Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar SENTIDOSDEUSODELCEROYLANEGATIVIDADENLARECTANUMÉRICA AbrahamHernández,AuroraGallardo Cinvestav,IPN. México ahernandez@cinvestav.mx Campodeinvestigación: Pensamientoalgebraico Nivel: Básico Resumen.Enesteartículosereportaunestudiorealizadocon40estudiantes,dondese manifiestandiferentessentidosdeusodelcerocomoorigen,víatressituaciones:primera,un puntofijoarbitrariolocalizadosobrelarectanumérica;segunda,unpuntomóvilarbitrario quecambiadeubicación;tercera,unpuntofijoinamovible,estoeselpuntomediodelarecta numérica.asímismo,surgióelevitamientodelceroorigencuando:fuesimbolizadopero ignoradoalllevaracabolasoperacionesycuandonofuesimbolizado.además,sedala aparicióndelosnúmerosnegativosenelmodelodelarectanuméricayenlaresoluciónde tareas aritméticas. Sorprendentemente la aceptación de números signados no condujo necesariamentealaidentificacióndelcerocomonúmero. Palabrasclave:sentidosdeuso,negatividad,cero,recta,númerossignados Introducción Actualmente el cero y los númerosnegativos son temas del currículo escolar, generalmente tratados sin considerar la importancia que tienen para lograr la extensión numérica de los naturalesalosenterosyalcanzarunacompetenciaenelmanejodellenguajealgebraico. Estetrabajoespartedeunproyectomásamplioqueactualmenteseencuentraenproceso. Nuestrotemaapuntahaciala"apariciónsimultánea"delosnúmerosnegativosyelcero,enlos ámbitos histórico y didáctico, enfatizando el problema en la solución de tareas aritméticas, aritmético algebraicasyalgebraicas. Éste se basa en los trabajos de Gallardo (1994, 2002), donde se identificaron niveles de conceptualización de la negatividad, evidenciados y abstraídos de un análisis histórico epistemológicoyalavezdeunestudioempíricocon35alumnosde1213añosdeedad,queen Rubio,DelValle,DelCastilloyGallardo(2007)seconvirtieronensentidosdeusodelosnúmeros negativos en la construcción de número, variable y función en la resolución de problemas verbales. Estossentidosdeusosindividualesocolectivosseconviertenenlossignificadossocialmente aceptadosdelosconceptosmatemáticossilainterpretacióndelestudianteesadecuada(filloy, 1999),asaber:sustraendo,dondelanocióndenúmerosesubordinaalamagnitud(enab,a 57 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 siempreesmayorqueb,dondeaybsonnúmerosnaturales);númerosignado,dondeunsigno menosesasociadoaunacantidadynotienesignificadoadicionalaotrascondiciones;elnúmero relativo,dóndelaideadecantidadesopuestasestáeneldominiodiscretoylaideadesimetríase poneevidenteeneldominiocontinuo;elnúmeroaislado,eselresultadodeunaoperaciónola soluciónaunproblemaoecuación;elparámetronegativo,surgeenproblemasdevariación continuarepresentadospor:y=mx+b,alreconocerquemybpuedentomarvaloresnegativos;y elnúmeronegativoformal,nociónmatemáticadenúmeronegativo,dentrodelcualhayconcepto generaldenúmeroquecontemplalosnúmerospositivosynegativos(losenterosdehoy). Lametodología Elfundamentoteóricodelestudiogeneralestábasadoenlasideasrectorasdelossiguientes autores:filloy(1999),introdujolosmodelosteóricoslocales(mtl)paralaobservaciónempírica. Estosmodelosconstandecomponentessobrelosprocesoscognitivosydecomunicación,sobrela competenciaysobremodelosdeenseñanza.lametodologíageneraldenuestroestudioaborda estoscomponentesendosplanosdeanálisis,elplanohistórico epistemológico(evolucióndelos significadoseneldevenirdelahistoria)yelplanodidáctico(enseñanza aprendizaje cognición). Conrespectoalcomponentedelosprocesoscognitivos,Filloymencionaquedesde1933,Piaget descubrióenelniñounsistemadetendenciasdelascualeselinfantenoesconscienteyporende, nopuedemanifestarlasenformaexplícita.enestamismadirección,filloy(1999)explicóquehay tendenciasdebidasalasestructurascognitivasdelsujetoqueaparecenencadaestadiodel desarrollo individual, que dan preferencia a distintos mecanismos de proceder, diferentes manerasdecodificarydescodificarmensajesmatemáticos.estas tendenciascognitivas,pueden observarseenelaulaydurantelasentrevistasclínicas. Enlapiezadeinvestigaciónpresentadaenesteartículo,nosabocamossolamente,alcomponente sobreunmodelodeenseñanzaconestudiantesdesecundariaacercadelainterrelaciónentreel ceroylanegatividad. Nuestraspreguntasdeinvestigaciónsonlassiguientes: a) Cómocontribuyeelceroalaextensióndeldominionuméricodelosnaturalesalos enteros? 