Plan de clase (1/3) Escuela: Fecha: Profesor (a):

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1 Plan de clase (1/3) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema. Intenciones didácticas: Que los alumnos reconozcan las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, que modelan un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2, como la solución del mismo. Consigna 1. En equipos, resuelvan el siguiente problema: Un autobús de pasajeros va a cruzar la frontera. Está a 100km del cruce fronterizo. A la media hora de la salida del autobús, mandan a un mensajero en motocicleta para que alcance al autobús y entregue un paquete, pero tiene que alcanzarlo antes de que el autobús cruce la frontera. 1. Si el autobús circula a 60km/h y la motocicleta a 80km/h, creen que la motocicleta alcance a tiempo al autobús? 2. Cuántos kilómetros tendrá que recorrer la motocicleta para alcanzar al autobús? Revisen sus soluciones y procedimientos en grupo. Consideraciones previas: Es probable que los alumnos intenten solucionar el problema mediante procedimientos aritméticos, como ensayo y error o el uso de tablas. Es muy recomendable que de tiempo a estas exploraciones numéricas, pues a partir de ellas los estudiantes darán sentido al método gráfico para la solución de sistemas de ecuaciones. Se recomienda también que ayude a los equipos a realizar sus cálculos y despejar sus dudas. En especial, ayúdelos a notar la importancia que tiene determinar la distancia recorrida por ambos, tanto por el autobús como por la motocicleta, para solucionar el problema, pues para que se el alcance las distancias recorridas tienen que ser iguales. Además, ayude a notar la relación entre los tiempos de salida de cada uno de ellos (el autobús sale ½ hora antes; entonces, cuando sale la motocicleta, el autobús ya ha recorrido 30km). Es probable que algunos alumnos respondan la primera pregunta con estos métodos (la motocicleta no alcanza a tiempo al autobús, el autobús cruza la frontera 5 minutos antes que la motocicleta, que tarda 1:15 en llegar a la frontera). Sin embargo, la pregunta 2 es más complicada de responderse con estrategias numéricas. Se sugiere introducir entonces las ecuaciones para modelar el problema y contestar esta pregunta. Puede pedir: Encuentren las ecuaciones que permiten saber la distancia recorrida por el autobús (d A ) y por la motocicleta (d M ) en función del tiempo, pero cuenten el tiempo a partir de que la motocicleta comienza su recorrido. Usen la letra t para representar este tiempo. Pueden usar estas ecuaciones para saber cuándo alcanza la motocicleta al autobús?, cómo las usarían?

2 Las ecuaciones buscadas son: Distancia recorrida por el autobús: d A = 60t + 30 (kilómetros) Distancia recorrida por la motocicleta: d M = 80t (kilómetros) Se recomienda revisar las relaciones de las ecuaciones con el problema, recuperando los cálculos que los estudiantes hayan hecho hasta este momento. Este sistema de ecuaciones permite encontrar el tiempo t en que la motocicleta alcanza al autobús. Y se puede resolver por los métodos algebraicos estudiados en el Plan de clase anterior (G8B5C1), como el de igualación. Sin embargo, se sugiere que se pida a los alumnos que grafiquen las ecuaciones y que pregunte: Cuáles son las coordenadas del punto donde se cruzarán las rectas que corresponden a las ecuaciones? Es muy importante hacer notar que para el punto de intersección las distancias son las mismas y que los tiempos también (calculados a partir de que la motocicleta sale): (1.5 horas, 120 kilómetros), tanto para el autobús como para la motocicleta. Señale que éste es el método de graficación para la resolución de ecuaciones y haga un resumen de sus pasos. Además, estas ecuaciones se pueden resolver también, por ejemplo, por el método de igualación y pregunte cuál de los métodos prefieren? Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

