U.N.S.C.H. Escuela Profesional de Ingeniería Civil

Análisis de Armadura por el Método de Rigidez Curso : Análisis Estructural II / IC 4 Profesor : Estudiante : CANCHARI GUIÉRREZ, Edmundo. Cod. Est. : 65 U.N.S.C.H Escuela Profesional de Ingeniería Civil

8.. Calcular los esfuerzos en la estructura de la figura 8.33 odas las barras son del mismo material, con módulo de elasticidad E MPa y tienen igual área trasversal A cm FIG 8.33: Armadura Solución. Estableciendo convenciones:. Inicialmente se opta por una orientación global, horizontalmente el eje "X" positivo y el eje "Y" en la vertical, como en los libros clásicos. FIG 8.33-: Sistema Global. Dividir la estructura en una serie de elementos finitos e identificar sus puntos extremos como nodos, enumerar nudos y barras, elegir su orientación local para cada elemento, esto es, estableciendo el nudo inicial y final para cada elemento, como se muestra en la siguiente figura. Página de 3

FIG 8.33-: Nudos y barras.3 dependiendo de la enumeración de los nudos, los grados de libertad para el sistema es. FIG 8.33-3: Grados de libertad. Ordenando argumentos.. de la estructura.. Nudos. Coordenada para cada nudo considerado en el sistema global NODE : 3 4 Cada fila representa un nudo. Col_: abscisa X Col_: ordenada Y.. Propiedades. propiedad de la sección trasversal de los elementos PROP : -3 Cada fila representa una propiedad. Col_: área de la sección trasversal (m) Col_: Módulo de elasticidad Página 3 de 3

..3 Elementos. MEMB : 3 4 5 3 3 4 3 4 Cada fila representa un elemento. Col_: nudo inicial Col_: nudo final Col_3: propiedad..4 Apoyos. las convenciones para cada grado de libertad son: "" desplazamiento libre. "" desplazamiento restringido. Cada fila representa un soporte. Col_: número de nudo donde existe el soporte Col_: Desplazamiento en x "ux?" Col_: Desplazamiento en y "uy?" SUPP : 3 3 4. Cargas.. Carga puntual en nudos. omando en cuenta la orientación para el sistema global, se tiene: NLF : 3-5 3 8 3 La columna # indica el número de nudo, la columna # fuerza en la dirección "X" global y la columna #3 la fuerza en la dirección "Y" 3. Proceso de cálculo 3. El vector de fuerzas equivalente en los nudos Dado que para la armadura las fuerzas actuantes se encuentran en los nudos, ensamblando convenientemente según a los grados de libertad se tiene: F e : 5 8 x y x y 3x 3y 4x 4y Página 4 de 3

3. Matriz de rigidez global de cada miembro 3.. matriz de rigidez global del miembro Elem : Longitud del elemento : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, xi NODE ni, xf NODE nf, yi NODE ni, yf NODE nf, ( xi xf) + ( yi yf) FIG 8.33-4: Elemento Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje X global. : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, xi NODE ni, xf NODE nf, xf xi Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje Y global. : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, yi NODE ni, yf NODE nf, yf yi Matriz de rigidez de un miembro de armadura en sistema local área de la sección transversal del elemento Módulo de elasticidad del elemento : prop MEMB Elem, 3 E : prop MEMB Elem, 3 PROP prop, E PROP prop, Página 5 de 3

3 E y la matriz de rigidez local del elemento es: k : E k 7 matriz de trasformación de desplazamientos. e : λ e e y finalmente, la matriz de rigidez del elemento respecto al sistema global es : e k e At E..e7.e7.e7.e7 E Página 6 de 3

3.. matriz de rigidez global del miembro Elem : Longitud del elemento : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, xi NODE ni, xf NODE nf, yi NODE ni, yf NODE nf, FIG 8.33-5: Elemento ( xi xf) + ( yi yf) Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje X global. : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, xi NODE ni, xf NODE nf, xf xi Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje Y global. : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, yi NODE ni, yf NODE nf, yf yi Matriz de rigidez de un miembro de armadura en sistema local área de la sección transversal del elemento Módulo de elasticidad del elemento : prop MEMB Elem, 3 E : prop MEMB Elem, 3 PROP prop, E PROP prop, Página 7 de 3

3 E y la matriz de rigidez local del elemento es: k : E k 7 matriz de trasformación de desplazamientos. e : λ e e y finalmente, la matriz de rigidez del elemento respecto al sistema global es : e k e At E..e7.e7.e7.e7 E Página 8 de 3

