1 Divisibilidad. y números enteros. 1. Divisibilidad. Escribe los números primos menores que 20. Solución: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19

Transcripción

1 Divisibilidad y números enteros. Divisibilidad Escribe los números primos menores que 2 P I E N S A Y C A L C U L A 2, 3, 5, 7,, 3, 7 y 9 Carné calculista 8 7 : 35 C = 2 474; R = 27 A P L I C A L A T E O R Í A Completa con la palabra múltiplo o divisor: a) 5 es 5 b) 2 es 3 c) 24 es 2 d) 7 es 42 4 De los siguientes números: 5, 8, 24, 3, 35, indica cuáles son múltiplos de: a) 2 b) 3 c) 5 a) divisor de b) múltiplo de c) múltiplo de d) divisor de 2 Calcula mentalmente todos los divisores de: a) b) 7 c) 8 d) 9 a) D() = {, 2, 3, } b) D(7) = {, 7} c) D(8) = {, 2, 4, 8} d) D(9) = {, 3, 9} a) Múltiplos de 2: 8, 24 y 3 b) Múltiplos de 3: 5, 8, 24 y 3 c) Múltiplos de 5: 5, 3 y 35 5 Clasifica los siguientes números en primos y compuestos: 2, 7, 25, 29, 42, 43 Primos: 7, 29, 43 Compuestos: 2, 25, 42 3 Calcula mentalmente los cinco primeros múltiplos de: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 a), 2, 4, y 8 b), 3,, 9 y 2 c), 4, 8, 2 y d), 5,, 5 y 2 Halla mentalmente la descomposición en factores primos de: a) 8 b) 2 c) 5 d) 25 a) 2 3 b) c) 3 5 d) SOLUCIONARIO

2 7 Halla la descomposición en factores primos de: 8 Halla la descomposición en factores primos de: a) b) 8 c) 4 d) 72 a) 2 b) 8 c) 84 d) 2 97 a) b) c) 2 d) a) b) c) d) M.C.D. y m.c.m. Halla mentalmente el M.C.D. y el m.c.m. de 4 y P I E N S A Y C A L C U L A M.C.D.(4, ) = 2 m.c.m.(4, ) = 2 Carné calculista 295 : 43 C = 875; R = 3 9 Halla mentalmente: a) M.C.D.(, 8) b) m.c.m.(, 8) c) M.C.D.(, 9) d) m.c.m.(, 9) a) 2 b) 24 c) 3 d) 8 Halla mentalmente: a) M.C.D.(2, 4) b) m.c.m.(2, 4) c) M.C.D.(3, 5) d) m.c.m.(3, 5) A P L I C A L A T E O R Í A 2 Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de: a) 3 y 9 b) y 72 a) 8 y 8 b) 2 y 39 3 Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de: a) 9 y 84 b) 48 y 54 a) y 2 b) 3 y 552 a) 2 b) 4 c) d) 5 4 Aplicando el algoritmo de Euclides, halla: a) M.C.D.(252, ) b) M.C.D.(2, 54) Cuáles de los siguientes números son primos entre sí? a) 3 y 5 b) 4 y c) 8 y 9 d) 5 y 2 a) a) M.C.D.(3, 5) = ò 3 y 5 son primos entre sí. b) M.C.D.(4, ) = 2 ò 4 y no son primos entre sí. c) M.C.D.(8, 9) = ò 8 y 9 son primos entre sí. d) M.C.D.(5, 2) = 3 ò 5 y 2 no son primos entre sí. M.C.D.(252, ) = b) M.C.D.(2, 54) = TEMA. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS 89

3 5 Aplicando el algoritmo de Euclides, halla el M.C.D.(24, 525), y sin hacer la descomposición en factores primos halla el m.c.m.(24, 525) Dos barcos salen del puerto de Cádiz. Uno vuelve al puerto cada 8 días y el otro cada 24 días. Cuánto tiempo tiene que pasar para que vuelvan a encontrarse? m.c.m.(8, 24) = 72 días. M.C.D.(525, 24) = 3 m.c.m.(525,24) = = Los números enteros Escribe ordenadamente de menor a mayor todos los números enteros x que verifiquen: 3 < x 5 2,,,, 2, 3, 4 y 5 P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 7 Escribe los cinco números enteros positivos más pequeños., 2, 3, 4 y 5 73 : 7 C = 584; R = 45 2 A P L I C A L A T E O R Í A Halla los números enteros representados en la siguiente recta y ordénalos de menor a mayor: 8 Escribe los cinco números enteros negativos de menor valor absoluto. < 4 < < < 2 < 4 < 5, 2 3, 4, 5 9 Representa gráficamente los siguientes números enteros y ordénalos de menor a mayor: 4, 4,3,, < < < 3 < 4 2 Completa con signos diferentes los puntos suspensivos de cada apartado: a) 2, 2, 2 b) 3 3, 3 3, 3 3 a) 2 <, 2 Ì, 2? b) 3 = 3, 3 Ì 3, 3 Ó 3 22 Halla todos los números enteros que verifiquen: 5 < x < 2 9 SOLUCIONARIO