58 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar b) Cómoconsideranlosestudiantesalnúmerocero? c) Cómoserelacionaelceroconlosnivelesdeconceptualizacióndelosnúmerosnegativos? d) Ellosentiendelaadición,lasustracción,lamultiplicaciónyladivisiónporcero? e) Contribuiráelanálisishistórico epistemológicodelcerocomonúmeroalacomprensión delasdificultadespresentadasporlosestudiantesdehoy? LospasosinicialesdenuestrotemadeinvestigaciónfueronreportadosenGallardoyHernández (2005), donde se concluyó que el reconocimiento de las dualidades del signo igual como equivalencia operadorenecuaciones;elsignodelosnúmerosenteroscomounario binarioyel cerocomototalidad nulidad,contribuyencomounaposiblerutaparalograrlaextensióndel dominionuméricodelosnaturalesalosnúmerosenteros.además,hemosreportadoengallardo y Hernández (2006), cinco sentidos de uso del cero, que fueron identificados cuando los estudiantesresolvíantareasaritmético algebraicas. Losdiferentessentidosdeusodelceroquefueronidentificadosenlosdiálogosdelaentrevista fueronllamadoseinterpretadoscomosigue: Ceronulo: notienevalor,yconviveconelnúmeronegativocomosustraendo. Ceroimplícito:esaquelquenoapareceescrito,peroqueesutilizadoduranteelprocesode resolucióndelatarea.elceroimplícitoconviveconelnúmerorelativo. Cerototal:esaquelqueestáformadopornúmerosopuestos(+n, nconnn).elcerototal conviveconelnúmerorelativo. Ceroaritmético:esaquelquesurgecomoelresultadodeunaoperaciónaritméticayserelaciona conelnúmeronegativocomosustraendo. Cero algebraico: es aquel que surge como resultado de una operación algebraica o bien es solucióndeunaecuación,surgeespontáneamentecomonúmerosignado,númerorelativoy númeronegativoaislado. Losresultadosdeestasdosinvestigacionesyareportadas,contestanparcialmentelascuestiones mencionadasanteriormente:a),b)yc). 59 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 Elestudio Aquísolamentenosabocamosaloscomponentessobrelosprocesoscognitivosysobremodelos deenseñanzadelmtl,quefundamentaronlosestudiosdecasoaquípresentado.enlaresolución delastareaspropuestas,surgieronotrossentidosdeusodelceroasociadosalarectanumérica, modelodeenseñanzamuysustentadodesdehacedécadas,porautorescomojanvier(1985), Resnick(1983),Peled(1991),Bruno(1994)entreotros.Enconsecuencia,responderemosmás ampliamente y con mayor fundamentación a la pregunta de investigación c). Para ello, 40 estudiantes13 15añosdeedadrespondieroncuestionarios,quefueronvideograbadosconel propósitodeseguirelordendelasaccionesdelosalumnosrealizadassobrelarectanumérica.se presentanloresultadosdelos7alumnosquemostraroneldesempeñotípicodelamayoríadela población.éstossonordenadosdelmayoralmenornúmerodeaciertosendosdelos15ítems contestados.nofuenecesarioincluirelanálisisdeunmayornúmerodeítems,porquecada estudianteresolviótodaslasoperacionesconelmismoprocedimientoutilizadoenelprimerítem. Hallazgos: Enestainvestigación,seencontrarondiferentessentidosdeusodelcerocomoorigen,víatres situaciones: 1 Unpuntofijoarbitrariolocalizadosobrelarectanumérica;conviveconlossentidosdeuso delnegativocomosustraendo,relativo,aisladoyordenado. 2 Unpuntomóvilarbitrarioquecambiadeubicación;conviveconlossentidosdeusodel negativocomosustraendo,aisladoyordenado. 