3..3 matriz de rigidez global del miembro 3 Elem : 3 Longitud del elemento : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, xi NODE ni, xf NODE nf, yi NODE ni, yf NODE nf, ( xi xf) + ( yi yf) FIG 8.33-6: Elemento 3 Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje X global. : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, xi NODE ni, xf NODE nf, xf xi Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje Y global. : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, yi NODE ni, yf NODE nf, yf yi Matriz de rigidez de un miembro de armadura en sistema local área de la sección transversal del elemento Módulo de elasticidad del elemento : prop MEMB Elem, 3 E : prop MEMB Elem, 3 PROP prop, E PROP prop, Página 9 de 3

3 E y la matriz de rigidez local del elemento es: k : E k 7 matriz de trasformación de desplazamientos. e : λ e e y finalmente, la matriz de rigidez del elemento respecto al sistema global es : e k e At E..e7.e7.e7.e7 E Página de 3

3..4 matriz de rigidez global del miembro 4 Elem : 4 Longitud del elemento : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, xi NODE ni, xf NODE nf, yi NODE ni, yf NODE nf, ( xi xf) + ( yi yf) 4.4 FIG 8.33-7: Elemento 4 Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje X global. : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, xi NODE ni,.77 xf NODE nf, xf xi Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje Y global. : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, yi NODE ni, yf NODE nf, yf yi.77 Matriz de rigidez de un miembro de armadura en sistema local área de la sección transversal del elemento Módulo de elasticidad del elemento : prop MEMB Elem, 3 E : prop MEMB Elem, 3 PROP prop, E PROP prop, Página de 3

3 E y la matriz de rigidez local del elemento es: k : E k.77.77 matriz de trasformación de desplazamientos. e : λ e y.77.77 7 e finalmente, la matriz de rigidez del elemento respecto al sistema global es : e k e At E. 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 E Página de 3

3..5 matriz de rigidez global del miembro 5 Elem : 5 Longitud del elemento : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, xi NODE ni, xf NODE nf, yi NODE ni, yf NODE nf, ( xi xf) + ( yi yf) 4.4 FIG 8.33-8: Elemento 5 Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje X global. : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, xi NODE ni,.77 xf NODE nf, xf xi Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje Y global. : ni MEMB Elem, nf MEMB Elem, yi NODE ni, yf NODE nf, yf yi.77 Matriz de rigidez de un miembro de armadura en sistema local área de la sección transversal del elemento Módulo de elasticidad del elemento : prop MEMB Elem, 3 E : prop MEMB Elem, 3 PROP prop, E PROP prop, Página 3 de 3

3 E y la matriz de rigidez local del elemento es: k : E k.77.77 matriz de trasformación de desplazamientos. e : λ e y.77.77 7 e finalmente, la matriz de rigidez del elemento respecto al sistema global es : e k e At E. 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6 5.e6.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 E Página 4 de 3

4. Ensamblando la matriz de rigidez de la estructura. Kk+k+...+k5 Longitudes para cada elemento: L : for i.. rows( MEMB) ni MEMB i, nf MEMB i, xi NODE ni, xf NODE nf, yi NODE ni, yf NODE nf, L 4.4 4.4 L i ( xi xf) + ( yi yf) L Cuadrado de los cosenos directores(λx^ y λy^) para cada elemento. λx : for i.. rows( MEMB) λy : ni MEMB i, nf MEMB i, xi NODE ni, xf NODE nf, for i.. rows( MEMB) ni MEMB i, nf MEMB i, yi NODE ni, yf NODE nf, λx λx xf xi λx i L i.5.5 λy λy yf yi λy i L i.5.5 Página 5 de 3

Popiedades para cada elemento P : for P i.. rows( MEMB) p MEMB i, 3 P i, PROP p, P i, PROP p, Multiplicando los cosenos directores.(λx*λy) λxy : for i.. rows( MEMB) ni MEMB i, P 3 3 3 3 3 nf MEMB i, xi NODE ni, xf NODE nf, yi NODE ni, yf NODE nf, λxy.5.5 xf xi yf yi λxy i L i L i λxy Comprobando la multiplicación λx λy λx λy.77.77 Obteniendo los productos finales.77.77 P P P P P P λxp : λx λyp : λy λxyp : λxy L L L.5.5 7 λxp λyp Página 6 de 3 7.7 6 7.7 6 7 7 7.7 6 7.7 6 λxyp 7.7 6 7.7 6

