Probabilidad y Estadística

Probabilidad y Estadística Grado en Ingeniería Informática Tema 4 Vectores aleatorios Javier Cárcamo Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid javier.carcamo@uam.es Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 1

Descripción del tema Tema 4: Vectores aleatorios 1. Vectores aleatorias. 2. Función de distribución conjunta. 3. Vectores discretos. 4. Vectores continuos. 5. Ejemplos de distribuciones discretas multidimensionales. 6. Ejemplos de distribuciones continuas multidimensionales. 7. Distribuciones condicionadas. 8. Variables aleatorias independientes. 9. Distribución de la suma de variables. Objetivos principales Comprender la noción de vector aleatorio. Saber calcular distribuciones marginales y condicionadas. Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 2

1. Vectores aleatorios En el tema anterior, dado un experimento aleatorio ɛ, prestamos atención a una sóla característica de ɛ considerando una variable X : Ω R. Sin embargo, nos puede interesar estudiar simultáneamente varias características del experimento. Es decir, estudiar varias variables a la vez: X : Ω R, Y : Ω R, Z : Ω R,... Estudiar las variable simultáneamente proporciona más información que su estudio por separado ya que permite analizar las interrelaciones entre las características involucradas. Por ejemplo, al seleccionar una persona se puede observar su peso y altura. Por tanto, podemos analizar dos variables por separado o estudiar el comportamiento de las dos variables a la vez. Al estudiar estas variables de manera conjunta podemos observar la relación existente entre ambas. (En general, es razonable esperar que a mayor altura de una persona, su peso será mayor. Esto no lo podríamos apreciar estudiando las variables peso y altura de forma independiente.) Otra situación en la que es importante el estudio de muchas características simultáneamente es la realización de una encuesta (por ejemplo electoral). Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 3

1. Vectores aleatorios Dado (Ω, F, P) un espacio de probabilidad, se llama vector aleatorio (d-dimensional) a toda aplicación: X = (X 1,..., X d ) : Ω R d (o R d ) ω X(ω) = (X 1 (ω),..., X d (ω)). Observación: Realmente, para que X sea un v.a. debe cumplir una condición de medibilidad: Para todo a 1,..., a d R d, se pide que el conjunto {ω Ω : X 1 (ω) a 1,..., X d (ω) a d } F. Cuando F = P(Ω), esto siempre se cumple. Idea: Como P es medida de probabilidad sobre (Ω, F), sabemos calcular probabilidades en Ω vía P. Al tener una aplicación X : Ω R d vamos tener una forma de medir en R d. La medida de probabilidad P sobre (Ω, F) induce una nueva medida de probabilidad sobre R d, P X, que llamaremos distribución de probabilidad del vector aleatorio X. Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 4

Ω X 1. Vectores aleatorios R 2 A B P(A) Notación: {X B} = X 1 (B) = {ω Ω : X(ω) B}, B R d. X = (X 1,..., X d ) : (Ω, F, P) R d v.a. Consideramos P X : B(R d ) P(R d ) [, 1] B P X (B) = P(X B). P X se llama distribución de probabilidad de X o distribución conjunta de las variables X 1,..., X d y es una medida de probabilidad en (R d, B(R d )). Nota: B(R d ) es una σ-álgebra sobre R d (σ-álgebra de Borel) que incluye todos los conjuntos que nos pueden interesar para calcular probabilidades. Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 5

1. Vectores aleatorios Si X = (X 1,..., X d ) : Ω R d es un vector aleatorio, las proyecciones, X i : Ω R (o R) ω X i (ω), son variables aleatorias. Las variables X 1,..., X d se llaman variables marginales del vector aleatorio X. Las d distribuciones de probabilidad (sobre R) asociadas, P X1,..., P Xd, se denominan distribuciones marginales de X. Nota importante: En general, si conocemos P X podemos calcular las distribuciones marginales P X1,..., P Xd. Sin embargo, el recíproco no es cierto. Es decir, (salvo en algunos casos especiales) aunque sepamos la distribución de X 1,..., X d no podemos calcular la distribución conjunta del vector X = (X 1,..., X d ). Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 6