3 Unpuntofijoinamovible,estoeselpuntomediodelarectanumérica;conviveconlos sentidosdeusodelnegativocomosustraendo,aislado,relativoyordenado. Síntomasdeevitamientodelcero:a)Cuandonofuesimbolizado.b)Cuandofuesimbolizadopero ignoradoalllevaracabolasoperaciones.c)cuandolosestudiantesinterrumpíansuconteounoa unoalaproximarsealceroporlaizquierda.d)cuandoconsiderabanal1yal 1comoorigenenla rectanumérica. Acontinuaciónsemuestranlosítemsmásrepresentativosdeloseñaladoanteriormente: 60 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar RESPUESTASDELESTUDIANTEE 1 Elestudiante,enprimertérminorecurrealarectanuméricayhaceusodenúmerossignadospara operarsobrelamisma,aunquelassustraccionesesténexpresadasconnúmerosnaturales.los númerossignados+15, 7, 15,+6,sonrepresentadosconsegmentosorientadosvíaflechascon sentido,hacialaderechanúmerospositivosyhacialaizquierdanúmerosnegativos.enlarecta solamentenumeraelorigen,losminuendos,ylosresultadosobtenidos.consideraalceroun puntoarbitrarioenlarectaypuntodepartidadelasaccionesrealizadaspararesolverlosítems planteados. RESPUESTASDELESTUDIANTEE 2 Sepudoobservarsiemprequeelestudiante,diorespuestaalasoperacionesplanteadassin recurriralarectanumérica.estalautilizapararepresentarelresultadoyrealizaconteodeunoen uno,numerandosolamentelosnúmerosquenecesitaparadichoconteo.consideraalcerocomo elprincipiouorigendelarecta,colocadoalaizquierdacuandoelresultadoespositivoyala derechacuandoelresultadoesnegativo. 61 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 RESPUESTASDELESTUDIANTEE 3 Recurrealarectanumérica,ubicaalceroenlamitaddeésta,numerandoenformasimétrica hastaterminarlospuntosmarcados.enelítem(15 7),nocolocaenlarectaelnúmero15,sólo agrega3arcospararepresentarelminuendo15,yseregresahacialaizquierdacontando7arcos, llegaalnúmero8delarectaqueeselresultadobuscado.enelsegundoítem,apartirdel6sobre larecta,realizaunconteounoauno,delos15arcoshacialaizquierdayllegaalresultado 9. RESPUESTASDELESTUDIANTEE 4 Enelprimerítem,colocaelunodondeinicialarecta.Trabajaconnúmerosnaturales,realizala sustracciónsinconsiderarlosintervalosdeunpuntoaotro,loquecondujoalresultadoincorrecto 62 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar (15 7=9).Elconteounoaunoloindicótachandolosnúmeros.Enelsegundocasocomienzacon elnegativo15,alllegaralmenos1,sedetuvohaciendounapausa.seobservóquenopudoseguir numerandolarecta.surgióel síntomadeevitamientodelcero.laexpresión6 15=,la interpretacomo15 6=9,yaqueelestudianteobservólasmarcasnumeradasyapartirdel puntodenominadoporél 1,tachó6marcassinimportarsicorrespondíaonoalresultado buscado. RESPUESTASDELESTUDIANTEE 5 Enelprimertérmino,recurrealarectanumérica.Laextensióndelaprimerarectaesde 7a15. Lasegundarectarecorrede 15a6.Nótesequeel7estransferidoalarectacomo 7yel15 como 15.Enlarectasólorepresentaelminuendoyelresultadoconunpuntosobreelnúmero correspondiente.elceroescolocadosobrelarectayutilizadopararealizarlasoperacionesvíael conteo. 63 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 RESPUESTASDELESTUDIANTEE 6 Enprimertérminoresuelvelasoperacionesindicadas.Alpasaralarectanumérica,solamentelas signacon + ó deacuerdoalresultadoobtenido.siésteespositivolarectaespositiva,sies negativo, la recta será negativa. En todos los casos propuestos el estudiante considera dos semirrectasporseparado,unaparalospositivosyotraparalosnegativos.solamenterepresenta elresultadodelaoperación,recurriendoalconteodeunoenuno,desdelaprimeramarcadela recta.elceroesignorado,suconteosiempreempiezaeneluno. RESPUESTASDELESTUDIANTEE 7. Lasexpresionesaritméticasplanteadassonresueltasenprimertérmino.Enlarectacolocaelcero enunpuntoarbitrario.inventaadicionesconlosnúmerosdados:15+7=22y6+15=2.los resultadosobtenidosloscolocaarbitrariamentesobrelarectanumérica,sinrelacionarlosconla 64 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar posicióndelcero.realizalaoperaciónplanteadavíaelconteo,haciendosusseñalamientoscon7y 15 arcos respectivamente. Los resultados de las operaciones son señaladas por puntos remarcados.nótesequeelceronoestásituadoencorrespondenciaalaserienuméricacorrecta. Discusión