LOGARITMOS John Neper (550-67) Henry Briggs (56-60) MATEMÁTICAS I º Bachillerato CCNN Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas
I) FUNCIÓN EXPONENCIAL de BASE a f()=a Es aquella función en la que la variable independiente figura en un eponente, es decir, toda función del tipo f()=a, donde a + -{}. Ejemplo : Construir una tabla de valores apropiada y representar f()= -4 - - - 0 4 y= Consecuencias: º) Signo de f(): º) Crecimiento: º) Dom(f)= Im(f)= 4º) Asíntotas: 5º) lim lim = = Ejemplo : Ídem con f() = = 0,5 = = -4 - - - 0 4 Consecuencias: º) Signo de f(): º) Crecimiento: º) Dom(f)= Im(f)= 4º) Asíntotas: 5º) lim = lim = En la siguiente página se eplica por qué se impone que a + -{} Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 9
Definición: Función eponencial de base a>0 (a ): + -{0} a NOTA: Se considera a>0 porque, en caso contrario, obtendríamos una función poco "congruente"; por ejemplo, para f()=(-) : f ( ) = ( ) = 4 > 0 Pero f ( ) = ( ) = 8 < 0 / f ( / ) = ( ) = = etc. Propiedades de la función eponencial: º) La función a siempre pasa por (0,) y (,a) º) a> a CRECIENTE a< a DECRECIENTE º) Dom (f)=, es decir, La función eponencial a siempre está definida 4º) Im(f)= + -{0}, o dicho de otra forma, a >0, es decir, La función eponencial siempre es estrictamente positiva 5º) a> 0<a< lim a = 0+ lim a = lim a = lim a = 0+ 6º) y=0 A.H., es decir, La función eponencial a siempre presenta el eje como A.H. Todo lo visto hasta ahora se puede resumir en las siguientes gráficas: y=a y=a y=0 A.H. a a> 0<a< a Nótese que nos referimos a a ; por ejemplo, a / no estará definida en =0 De nuevo, nos referimos a a ; por ejemplo, a / presenta la A.H. y= Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 94
Caso particular: Cuando la base es e,78888459 (cte. de Euler 4 ), tenemos la función eponencial de base e, utilizada muy frecuentemente. (Construiremos su gráfica en el ejercicio del final del tema). II) FUNCIÓN LOGARÍTMICA de BASE a f()=log a La enorme complejidad de los cálculos que se presentaron durante el siglo XVI en los estudios astronómicos dio lugar a numerosos intentos de simplificación, entre ellos la sustitución de multiplicaciones por sumas. Se debe al escocés John Napier (en latín, Neper) la invención en aquella época de los logaritmos, lo cual trajo consigo la función logarítmica. En cambio, el reciente desarrollo de la electrónica ha originado que en la actualidad prácticamente haya desaparecido la importancia de su utilización como técnica de cálculo, aunque no como concepto matemático. Definición: La función logarítmica y=log a (con a>0 y a ) es la inversa de la función eponencial y=a Ejemplo : Utilizando la tabla de la función y= (ejemplo ), obtener la tabla de y=log y su gráfica. -4 - - - 0 4 FUNCIÓN INVERSA y= y y=log FUNCIÓN INVERSA y Ejercicio final tema: y 4 El número e, llamado constante de Euler -en honor al matemático suizo Leonhard Euler (707-78)-, surge como límite de la siguiente sucesión: an = + n n Por ejemplo, n= a = n=00 a 00 n= a =,5 =,5 n=000 a 000 n= a =,,704 n=0000 a 0 000 (completar) n=4 a 4 =,5 4 n=00000 a 00 000 n=5 a 5 n e,78888459 Se trata de un número irracional, es decir, consta de cifras decimales no periódicas. Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 95