4 4, 3, 2,, y a) 4 y 4 23 Halla todos los números enteros que verifiquen: 3 Ì x Ì , 2,,,,2,3,4 y Halla el valor absoluto de los siguientes números enteros: a) 5 b) 3 c) 44 d) 53 a) 5 b) 3 c) 44 d) 53 Halla y representa todos los números enteros que verifiquen: a) x = 4 b) x 4 b) 4, 3, 2,,,, 2, 3 y 4 2 Con qué número entero representarías la siguiente situación? Estamos a 5 grados centígrados bajo cero. 5 C Operaciones con números enteros La temperatura máxima el día de enero en un determinado lugar fue de 7 C, y la temperatura mínima, de 5 C. Cuál ha sido la variación de temperaturas? 7 ( 5) = = 2 C P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista 2 82 : 85 C = 2 374; R = 3 27 Realiza las siguientes operaciones: a) b) A P L I C A L A T E O R Í A a) 42 b) 72 c) 7 d) 9 e) 4 f) a) 5 b) 3 28 Realiza mentalmente las siguientes operaciones: a) 7 ( ) b) 8 ( 9) c) 42 : ( ) d) 8 : 9 e) 5 ( 2) 4 ( ) f) : ( ) : 5 : ( 2) 29 Realiza las siguientes operaciones: a) 4( 5) + ( 8) : 4 b) 24 : (5 ) 3(25 3) a) b) TEMA. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS 9

5 3 Comprueba la propiedad distributiva en: a) 3(4 + 9) b) 5( 4 7) a) 3(4 + 9) = 3 3 = = 2 27 = 39 Ambos miembros dan 39 b) 5( 4 7) = 5 ( ) = 55 5( 4) + 5( 7) = 2 35 = 55 Ambos miembros dan Halla todos los múltiplos enteros de: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 a) M(2) = {, ± 2, ± 4, ±, ± 8, } b) M( 3) = {, ± 3, ±, ± 9, ± 2, } c) M( 4) = {, ± 4, ± 8, ± 2, ±, } d) M(5) = {, ± 5, ±, ± 5, ± 2, } 3 Halla mentalmente todos los divisores enteros de: a) 4 b) 7 c) 8 d) 2 a) D(4) = {±, ± 2, ± 4} b) D( 7) = {±, ± 7} c) D( 8) = {±, ± 2, ± 4, ± 8} d) D(2) = {±, ± 2, ± 3, ± 4, ±, ± 2} 33 Estamos en el sótano 2 de un aparcamiento. Subimos 7 plantas y bajamos 3. En qué planta nos encontramos? = 7 5 = 2 Estamos en el 2º piso. 92 SOLUCIONARIO

6 Ejercicios y problemas. Divisibilidad 34 Completa con la palabra múltiplo o divisor: a) 8 es 4 b) 7 es 49 c) 5 es 35 d) 72 es 9 a) múltiplo de b) divisor de c) divisor de d) múltiplo de 35 Calcula mentalmente todos los divisores de: a) b) c) 2 d) 3 a) D() = {, 2, 5, } b) D() = {, } c) D(2) = {,2,3,4,,2} d) D(3) = {, 3} 3 Calcula mentalmente los cinco primeros múltiplos de: a) b) 7 c) 8 d) 9 a),, 2, 8 y 24 b), 7, 4, 2 y 28 c), 8,, 24 y 32 d), 9, 8, 27 y 3 37 De los siguientes números: 2, 27, 3, 45,, 72 indica cuáles son múltiplos de: a) 2 b) 3 c) 5 Primos: 9 Compuestos: 5, 3, 49, 52, Halla mentalmente la descomposición en factores primos de: a) 8 b) 9 c) 8 d) 49 a) 2 3 b) 3 2 c) d) Halla la descomposición en factores primos de: a) 44 b) 5 c) 3 d) 588 a) b) c) d) Halla la descomposición en factores primos de: a) b) 7 c) 9 d) 52 a) b) c) d) M.C.D. y m.c.m. 42 Halla mentalmente: a) M.C.D.(4, ) b) m.c.m.(4, ) c) M.C.D.(8, 2) d) m.c.m.(8, 2) a) 2 b) 2 c) 4 d) 24 a) Múltiplos de 2: 2, 3, y 72 b) Múltiplos de 3: 2, 27, 3, 45, y 72 c) Múltiplos de 5: 45 y 38 Clasifica los siguientes números en primos y compuestos: 5, 9, 3, 49, 52, Halla mentalmente: a) M.C.D.(3, ) b) m.c.m.(3, ) c) M.C.D.(5, ) d) m.c.m.(5, ) a) 3 b) c) d) 3 TEMA. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS 93

