DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT

Transcripción

1 Práctica 3 Acciones interiores y flexión de vigas 3.1. Objetivos conceptuales Determinar el valor del momento flector y del esfuerzo cortante en una sección de una viga biapoyada sometida a una carga puntual. Comprobar experimentalmente de qué magnitudes físicas depende la flecha máxima de una viga recta biapoyada sometida a una carga puntual en su centro Conceptos básicos En un sólido rígido en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas externas se originan fuerzas internas que lo mantienen íntegro e indeformado frente las fuerzas externas aplicadas. Si seccionamos mentalmente el sólido en dos partes mediante un plano, dando lugar a la sección S, cada uno de los fragmentos en que lo hemos dividido estará a su vez en equilibrio (véase figura 3.1). Llamamos acciones interiores sobre la sección S aunsistema fuerza-par equivalente al sistema de fuerzas internas que una de las partes ejerce sobre la otra a través de S. Sobre cada parte actúan las fuerzas externas directamente aplicadas sobre él y las acciones interiores ejercidas por el otro fragmento. Por tanto, las acciones interiores son equivalentes, salvo signo, al sistema de fuerzas externas que actúa directamente sobre uno de los fragmentos en que S divide al sólido. Una viga es un sólido homogéneo e isótropo engendrado por una sección plana S, que generalmente admite un plano de simetría, y cuyo centroide 1

2 PRÁCTICA 3. ACCIONES INTERIORES Y FLEXIÓN DE VIGAS 2 Figura 3.1: El sistema fuerza-par formado por R S y M S constituye las acciones interiores sobre la sección S. describe una curva denominada directriz, de modo que el plano que contiene a S es normal en cada punto a dicha directriz. Una viga se dice plana cuando su directriz es una curva plana, y recta cuando su directriz es una recta. Consideremos una viga recta en equilibrio sometida a un sistema de fuerzas exteriores perpendiculares a su línea directriz y contenidas en un plano que contiene a dicha línea. Las acciones interiores sobre una sección transversal de la viga se reducen en el centroide de la sección a una fuerza paralela a dicha sección, que denominamos esfuerzo cortante Q, y a un par cuyo momento es también paralelo a la sección, que denominamos momento flector M f (véase figura 3.2). El esfuerzo cortante es numéricamente igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre uno de los dos fragmentos en que la sección S divide a la viga. Debe contrarrestar la acción de estas fuerzas, que tienden a deslizar uno de los fragmentos respecto al otro y provocar el corte o cizalladura. Por convenio, el esfuerzo cortante se considera positivo cuando las fuerzas externas tienden a hacer ascender el fragmento de la viga a la izquierda de S respecto al de la derecha, y negativo en caso contrario (véase figura 3.3). El momento flector es numéricamente igual al momento de las fuerzas externas que actúan sobre uno de los dos fragmentos en que la sección S divide a la vi-

3 PRÁCTICA 3. ACCIONES INTERIORES Y FLEXIÓN DE VIGAS 3 Figura 3.2: Momento flector y esfuerzo cortante sobre una sección de una viga sometida a fuerzas perpendiculares a su línea directriz. Figura 3.3: Distribución de fuerzas externas que dan lugar a un esfuerzo cortante positivo (izquierda) y distribución de momentos que dan lugar a un momento flector positivo (derecha) en la sección indicada mediante la línea discontinua, según el convenio de signos empleado habitualmente. ga, calculado respecto del centroide de S. Debe contrarrestar al momento de las fuerzas externas, que tienden a curvar la viga. Por convenio, el momento flector se considera positivo cuando las fuerzas externas tienden a curvar la viga de modo que presente la concavidad hacia la parte superior (forma de U), y negativo en caso contrario (véase figura 3.3). Supongamos ahora una viga recta deformable, sometida también a un sistema de fuerzas exteriores perpendiculares a su línea directriz y contenidas todas ellas en un plano que contiene a la directriz. Estas fuerzas producen una deformación distinta para cada sección de la viga, dando lugar a un cambio de posición de la directriz, con respecto a su posición inicial (sin carga). La curva que adopta la directriz se denomina elástica, y se muestra exageradamente

4 PRÁCTICA 3. ACCIONES INTERIORES Y FLEXIÓN DE VIGAS 4 f max Figura 3.4: Elástica (línea discontinua) y flecha máxima f max de una viga biapoyada. L es la luz de la viga. en la figura 3.4. Se llama flecha a la distancia que hay entre un punto de la elástica antes de aplicarse la carga y ese mismo punto tras aplicarse la carga. En el caso de una viga recta horizontal biapoyada, con una carga puntual normalalavigaaplicadaenunpuntomedio entre apoyos, puede demostrarse que el valor máximo de la flecha, o flecha máxima, se sitúa en el punto de aplicación de la carga, y que su valor es 1 donde: L P es el módulo del peso de la carga aplicada, P f max = PL3 48 EI, (3.1) L es la luz de la viga (la distancia entre los apoyos de la viga), E es el módulo de Young característico del material con el que está fabricada la viga. En el SI el módulo de Young se mide en newtons por metro cuadrado (N/m 2 ) o, lo que es lo mismo, en pascales (Pa). I es el momento de inercia de área o momento de área de segundo orden de la sección de la viga respecto a un eje que pasa por el centroide de la sección y es perpendicular a dirección de carga y a la directriz.en el SI, I se mide en m 4. No debe confundirse con el momento de inercia de masa que, en el SI, se mide en kg m 2. 1 Puede verse, por ejemplo, en F. Belmar, A. Garmendia, y J. Linares, Curso de física aplicada. Estática, Universidad Politécnica de Valencia, 1987, pp

