia).

Analisis de placas y lamina 127 3 GDL CL 3 GDL CL n=9,m=9 n=33,m=33 Figura 9.5 Representación de los movimientos para el método 3GDL CL (deformación x 10) (fuente propia).

Analisis de placas y lamina 128 9.2.- LÁMINA DE SCORDELIS CON UNA CARGA PUNTUAL APLICADA Se procede al análisis comparativo de una lámina con la geometría de la cubierta de Scordelis pero con una cargas puntual aplicada en el centro de la estructura, se muestra en la Figura 9.6. Para ello, se va a analizar la estructura mediante el MEF convencional y mediante la nueva formulación de banda finita con elementos sin rotación, i con la formulación de banda finita de Reissner-Mindlin. Las funciones discretizadoras utilizadas son las funciones armónicas clásicas, debido al ahorro que presentan sus expresiones en las condiciones de contorno que tiene el problema, gracias a las propiedades ortogonales de dichas series armónicas. Figura 9.6 Lámina de Scordelis bajo una carga puntual. Datos del problema expresados en N y m (fuente [15]). Los resultados obtenidos de los cálculos de la flecha en el punto medio de uno de los bordes de la figura se presentan a continuación con la Figura 9.7. nodos en x armonicos en y flecha 6gdl BFC nodos GDL MEF (elem.tlcl) 5 5-5,76830E-05 25 150 1,17103E-04 9 9 1,54280E-05 81 486 1,28729E-04 17 9 1,92810E-05 153 918 1,31543E-04 33 9 1,99420E-05 297 1782 1,32856E-04 65 9 1,94590E-05 585 3510 1,33171E-04 nodos en x armonicos en y flecha 3gdl CL 5 5 4,52880E-04 9 9 2,40660E-04 17 9 1,89910E-04 33 9 1,72850E-04 65 9 1,66220E-04 Figura 9.7 Flecha calculada en el punto medio de uno de los bordes libres de la Figura 9.6 (fuente propia).

Analisis de placas y lamina 129 Se representan estos resultados gráficamente (Figura 9.8) y se observa que para este caso, una carga puntual aplicada, que el comportamiento de la Banda Finita de Reissner-Mindlin (6 GDL BFC) tiene un claro desfase con respecto a la solución. En cambio la nueva formulación de banda finita i el MEF convergen hacia un mismo valor. 0,0005 Convergencia de la flecha 0,0004 0,0003 flecha 6 GDL BFC 3 GDL CL MEF w 0,0002 0,0001 0-0,0001 50 100 500 1.000 5.000 GDL Figura 9.8 Representación de la flecha en el punto medio de uno de los bordes libres de la lámina, frente a los grados de libertad del análisis (fuente propia). Los resultados que nos da la nueva formulación 3GDL CL se muestra a continuación con los desplazamientos representados sobre la estructura. (con un factor 40000). También los resultados para la formulación 6 GDL BFC (con un factor de 400000). Se tiene que decir que los valores n y m que se ponen de referencia en las figuras que se presentan a continuación representan, el número de bandas y el número de armónicos (o puntos de control), respectivamente. Se observa que en el caso de banda finita con elementos libres de rotación aparece una pequeña oscilación, quizá será poco remarcable debido a la escala a la que se representa el resultado. Aún así esto es un síntoma que parece provenir del giro libre en la componente cruzada del vector de deformaciones. La aproximación realizada se comporta estupendamente para placas pero se pronostica que puede dar problemas de transferencia de la rigidez para el caso de láminas con restricciones más severas. Estos casos se presentarán como base de las futuras líneas de investigación.

Analisis de placas y lamina 130 6 GDL BFC 6 GDL BFC n=9,m=9 n=17,m=17 Figura 9.9 Representación de los movimientos para el método 6GDL BFC (deformación x 400000) (fuente propia).

Analisis de placas y lamina 131 3 GDL CL 3 GDL CL n=9,m=9 n=33,m=33 Figura 9.10 Representación de los movimientos para el método 3GDL CL (deformación x 40000) (fuente propia).