7 Ejercicios y problemas 44 Cuáles de los siguientes números son primos entre sí? a) 4 y 7 b) y 9 c) 8 y d) 3 y 4 a) M.C.D.(4, 7) = ò 4 y 7 son primos entre sí. b) M.C.D.(, 9) = 3 ò y 9 no son primos entre sí. c) M.C.D.(8, ) = 2 ò 8 y no son primos entre sí. d) M.C.D.(3, 4) = ò 3 y 4 son primos entre sí. 45 Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de: a) 24 y 3 b) y 7 a) 4 y b) 24 y Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de: a) 9 y 2 b) 52 y 575 a) 3 y 3 b) 3 y 37 8 a) M.C.D.(75, 345) = 5 b) 49 M.C.D.(2, 224) = 4 Aplicando el algoritmo de Euclides, halla el M.C.D.(8, 552), y, sin hacer la descomposición en factores primos, halla el m.c.m.(8, 552) M.C.D.(8, 552) = m.c.m.(8, 552) = = Aplicando el algoritmo de Euclides, halla: a) M.C.D.(72, 84) b) M.C.D.(24, 525) a) M.C.D.(72, 84) = 2 b) M.C.D.(24, 525) = 3 48 Aplicando el algoritmo de Euclides, halla: a) M.C.D.(75, 345) b) M.C.D.(2, 224) 3. Los números enteros 5 5 Representa gráficamente los siguientes números enteros y ordénalos de menor a mayor: 5, 3,2,, < < < 2 < 5 Halla los números enteros representados en la siguiente recta y ordénalos de menor a mayor: 5 < 3 < 2 < < 3 < 5 < 94 SOLUCIONARIO

8 52 Completa con signos diferentes los puntos suspensivos de cada apartado. a) 5 3, 5 3, 5 3 b) 4 4, 4 4, 4 4 a) 5 Ó 3, 5 > 3, 5? 3 b) 4 = 4, 4 Ì 4, 4 Ó 4 53 Halla todos los números enteros que verifiquen: 4 Ì x < 4, 3, 2,,,, 2, 3, 4 y 5 54 Halla todos los números enteros que verifiquen: 5 < x Ì 3 4, 3, 2,,,, 2 y Halla el valor absoluto de los siguientes números enteros: a) 7 b) 5 c) 543 d) 5 a) 7 b) 5 c) 543 d) 5 Halla y representa todos los números enteros que verifiquen: a) x = 3 b) x < 3 a) 3 y Operaciones con números enteros 58 Realiza las siguientes operaciones: a) b) a) b) 8 59 Realiza mentalmente las siguientes operaciones: a) 8 b) 7 ( 9) c) 48 : d) 72 : ( 9) e) 2 ( 3) ( ) 5 f) 9 : ( 9) : 2 : ( 5) a) 48 b) 3 c) 8 d) 8 e) 3 f) Realiza las siguientes operaciones: a) 5 (5 9) + 8 ( 9) : b) 8 : (9 7) 5 (5 53) a) 32 b) 24 Comprueba la propiedad distributiva en: a) 7( 5 + 3) b) (9 4) a) 7( 5 + 3) = 7 ( 2) = 4 7 ( 5) = = 4 Ambos miembros dan 4 b) (9 4) = 5 = 3 9 ( 4) = = 3 Ambos miembros dan 3 b) 2,,, y 2 57 Con qué número entero representarías la siguiente situación? Estamos en la planta 3ª del sótano de un aparcamiento Halla mentalmente todos los divisores enteros de: a) 5 b) c) 9 d) 8 a) D( 5) = {±, ± 5} b) D() = {±, ± 2, ± 3, ± } c) D( 9) = {±, ± 3, ± 9} d) D(8) = {±, ± 2, ± 3, ±, ± 9, ± 8} 3 Halla todos los múltiplos enteros de: a) b) 7 c) 8 d) 9 TEMA. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS 95