5 PRÁCTICA 3. ACCIONES INTERIORES Y FLEXIÓN DE VIGAS 5 Figura 3.5: Montaje experimental que se emplea en la primera parte de la práctica Descripción de los montajes experimentales En esta práctica dispondremos de dos montajes distintos. El primer montaje, que se muestra en la figura 3.5, está constituido por los elementos que se relacionan a continuación: Un modelo de viga biapoyada, dividida en dos fragmentos. Dos apoyos simples montados sobre una guía horizontal. Dos dinamómetros con un sistema regulable de fijación a los fragmentos de la viga. Dos soportes para pesas y un juego de pesas. Un nivel de burbuja. El segundo montaje, que se muestra en la figura 3.6, consta de los elementos siguientes: Dos vigas a escala: una de alumninio, de sección rectangular; y otra de plástico (ABS 2 ), de sección en forma de I (perfil IPN). 2 ABS es el acrónimo internacional de acrilonitrilo butadieno estireno, que es un plástico resistente al impacto, muy utilizado en automoción y con otros usos industriales.

6 PRÁCTICA 3. ACCIONES INTERIORES Y FLEXIÓN DE VIGAS 6 Figura 3.6: Montaje experimental que se emplea en la segunda parte de la práctica. Dosapoyossimples. Un reloj medidor de longitudes de deformación (flechas) dotado de un imán. Una estructura metálica amarilla y azul para sujetar los apoyos y el reloj medidor de longitudes. Un juego de pesas de 10 g y un sistema para aplicar las pesas a la viga. Un calibre o pie de rey (no aparece en la figura 3.6) Desarrollo de la experiencia A. Medida de momentos flectores y esfuerzos cortantes En esta parte emplearemos en primer montaje experimental. Coloque el soporte para pesas a 40 cm del apoyo izquierdo de la viga. Nivele los dos fragmentos de la viga para conseguir que queden completamente horizontales y uno a continuación del otro, como si se tratase de una única viga ininterrumpida.

7 PRÁCTICA 3. ACCIONES INTERIORES Y FLEXIÓN DE VIGAS 7 El procedimiento de nivelación es el siguiente: Se sitúa el nivel de burbuja sobre el fragmento izquierdo de la viga, lo más próximo posible a la sección que separa ambos fragmentos. Con ayuda del tornillo dispuesto en uno de los extremos del dinamómetro horizontal, se nivela el fragmento izquierdo de la viga hasta colocarlo completamente horizontal. A continuación, se sitúa el nivel de burbuja de modo que se apoye en ambos fragmentos de la viga simultáneamente. Con ayuda del tornillo situado en uno de los extremos del dinamómetro vertical se alinea el fragmento de la derecha con el de la izquierda. Anote las lecturas de ambos dinamómetros. Éstas corresponden a las fuerzas ejercidas en los extremos de los dinamómetros, expresadas en kilopondios, y servirán como referencia para las medidas del esfuerzo cortante y del momento flector que se harán posteriormente, cuando se someta la viga a diversas cargas. Coloque una pesa de 5 N sobre el soporte. Observará que los fragmentos de nuestro modelo de viga se desnivelan. Repita el procedimiento de nivelación explicado anteriormente hasta conseguir volver a alinear ambos fragmentos. Anote las lecturas de los dos dinamómetros. Sustraiga a cada una de las dos lecturas los valores de referencia correspondientes a la viga descargada. El resultado obtenido con el dinamómetro vertical es el valor del esfuerzo cortante, expresado en kilopondios. Convierta dicho valor a newtons. El resultado obtenido con el dinamómetro horizontal es el valor de la fuerza ejercida sobre uno de los fragmentos de la viga por el dinamómetro. Esta fuerza es igual y opuesta a la fuerza de reacción vincular existente en el contacto de rodillos situado entre los dos fragmentos de la viga, por lo que ambas conjuntamente constituyen un par de 15 cm de brazo. El momento de dicho par es el valor del momento flector. Calcúlelo y expréselo en N m. Repita el procedimento aplicando sucesivamente pesas de 10, 15 y 20 N. Tenga en cuenta que cada vez que modifique el peso aplicado, deberá nivelar de nuevo ambos fragmentos de la viga. Tabule ordenadamente todas las medidas y resultados obtenidos. Represente gráficamente el esfuerzo cortante y el momento flector obtenidos frente a la carga aplicada.