1. Vectores aleatorios Ejemplo: ɛ: lanzar una moneda al aire 3 veces. Ω = {(C, C, C), (C, C, +),..., (+, +, +)}. (Ω, F, P): modelo de Laplace (equiprobabilidad). Card(Ω) = 8. P({(C, C, C)}) = P({(C, C, +)}) = = P({(+, +, +)}) =. Consideramos X = (X, Y ) : Ω R 2, de forma que: X número de caras obtenidas. Y máximo número de caras seguidas obtenidas. Problema: Calcular la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y ) y las distribuciones marginales de las variables X e Y. Primero tenemos que ver qué valores puede tomar el vector X. Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 7

Ejemplo: ɛ: lanzar una moneda al aire 3 veces. Ω = {(C, C, C), (C, C, +),..., (+, +, +)}. 1. Vectores aleatorios X número de caras obtenidas al lanzar 3 monedas. Y máximo número de caras seguidas obtenidas. Valores que toma el vector (X, Y ) (X, Y ) : Ω R R (X, Y ) : Ω R R (C, C, C) (3, 3) (+, +, +) (, ) (C, C, +) (2, 2) (C, +, +) (1, 1) (+, C, C) (2, 2) (+, C, +) (1, 1) (C, +, C) (2, 1) (+, +, C) (1, 1) (X, Y ) toma los valores {(, ), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}. Para calcular la distribución de probabilidad de (X, Y ) tenemos que calcular la probabilidad de que (X, Y ) tome estos 5 valores. Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 8

X número de caras al lanzar 3 monedas. 1. Vectores aleatorios Y máximo número de caras seguidas al lanzar 3 monedas. P (X,Y ) ({(, )}) = P(X =, Y = ) = P({ω Ω : X (ω) =, Y (ω) = }) = P({(+, +, +)}) =. P (X,Y ) ({(1, 1)}) = P(X = 1, Y = 1) = P({ω Ω : X (ω) = 1, Y (ω) = 1}) = P({(C, +, +), (+, C, +), (+, +, C)}) = 3/8. P (X,Y ) ({(2, 1)}) = P(X = 2, Y = 1) = P({ω Ω : X (ω) = 2, Y (ω) = 1}) = P({(C, +, C)}) =. P (X,Y ) ({(2, 2)}) = P(X = 2, Y = 2) = P({ω Ω : X (ω) = 2, Y (ω) = 2}) = P({(C, C, +), (+, C, C)}) = 2/8. P (X,Y ) ({(3, 3)}) = P(X = 3, Y = 3) = P({ω Ω : X (ω) = 3, Y (ω) = 3}) = P({(C, C, C)}) =. El vector (X, Y ) toma los valores (, ), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3) con probabilidades respectivas, 3/8,, 2/8 y. Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 9

4.1. Vectores aleatorios 4.1. Vectores aleatorios 1. Vectores aleatorios X número de caras al lanzar 3 monedas. Y máximo número de caras seguidas al lanzar 3 monedas. El vector (X, Y ) toma los valores (, ), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3) con probabilidades respectivas, 3/8,, 2/8 y. 3 X\Y X\Y 1 12 23 3 2 3/8 1 2/8 3/8 2/8 1 1 3/8 3/8 2 2 2/8 2/8 1 2 3 1 2 3 3 3 Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 1 1

4.1. Vectores aleatorios 4.1. Vectores aleatorios 1. Vectores aleatorios X número de caras al lanzar 3 monedas. Y máximo número de caras seguidas al lanzar 3 monedas. El vector (X, Y ) toma los valores (, ), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3) con probabilidades respectivas, 3/8,, 2/8 y. 3 X\Y X\Y 1 12 23 3 2 3/8 1 2/8 3/8 2/8 1 1 3/8 3/8 2 2 2/8 2/8 1 2 3 1 2 3 3 3 Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 11 1

4.1. Vectores aleatorios 1. Vectores aleatorios X número de caras al lanzar 3 monedas. Y máximo número de caras seguidas al lanzar 3 monedas. Distribución marginal de X 3/8 3/8 1 2 3 3/8 3/8 1 2 3 Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 12 18