Nótese en la tabla que: log 4= (pq =4) Y, en general: log 8= (pq =8) log 6=4 (pq 4 =6) Definición: El logaritmo en base a de un número es el eponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número argumento o antilogaritmo log a N = a = N () base logaritmo Ejemplos: log 8= pq log 0 00= log 64= log /= log 9 = log (-9)= pq pq pq pq pq Nótese que en todo esto hay cierta analogía con la conocida definición de n a = como inversa de n Ejemplo 4: Utilizando la tabla de la función y = (ejemplo ), obtener la tabla de y=log / y su gráfica. -4 - - - 0 4 FUNCIÓN INVERSA y=log / y FUNCIÓN INVERSA y Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 96
CONCLUSIÓN: Propiedades de la función logarítmica: º) Dom(f)= + -{0}, o dicho de otra forma, No eiste el logaritmo de un número negativo 5 º) Im(f)=, por lo que podemos añadir: pero un logaritmo puede ser negativo º) loga a = (porque a =a) El logaritmo de la base siempre es loga = 0 (porque a 0 =) El logaritmo de, sea cual sea la base, siempre es 0 4º) a> log a CRECIENTE 0<a< log a DECRECIENTE 5º) a> lim loga = lim loga = + 0 a< lim loga = lim loga = + 0 6º) =0 A.V., es decir, La función logarítmica log a siempre presenta el eje y como A.V. 6 Todo lo visto hasta ahora se puede resumir en las siguientes gráficas: y=log a =0 A.V. a> 0<a< (a,) (a,) (,0) a (,0) a y=log a =0 A.V. Caso particular: LOGARITMOS NEPERIANOS 7 : Son los que utilizan como base e,78888459 ; tienen una notación especial: Ejercicio final tema: a 5 log e =ln 5 Nótese que, puesto que la función eponencial y la logarítmica son inversas, el dominio de una coincide con el recorrido de la otra, y viceversa. 6 Nótese que nos referimos a loga ; por ejemplo, log presenta únicamente A.V. en = y = 7 Se llaman así en honor a John Neper (550-67), matemático escocés que, como ya se ha dicho, ideó los logaritmos para simplificar cálculos. Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 97
Las calculadoras normalmente disponen de sendas teclas log y ln para calcular logaritmos decimales o neperianos Cómo obtener logaritmos en cualquier base?: log ln log a DERIVE LOG(,0) LN() o LOG() LOG(,a) GRAPH log() ln() logb(,a) CALCULADORA log ln log : log a NOTA: La última fórmula, llamada del cambio de base, se eplicará en el apdo. V Reseña histórica: Como ya hemos indicado, el matemático escocés John Neper (550-67) fue el inventor hacia 594 de los logaritmos fue él quien acuñó esa palabra para simplificar los tediosos cálculos de productos en Trigonometría esférica aplicada a la Astronomía, pero empleaba una base incómoda, en concreto 0 7. Neper también popularizó su curiosa máquina de multiplicar, llamada «Rodillos de Neper». Su contemporáneo Henry Briggs (56-60), catedrático de Oford, le sugirió en 65 el empleo de la base 0 y, a su muerte, perfeccionó sus ideas, decantándose por el empleo de dicha base decimal. En 67 publicó las primeras tablas de logaritmos, similares a las actuales, y definió el logaritmo de un número tal y como hoy se conoce. El italiano Evangelista Torricelli (608-647) estudió la curva eponencial en 644 y la relacionó con los logaritmos. Posteriormente, el inglés William Jones (675-749) sistematizó lo que ya antes se intuía: que la función logarítmica era la inversa de la eponencial. El sacerdote jesuita belga Grégoire de Saint-Vicent (584-667) en 647 encontró la coneión entre el área encerrada bajo la hipérbola y=/ y los logaritmos, al igual que Newton en 665 Los logaritmos neperianos que utilizan la base e, siendo e,7888 un