Álgebra y Matemática Discreta

Ecuaciones Matriciales Ecuaciones Matriciales En muchas ocasiones, se plantean problemas que se pueden escribir como ecuaciones matriciales. Es decir, tenemos matrices A y B y una matriz o vector incógnita X tal que AX = B o XA = B. Si A es una matriz cuadrada e invertible, la solución es fácil, X = A 1 B o X = BA 1 en el segundo caso. El problema se complica cuando la matriz A no es cuadrada.

Ecuaciones Matriciales Inversas Laterales Sea A una matriz, posiblemente no cuadrada. Una matriz R diremos que es una inversa por la derecha de A si AR = I. Una matriz L diremos que es una inversa por la izquierda de A si LA = I. Si la matriz A es cuadrada, las inversas laterales son la matriz inversa, que lo es por los dos lados. Si la matriz no es cuadrada, pueden existir inversas laterales por un lado y no por el otro (de hecho es lo normal).

Ecuaciones Matriciales Inversas Laterales y Matriz Transpuesta El producto de matrices no es conmutativo, por lo tanto los problemas de inversas por la derecha y por la izquierda son diferentes. Sin embargo podemos pasar de uno al otro a través de la matriz transpuesta. La matriz transpuesta del producto es el producto de las matrices transpuestas en sentido contrario. Tenemos por lo tanto que si R es una inversa por la derecha de A, entonces AR = I y por lo tanto I = I = (AR) = R A, es decir R es una inversa por la izquierda de A. Lo mismo sucede si transponemos las inversa por la izquierda, pasa a ser una inversa por la derecha de la matriz transpuesta. Por lo tanto nos basta saber calcularlas por uno de los lados.

Matrices de Rango Máximo Planteamiento Cuando calculamos la reducida por filas de una matriz, podemos encontrarnos filas de ceros. En alguna ocasión hemos despreciado esas filas de ceros y considerado que la matriz es equivalente a la submatriz formada por las filas no nulas. Eso es cierto, pero vamos a formalizarlo un poco más dándole un nombre a las matrices en las que no aparecen filas de ceros.

Matrices de Rango Máximo Matrices de Rango Máximo por Filas o Columnas Matrices de Rango Máximo por Filas Diremos que una matriz tiene rango máximo por filas, si todas las filas son linealmente independientes, es decir, al hacer la reducción por filas no obtenemos ninguna fila nula. Matrices de Rango Máximo por Columnas Diremos que una matriz tiene rango máximo por columnas, si todas las columnas son linealmente independientes, es decir, al hacer la reducción por columnas no obtenemos ninguna columna nula. La reducción por columnas la hacemos transponiendo, haciendo la reducción por filas y volviendo a transponer el resultado, por lo tanto queda claro que una matriz tiene rango máximo por columnas si y sólo si su transpuesta tiene rango máximo por filas, y viceversa.

Matrices de Rango Máximo Rango de la Matriz y Rangos por Filas y Columnas No es del todo evidente, pero se puede demostrar que el rango por filas y columnas es el mismo, es precisamente lo que llamamos rango de la matriz. Por lo tanto, para saber si una matriz tiene rango máximo por filas y/o por columnas, lo que tenemos que hacer es calcular el rango de la matriz A, digamos que es r. Si r es igual al número de filas de la matriz, entonces tendrá rango máximo por filas. Si r es igual al número de columnas de la matriz, entonces tendrá rango máximo por columnas. Evidentemente, si la matriz no es cuadrada, no puede tener rango máximo por filas y columnas al mismo tiempo, y es fácil encontrar matrices cuadradas que no tienen rango máximo.

Matrices de Rango Máximo Ejemplos Triviales Los ejemplos más triviales son los que involucran a la matriz identidad. [ ] I Una matriz del tipo tendrá rango máximo por columnas. 0 Una matriz del tipo [ I 0 ] tendrá rango máximo por filas.

Matrices de Rango Máximo Caracterización de Existencia de Inversas Laterales Teorema Sea A una matriz. Entonces las siguientes afirmaciones son ciertas: A tiene inversa por la izquierda si y sólo si tiene rango máximo por columnas. A tiene inversa por la derecha si y sólo si tiene rango máximo por filas. A tiene inversa si y sólo si tiene rango máximo por filas y columnas. No vamos a ver la demostración completa, simplemente veremos el proceso de cálculo que nos hará evidente la idea de porqué es cierto el resultado.

Matrices de Rango Máximo Cálculo de Inversas Laterales Vamos a partir de una matriz A con rango máximo por columnas y la ampliaremos con la matriz identidad por la derecha, es decir, [ A I ]. Si reducimos por filas obtenemos: [ A I ] [ U M ] donde U es reducida por filas. Pero la matriz U tiene rango igual al número [ ] de columnas, por lo tanto tiene que tener la forma I U =. 0

Matrices de Rango Máximo Cálculo de Inversas Laterales II Vamos a subdividir M en dos partes, al igual que U, es decir, tenemos la siguiente reducción por filas: [ A I ] [ I M1 0 M 2 Por las propiedades de la reducción por filas lo que obtenemos es que M 1 A = I y que M 2 A = 0. Por lo tanto M 1 es la inversa por la izquierda de A que estábamos buscando. ]

Subespacios y Matrices de Rango Máximo Planteaminento Hemos visto que para definir un subespacio de K n lo podemos hacer por medio de una base (o unas ecuaciones). El problema es que esa representación no es única. Imaginemos que tenemos que calcular todos los subespacios de una cierta dimensión, cómo podemos asegurar que dos espacios no se cuentan dos veces? La respuesta es sencilla, un espacio vectorial vendrá dado por una base, que puesta por filas y reducida tendrá una forma canónica, es decir, dos espacios son iguales si y sólo si sus bases reducidas son iguales.

Subespacios y Matrices de Rango Máximo Rectas de R 2 En el plano R 2 hay un número infinito de rectas, pero, cuáles son? Si partimos de las matrices reducidas por filas de rango 1 que nos proporcionan bases, es decir, las que tienen una única fila, pueden darse las siguientes circunstancias: Que el primer pivote esté en la primera columna, es decir, que la matriz tenga la forma [ 1 λ ]. El valor de λ es cualquier número real, por lo que hay infinitas rectas, pero estas no son todas. El pivote también puede estar en la segunda columna, en ese caso la única matriz posible es [ 0 1 ], que es precisamente la recta vertical.

Subespacios y Matrices de Rango Máximo Rectas en R 3 El proceso es similar, calcular todas las matrices reducidas por filas con una única fila no nula. Si el pivote está en la primera columna, tenemos todas las rectas de la forma [ 1 λ µ ]. Si el pivote está en la segunda columna, tenemos infinitas, pero con un grado de libertad menos, son [ 0 1 η ]. Estas son todas las rectas del plano YZ, todas ellas tienen coordenada X igual a 0. Por último tenemos la posibilidad de poner el pivote en la tercera columna, lo que nos da una única recta [ 0 0 1 ], que es el eje Z.

Subespacios y Matrices de Rango Máximo Cuerpos Finitos Este mismo razonamiento lo podemos hacer en cuerpos finitos. En ese caso el número de rectas, planos, etc. es finito, y lo podemos calcular. Los parámetros λ,µ,η,... estarán en el cuerpo, y por lo tanto tendrán tantos valores posibles como elementos tenemos en el cuerpo. Por ejemplo, el plano Z 2 2 tiene tres rectas. Y el espacio Z 3 2 tiene 7 rectas. etc.