Álgebra Lineal. Tema 5 Dep. Matemática Aplicada. UMA
Tasa relativa de crecimiento Si x(t representa alguna cantidad física como el volumen de una sustancia, la población de ciertas especies, o el número de euros invertidos en acciones, su derivada x (t proporciona la tasa de crecimiento. Con frecuencia es más interesante la llamada tasa relativa de crecimiento definida por: Tasa relativa de crecimiento = x (t x(t
Ecuación diferencial para tasa relativa constante Si la tasa relativa de crecimiento es constante, tenemos: a = x (t x(t x (t = ax(t Esta ecuación se denomina ecuación diferencial porque incluye una derivada. Trivialmente se comprueba que x(t = ce at son las soluciones de la ecuación diferencial dada. El valor de c se calcula a partir de una condición inicial, Por ejemplo, si X (0 = 5, entonces c = 5.
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales Trabajaremos con sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma: x 1 (t = a 11x 1 (t + a 12 x 2 (t +... + a 1n x n (t x 2 (t = a 21x 1 (t + a 22 x 2 (t +... + a 2n x n (t........... x n(t = a n1 x 1 (t + a n2 x 2 (t +... + a nn x n (t a ij R Matricialmente nos queda como X (t = AX (t, siendo: x 1 (t a 11 a 12... a 1n x 1 (t x 2 (t. = a 21 a 22... a 2n x 2 (t....... x n(t a n1 a n2... a nn x n (t
Resolución mediante la exponencial de una matriz Definición Dada una matriz cuadrada A, se define la matriz cuadrada del mismo tamaño e A, como sigue: Teorema e A = I + A + A2 2! + A3 3! + A4 4! +... = k=0 Para cualquier vector constante c, X (t = e At c es una solución de la ecuación X (t = AX (t. Además, X (t = e At x 0 es una solución que verifica la condición inicial X (0 = x 0. A k k!
Cálculo de e Dt cuando D es una matriz diagonal Teorema Si D es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son d 1,..., d n, entonces e Dt es una matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal son e d 1t,..., e dnt. Ejemplo entonces D = e Dt = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 e t 0 0 0 e 2t 0 0 0 e 3t
Cálculo de e At cuando A es una matriz diagonalizable Teorema Si A es una matriz diagonalizable, entonces e At = Pe Dt P 1, siendo D = P 1 AP Ejemplo ( 3 1 Sea A =, diagonalizando obtenemos que 2 2 ( ( 1 0 1 1 D = P 1 AP, siendo D = y P =, entonces 0 4 2 1 e At = Pe Dt P 1 = P ( e t 0 0 e 4t P 1
Resolución de un sistema Ejemplo (Modelo de Competencia Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales lineales: { x 1 (t = 3x 1 (t x 2 (t x 2 (t = 2x 1(t+ 2x 2 (t que expresando ( matricialmente sería X (t = AX (t, siendo 3 1 A = la matriz del ejemplo anterior. 2 2 Por tanto, la solución ( del sistema sería X (t = e At c, para cualquier c1 vector constante c =, luego: c 2 ( e t 2e 4t e t + e 4t X (t = Pe Dt P 1 c = 1 3 2e t + 2e 4t 2e t e 4t ( c1 c 2 Si las condiciones iniciales son X 1 (0 = 90 y X 2 (0 = 150, entonces X 1 (t = 80e t + 10e 4t y X 2 (t = 160e t 10e 4t.
Forma canónica de Jordan Definición Llamaremos matriz de Jordan J a una matriz de la forma: siendo: J = B j (λ j = B 1 (λ 1 0... 0 0 B 2 (λ 2... 0............ 0 0... B r (λ r λ j 1 0... 0 0 λ j 1... 0.............................. 0 0... λ j 1 0 0... 0 λ j donde cada B j (λ j se denomina matriz de bloques de Jordan.