número irracional- reciben tal nombre en honor de Neper, si bien él no llegó a utilizar dicha base. Fueron en realidad introducidos por John Speidell en 69 y definitivamente asentados el matemático suizo Leonhard Euler (707-78) en 78. III) CÁLCULO LOGARÍTMICO III.) Logaritmo de un producto: log (p q) = log p + log q Es decir, «El logaritmo de un producto es la suma de logaritmos» conocemos p y q () Dem: loga p = a = p y y a ( ) y p q a a a + = = log p q = + y = log a p + log a q (C.Q.D.) loga q y a q = = Observaciones: ) Esta fórmula es válida en cualquier base. ) Esta fórmula se puede generalizar a o más argumentos: log (p q r) = log p + log q + log r etc. ) Esta fórmula y las siguientes que veremos a continuación- nos puede servir para comprender cómo surgieron los logaritmos en el siglo XVI como instrumento para facilitar los cálculos astronómicos con cantidades elevadísimas para la época (como ya indicamos al comienzo del apartado II). Vamos a eplicarlo con un ejemplo: Supongamos que queremos hallar el valor de N=68457 9684 (Recordar que, antes de la aparición de las calculadoras, operaciones de este tipo eran muy laboriosas) Tomamos logaritmos en ambos miembros: Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 98
log68457+log9684=logn Se disponía de tablas de logaritmos muy completas, con las que se podía reemplazar cada logaritmo por su valor (evidentemente, era más fácil sumar a mano decimales que multiplicar números de muchas cifras): 6,44 +6,940 =logn Es decir:,5085 =logn A continuación, se buscaba en las tablas el caso inverso, es decir, cuál es el número cuyo logaritmo es,5085 (lo que se conoce como antilogaritmo 8 ): logn=,5085 N= 5006068 Hoy en día todo esto se nos puede antojar algo laborioso, pero situémonos en aquellos tiempos no muy remotos 9 -, sin ordenadores ni calculadoras III.) Logaritmo de un cociente: Dem: p log log p log q q = Es decir, «El logaritmo de un cociente es la resta de logaritmos» () III.) Logaritmo de una potencia: Dem: Vamos a probarlo para n: n log p = n log p Es decir, «El logaritmo de una potencia es el eponente por el logaritmo de la base» (4) n términos n términos n logp = log(p p p... p) = logp + logp +... + logp = n logp (C.Q.D.) Observaciones: ) En realidad esta fórmula es válida n ) Caso particular: LOGARITMO DE UNA RAÍZ: log p = log p = logp (C.Q.D.) n n /n (5) Es decir: «El logaritmo de una raíz es el inverso del índice multiplicado por el logaritmo del radicando» Ejercicios final tema: 6 al 8 En la calculadora, para hallar un antilogaritmo, normalmente se utiliza la combinación SHIFT-log: logn=,5085 N= SHIFT-log,5085 =5006068 9 Por ejemplo, el uso generalizado de las calculadoras se produjo en la década de los 70 del siglo pasado Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 99
IV) ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Una ecuación eponencial es aquella en la que la incógnita aparece como eponente. Eisten varios procedimientos para su resolución, dependiendo del tipo de ecuación; básicamente, se pueden resumir en tres: er caso: Algunas ecuaciones eponenciales se resuelven consiguiendo una igualdad entre dos potencias de la misma base, con lo cual los eponentes tendrán que ser iguales. Ejemplo 5: o caso: Cuando figuran sumas y/o restas de epresiones eponenciales, lo que suele funcionar es aplicar un cambio de variable del tipo a =t (donde a suele ser