3 Plan de clase (2/3) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que tienen asociados sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, empleando el método gráfico. Consigna: Organizados en equipo, resuelvan los siguientes problemas empleando el método gráfico. 1. Pensé dos números; el segundo de ellos se puede obtener de dos maneras: si al primero lo multiplico por 2 y al resultado le resto 8; pero también se puede obtener si al primero lo multiplico por 4 y al resultado le sumo 2. Qué números pensé? 2. Hallar dos números cuya diferencia sea 7 y tales que el más pequeño sea igual a 2/3 del grande. Consideraciones previas: Es importante verificar la formulación de los sistemas de ecuaciones. Estos son, respectivamente: y = 2x 8 y = 4x + 2 y x y = 7 y = 2/3 x En el caso del segundo sistema, quizás sea necesario ayudar a efectuar el despeje. Algunas de las dificultades que pueden presentarse al graficar los sistemas pueden ser la precisión de la ubicación de los puntos y la definición de las escalas de los ejes. Se recomienda usar hojas de papel cuadriculado y usar una escala de un cuadrito por cada número en ambos ejes (las soluciones son (-3, -10) y (21, 14), respectivamente). Al realizar la graficación de cada una de las rectas, es importante enfatizar que todos los punto de cada recta satisfacen la ecuación correspondiente. Para el problema 1 se recomienda hacer notar que, por ejemplo, los puntos (0, -8) y (1, -6) de la recta 1 satisfacen la primera ecuación; y que los puntos (0, 2) y (1, 6) satisfacen la segunda ecuación; pero ninguno de los cuatro puntos satisface al mismo tiempo las dos ecuaciones. Así, se recomienda enfatizar que la solución es un punto que satisface las dos ecuaciones al mismo tiempo y que, por lo tanto, está en las dos gráficas, lo cual corresponde al punto de intersección. Si usted lo considera conveniente, puede plantear más problemas como los anteriores y tomarlos del libro de texto de los alumnos. Uno de ellos puede ser: Dos terrenos tienen las formas y dimensiones que se muestran en las figuras. Si el perímetro del terreno rectangular es de 60 metros y el del triangular de 100 metros, Cuánto miden los lados de cada terreno?

4 x 3x 3x y 2y El sistema correspondiente es: 2x + 2y = 80 6x + 2y = 100 En este caso, se sugiere ayudar a los alumnos a realizar los despejes necesarios. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

5 Plan de clase (3/3) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema. Intención didáctica: Que los alumnos reflexionen sobre las características de un sistema de ecuaciones y estudien casos en los cuales no hay solución o hay una infinidad de soluciones. Consigna 1. En equipos utilicen el método gráfico para resolver el siguiente problema. Posteriormente contesten lo que se pide. Hallar dos números tales que 3 veces el segundo menos 6 veces el primero da por resultado 9; al mismo tiempo que 12 veces el primero menos 6 veces el segundo da por resultado 18. a) Qué características tienen las rectas que se graficaron? b) En qué punto se intersecan las rectas? c) Cuál es la solución del problema? Por qué? Consigna 2: Resuelvan el siguiente problema también por el método gráfico. Juan y María son esposos y trabajan en la misma fábrica, si juntan los salarios de ambos obtienen $ al día. Juntaron el salario de los seis días en que trabajaron la semana pasada y lograron acumular $1, a) Cuál es el salario de cada uno? b) Es la única solución? por qué? Consideraciones previas: Esta sesión está dedicada a la reflexión sobre la relación entre las ecuaciones de un sistema, sus gráficas y el conjunto solución. El primer problema presenta un ejemplo del caso en que el sistema no tiene solución. Las gráficas correspondientes son dos rectas paralelas. De aquí, se espera que los alumnos lleguen a la conclusión de que no existe un punto de intersección. Se recomienda que se de suficiente tiempo a la reflexión sobre este hecho y, de ser necesario, que se pruebe con varias parejas de números, ubicándolos en las rectas y verificando que, al ser rectas paralelas, no habrá puntos (parejas de números) en común. Se recomienda también hacer notar las relaciones entre las gráficas y la pendiente y ordenada al origen y observar que cuando las pendientes son iguales las rectas son paralelas y el sistema no tiene solución. (En el Plan de clase G8B5C6 se estudia más a fondo la relación entre los parámetros de la ecuación de la recta y su gráfica).

6 A continuación se muestran las gráficas y las ecuaciones escritas en forma explícita: El segundo problema presenta un caso en el cual hay un número infinito de soluciones. Se espera que los alumnos identifiquen que las gráficas son dos rectas sobrepuestas, que corresponden a la misma recta, de manera que tienen una cantidad infinita de puntos comunes o intersecciones. Por esto el problema y el sistema tienen infinidad de soluciones. Es recomendable que además, haga notar que en este caso la pendiente y ordenada al origen es igual en ambas ecuaciones (al ser simplificadas). A continuación se muestran las gráficas (sobrepuestas) de las dos rectas del sistema: Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

7 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre