Mecánica de Sólidos UDA 4: Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Vigas
Generalidades: FLEXIÓN Y ESFUERZO Ocurre flexión cuando un elemento de sección constante y simétrica respecto al plano donde ocurre dicha flexión, se somete a momentos flectores, M, (o a cargas transversales). La figura muestra un elemento, denominado viga, de sección rectangular sometido a flexión. Cuando la viga está sometida a momentos flectores, sin cargas transversales, ocurre flexión pura. 2
FLEXIÓN Y ESFUERZO El elemento sometido a flexión se curva, de tal manera que algunos puntos se alargan quedando sometidos a esfuerzos de tracción. 3
FLEXIÓN Y ESFUERZO Algunos se acortan quedando a compresión, y otros no se deforman ni soportan esfuerzo. 4
FLEXIÓN Y ESFUERZO El plano neutro que es aquel que contiene los puntos de la viga que no sufren deformación ni esfuerzo. El plano neutro es perpendicular al plano donde ocurre la flexión, paralelo a la dirección axial de la viga, y pasa por el centroide de la sección. Los estados de esfuerzo de los puntos más alejados del eje neutro son iguales a los producidos en carga axial. 5
FLEXIÓN Y ESFUERZO Como se dijo, en flexión se producen esfuerzos normales, de tracción y de compresión, distribuidos linealmente. Los puntos en el plano neutro no soportan esfuerzo, y el esfuerzo en un punto cualquiera es directamente proporcional a la distancia de dicho punto al plano neutro. De acuerdo con esto, los esfuerzos máximos, de tracción y de compresión, ocurren en los puntos más alejados del plano (o eje) neutro, y están dados por: donde St y Sc son los esfuerzos máximos de tracción y de compresión, ct y cc son las distancias desde el plano neutro hasta los puntos extremos, M es el momento flector en la sección a analizar, e I es el momento rectangular de inercia de la sección. 6
FLEXIÓN Y ESFUERZO La ecuación anterior es válida si la sección es simétrica respecto al plano donde ocurre la flexión. Si la sección es simétrica respecto al eje neutro, es decir, la sección es doblemente simétrica, el esfuerzo se puede expresar como: donde S es el esfuerzo en el punto extremo superior o inferior. El signo + indica que el esfuerzo es de tracción y el signo indica que es de compresión, c es la distancia desde el plano neutro hasta los puntos extremos y Z = I/c es el módulo de la sección. Secciones transversales típicas de vigas. Las secciones (a), (b) y (c) son doblemente simétricas. Las secciones (d) y (e) son simétricas sólo respecto al plano vertical (donde ocurre la flexión) 7
Consideraciones: FLEXIÓN Y ESFUERZO Si existen cargas transversales sobre la viga, aparecen también esfuerzos cortantes, los cuales son más pequeños que los esfuerzos normales si la viga es larga (esbelta). Una viga se considera larga si su longitud es 10 ó más veces la mayor dimensión de la sección. Es importante tener claro que en los puntos de mayores esfuerzos normales (puntos extremos) el esfuerzo cortante es igual a cero; por lo tanto, los puntos de análisis están sometidos sólo a esfuerzo normal; es decir, no se desprecia el esfuerzo cortante en la viga, simplemente se omite el análisis de puntos diferentes a los puntos de mayores esfuerzos normales. Si la viga es corta o es de madera (la resistencia de la madera al esfuerzo cortante puede ser pequeña en la dirección de las fibras), es necesario revisar la viga a los esfuerzos cortantes. 8
FLEXIÓN Y ESFUERZO Las ecuaciones para flexión son válidas bajo las siguientes condiciones: 1. La viga es recta en dirección longitudinal (sin carga). 2. El punto a analizar no está situado en la proximidad del punto de aplicación de una fuerza, o de una discontinuidad de la sección. 3. El esfuerzo calculado en la superficie es válido si ésta es lisa. 4. La sección de la viga es simétrica con respecto al plano de aplicación de las cargas. 5. Las alas, si las hay, no están pandeadas. 6. La carga es estática. 7. El material es homogéneo. 8. La viga no está retorcida. 9. El material no tiene tensiones residuales. 10. El esfuerzo cortante (vertical) es despreciable comparado con el esfuerzo de flexión. 11. No hay componente longitudinal de las fuerzas sobre la viga. 12. El esfuerzo permanece proporcional a la deformación (Ley de Hooke), es decir, el esfuerzo no sobrepasa el valor del límite de proporcionalidad. 9
Diagramas de fuerza cortante y momento flector Los diagramas de fuerza cortante y momento flector de una viga son aquellos en los cuales se puede determinar la fuerza cortante interna, V, y el momento flector interno, M, en las diferentes secciones de la viga. Entonces, de estos diagramas se determinan las secciones de mayores momentos flectores y mayores fuerzas cortantes. 10
Ejemplo #1: Diagramas de fuerza cortante y momento flector La viga larga simplemente apoyada, tiene una sección rectangular constante de 5 cm de ancho por 15 cm de alto, y está sometida a las cargas mostradas. Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flector de la viga, determinar los puntos de mayores esfuerzos y los valores de dichos esfuerzos. 11
Ejemplo #1: Diagramas de fuerza cortante y momento flector Solución: Para trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flector se deben determinar las reacciones en los apoyos, para lo cual se hace el diagrama de cuerpo libre y se plantean las ecuaciones de equilibrio. Después de trazar el diagrama de momento flector se identifica la sección con mayor momento y se calculan los esfuerzos máximos, a tracción y a compresión; como la viga es larga, los esfuerzos cortantes no se analizan. 12
Ejemplo #1: Diagrama de cuerpo libre 13
Ejemplo #1: Diagrama de fuerza cortante En la sección A hay una carga concentrada hacia arriba, RAy, igual a 19.29 kn; en el diagrama se dibuja una flecha vertical hacia arriba que representa esta fuerza. Entre la sección A y la B hay una carga distribuida uniforme, ωab = 10 kn/m, que aporta una carga hacia abajo de 15 kn ya que actúa sobre 1.5 m de la viga; para una carga distribuida uniforme se dibuja en el diagrama una línea recta inclinada, la cual parte de la cabeza de la flecha en A y llega en B a un valor de 19.29 kn 15 kn = 4.29 kn, 14 como se ilustra en la figura.
Ejemplo #1: Diagrama de fuerza cortante Entre las secciones B y C no hay carga transversal; por lo tanto, la fuerza cortante es constante, y se dibuja una línea horizontal hasta C a partir del punto inferior de la línea inclinada. En la sección C se encuentra una fuerza concentrada hacia abajo, FC = 12 kn, entonces, se dibuja una flecha hacia abajo que representa esta fuerza, hasta alcanzar un valor de V igual a 4.29 kn 12 kn = 7.71 kn. Entre las secciones C y E no hay fuerza transversal; por lo tanto, se dibuja una línea horizontal hasta E desde la cabeza de la última flecha. Finalmente, en E se dibuja una flecha vertical hacia arriba, que corresponde a la reacción REy = 7.71 kn; el diagrama cierra en la línea correspondiente a V = 0, indicando que existe equilibrio de fuerzas verticales. 15
Ejemplo #1: Diagrama de Momento Flector El diagrama de momento flector de la viga, se basa en las áreas del diagrama de fuerza cortante y en los momentos flectores concentrados en la viga; como no hay momento flector concentrado en A, la curva del diagrama parte desde el origen. Cuando en el diagrama de fuerza cortante se tenga: (i) una línea horizontal, en el de momento flector se tiene una línea recta inclinada; (ii) una línea inclinada, en el diagrama de momento se tiene una parábola, (iii) una parábola, en el de momento se tiene una curva cúbica, y así sucesivamente. 16
Ejemplo #1: Diagrama de Momento Flector En el diagrama de fuerza cortante se tiene: entre A y B una línea inclinada, y entre B y E líneas horizontales, lo que significa que en el diagrama de momento se tendrá una parábola, entre A y B, y rectas inclinadas entre B y E. Las áreas en el diagrama de fuerza cortante y los momentos concentrados nos indican hasta donde van las diferentes líneas. Entre A y B, tenemos un área igual a [(19.29 kn + 4.29 kn)/2] (1.5 m) = 17.69 kn-m; entonces, en el diagrama de momento se traza una parábola, desde el origen, hasta un punto directamente sobre B que equivale a 17.69 kn-m. Ya que V es la pendiente del momento flector, para trazar la parábola debe recordarse que a menor valor de V, menor es la pendiente de aquella. 17
Ejemplo #1: Diagrama de Momento Flector Entre B y C se traza una recta desde el último punto hasta alcanzar un valor directamente sobre C igual al valor anterior (17.69 kn-m) más el área entre B y C en el diagrama de fuerza cortante (4.29 kn 1 m): (17.69 + 4.29) kn-m = 21.98 kn-m. Entre C y D se traza una recta hasta alcanzar en D el valor obtenido al sumar el último valor (21.98 kn) y el área correspondiente ( 7.71 kn 2 m), lo que da 6.56 kn-m. En D hay un momento concentrado de 5 kn-m en sentido horario. Los momentos concentrados en sentido horario se toman positivos (y los antihorarios negativos), se traza en D una línea vertical hacia arriba hasta alcanzar un valor de 6.56 kn-m + 5 kn-m = 11.56 kn-m. 18
Ejemplo #1: Diagrama de Momento Flector Finalmente, entre D y E se traza una recta hasta alcanzar en E un valor igual a 11.56 kn-m + ( 7.71)(1.5 m) = 0. El diagrama cierra en M = 0, lo cual indica que existe equilibrio de momentos en el plano x-y. 19
Ejemplo #1: Esfuerzos máximos Como se dijo al comienzo de la solución del ejemplo, sólo se analizarán los esfuerzos normales, ya que los cortantes son muy pequeños en la viga larga. Los esfuerzos normales en los puntos más alejados del eje neutro de una viga doblemente simétrica están dados por la ecuación 2.10. Como Z = I/c es constante en toda la viga, los esfuerzos máximos ocurren en la sección de mayor momento, es decir, en la C: M = MC = 21.98 kn-m. La sección de la viga tiene un momento de inercia I = (1/12)(0.05 m)(0.15 m)3 = 1.406 10 5 m4, el valor de c es de (0.15 m)/2 = 0.075 m; entonces, Z = (1.406 10 5 m4)/(0.075 m) = 1.875 10 4 m3. Reemplazando M y Z en la ecuación se obtiene: 19