1. Vectores aleatorios X número de caras al lanzar 3 monedas. Y máximo número de caras seguidas al lanzar 3 monedas. Distribución marginal de Y Y : Ω R Y : Ω R (C, C, C) 3 (+, +, +) (C, C, +) 2 (C, +, +) 1 (+, C, C) 2 (+, C, +) 1 (C, +, C) 1 (+, +, C) 1 La variable aleatoria Y toma los valores,1,2 y 3 con probabilidades respectivas, 4/8, 2/8 y. Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 13

4.1. Vectores aleatorios 1. Vectores aleatorios X número de caras al lanzar 3 monedas. Y máximo número de caras seguidas al lanzar 3 monedas. Distribución marginal de Y 4/8 2/8 1 2 3 4/8 2/8 1 2 3 21 Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 14

4.1. Vectores aleatorios 1. Vectores aleatorios X número de caras al lanzar 3 monedas. Y máximo número de caras seguidas al lanzar 3 monedas. Distribución conjunta y marginales de (X, Y ) 3 2 2/8 3 2, 2/8 X\Y 1 2 3 X 1 4/8 1 3/8 1 3/8 4/8 1 2 3 3/8 3/8 2 2/8 2/8 3 Y 3/8 3/8 1 1 2 3 Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 2215

1. Vectores aleatorios Observación: A R, {X 1 A} = {X A R R}. Luego, P(X 1 A) = P(X A R R). Idea física: n = 2, P(X A) = P((X, Y ) A R) R 2 R 2 A x R A Relación entre la distribución conjunta y las marginales: La masa que la variable aleatoria X concentra en A es la masa que el vector aleatorio (X, Y ) concentra en A R. Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 16

P(A) 2. Función de distribución conjunta Dado x = (x 1,..., x d ) R d, la región suroeste generada por x es S x = (, x 1 ] (, x d ]. Región suroeste de (x,y) (x,y) Sea X = (X 1,..., X d ) : (Ω, F, P) R d vector aleatorio. Se llama función de distribución de X o función de distribución conjunta de las X i -s a la función F X : R d R tal que F X (x) = P(X S x ) = P(X 1 x 1,..., X d x d ). Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 17

2. Función de distribución conjunta Sea X = (X 1,..., X k ) : (Ω, F, P) R d vector aleatorio. Se llama función de distribución de X o función de distribución conjunta de las X i -s a la función F X : R d R tal que F X (x) = P(X S x ) = P(X 1 x 1,..., X d x d ). Teorema: Propiedades básicas de la función de distribución Sea X vector aleatorio y F su función de distribución. 1 F es no decreciente (en R d ). 2 F es continua por la derecha en cada variable. 3 ĺım xi F (x 1,..., x d ) = (i = 1,..., d); ĺım x1,...,x d + F (x 1,..., x d ) = 1. Pregunta: Qué significa que una función sea monótona (no decreciente) en R d? Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 18

Funciones monótonas (no decrecientes) en R d Notación: Si G : R k R y u v, i (u, v) = G(x 1,..., x i 1, v, x i+1,..., x k ) G(x 1,..., x i 1, u, x i+1,..., x k ). En d = 1, para a b, (a, b)f (x) = F (b) F (a). En d = 2, para a 1 b 1 y a 2 b 2, se pide que 1 (a 1, b 1 ) 2 (a 2, b 2 )F (x, y) = 1 (a 1, b 1 )(F (x, b 2 ) F (x, a 2 )) = F (b 1, b 2 ) F (b 1, a 2 ) F (a 1, b 2 ) + F (a 1, a 2 ). b 2 a 2 a b 1 1 En general, se pide que, para a i b i (i = 1,..., d) 1 (a 1, b 1 ) 2 (a 2, b 2 ) d (a d, b d )F (x 1,, x k ). Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 19