primo), con lo cual la ecuación eponencial se transforma en una ecuación algebraica en t. Ejemplo 6: er caso: En otros casos lo que suele funcionar es tomar logaritmos decimales (o también neperianos, según convenga ) en ambos miembros ( evidentemente, esto no funciona cuando al menos uno de los miembros es una suma!). Ejemplo 7: NOTA: El saber cuál de los tres procedimientos aplicar a una ecuación eponencial concreta es una técnica que requiere práctica y sentido común; en algunos casos sólo funciona uno de los tres métodos, mientras que en otros es posible que se pueda elegir entre dos de ellos, o cualquiera de los tres Para adquirir destreza en dicha técnica, resultará útil el siguiente ejercicio: Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 00
Ejercicios final tema: 4 al 6 Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece en el argumento de un logaritmo. Se resuelven siempre aplicando las propiedades de los logaritmos en orden inverso hasta lograr una igualdad de logaritmos de la misma base, con lo cual sus argumentos serán iguales (esto se conoce como propiedad inyectiva): (6) IMPORTANTE!: En este caso es fundamental comprobar las posibles soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación del principio, y descartar aquellas que conduzcan a un logaritmo con argumento negativo. Ejemplo 8: log = log 4 Ejemplo 9: 4 log - = log 4+log () ( ) Ejercicio final tema: 7 8 (Sistemas de ecuaciones eponenciales y logarítmicas) 9 a (Problemas de aplicación) V) CAMBIO DE BASE Fórmula del cambio de base de sistema de logaritmos: (7) Dem: Puesto que el logaritmo y la eponencial son funciones inversas, es evidente que: = a log a Tomando log b en ambos miembros, y aplicando la fórmula del logaritmo de una potencia, obtenemos la fórmula anterior (desordenada): log = log a = log log a (C.Q.D) log a b b a b Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 0
Utilidad: La fórmula del cambio de base permite calcular logaritmos en cualquier base con las calculadoras habituales, que sólo disponen de logaritmos decimales (o neperianos); en efecto, para ello basta con tomar b=0 en la fórmula, con lo cual se obtiene: log = log log a a Despejando: log log a = log a log 9 0,954... Ejemplo: log 9 = = = (Como puede comprobarse, aplicando la definición ) log 0,477... Ejercicios final tema: al 4 Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 0
4 EJERCICIOS de LOGARITMOS Función eponencial y logarítmica:. Para cada una de las funciones que figuran a continuación, se pide: i) Tabla de valores y representación gráfica. ii) Signo de f(). iii) Cortes con los ejes. iv) Intervalos de crecimiento. v) Dominio y recorrido. vi) Asíntotas. vii) lim f() y lim f() - a) f() = 0 y f() = log b) f() 0, = y f() = log 0, c) f() = e y f() = ln d) f() = y f() = log e) e si < 0 si 5 f() = + + si 0 <. El matemático suizo Leonhard Euler (707-78) obtuvo en 74 las siguientes fórmulas: e + e e e cos θ = sen θ = i iθ iθ iθ iθ Comprobar que verifican sen θ + cos θ = Definición de logaritmo: (donde a>0, a ) Sistemas de logaritmos más utilizados: NOMBRE BASE NOTACIÓN DEFINICIÓN Logaritmo decimal a=0 log Logaritmo neperiano a=e Ln, ln donde e,78888459 se llama cte. de Euler; es un número irracional.. Utilizando la definición, hallar los siguientes logaritmos: a) log 9 b) log 8 c) log /9 d) log (-9) e) log f) log 8 g) log 0 000 h) log 4 i) log 4 64 j) log 0 0,0 k) log 4 /6 l) log 5 0, m) log 4 56 n) log 4 /64 o) log 0,5 p) log 4 q) log 04 r) log /64 s) log 7 t) log log 4 (Soluc: a) ; b) 4; c) -; d) ; e) /; f) /; g) ; h) /; i) ; j) -; k) -; l) -; m) 4; n) -; o) -; p) 0; q) 0; r) -6; s) /; t) ) 4. Calcular los logaritmos decimales de los siguientes números (sin calculadora) y comprobar el resultado: En honor a John Napier (Neper, en latín), matemático inglés (550-67) inventor de los logaritmos. Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 0