9 Ejercicios y problemas a) M() = {, ±, ± 2, ± 8, ± 24, } b) M( 7) = {, ± 7, ± 4, ± 2, ± 28, } c) M( 8) = {, ± 8, ±, ± 24, ± 32, } d) M(9) = {, ± 9, ± 8, ± 27, ± 3, } 4 Compramos un frigorífico. Cuando lo enchufamos a la red eléctrica está a la temperatura ambiente, que es de 25 C. Si cada hora la temperatura baja 5 C, a qué temperatura estará al cabo de horas? 25 5 = 25 3 = 5 C Para ampliar 5 Escribe los diez primeros números primos. 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 29 Escribe los diez primeros números compuestos. 4,, 8, 9,, 2, 4, 5,, 8 7 Calcula mentalmente los divisores comunes de los siguientes pares de números: a) 4 y b) y 8 c) 4 y 2 d) 8 y 2 a) D(4 y ) = {, 2} b) D( y 8) = {, 2} c) D(4 y 2) = {, 2, 4} d) D(8 y 2) = {, 2, 4} 8 Calcula mentalmente los cuatro primeros múltiplos comunes y positivos de los siguientes pares de números: a) 4 y b) y 8 c) 4 y 2 d) 8 y Halla el valor de la cifra x para que el número 45x sea divisible entre 2 x puede ser, 2, 4, u 8 Halla el valor de la cifra x para que el número x9 sea divisible entre 3 x puede ser, 3, o 9 Halla el valor de la cifra x para que el número 52x sea divisible entre 5 x puede ser o 5 73 Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de: a) 5, y 8 b), 9 y 2 a) y 2 b) 3 y 3 a), 2, 24 y 3 b), 24, 48 y 72 c), 2, 24 y 3 d), 24, 48 y 72 9 De los números comprendidos entre 9 y, excluidos ambos, halla cuáles son primos y cuáles compuestos. Primos: 97 Compuestos: 9, 92, 93, 94, 95, 9, 98, Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de: a) 3, y 9 b) 9, 2 y 8 a) 3 y 8 b) 24 y Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de: a) 7, 52 y 575 b) 4, 5 y 9 a) 2 y 24 b) 2 y SOLUCIONARIO

10 7 Dados los números y 84, comprueba que el producto de su M.C.D.por su m.c.m.es igual al producto de ambos números. a) 57 b) 4 M.C.D.(, 84) = 2 m.c.m.(, 84) = = = Halla mentalmente el valor de x a) 5 x = 4 b) x 7 = 5 c) 42 : x = d) 72 : 8 = x 77 Escribe un número entero que no sea positivo ni negativo. El cero. 78 Escribe matemáticamente lo que reflejan los siguientes enunciados, calcula el resultado e interprétalo: a) Subí 5 plantas y luego he bajado 7 plantas. b) Tenía 2 y he pagado 5 a) x = 8 b) x = 8 c) x = 7 d) x = 9 83 La altura de un trampolín de una piscina es de 5 m y, en el salto, el nadador desciende 3 m en el agua. Haz una escala graduada del salto. 5 a) 5 7 = 2 Significa que estamos en el 2º sótano. b) 2 5 = 7 Significa que me quedan Escribe dos números enteros distintos que tengan el mismo valor absoluto. Cualquier número entero y su opuesto, por ejemplo 5 y 5 8 Realiza las siguientes operaciones: a) 9 (5 8) + ( 9) : 3 b) 8 : (7 ) 8 (8 ) Con calculadora 84 Realiza las siguientes operaciones: a) : 3 b) 2( ) a) 94 b) 72 a) 45 b) 5 8 Realiza las siguientes operaciones: a) 7 ( 2 9) 5 ( 8) : 4 b) 72 : (9 7) + (93 5) 85 Realiza las siguientes operaciones: a) ( ) : 4 b) (23 5 5)(87 9) a) 8 b) 5 22 TEMA. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS 97