Finalmente ensamblando la matriz de rigidez total Formando la matriz de ceros Kt : for i.. rows( NODE) Kt Kt i, i programa que ensambla la matriz de rigidez de la estructura total, respecto al sistema global, a partir de los argumentos establecidos. Kt : for i.. rows( MEMB) ni MEMB i, nf MEMB i, Kt ni, ni Kt ni, ni + λxp i Columna ni- Kt ni, ni Kt ni, ni + λxyp i Kt nf, ni Kt nf, ni λxp i Kt nf, ni Kt nf, ni λxyp i Kt ni, ni Kt ni, ni + λxyp i Columna ni Kt ni, ni Kt ni, ni + λyp i Kt nf, ni Kt nf, ni λxyp i Kt nf, ni Kt nf, ni λyp i Kt ni, nf Kt ni, nf λxp i Columna nf- Kt ni, nf Kt ni, nf λxyp i Kt nf, nf Kt nf, nf + λxp i Kt nf, nf Kt nf, nf + λxyp i Kt ni, nf Kt ni, nf λxyp i Columna nf Kt ni, nf Kt ni, nf λyp i Kt nf, nf Kt nf, nf + λxyp i Kt nf, nf Kt nf, nf + λyp i Kt Página 7 de 3

Kt.35.35..35.35.35.35.35.35...35.35.35.35.35.35..35.35.35.35.35.35.35.35..35.35.35.35.35.35..35.35.35.35 8 5. Imposición de las condiciones de soporte Analizando la estructura, se observa, que de las 8 incógnitas(8 desplazamientos posibles - desplazamientos por nudo) 4 son conocidos e iguales a cero, en los nudos donde existe el soporte, entonces, estableciendo las condiciones de contorno. Ks : for i.. rows( NODE) Ks : Ks Ks i, i for Ks i.. rows( SUPP) n SUPP i, Ks n, n if SUPP i, Ks n, n if SUPP i, 3 Ks 37 37 37 37 Km : Kt + Ks Página 8 de 3

Km.35.35..35.35.35.35.35.35...35.35.35.35.35.35..35.35.35.35 5 98.35.35.35..35 5 98.35.35 5 98.35..35.35.35 5 98 8 5. Obteniendo los desplazamientos en los nudos de la estructura, en el sistema global Ya que Km y Fe no son más que los coeficientes y los términos independientes del sistema de ecuaciones formados en cada nudo, tomando en cuenta los desplazamientos para cada grado de libertad, hay muchas formas de resolver el sistema de ecuaciones lineales. Formando la matriz aumentada Ma : augment( Km, F e ) Ma.35.35..35.35.35.35.35.35...35.35.35.35.35.35..35.35.35.35 5 98.35.35.35..35 5 98.35.35 5 98.35..35.35.35 5 98.5 5 4 5 8 La matriz aumentada en su forma escolanada reducida Página 9 de 3

rref ( Ma) 8.67 4 3.98 4 9.647 4.5 4 Donde la solución es la última columna, el vector de desplazamientos cols Ma D rref ( Ma) ( ) : D 8.67 4 3.98 4 9.647 4.5 4 x y x y 3x 3y 4x 4y 6. Obteniendo las reacciones de los apoyos Conocido los desplazamientos y la matriz de rigidez de la estructura Kt, de la ecuación fundamental del método de la figidez. FKD la matriz de rigidez de la estructura Kt.35.35..35.35.35.35.35.35...35.35.35.35.35.35..35.35.35.35.35.35.35.35..35.35.35.35.35.35..35.35.35.35 8 Página de 3

el vector de desplazamientos D 8.67 4 3.98 4 9.647 4.5 4 Multiplicando FFKt*D FF : Kt D FF Ordenando las reacciones 3.638 5 3 8 3.89.96 3 8 3 5.4 3.3 4 REAC : for i.. rows( SUPP) n SUPP i, Rx FF n Ry FF n REAC i, n REAC i, Rx REAC Nudo Rx Ry 3 4.96 3 5.4 3 8 3.3 4 REAC REAC i, 3 Ry Página de 3

7. Obteniendo las fuerzas actuantes en cada elemento 7. Elemento #. Elm : Obteniendo los desplazamientos en los extremos de los nudos. De : ni MEMB Elm, nf MEMB Elm, De D ni De D ni De 3 D nf De 9.64694 4.598 4 De 4 D nf Matriz de rigidez del elemento respecto al sistema local Área de la sección transversal Longitud del elemento A ι : prop MEMB Elm, 3 : ni MEMB Elm, A e PROP prop, A ι. Módulo de elasticidad (E) E ι : prop MEMB Elm, 3 E PROP prop, E ι nf MEMB Elm, xi NODE ni, xf NODE nf, yi NODE ni, yf NODE nf, ( xi xf) + ( yi yf) y la matriz está definido como : A ι E ι..... A ι E ι Página de 3

