Mínimo común múltiplo El número más pequeño (no cero) que es múltiplo de dos o más números. El nombre de mínimo común múltiplo está hecho de las partes mínimo, común y múltiplo: Qué es un "múltiplo"? Los múltiplos de un número son lo que tienes cuando lo multiplicas por otros números (si lo multiplicas por 1,2,3,4,5, etc.) como en las tablas de multiplicar. Aquí tienes ejemplos: Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc... Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, etc... Qué es un "múltiplo común"? Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números. Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas: Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,... Los múltiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,... Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (y 60, 80, etc. también) Qué es el "mínimo común múltiplo"? Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20. Calcular el mínimo común múltiplo En realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres uno que coincida. Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5: 1
Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15,..., y los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20,..., así: Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el 15. Respuesta: 15 Y puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números. Ejemplo 2: calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,... Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36,... Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40,... Entonces 24 es el mínimo común múltiplo de ( no podemos encontrar uno más pequeño!) Pista: puedes hacer listas más pequeñas de los números más grandes. 2
Cálculo del MCD Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son: Por descomposición en factores primos Artículo principal: Factorización de enteros. El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD. Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es: En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualquiera. 3
Cálculo del mínimo común múltiplo (M.C.M) Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será: Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que: Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor. 4
Máximo común divisor El máximo común divisor, m.c.d. de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente. Cálculo del máximo común divisor 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman los factores comunes con menor exponente. Ejemplo Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60. 1. 72 = 2 3 3 2 108 = 2 2 3 3 60 = 2 2 3 5 2. m. c. d. (72, 108, 60) = 2 2 3 = 12 12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60. 5
Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d. El número 12 es divisor de 36. m. c. d. (12, 36) = 12 Mínimo común múltiplo Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero. Cálculo del mínimo común múltiplo 1. Se descomponen los números en factores primos 2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente. Ejemplo 72 = 2 3 3 2 108 = 2 2 3 3 60 = 2 2 3 5 m. c. m. (72, 108, 60) = 2 3 3 3 5 = 2160 2160 es el menor número que puede ser dividido por: 72, 108 y 60. Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos. El número 36 es múltiplo de 12. m. c. m. (12, 36) = 36 6
Relación entre el m. c. d. y m. c. m. m. c. d. (a, b) m. c. m. (a, b) = a b Ejercicios Calcular el m. c. d. y m.c.m. de: 1428 y 376 428 = 2 2 107 376 = 2 3 47 m. c. d. (428, 376) = 2 2 = 4 m. c. m. (428, 376) = 2 3 107 47 = 40 232 2148 y 156 148 = 2 2 37 156 = 2 2 3 13 m. c. d. (148, 156) = 2 2 = 4 m. c. m. (148, 156) = 2 2 3 37 13 = 5772 3600 y 1 000 600 = 2 3 3 5 2 1000 = 2 3 5 3 m. c. d. (600, 1000) = 2 3 5 2 = 200 7
m. c. m. ( 600, 1000) = 2 3 3 5 3 = 3000 Calcular el m. c. d. y m.c.m. de: 11048, 786 y 3930 1048 = 2 3 131 786 = 2 3 131 3930 = 2 3 5 131 m. c. d. (1048, 786, 3930) = 2 131 = 262 m. c. m. (1048, 786, 3930) = 2 3 3 5 131 = 15 720 23120, 6200 y 1864 3210 = 2 4 3 5 13 6200 = 2 3 5 2 31 8
1864 = 2 3 233 m. c. d. (3210, 6200, 1864) = 2 3 = 8 m. c. m. (3210, 6200, 1864) = 2 4 3 5 2 13 31 233 = = 112 678 800 Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. 12 = 2 2 3 18 = 2 3 2 60 = 2 2 3 5 m. c. m. (12, 18, 60) = 2 2 3 2 5 = 180 180 : 60 = 3 Sólo a las 6.33 h. Barcelona. Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona? 18 = 2 3 2 24 = 2 3 3 9
m. c. m. (18, 24) =2 3 3 2 = 72 Dentro de 72 días. Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48 en cada caso dar de resto 9? m. c. m. (15, 20, 36, 48) = 2 4 3 2 5 = 720 720 + 9 = 729 En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan. m. c. d.(250, 360, 540) = 10 Capacidad de las garrafas = 10 l. Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25 Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36 Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54 Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas. ancho. El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de 10
Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas. 3 m = 30 dm 30 = 2 3 5 5 m = 50 dm 50 = 2 5 2 A = 30 50 = 1500 dm 2 m. c. d. (30, 50) = 2 5= 10 dm de lado A b = 10 2 = 100 dm 2 1500 dm 2 : 100 dm 2 = 15 baldosas Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias. m. c. d. (12 028, 12 772) = 124 124 naranjas en cada caja. Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103 Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97 Cajas necesarias = 103 + 97 = 200 Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? Y cuántas baldosas se necesitan? 11
8 m = 80 dm 80 = 2 4 5 6.4 m = 64 dm64 = 2 6 m. c. d. (80, 64) = 2 4 = 16 dm de lado A b = 16 2 = 256 dm 2 A = 80 64 = 5120 dm 2 5120 dm 2 : 256 dm 2 = 20 baldosas 12