11 Ejercicios y problemas Problemas 8 Calcula el número mínimo de páginas que debe tener un libro para que éste se pueda leer a razón de 5 páginas cada día, o bien 24 páginas cada día. m.c.m.(5, 24) = 2 páginas. 9 Pedro y Sonia son primos. Pedro visita a sus abuelos cada 28 días, y Sonia, cada 35 días. Si un determinado domingo coinciden, cuánto tiempo tardarán en volver a coincidir? m.c.m.(28, 35) = 4 días. 87 Dados los números 9 y 89, comprueba que el producto de su M.C.D.por su m.c.m.es igual al producto de ambos números. M.C.D.(9, 89) = 9 m.c.m.(9, 89) = = = 7 88 Se sabe que el M.C.D.(9, x) = y que el m.c.m. (9, x) = 72. Halla el valor de x 72 = 9x x = Antonio quiere poner el suelo de la cocina de losetas cuadradas del mayor tamaño posible. Si la cocina mide 4,4 m de largo por 3,2 m de ancho, cuántos centímetros debe medir de lado la loseta? Se pasan las medidas a decímetros. M.C.D.(44, 32) = 4 dm = 4 cm De cuántas formas se pueden plantar 3 pinos en un parque rectangular formando filas y columnas? D(3) = {, 2, 3, 4,, 9, 2, 8, 3} Una fila de 3 pinos. Dos filas de 8 pinos. Tres filas de 2 pinos. Cuatro filas de 9 pinos. Seis filas de pinos Los alumnos de 2º C trabajan de dos en dos en clase de Matemáticas, hacen los trabajos de Lengua en grupos de 4, y los trabajos de Tecnología, en grupos de 5. Si la clase tiene menos de 4 alumnos, cuántos alumnos son en total? m.c.m.(2, 4, 5) = 2 alumnos. Se tienen dos cuerdas, una de 28 m y la otra de 32 m. Se quieren cortar en trozos iguales del mayor tamaño posible. Calcula: a) La longitud de cada trozo. b) El número total de trozos. a) M.C.D.(28, 32) = 4 m cada trozo. b) ( ) : 4 = 5 trozos. El M.C.D. de dos números es 3, y su producto, Halla el m.c.m. de ambos números. m.c.m.(a, b) = 45 3 : 3 = 2 Tenemos 55 litros de aceite de oliva y 445 litros de aceite de girasol, y queremos envasarlos en garrafas iguales y del mayor tamaño posible. Calcula: a) La capacidad de cada garrafa. b) El número de garrafas que se necesitan para envasar el aceite de oliva. c) El número de garrafas que se necesitan para envasar el aceite de girasol. a) M.C.D.(55, 445) = 5 litros. b) 55 : 5 = garrafas. c) 445 : 5 = 89 garrafas. 98 SOLUCIONARIO

12 9 Una finca que tiene forma rectangular mide de largo 255 m, y de ancho, 25 m. Se quieren plantar nogales lo más separados posible y a igual distancia. Calcula: a) A qué distancia se plantarán. b) Cuántos se plantarán. a) M.C.D.(255, 25) = 5 m b) Cada nogal ocupará 5 5 = 25 m : 25 = 275 nogales. 97 En una estación de esquí la temperatura más alta ha sido de 2 C, y la más baja, de 23 C. Cuál ha sido la diferencia de temperaturas? 2 ( 23) = = 2 C 98 Un avión vuela a m, y un submarino está a 85 m. Cuál es la diferencia de alturas entre ambos? ( 85) = + 85 = 85 m 99 Un frutero ha comprado 5 kg de manzanas a /kg, ha vendido 35 kg a 2 /kg y el resto se ha estropeado. Cuánto ha ganado? = 7 5 = 2 Para profundizar Pitágoras nació el año 585 a.c. y murió el año 495 a.c. Cuántos años vivió? 495 ( 585) = = 9 años En la cuenta corriente del banco tenemos 25. Se paga el recibo de la luz, que vale 83 ; el recibo del teléfono, que vale 37, y dos cheques de gasolina de 4 cada uno. Cuánto dinero queda en la cuenta corriente? = 5 Una plataforma petrolífera tiene 23 m sobre el nivel del mar, y desciende 35 m. Halla la altura de la plataforma. 23 ( 35) = = 373 m En una calle de una urbanización se quieren colocar farolas. Si se sitúan cada 2 m, cada 8 m o cada 25 m, coinciden una al principio y otra al final. Cuál es la longitud mínima de la calle? Cuántas farolas se necesitarán en cada caso? m.c.m.(2, 8, 25) = 9 m Si se colocan cada 2 m se necesitan: 9 : 2 = 75 farolas. Si se colocan cada 8 m se necesitan: 9 : 8 = 5 farolas. Si se colocan cada 25 m se necesitan: 9 : 25 = 3 farolas. En una sala de fiestas hay luces rojas, verdes y azules. Cuando se abre el local se encienden todas al mismo tiempo. Luego, las rojas se encienden cada 4 s; las verdes, cada s, y las azules, cada 5 s. Cuánto tiempo tardarán en volver a coincidir? m.c.m.(4,, 5) = segundos = minuto. La cotización en bolsa de una empresa está a 34. Durante la semana se producen las siguientes variaciones: 2,,,2,. Cuál es la cotización final? = 33 TEMA. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS 99