2. Función de distribución conjunta Sea X = (X 1,..., X k ) : (Ω, F, P) R d vector aleatorio. F X (x) = P(X S x ) = P(X 1 x 1,..., X d x d ). Teorema: Propiedades básicas de la función de distribución Sea X vector aleatorio y F su función de distribución. 1 F es no decreciente (en R d ). 2 F es continua por la derecha en cada variable. 3 ĺım xi F (x 1,..., x d ) = (i = 1,..., d); ĺım x1,...,x d + F (x 1,..., x d ) = 1. Teorema de unicidad Sea F : R d R verificando ❶, ❷ y ❸ de arriba, entonces, existe X : (Ω, F, P) R d vector aleatorio tal que F = F X. Además, el vector X es único en distribución (es decir, la f.d. caracteriza la distribución de probabilidad de un v.a. de forma biunívoca). Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 2

2. Función de distribución conjunta Sea X = (X 1,..., X k ) : (Ω, F, P) R d vector aleatorio. Se llama función de distribución de X o función de distribución conjunta de las X i -s a la función F X : R d R tal que F X (x) = P(X S x ) = P(X 1 x 1,..., X d x d ). Cada una de las variables marginales, X 1,..., X d, tiene una función de distribución (unidimensional): F Xi (x i ) = P(X i x i ), i = 1,..., d. Las funciones F 1,..., F d se llaman las funciones de distribución marginales de las variables X 1,..., X d. Pregunta: Cuál es la relación entre F X y F X1,..., F Xd? F Xi (x i ) = ĺım F X(x 1,..., x d ). x 1,...,x i 1,x i+1,...x d Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 21

3. Vectores discretos Un vector aleatorio X : (Ω, F, P) R d se dice que tiene distribución discreta si existe un conjunto S R d contable (finito o numerable) tal que P(X S) = 1 (P(X S c ) = ). Es decir, X concentra su masa en S. El conjunto S se llama soporte de la distribución (de X). Nota: X vector discreto con soporte S R d, entonces P(X B) = P(X = s), B R d. s S B En otras palabras, sólo nos interesa conocer cómo es la distribución de X en un conjunto finito o infinito numerable S. Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 22 25

4.3. Vectores discretos 3. Vectores discretos Sea X : (Ω, F, P) R d un vector con distribución discreta y soporte S. La función: p X : R d R x p X (x) = P(X = x) se denomina función (de masa de) probabilidad conjunta de X. Notación: Cuando no haya confusión denotaremos por p (en lugar de p X ) la función de probabilidad del vector X.,, Si X es un vector discreto con función de probabilidad p, tenemos: p(x) =, si x S c y x S p(x) = 1. P(X B) = x B S p(x) (suma finita o serie abs. conv.). Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 23 26

3. Vectores discretos Un vector aleatorio X : (Ω, F, P) R d se dice vector aleatorio discreto si existe un conjunto S R d contable tal que P(X S) = 1 (P(X S c ) = ). El conjunto S se llama soporte de la distribución (de X). Teorema: Vectores discretos Sea X = (X 1,..., X d ) : (Ω, F, P) R d vector aleatorio. X vector discreto X 1,..., X d variables discretas. Si X = (X 1,..., X d ) vector discreto, las funciones de probabilidad de X 1,..., X d, p X1,..., p Xd, se denominan funciones (de masa) de probabilidad marginales. Pregunta: Qué relación hay entre p X y p X1,..., p Xd? p Xi (x i ) = p X ((x j1,..., x ji 1, x i, x ji+1,..., x jd )). j 1,...,j i 1,j i+1,...,j d Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 24

4. Vectores continuos Una función f : R d R se llama función de densidad (de probabilidad) conjunta sobre R d si cumple: (a) f (x), para todo x R d. (b) f es integrable (Riemman). (c) + + f (t 1,..., t d ) dt 1 dt d = 1. Un vector aleatorio X = (X 1,..., X d ) con función de distribución F se dice que es (absolutamente) continuo si existe una función de densidad sobre R d, f, tal que para todo x = (x 1,..., x d ) R d x1 xd F (x 1,..., x d ) = f = f (t 1,..., t d ) dt d dt 1. ( ) S x De ( ), y usando el teorema fundamental del cálculo, se tiene que en cada punto de continuidad (x 1,..., x d ) de f d F (x 1,..., x d ) x 1 x d = f (x 1,..., x d ). Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 25