a) 0.000 b).000.000 c) 0,00 d) /.000.000 e) 0 8 f) 0-7 g) 0 h) (Soluc: a) 4; b) 6; c) -; d) -6; e) 8; f) -7; g) ; h) 0) 5. Utilizando la definición de logaritmo, hallar el valor de en cada una de las igualdades siguientes: a) log 8= f) log =- k) log 5=- p) log =0 u) log =0 b) log /8= g) log 49= l) log /00 00= q) log 0,5 = c) log 00= h) log 8= m) log 0.0= r) log (-6)= d) log = i) ln e = n) ln=-/ s) log 5=- e) ln= j) log 64= o) log /6 = t) log log = (Soluc: a) ; b) -; c) ; d) 7; e) e ; f) /9; g) 7; h) ; i) ; j) 64; k) /5; l) -; m) 0,; n) e/e; o) /96; p) ; q) 0,065; r) ; s) /5; t) 0 u) ) Cálculo logarítmico: Fórmulas del cálculo logarítmico: (todas son válidas en cualquier base) Casos particulares: = = 6. Aplicando las fórmulas anteriores, calcular (y hacer la comprobación):. log6 6 4. log 7. log 4. loga a 5. ln e 4 6. 4 5 log 64 7. log 9 8. ln e 9. log4 0. log8. log 8. ln e. log 64 4. log4 64 5. log 5 8 6. log 9 7. e ln e 8. log 4 ( 4) 9. log 0. log 7.. log ln. log 5 e 64 8 4 4. log 0 + log 5 5. 6. 7. 8. 9. 0. 00 log 0 log 7 9 ln 4 e e 0 log 0, ln e e log 4 7. log/5 5.. 4. log5 5 5 ln e e 4 5 log + log + log + log 4 Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 04
(Soluc: ) -; ) /4; ) /; 4) -/; 5) ; 6) -/5; 7) /; 8) -; 9) /; 0) /; ) 5/6; ) /; ) 6; 4) -; 5) /5; 6) -/; 7) -/; 8) ; 9) 5/; 0) /; ) -9/5; ) -/; ) -5/; 4) ; 5) -/; 6) -/; 7) /4; 8) /; 9) /; 0) -7/4; ) -; ) -5/; ) -5/; 4) log5) 7. Volver a hacer el ejercicio, pero esta vez aplicando las fórmulas del cálculo logarítmico. 8. Epresar en función de log los logaritmos decimales siguientes, y comprobar con la calculadora: a) log 6 d) log 0,5 g) log /40 j) log 0, m) log b) log 5 c) log /5 e) log 0,65 f) log 50 h) log i) log 6/5 k) log 0,08 l) log n) 4 5 log + log + log + log 4 (Soluc: a) 4log ; b) -log ; c) -+6log ; d) -log ; e) -4log ; f) -log ; g) --log ; h) ; i) -+5log ; j) -+5log ; k) -+log ; l) ; m) ; n) -log ) 9. Epresar en función de ln o ln : a) b) c) d) (Soluc: a) ln ; b) -ln ; c) - ln ; d) e) f) 9e ln e ; e) ; f) ; g) ) g) 9e ln e 0. Epresar en función de log y log los logaritmos siguientes, y comprobar con la calculadora: a) log 5 d) log 9/4 g) log 6 j) log 90 m) log b) log 4 e) log h) log,6 k) log 0,7 c) log 4/ f) log 0 i) log, l) log 0,7 (Sol: a) - log ; b) log +log ; c) log -log ; d) log -log ; e) ; f) +log ; g) log +4 log ; h) -+ log + log ; i) -+ log + log ; j) + log ; k) -+ log ; l) -+ log + log ; m) -/+ log + log ). Epresar en función de log, log y log 7 los logaritmos siguientes: a) log 84 b) log 0,8 c) log 0,5 d) log 4,4 e) log. Calcular: a) b) 4ln ln ln ln e 5e + 5e + 5e (Sol: 6) ln ln e (Sol: ) c) ln ln ln 9e 8e + e (Sol: -/9). Justificar las siguientes igualdades: a) b) log 5=(-log ) c) log 6 + log -log = log 9 log d) log 0 4 e) 4 (*) f) log/log 4 9 Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 05