Delanálisisdelosítemsdelosestudiantes,sepuedeafirmarqueelsignificadodelcerocomo origenesreconocidovíatressituaciones:primera,unpuntofijoarbitrariolocalizadosobrelarecta numérica(e 1 );segunda,unpuntomóvilarbitrarioquecambiadeubicacióndependiendodelos valores numéricos involucrados en las operaciones (Estudiante E 2 ); tercera, un punto fijo inamovible,estoeselpuntomediodelarectanuméricarepresentada(e 3 ).Asímismo,surgióel evitamientodelceroorigencuando,primero,éstefuesimbolizadoperoignoradoalllevaracabo lasoperaciones(e 5 ye 7 );segundo,elceronofuesimbolizadoyademáselnúmerounofue consideradocomoelorigensobrelarectanumérica(e 4 ye 6 ). Lavinculaciónestablecidaentreelceroylanegatividadsemanifestócomosigue:tresestudiantes (E 1,E 2 ye 3 )reconocennegativossignadosyelceroorigen.dosestudiantes(e 4 ye 5 )aceptan negativos signados pero evitan el cero como número. Otros dos estudiantes (E 6 y E 7 ) no representannúmerossignadosnitampocoreconocenalcero.enconsecuencia,podemosconcluir queelreconocimientodenúmerossignadosnoconllevanecesariamentealaidentificacióndel cerocomonúmero.observamosademás,quetodoslosestudiantesutilizaronelmodelodela rectanuméricaparatratarderealizarlasoperacionesdelasustracción.así,e 1 representólas accionesconsegmentosdirigidos;e 2 ye 3 conarcossobrelarectanumérica;e 4 tachólosvalores correspondientes;e 5 colocópuntossobrelosnúmeros;e 6 utilizópuntosysegmentosdirigidos,y porúltimo,e 7 representósusaccionesmediantepuntosyarcossobrelarectanumérica.sin embargo,notodosutilizaronestemodelocomotal,sóloe 1,E 3 ye 5 realizaronlassustraccionesen formacorrecta. Unsucesodegranrelevanciaqueseobservóenelvideograbacionesrealizadasalosestudiantes, fueloquehemosdenominado síntomadeevitamientodelcero quesemanifestóenelhechode que los estudiantes no podían continuar numerando la recta al aproximarse a la marca correspondientealcero.lassituacionesdescritasyanalizadasfueronreiterativasentodoslos 65 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 ítemsresueltosporlossujetosdelestudioyhanpermitidolaidentificacióndeotrosignificadodel cero, el cero origen. Hasta el momento, se han reconocido en nuestra investigación seis significados:elceronulo,elcerototal,elceroimplícito,elceroaritmético,elceroalgebraicoyel ceroorigen.esevidentequeestoshallazgostienenqueservalidadosporunestudioempíricoa mayorprofundidadqueyaseestarealizando,asícomotambiénproseguirlaindagaciónhistórico epistemológicaquedarárespuestaalaspreguntasdeinvestigaciónd),e),f). Referenciasbibliográficas Bruno,A.,Martinón,A.(1994).Straightlinesinthelearningnegativenumbers.Suma18,3948. Filloy,E.(1999).Theoreticalaspectsofeducationalalgebra.ResearchinEducationalMathematics. Mexico:GrupoEditorialIberoamérica. Gallardo,A.yHernández,A.(2005).TheDualityofZerointheTransitionfromArithmeticto Algebra.EnH.ChickyJ.Vincet(Eds.),Proceedingsofthe29 th ConferenceoftheInternational Group for the Psychology of Mathematics Education. 3, (pp. 17 24). Melbourne: University ofmelbourne. Gallardo,A.(2002).Theextensionofthenaturalnumberdomaintotheintegersinthetransition fromarithmetictoalgebra.educationalestudiesinmathematics.49,171192. Gallardo,A.,Hernández,A.(2006).TheZeroandNegativityAmongSecondarySchoolStudents.En ProceedingsoftheXXXPME3,(pp.153 160).Prague:CharlesUniversity. Janvier,C.(1985).Comparisonofmodelsaimedatteachingsignedintegers.EnProceedingsofthe NinethMeetingofthePME,(pp.135140).TheNetherlands:StateUniversityofUtrecht Peled, I. (1991). Levels of knowledge about signed numbers: Effects of age and ability. En F.Furinghetti (Ed.). Proceedings of the 15 th Conference of the International Group for the PsychologyofMathematicsEducation.3,(pp.145 152).Assisi,Italy:PME. Resnick,L.B.(1983).Adevelopmentaltheoryofnumberunderstanding.EnH.Ginsburg(Ed.),The developmentofmathematicalthinking.newyork:academicpress. 66 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.