4. Vectores continuos Cálculo de probabilidades con vectores continuos Si X = (X 1,..., X d ) es un vector continuo con densidad f y A R d un conjunto regular para la integración, entonces P(X A) = f (x 1,..., x d )dx 1 dx d. Teorema: Vectores continuos A Si X = (X 1,..., X d ) es un vector aleatorio continuo, entonces X 1,..., X d son variables continuas. Además, si X tiene densidad f, la densidad de la variable marginal X i (i = 1,..., d) es f i (x i ) = f (x 1,..., x d ) dx 1 dx i 1 dx i+1 dx d. f i se llama función de densidad marginal de X i (i = 1,..., d). Atención: El recíproco del resultado anterior no es cierto. Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 26

Teorema: Vectores continuos 4. Vectores continuos Si X = (X 1,..., X d ) es un vector aleatorio continuo, entonces X 1,..., X d son variables continuas. Además, si X tiene densidad f, la densidad de la variable marginal X i (i = 1,..., d) es f i (x i ) = f (x 1,..., x d ) dx 1 dx i 1 dx i+1 dx d. f i se llama función de densidad marginal de X i (i = 1,..., d). Ejercicio: Si X = (X, Y ) vector aleatorio bidimensional con densidad conjunta f (x, y). Las densidades de X e Y son: f 1 (x) = f 2 (y) = Observación: Puede ocurrir que X 1,..., X d variables aleatorias con densidad (es decir, cada una de ellas es absolutamente continua) y que el vector X = (X 1,..., X d ) no tenga densidad. Ejemplo: Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 27

5. Ejemplos de distribuciones discretas multidimensionales 1 Producto de binomiales (n 1, n 2 N, p 1, p 2 (, 1)) ( ) ( ) n1 P(X = k, Y = l) = p1 k (1 p 1 ) n n2 1 k p l k l 2(1 p 2 ) n2 l. El soporte es S = {, 1,..., n 1 } {, 1,..., n 2 }. Las marginales son X B(n 1, p 1 ) e Y B(n 2, p 2 ). B(1,,5) B(1,,5) B(1,,2) B(1,,8).6.8.4.2 1.6.4.2 1. 5. 5 5 5 1 1 Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 28

5. Ejemplos de distribuciones discretas multidimensionales 2 Producto de Poisson de parámetros λ, µ > λ λk µl e µ P(X = k, Y = l) = e, k, l =, 1,... k! l! El soporte es S = {, 1,... } {, 1,... }. Las marginales son X P(λ) e Y P(µ). P(2) P(2).6.4.2 6. 4 2 4 2 6 Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 29

5. Ejemplos de distribuciones discretas multidimensionales 3 Trinomial (n N, p 1, p 2 (, 1) con p 1 + p 2 1) ( )( ) n n k P(X = k, Y = l) = p1 k p l k l 2(1 p 1 p 2 ) n k l n! = k!l!(n k l)! pk 1 p2(1 l p 1 p 2 ) n k l. El soporte S = {(k, l) : k, l =, 1,..., n y k + l n}. Las marginales son X B(n, p 1 ) e Y B(n, p 2 ). B(1,,2,,5).8.6.4.2. 6 8 2 4 4 6 2 Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 3

6. Ejemplos de distribuciones continuas multidimensionales Teorema: Producto de densidades univariadas Sean f, g funciones de densidad sobre R. La funcio n h(x, y ) = f (x)g (y ), (x, y ) R2 es una densidad en R2 cuyas densidades marginales son f y g. 1 Uniforme en el recta ngulo (a, b) (c, d) 1 f (x, y ) = 1 (x, y ). (b a)(c d) (a,b) (c,d) 2. 1.5 1. 1..5..5..5. 1. Javier Ca rcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 31

6. Ejemplos de distribuciones continuas multidimensionales 2 Producto de exponenciales de para metros λ, µ > ( λµe (λx+µy ), si x, y >, f (x, y ) =, en otro caso. 1. 2..5 1.5.. 1..5.5 1. 1.5 2. Javier Ca rcamo. PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 32

6. Ejemplos de distribuciones continuas multidimensionales 3 Uniforme en el cı rculo unidad ( 1/π, si x 2 + y 2 < 1, f (x, y ) =, en otro caso. 1 1 Π 1 Ejercicio: Calcula las densidades marginales, f1 (x) y f2 (y ). Javier Ca rcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 33

6. Ejemplos de distribuciones continuas multidimensionales 4 (X, Y ) con densidad: ( xe x(y +1), si x, y >, f (x, y ) =, en otro caso. 1 2 3 4.3.2.1 4. 3 2 1 Ejercicio: Calcula las densidades marginales, f1 (x) y f2 (y ). Javier Ca rcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 34

6. Ejemplos de distribuciones continuas multidimensionales 5 Normal multivariante: El vector aleatorio X es normal (d-dimensional) con parámetros µ y Σ (notación: X N(µ, Σ)) si tiene densidad dada por: { f (x) = Σ 1/2 (2π) d/2 exp 1 } 2 (x µ) Σ 1 (x µ). µ = µ 1 µ 2. µ d, Σ = σ 11 σ 12 σ 1d σ 21 σ 22 σ 2d...... σ d1 σ p2 σ dd. Nota: Se puede comprobar que las variables marginales también son normales. De hecho, X i N(µ i, σ ii ). Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 35

6. Ejemplos de distribuciones continuas multidimensionales Ejemplos de densidades normales en dimensio n 2 1 µ, Σ ) con µ = (, ) y Σ = Densidad de X N(µ. 1 2.15.1 2.5. -2-2 -2 2 Javier Ca rcamo..5.1.15-2 PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 2 36

6. Ejemplos de distribuciones continuas multidimensionales Ejemplos de densidades normales en dimensión 2 Densidad de X N(µ, Σ) con µ = (, ) y Σ = ( 1,8,8 1 )...1.2 2.2.1 2. 2 2 2 2 2 2 Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 37

6. Ejemplos de distribuciones continuas multidimensionales Nota: En dimensión 2, la densidad de la normal (bivariante) se suele expresar también como 1 f (x, y) = 2πσ 1 σ 2 1 ρ 2 [ ( ( ) 1 x 2 ( ) ( µ1 x µ1 y µ2 exp 2(1 ρ 2 2ρ ) σ 1 σ 1 σ 2 [ ] 1 = 2πσ 1 σ exp 1 2 1 ρ 2 2(1 ρ 2 Q(x, y), ) donde Q es la forma cuadrática ) + ( ) )] y 2 µ2 σ 2 Q(x, y) = 1 ( x µ1 1 ρ 2, y µ ) ( 2 1 ρ σ 1 σ 2 ρ 1 ) ( x µ 1 σ 1 y µ 2 σ 2 ). Los parámetros del vector son µ 1, µ 2 R, σ 1, σ 2 > y ρ ( 1, 1). Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 38

7. Distribuciones condicionadas CASO DISCRETO: Sea (X, Y ) un vector discreto y x R un valor fijo con P(X = x ) >. La variable Y condicionada a X = x, Y X = x, es la variable con distribución de probabilidad p Y X =x (y) = P(Y = y X = x ) = P(X = x, Y = y), y R. P(X = x ) De forma análoga se define X Y = y, para aquellos y tales que P(Y = y ) >. CASO CONTINUO: Sea (X, Y ) un vector aleatorio continuo con densidad conjunta f y x R un valor fijo con f 1 (x ) >. La variable Y condicionada a X = x, Y X = x, es la variable con densidad de probabilidad dada por f Y X =x (y) = f (x, y) f 1 (x ), y R. De forma análoga se define la densidad de X Y = y, para aquellos y tales que f 2 (y ) >. Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 39

7. Distribuciones condicionadas µ, Σ ) con µ = Ejemplo: X = (X, Y ) N(µ (, ) yσ= 1 1. La densidad de Y X = 1 es tambie n normal N(, 1)..15.1 2.5. -2-2 x=1 2 Javier Ca rcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 4

7. Distribuciones condicionadas Ejercicio: (X, Y ) vector aleatorio con densidad conjunta { xe x(y+1), si x, y >, f (x, y) =, en otro caso. (a) Para a >, calcula la densidad de la variable condicionada Y X = a. (b) Para a >, calcula la densidad de la variable condicionada X Y = a. Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 41

8. Variables aleatorias independientes CASO DISCRETO: Dado un vector aleatorio discreto X = (X 1,..., X d ), se dice que las variables X 1,..., X d son independientes si para cualesquiera x 1,..., x d R, P(X 1 = x 1,..., X d = x d ) = P(X 1 = x 1 ) P(X d = x d ). Es decir, la función de probabilidad conjunta de X es el producto de las funciones de probabilidad marginales. Observación: Si X 1,..., X d son independientes, entonces para todo x 1,..., x d R, los d sucesos {X 1 = x 1 },..., {X d = x d } son (mutuamente) independientes. Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 42

8. Variables aleatorias independientes CASO CONTINUO: Dado un vector aleatorio continuo X = (X 1,..., X d ) con densidad conjunta f, se dice que las variables X 1,..., X d son independientes si para cualesquiera x 1,..., x d R, f (x 1,..., x d ) = f 1 (x 1 ) f d (x d ). Es decir, la función de densidad conjunta de X es el producto de las funciones de densidad marginales. Teorema: Caracterización mediante funciones de distribución Sea X = (X 1,..., X d ) un vector (discreto o continuo) con función de distribución conjunta F y marginales F 1,..., F d. X 1,..., X d independientes F (x 1,..., x d ) = F 1 (x 1 ) F d (x d ). (La función de distribución conjunta es el producto de las funciones de distribución marginales.) Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 43

9. Distribución de la suma de variables Distribución de la suma de variables: Dado un vector X = (X 1,..., X d ) con distribución de probabilidad conocida, P X, queremos calcular la distribución de la suma S = X 1 + + X d, P S. Sea (X, Y ) un vector con densidad h(x, y). La densidad de la variable S = X + Y es g 1 (u) = h(u v, v) dv. En particular, si X, Y son independientes con densidades f 1 (x) y f 2 (y), entonces la densidad de X + Y es g 1 (u) = (f 1 f 2 es la convolución de f 1 con f 2.) f 1 (u v)f 2 (v) dv = f 1 f 2 (u). Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 44

9. Transformaciones de vectores aleatorios Aplicación: Suma de variables normales independientes (a) Sean X N(, σ), Y N(, τ) independientes. Mostrar que X + Y N (, ) σ 2 + τ 2. (b) Sean X N(a, σ), Y N(b, τ) independientes. Mostrar que X + Y N (a + b, ) σ 2 + τ 2. (c) Sean X 1,..., X n variables independientes con X i N(µ i, σ i ) (i = 1,..., n). Mostrar que ( ) X 1 + + X n N µ 1 + + µ n, σ1 2 + + σ2 n. (d) Sean X 1,..., X n variables independientes con X i N(µ i, σ i ) (i = 1,..., n) y a 1,..., a n constantes. Mostrar que ( X 1 + +X n N a 1 µ 1 + + a n µ n, a 2 1 σ2 1 + + a2 nσ 2 n ). Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 45

9. Transformaciones de vectores aleatorios Caso discreto Ejemplo 1: Sean X B(n 1, p), Y B(n 2, p) independientes. Mostrar que X + Y B(n 1 + n 2, p). En general, si X i B(n i, p) (i = 1,..., k) independientes, entonces X 1 + + X k B(n 1 + + n k, p). Ejemplo 2: Sean X P(λ), Y P(µ) independientes. Mostrar que X + Y P(λ + µ). En general, si X i P(λ i ) (i = 1,..., n) independientes, entonces X 1 + + X n P(λ 1 + + λ n ). Javier Cárcamo PREST. Tema 4: Vectores aleatorios 46