4. Sabiendo que log 7,54=0,86654..., hallar (sin calculadora): a) log 75,4 b) log 0,00754 c) log 754 5. Utilizando las fórmulas del cálculo logarítmico, desarrollar al máimo las epresiones siguientes: a) log () b) log ( ) c) d) ln (a ) e) ln (a) f) g) h) i) j) k) l) m) log ( -y ) n) o) p) q) log ( 0 ) r) s) log ( n y m ) t) u) (Sol: a) log + log ; b) log + log ; c) log + log - log y; d) ln a+ ln ; e) ln a+ ln ; f) ; g) log m+log n+log p-log q-log r; h) ; i) r log m+r log n-r log p; j) --ln ; k) ; l) ; m) log(+y)+log(-y); n) ; o) ; p) q) u) ; r) ; s) n log +m log y; t) log + log m+ log n-log p-4 log q ) 6. Obtener en las siguientes epresiones: a) ( ) b) c). 7. Sabiendo que =7 e y=, utilizar la calculadora para hallar: ( ) ( ) a) log b) log () c) log d) log (+y) e) log + y f) g) 8. a) Hallar a sabiendo que (Soluc: a=49) b) Si log 4 N=, cuánto vale? Cuánto vale N? (Soluc: -8; N=64) 9. En qué base se cumple que log a +log a =? (Soluc: a=6) 0. V o F? Razonar la respuesta: a) log (A+B)=log A + log B b) log (A +B )=log A+ log B c) Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 06
d) e) f) El logaritmo de un número siempre da como resultado un número irracional. g) Los logaritmos decimales de números < son negativos; en caso contrario, son positivos.. CURIOSIDAD MATEMÁTICA: Comprobar la veracidad de la siguiente fórmula, debida al físico británico Paul Dirac (90-984), que permite escribir cualquier número N empleando solamente tres doses: (N raíces). Cuáles son los números cuyos logaritmos decimales están comprendidos entre 0 y? Y entre 0 y -? (Soluc: y 00; 0,0 y ). a) Razonar entre qué dos números enteros está log 000. Comprobar el resultado con la calculadora. b) Ídem con log650. Ecuaciones eponenciales: 4. Resolver las siguientes ecuaciones eponenciales por el método más apropiado, y comprobar el resultado en cada caso:. (Soluc:,57). (Soluc: -,7549) 9. 0. (Soluc: =) (Soluc: 0,80). (Soluc: =-). (Soluc: 5,479). (Soluc: =0, =ln; =ln) 4. (Soluc: =) 5. 6. 7. 8. 9. 0.. (Soluc: =) (Soluc: =-6) (Soluc: =) (Soluc: soluc.) (Soluc: =) (Soluc: 4,4055) (Soluc: =4). (Soluc: =). 4. 5. 6. (Soluc:,0949) (Soluc: soluc.) (Soluc: =) (Soluc: -,958) 7. (Soluc: =, =) 8. ( ) (Soluc: =). 4. 0 (Soluc: =) (Soluc: soluc.) 5. (Sol: =, =) 6. 7. (Soluc: =) (Sol: =, =) 8. (Soluc: -7,880) 9. (Soluc: =, =) 0.... 4. (Soluc: =5) (Soluc:,45) (Soluc: 5,8) (Soluc: =±) (Soluc: =) 5. (Soluc: =0, =) 6. (*) + e (Soluc: =-, =) 7. 8. (Soluc: =) Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 07
9. 40. (Soluc: soluc.) (Sol: =, =log /log ) 4. 4. 4. 44. 45. 4 (Soluc: =) = (Soluc: =0, =) (Soluc: =) (Soluc: =) (Soluc: =) 47. (Soluc: =, =log /log ) 48. 49. 50. 5. + + 0 (Soluc: =0) (Soluc: soluc.) (Soluc: =-) (Soluc: =) 5. + 6 (Soluc: =ln ) 46. (Soluc:,5850) 5. Considérese la siguiente fórmula: U = P( ρ + V) /D Despejar ρ (Ayuda: no es necesario utilizar logaritmos) (Soluc: = + ) 6. Sin necesidad de operar, razonar que ecuaciones del tipo: no pueden tener solución. + = 0 + 4 + + = 0 Ecuaciones logarítmicas: 7. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas, comprobando la validez de las soluciones obtenidas: a) log -log (+6)= log (Soluc: =) b) 4 log ( +)=log 65 (Soluc: =±) c) (Soluc: =±5) d) (Soluc: =0) e) (Soluc: =e-) f) ln (-)+ln (+)=ln +ln (-) (Soluc: =5) g) log + 7log-9=0 ( ) h) log +7log-9=0 ( ) i) ln (-)=ln -ln 4 (Soluc: =4) j) log (+)-log (-6)= (Soluc: =7) k) log 0 - = (Soluc: =) l) log (+9)=+log (Soluc: =/) m) log (+)+log (-)=/00 ( ) n) (Soluc: =5) o) log ( -7+0)= (Soluc: =; =5) Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 08
