2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 2.- PROGRAMACIÓN LINEAL FICHA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 Represente gráficamente la región definida por las siguientes inecuaciones calcule sus vértices: + 2 3, 1, 1, 0 Calcule los valores máimo mínimo de la función objetivo F(,) = 2 + 4 en la región anterior los puntos donde se alcanzan. (Propuesto para Selectividad 2014) F(A) = 6 F(B) = 6 F(C) = 2 F(D) = 2 El valor máimo es 6 se alcanza en el segmento AB El valor mínimo es 2 se alcanza en el punto C 2 Represente la región del plano determinada por las siguientes inecuaciones: 2 + 5 15, + 6, 5 7 42, 0 Halle los vértices de la región anterior. En esa región, halle el valor mínimo de la función F(,) = 2 2 + 3 dónde lo alcanza. (Propuesto para Selectividad 2014) F(A) = 3 F(B) = 15 F(C) = 9 F(D) = 9 El valor mínimo es 9 se alcanza en el segmento CD
3 Si A(0,2), B(2,0), C(4,0), D(6,3) E(3,6) son los vértices de una región factible, determine, en esa región, el valor mínimo el valor máimo de la función F(,) = 4 3 + 8 e indique los puntos donde se alcanza. (Propuesto para Selectividad 2014) F(A) = 2 F(B) = 16 F(C) = 24 F(D) = 23 F(E) = 2 El valor máimo es 24 se alcanza en el punto C El valor mínimo es 2 se alcanza en el segmento AE 4 Dado el recinto limitado por las inecuaciones 30, 3 150, 6 + 7 840 halle en qué puntos de ese recinto la función F(,) = 4 3 + 8 alcanza su valor mínimo. F(A) = 108 F(B) = 338 F(C) = 158 El valor mínimo es 108 se alcanza en el punto A Página 2
5 Se desea maimizar la función F(,)= 14 + 8 en el recinto dado por: + 3 9, 4 14, 7 5 2 15, 0 a) Represente la región factible del problema. b) Cuál es el valor máimo de F la solución óptima del problema? F(A) = 112 F(B) = 178 F(C) = 42 F(D) = 72 El valor máimo es 178 se alcanza en el punto B. óptima: = 7, = 10 c) Obtenga un punto de la región factible que no sea el óptimo. Por ejemplo, el punto (3,9) 6 Se considera el recinto R del plano determinado por las siguientes inecuaciones: 5 4 20, + 8 48, 2, 0 a) Represente gráficamente el recinto R calcule sus vértices. b) Halle los valores máimo mínimo que alcanza la función F(,)=2 + 12 en este recinto e indique dónde se alcanzan. F(A) = 73 F(B) = 76 F(C) = 8 F(D) = 4 El valor máimo es 76 se alcanza en el punto B El valor mínimo es 4 se alcanza en el punto D c) Razone si eisten valores (, ) pertenecientes al recinto para los que F(,)=100 No eisten, porque el valor de F en el recinto debe estar comprendido entre el valor mínimo, que es 4 el valor máimo, que es 76 Página 3
7 Un nutricionista receta a una de sus pacientes una dieta semanal especial basada en lácteos pescado. Cada kg de lácteos cuesta 6 proporciona 3 unidades de proteínas 1 de calorías; cada kg de pescado cuesta 12, aportando 1 unidad de proteínas 2 de calorías. La dieta le eige no tomar más de 4 kg, conjuntamente, de lácteos pescado, un aporte mínimo de 4 unidades de proteínas 3 de calorías. a) Plantee el problema para obtener la combinación de ambos alimentos que tenga el coste mínimo. b) Dibuje la región factible determine la solución óptima del problema. (Propuesto para Selectividad 2014) cantidad de lácteos (en kg ) a) Primero elegimos las incógnitas: cantidad de pescado (en kg ) kg proteínas calorías coste ( ) lácteos 3 1 6 pescado 1 2 12 + 3 + + 2 6 + 12 Determinamos las restricciones la función objetivo 4 3 4 Restricciones: Función objetivo: coste = c(,) = 6 + 12 2 3 0 0 b) c(a) = 48 c(b) = 24 c(c) = 18 c(d) = 18 El coste mínimo es 18. El mínimo se alcanza en los puntos (a,b) del segmento CD (incluidos los etremos): Puntos que cumplen: 1 a 3 1 a 3 1 3 2b 3 0 b 1 0 b 1 0 b 1 a 2b 3 a 3 2b a 3 2b Si 0 b 1, entonces 1 3 2b 3 pues el máimo valor de 3 2b es 3 ( para b 0) el mínimo valor es 1 (para b 1). Luego, se puede eliminar esa restricción. Por tanto, los puntos solución son E(3 2 b, b) con, 0 b 1 Debe tomar (3 2b) kg de lácteos b kg de pescado, siendo 0 b 1 Página 4
8 Un fabricante de tapices dispone de 500 kg de hilo de seda, 400 kg de hilo de plata 225 kg de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A B. Para los del tipo A se necesita 1 kg de hilo de seda 2 kg de hilo de plata, para los del tipo B, 2 kg de hilo de seda, 1 kg de hilo de plata 1 kg de hilo de oro. Cada tapiz del tipo A se vende a 2000 euros cada tapiz del tipo B a 3000 euros. Si se vende todo lo que se fabrica, a) Cuántos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beneficio sea máimo cuál es ese beneficio? b) Qué cantidad de hilo de cada clase quedará cuando se fabrique el número de tapices que proporciona el máimo beneficio? n º de tapices de tipo A a) Primero elegimos las incógnitas: n º de tapices de tipo B número kg de hilo de seda kg de hilo de plata kg hilo de oro beneficio 2 0 2000 2 1 1 3000 + + 2 2 + 2000 + 3000 tapices de tipo A tapices de tipo B Determinamos las restricciones la función objetivo 2 500 2 400 Restricciones: Función objetivo: beneficio = b(,) = 2000 + 3000 225 0 0 b(a) = 675 000 b(b) = 775 000 b(c) = 800 000 b(d) = 400 000 b(e) = 0 El valor máimo es 800 000 se alcanza en el punto C(100, 200) Debe fabricar 100 tapices de tipo A 200 de tipo B, dando un beneficio máimo de 800 000 b) Kg de hilo de seda que se gasta: + 2 = 100 + 2.200 = 500 kg (No sobrará hilo de seda, pues había 500 kg Kg de hilo de plata que se gasta: 2 + = 2.100 + 200 = 400 kg (No sobrará hilo de plata, pues había 400 kg Kg de hilo de oro que se gasta: = 200 kg (Sobrarán 25 kg de hilo de oro, pues había 225 kg Página 5
9 Un fabricante elabora dos tipos de anillos a base de oro plata. Cada anillo del primer tipo precisa 4 g de oro 2 de plata, mientras que cada uno del segundo necesita 3 g de oro 1 de plata. Sabiendo que dispone de 48 g de oro 20 de plata que los precios de venta de cada tipo de anillo son 150 euros el primero 100 euros el segundo, cuántos anillos de cada tipo tendría que producir para obtener los ingresos máimos? A cuánto ascenderían estos ingresos? n º de anillos de tipo A Primero elegimos las incógnitas: n º de anillos de tipo B anillos de tipo A anillos de tipo B número g de oro g de plata ingresos 4 2 150 3 1 100 + 4 + 3 2 + 150 + 100 Determinamos las restricciones la función objetivo 4 3 48 Restricciones: 2 20 Función objetivo: ingresos = i(,) = 150 + 100 0 0 i(a) = 1600 i(b) = 1700 i(c) = 1500 i(d) = 0 El valor máimo es 1700 se alcanza en el punto B(6, 8) Debe producir 6 anillos de tipo A 8 de tipo B, dando unos ingresos máimos de 1700 Página 6