Matriz de transformación de desplazamientos x : ni MEMB Elm, y : ni MEMB Elm, nf MEMB Elm, xi NODE ni, xf NODE nf, xf xi nf MEMB Elm, yi NODE ni, yf NODE nf, yf yi x y e : x y x y e La fuerza en la barra está dado por: q : e De 539.6386 q Newtons 539.6386 Página 3 de 3

7. Elemento #. Elm : Obteniendo los desplazamientos en los extremos de los nudos. De : ni MEMB Elm, nf MEMB Elm, De D ni De D ni De 3 D nf De 4 D nf De 9.64694 4.598 4 8.6676 4 3.988 4 Matriz de rigidez del elemento respecto al sistema local Área de la sección transversal Longitud del elemento A ι : prop MEMB Elm, 3 : ni MEMB Elm, A e PROP prop, A ι. Módulo de elasticidad (E) E ι : prop MEMB Elm, 3 E PROP prop, E ι nf MEMB Elm, xi NODE ni, xf NODE nf, yi NODE ni, yf NODE nf, ( xi xf) + ( yi yf) y la matriz está definido como : A ι E ι..... A ι E ι Página 4 de 3

7.3 Elemento #3. Elm : 3 Obteniendo los desplazamientos en los extremos de los nudos. De : ni MEMB Elm, nf MEMB Elm, De D ni De D ni De 3 D nf De 8.6676 4 3.988 4 De 4 D nf Matriz de rigidez del elemento respecto al sistema local Área de la sección transversal Longitud del elemento A ι : prop MEMB Elm, 3 : ni MEMB Elm, A e PROP prop, A ι. Módulo de elasticidad (E) E ι : prop MEMB Elm, 3 E PROP prop, E ι nf MEMB Elm, xi NODE ni, xf NODE nf, yi NODE ni, yf NODE nf, ( xi xf) + ( yi yf) y la matriz está definido como : A ι E ι..... A ι E ι Página 6 de 3

7.4 Elemento #4. Elm : 4 Obteniendo los desplazamientos en los extremos de los nudos. De : ni MEMB Elm, nf MEMB Elm, De D ni De D ni De 3 D nf De 8.6676 4 3.988 4 De 4 D nf Matriz de rigidez del elemento respecto al sistema local Área de la sección transversal Longitud del elemento A ι : prop MEMB Elm, 3 : ni MEMB Elm, A e PROP prop, A ι. Módulo de elasticidad (E) E ι : prop MEMB Elm, 3 E PROP prop, E ι nf MEMB Elm, xi NODE ni, xf NODE nf, yi NODE ni, yf NODE nf, ( xi xf) + ( yi yf) 4.44 y la matriz está definido como : A ι E ι..77.77.77.77 A ι E ι Página 8 de 3

Matriz de transformación de desplazamientos x : ni MEMB Elm, y : ni MEMB Elm, nf MEMB Elm, xi NODE ni, xf NODE nf, xf xi nf MEMB Elm, yi NODE ni, yf NODE nf, yf yi x.77 y.77 e : x y x y e La fuerza en la barra está dado por: q : e De 486.583 q Newtons 486.583 Página 9 de 3

7.5 Elemento #5. Elm : 5 Obteniendo los desplazamientos en los extremos de los nudos. De : ni MEMB Elm, nf MEMB Elm, De D ni De D ni De 3 D nf De 9.64694 4.598 4 De 4 D nf Matriz de rigidez del elemento respecto al sistema local Área de la sección transversal Longitud del elemento A ι : prop MEMB Elm, 3 : ni MEMB Elm, A e PROP prop, A ι. Módulo de elasticidad (E) E ι : prop MEMB Elm, 3 E PROP prop, E ι nf MEMB Elm, xi NODE ni, xf NODE nf, yi NODE ni, yf NODE nf, ( xi xf) + ( yi yf) 4.44 y la matriz está definido como : A ι E ι..77.77.77.77 A ι E ι Página 3 de 3

Matriz de transformación de desplazamientos x : ni MEMB Elm, y : ni MEMB Elm, nf MEMB Elm, xi NODE ni, xf NODE nf, xf xi nf MEMB Elm, yi NODE ni, yf NODE nf, yf yi x.77 y.77 e : x y x y e La fuerza en la barra está dado por: q : e De 77.58 q Newtons 77.58 Página 3 de 3

Resumiendo los resultados. Elemento Nudo Fuerza Axial (N) 3 4 5 3 539.6386 tensión 539.6386 96.364 compresión 96.364 4 796.364 compresión 796.364 3 486.583 tensión 486.583 77.53 compresión 4 77.53 Página 3 de 3