p) ln + ln (+)= ln (Soluc: =) q) log ( ++6)=+log (+) (Soluc: =; =6) r) ln +ln +ln 4= (Soluc: =e/) s) 4 log - log (-)= log 4 (Soluc: =) t) ln (-)+ln (+6)=ln (+) (Soluc: =) u) log +log (-)= (Soluc: =5) v) log (+9)-log = (Soluc:,8) w) log (+6)-= log(-) (Soluc: =; =/5) ) log (+)- log = (Soluc: =/0) y) log (6-)-log (+4)=log (Soluc: =) z) log +log =5 (Soluc: =0) Sistemas de ecuaciones eponenciales y/o logarítmicas: 8. Resolver los siguientes sistemas, comprobando la validez de las soluciones obtenidas: a) y a a = a a y (Soluc: =, y=-) = a b) c) d) e) f) g) y = 8 5 + y = 5 = + = y 5 y 9 5 6 = 4 = + y+ 4 7 5 log + logy = log log y = ( ) ( ) log y = log 5 + y = 0 log + logy = log5 log( + ) logy = (Soluc: =, y=-5) (Soluc: =, y=0) (Soluc: =, y=-) (Soluc: =0, y=) (Soluc: =, y=-7) (Soluc: =49, y=5) Problemas de aplicación: 9. a) Demostrar que la función que permite calcular en cuánto se convierte un capital C 0 acumulado al cabo de t años con un interés i es: donde: C 0 es el capital inicial, en i es el interés anual, en % i C(t)=C0 +, en 00 t Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 09
b) Cuánto dinero tendremos al cabo de 6 años si colocamos a plazo fijo 0000 al %? (Soluc: 5 ) c) Cuántos años debemos mantener 00000 en una entidad bancaria a una tasa del,5% si queremos duplicar el capital? Es relevante el dato del capital inicial? (Soluc: 8 años; NO) d) Una persona que tiene depositada en una caja de ahorros 0 000 a una tasa del % quiere llegar a tener 40000 Cuánto tiempo deberá mantener intacto el capital? (Soluc: 9 años y 9 meses) 0. a) Demostrar que la función que epresa el volumen de madera que tiene un bosque al cabo de t años es: donde: M 0 es el volumen inicial de madera, en m l es el crecimiento anual, en % 0 ( ) t M(t)=M +l, en m b) Se calcula que un bosque tiene 000 m de madera y que aumenta el 5% cada año Cuánta madera tendrá al cabo de 0 años si sigue creciendo en estas condiciones? (Soluc: 9 546,7 m) c) Cuánto tiempo tardará en duplicarse el bosque? (Soluc: 4, años). Algunos tipos de bacterias tienen un crecimiento de sus poblaciones muy rápido. La escherichia coli puede duplicar su población cada hora. a) Supongamos que hacemos un cultivo en el que inicialmente hay 5000 bacterias de este tipo. Construir una tabla para razonar que la función que nos da el número de bacterias al cabo de t horas es: t f(t)=5000 b) Cuántas habrá al cabo de 6 horas? c) Dibujar una gráfica que represente el crecimiento en las 8 primeras horas. d) Si tenemos un cultivo de 00 bacterias y queremos conseguir un millón, cuánto tiempo ha de transcurrir? (Soluc: b) 7 680 000 bacterias; d) horas y cuarto) Cambio de base: (fórmula del cambio de base). Utilizando la fórmula del cambio de base se pide: a) Demostrar que log a b log b a= b) Hallar la relación entre el logaritmo neperiano y el logaritmo decimal. c) Epresar log en función de log (Soluc: log =,9log). a) Nuestra calculadora sólo dispone de logaritmos decimales. Usando la fórmula del cambio de base, hallar log 4 5 b) Razonar que log 4 5 es irracional. 4. Volver a hacer el ejercicio, pero utilizando esta vez la calculadora y la fórmula del cambio de base. Teto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 0
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