Matrices de Jordan de tamaños 2 y 3 Teorema ( λ1 0 Las matrices de Jordan de tamaño 2 son de la forma 0 λ ( 2 λ 1 y donde λ 0 λ 1 y λ 2 podrían ser iguales. Las matrices de Jordan de tamaño 3 son de la forma: λ 1 0 0 λ 1 0 0 0 λ 2 0, 0 λ 2 1, 0 0 λ 3 0 0 λ 2 λ 1 1 0 0 λ 1 0 0 0 λ 2, λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ
Forma canónica de Jordan Teorema Sea A una matriz cuadrada de tamaño n, entonces existe una matriz cuadrada inversible C, tal que J = C 1 AC, siendo J una matriz de Jordan cuyos elementos diagonales son los autovalores de A (repetidos según su multiplicidad algebraica. El número de unos se obtiene restando la multiplicidad algebraica menos la geométrica de cada autovalor. Además J es única salvo el orden de sus bloques, y se llama forma canónica de Jordan de A.
Forma canónica de Jordan para una matriz de tamaño 2 Ejemplo ( 3 2 Sea A = que tiene a λ = 1 como autovalor de 8 5 multiplicidad algebraica 2, mientras que su multiplicidad geométrica es 1. Por tanto, ( A no es diagonalizable. Su forma 1 1 canónica de Jordan es J =. Para encontrar la matriz 0 1 de paso C, consideramos el subespacio propio asociado a λ = 1, que está generado por el vector v 1 = (1, 2. Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones (A λi x = v 1 y obtenemos v 2 = ( 1 4, 0 como una de sus soluciones. Por tanto J = C 1 AC, siendo C = ( 1 1 4 2 0, siendo v 1 y v 2 las columnas de C.
Exponencial de una matriz no diagonalizable Teorema Sea J la forma canónica de Jordan de una matriz A, tal que J = C 1 AC. Entonces e At = Ce Jt C 1. Ejemplo ( 3 2 Dada la matriz A = del ejemplo anterior, como su 8 5 ( 1 1 forma canónica de Jordan es J =, tal que 0 1 ( 1 J = C 1 1 AC, siendo C = 4 tenemos que: 2 0 ( e At = Ce Jt C 1 e t te = C t 0 e t C 1
Resolución de un sistema Caso no diagonalizable Ejemplo (Modelo depredador-presa Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales lineales: { x 1 (t = 2x 1 (t x 2 (t x 2 (t = x, siendo X 1(t+ 4x 2 (t 1 (0 = 500 y X 2 (0 = 100. ( 2 1 La matriz A = tiene como autovalor doble λ = 3 y no 1 4 es diagonalizable. Su forma canónica de Jordan es J = ( 1 1 tal que J = C 1 AC, siendo C = 1 2 ( ( X (t = e At 500 e 3t te = C 3t 100 0 e 3t ( 3 1 0 3. Por tanto: C 1 ( 500 100 de donde obtenemos que: X 1 (t = e 3t (500 600t y X 2 (t = e 3t (100 + 600t,
de orden superior Una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes y homogénea es una ecuación de la forma: a n x (n (t + a n 1 x (n 1 (t +... + a 1 x (t + a 0 x(t = 0 Para resolverla definiremos: x 1 (t = x(t, x 2 (t = x (t,..., x n (t = x (n 1 (t, x n(t = x (n (t De esta forma obtenemos el siguiente sistema: a n x n(t + a n 1 x n (t +... + a 2 x 3 (t + a 1 x 2 (t + a 0 x 1 (t = 0 x 2 (t = x 1 (t x 3 (t = x 2 (t. x n (t = x n 1 (t que se puede escribir como X (t = AX (t y resolver según la teoría anterior.
Resolviendo una EDL de orden 2 Ejemplo Para resolver la ecuación diferencial x + 5x + 6x = 0, con las condiciones iniciales x(0 = 1 y x (0 = 0, primero hacemos x 1 (t = x(t, x 2 (t = x (t, x 2 (t = x (t. Con este cambio, la ecuación se transforma en: { x 2 + 5x 2 + 6x 1 = 0 x 2 = x 1 ( ( ( x 1 0 1 x1 x 2 = 6 5 x 2 Diagonalizando y calculando la exponencial de la matriz: ( ( ( ( ( x1 1 1 e 3t 0 2 1 c1 = 3 2 0 e 2t 3 1 x 2 c 2 Utilizando las condiciones iniciales x 1 (0 = x(0 = 1 y x 2 (0 = x (0 = 0, obtenemos: x 1 (t = x(t = 2e 3t + 3e 2t