8 PRÁCTICA 3. ACCIONES INTERIORES Y FLEXIÓN DE VIGAS 8 Figura 3.7: Diagrama de fuerzas que actúan sobre la viga. B. Dependencia del esfuerzo cortante y del momento flector con la carga y su punto de aplicación Para encontrar la dependencia teórica del esfuerzo cortante y del momento flector con la carga y su punto de aplicación comenzaremos por plantear las ecuaciones de equilibrio para la viga completa (sin fragmentar) y hallar las reacciones en los apoyos izquierdo y derecho de la viga. Se supondrá para ello que la viga es de peso despreciable 3, por lo que el diagrama de fuerzas es el que se muestra en la figura 3.7. A continuación, se seccionará mentalmente la viga en el lugar en el que queremos determinar las acciones internas y se calculará el esfuerzo cortante Q como la suma de las fuerzas externas aplicadas sobre el fragmento de la izquierda. De forma análoga, el momento flector M f se calculará comoel momento respecto del centroide de la sección de todas las fuerzas externas aplicadas sobre el fragmento de la izquierda. No olvide que, a efectos de cálculo del momento flector, el momento de una fuerza se considera positivo 3 Tenga en cuenta que, en el cálculo del esfuerzo cortante y el momento flector, ha sustraído las lecturas de referencia de los dinamómetros, obtenidas cuando la viga estaba descargada, pero sometida a su propio peso. Es decir, ha eliminado la contribución que tiene el peso de la viga en las acciones internas.

9 PRÁCTICA 3. ACCIONES INTERIORES Y FLEXIÓN DE VIGAS 9 si tiende a provocar un giro en sentido horario. Dado que la carga P se aplica a la derecha de la sección, la única fuerza externa a considerar es la reacción del apoyo izquierdo. Halle el valor de las reacciones en los apoyos de la viga en función del peso aplicado P. Halle el valor del esfuerzo cortante y del momento flector en función de P. Represente los resultados teóricos obtenidos en las gráficas realizadas en el apartado A. Observe que los resultados teóricos son directamente proporcionales a P, de modo que se representan como rectas en dichas gráficas. C. Comprobación de la dependencia de la flecha máxima con el peso En esta parte de la práctica empleamos el segundo montaje experimental. Coloque la viga de alumnino sobre los apoyos. Asegúrese de que el reloj medidor de longitudes está en el punto medio de la luz de la viga. Cuelgue de él el soporte para pesas y ponga a cero el reloj medidor girando suavemente la esfera del reloj hasta que la aguja indique el cero. Mida y anote el valor de la luz de la viga L. Determine el valor del momento de inercia de área de la sección transversal de la viga. Para una sección rectangular de base a (anchura de la viga) y altura e (espesor de la viga), el momento de inercia de área vale I = 1 12 ae3. Mida la flecha máxima de la viga para seis pesos distintos. Exprese los resultados en una tabla de dos columnas: el peso aplicado (en newtons) y la flecha máxima correspondiente (en metros). Represente en una gráfica la flecha máxima, f max,enelejeverticalyel módulo del peso aplicado, P, en el eje horizontal. No olvide poner las unidades, tanto en la tabla como en la gráfica. Si la dependencia entre la flecha y el peso es la indicada por la ecuación 3.1, los puntos de esa gráfica deberían estar aproximadamente alineados según una recta de pendiente positiva.

10 PRÁCTICA 3. ACCIONES INTERIORES Y FLEXIÓN DE VIGAS 10 Determine el módulo de Young E del aluminio a partir de la medida de la flecha máxima para el mayor de los pesos aplicados. Compare con el valor que se da en los manuales técnicos: E aluminio =69GPa (gigapascales; 1 GPa = 10 9 Pa). D. Obtención experimental del momento de inercia de área Seguimos empleando el segundo montaje experimental, en el que sustituimos la viga de alumnio por la de plástico, que colocamos de modo que su sección tenga forma de I. Asegúrese de que el reloj medidor de longitudes está en el punto medio de la luz de la viga. Cuelgue de él el soporte para pesas y, a continuación, póngalo a cero. Mida y anote el valor de la luz de la viga L. Aplique en el punto medio de la luz L el mayor de los pesos que se aplicó en el apartado C, y mida la flecha máxima f max. Usando el valor del módulo de Young para el ABS, E ABS =2,8GPa, aplique la ecuación (3.1) para obtener el momento de inercia de área I de la sección en forma de I. Sin variar la luz, coloque ahora la viga de modo que su sección tenga forma de H. Vuelva a poner a cero el reloj medidor. Aplique en el punto medio de la luz L el mismo peso anterior, y mida la flecha máxima f max. Cómoesestaflechamáxima comparada con la que obtuvo con la viga dispuesta en forma de I? Emplee de nuevo el valor del módulo de Young para el ABS, E ABS = 2,8 GPa, y la ecuación (3.1) para obtener el momento de inercia de área I de la sección en forma de H. Es mayor o menor que el que obtuvo para la sección en forma de I?

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