10 Un empresario fabrica camisas pantalones para jóvenes. Para hacer una camisa se necesitan 2 metros de tela 5 botones, para hacer un pantalón hacen falta 3 metros de tela, 2 botones 1 cremallera. La empresa dispone de 1050 metros de tela, 1250 botones 300 cremalleras. El beneficio que se obtiene por la venta de una camisa es de 30 euros el de un pantalón es de 50 euros. Suponiendo que se vende todo lo que se fabrica, calcule el número de camisas de pantalones que debe confeccionar para obtener el máimo beneficio, determine este beneficio máimo. (Propuesto para Selectividad 2012) n º de camisas Primero elegimos las incógnitas: n º de pantalones número m de tela botones cremalleras beneficio camisas 2 5 0 30 pantalones 3 2 1 50 + 2 + 3 5 + 2 30 + 50 Determinamos las restricciones la función objetivo 2 3 1050 5 2 1250 Restricciones: Función objetivo: beneficio = b(,) = 30 + 50 300 0 0 b(a) = 7 500 b(b) = 17 000 b(c) = 17 250 b(d) = 15 000 b(e) = 0 El valor máimo es 17250 se alcanza en el punto C(75, 300) Debe confeccionar 75 camisas 300 pantalones, dando un beneficio máimo de 17 250 Página 7
11 Un comerciante dispone de 1200 euros para comprar dos tipos de manzanas A B. Las del tipo A las compra a 0.60 euros/kg las vende a 0.90 euros/kg, mientras que las del tipo B las compra a 1 euro/kg las vende a 1.35 euros/kg. Sabiendo que su vehículo a lo sumo puede transportar 1500 kg de manzanas, cuántos kilogramos de cada tipo deberá adquirir para que el beneficio que obtenga sea máimo? Cuál sería ese beneficio? (Propuesto para Selectividad 2012) n º de kg de manzanas del tipo A Primero elegimos las incógnitas: n º de kg de manzanas del tipo B número coste compra ( ) venta ( ) beneficio manzanas tipo A 0,60 0,90 0,30 manzanas tipo B 1 1,35 0,35 + 0,6 + 0,9 + 1,35 0,3 + 0,35 Determinamos las restricciones la función objetivo 0, 6 1200 Restricciones: 1500 Función objetivo: beneficio = b(,) = 0,3 + 0,35 0 0 b(a) = 420 b(b) = 487,5 b(c) = 450 b(d) = 0 El valor máimo es 487,5 se alcanza en el punto B(750, 750) Debe adquirir 750 manzanas de tipo A 750 de tipo B, obteniendo un beneficio máimo de 487,50 Página 8
12 En una carpintería se construen dos tipos de estanterías: grandes pequeñas, se tienen para ello 60 m2 de tableros de madera. Las grandes necesitan 4 m2 de tablero las pequeñas 3 m2. El carpintero debe hacer como mínimo 3 estanterías grandes, el número de pequeñas que haga debe ser, al menos, el doble del número de las grandes. Si la ganancia por cada estantería grande es de 60 euros por cada una de las pequeñas es de 40 euros, cuántas debe fabricar de cada tipo para obtener el máimo beneficio? (Propuesto para Selectividad 2012) n º de es tan terias grandes Primero elegimos las incógnitas: n º de es tan terias pequeñas número m2 de tablero beneficio estanterías grandes 4 60 estanterías pequeñas 3 40 + 4 + 3 60 + 40 Determinamos las restricciones la función objetivo 3 2 Restricciones: Función objetivo: beneficio = b(,) = 60 + 40 4 3 60 0 0 b(a) = 820 b(b) = 840 b(c) = 420 El valor máimo es 840 se alcanza en el punto B(6, 12) Debe fabricar 6 estanterías grandes 12 pequeñas, obteniendo un beneficio máimo de 840 Página 9