INTEGRAL DE SUPERFICIE

INTEGRAL E UPERFICIE 1. Geometría de las superficies. Entendemos por superficie el lugar geométrico de un punto que se mueve en el espacio R 3 con dos grados de libertad. También podemos pensar una superficie como el resultado de enrollar, curvar y comprimir un plano en el espacio. Analíticamente, una superficie se define como imagen de una función vectorial, que será su parametrización. Más concretamente, una parametrización de una superficie es una función Φ : R 2 R 3 definida por y definimos = Φ(). Φ(u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ), (u, v), iremos también que una superficie es diferenciable cuando admita alguna parametrización diferenciable. 1) El caso más simple de superficie dada por su fórmula explícita z = f(x, y) se puede parametrizar por Φ(u, v) = ( u, v, f(u, v) ). 2) La función Φ(u, v) = (u cos α cos v, u cos α sen v, u sen α), con (u, v) R [, 2π], tiene por imagen el cono z 2 = k 2 (x 2 + y 2 ), con k = tg α. 3) Un cilindro de ecuación x 2 + y 2 = a 2 se parametriza por la función Φ(u, v) = (a cos v, a sen v, u), con u R, v 2π. 4) La esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 se parametriza por la función Φ(u, v) = (a cos u sen v, a sen u sen v, a cos v), con (u, v) [, 2π] [, π]. 5) La superficie parametrizada por Φ(u, v) = ( u + v, (u + v) 2, (u + v) 3) degenera en una curva. 6) i < b < a, la parametrización Φ(u, v) = ((a+b cos u) sen v, (a+b cos u) cos v, b sen u) determina un toro. 1 Geometría de las superficies

2. Vector normal a una superficie. ea R 2 un abierto y Φ : R 3 una parametrización de la superficie diferenciable en un punto (u, v ). Entonces las aplicaciones Φ v (u) = Φ(u, v ), Φ u (v) = Φ(u, v) representan dos curvas que, en un entorno de (u, v ), están contenidas en. Los vectores T u = ( x u, y u u), z ( (u x, T v =,v ) v, y v, z ) (u v,v ) son tangentes a dichas curvas en el punto Φ(u, v ). i dichos vectores no son colineales, determinan el plano tangente a la superficie en ese punto, de modo que T u T v es un vector normal a la superficie. Llamaremos puntos singulares aquellos en los que T u T v = y puntos regulares aquellos en los que T u T v. Una parametrización es regular cuando todos sus puntos son regulares. iremos entonces que la superficie es suave (o regular) cuando admite alguna parametrización regular; en este caso el plano tangente tiene por ecuación (x x, y y, z z ) n =, donde x = x(u, v ), y = y(u, v ), z = z(u, v ), y n = T u T v. 1) La superficie x = u cos v, y = u sen v, z = u (u ), no es suave en (, ) pues T v (, ) = (,, ). 2) Para determinar la ecuación del plano tangente a la superficie Φ(u, v) = (u cos v, u sen v, u 2 + v 2 ) correspondiente al punto (1, ), calculamos Φ(1, ) = (1,, 1), T u (1, ) = (1,, 2), T v (1, ) = (, 1, ), con lo que T u T v = ( 2,, 1) y la ecuación se escribe como (x 1, y, z 1) ( 2,, 1) =, o bien 2x + z + 1 =. 2

3) i una superficie es la gráfica de una función g : R 2 R, la superficie es suave en todos los puntos ( x, y, g(x, y ) ) para los que g es diferenciable. 4) Las parametrizaciones Φ 1 (u, v) = (u, v, ) y Φ 2 (u, v) = (u 3, v 3, ) determinan la misma superficie, el plano z =. e ellas, Φ 1 es regular pero Φ 2 tiene como puntos singulares los del tipo (u, ) y (, v ). 5) La semiesfera unidad x 2 +y 2 +z 2 = 1, con z, se puede parametrizar de dos formas: Φ 1 (u, v) = (u, v, 1 u 2 v 2 ), = {(u, v) : u 2 + v 2 1} Φ 2 (u, v) = (cos u sen v, sen u sen v, cos v), = {(u, v) : u 2π, v π/2}. Con Φ 1 el ecuador está formado por puntos singulares (no existen z u, z en dichos v puntos) y con Φ 2 el polo norte es el único punto singular (pues T u T v (u, π/2) = ). 3. Área de una superficie. ada una superficie suave parametrizada por la función Φ : R 3, el área de se define por a() = T u T v dudv. e puede demostrar que, bajo condiciones de regularidad, el resultado es independiente de la parametrización utilizada. 1) i la superficie viene dada por su fórmula explícita z = f(x, y), (x, y), entonces el área se calcula mediante la fórmula a() = 1 + ( f ) 2 ( f ) 2 + dxdy. x y 2) Teorema de Pappus. i es la superficie de revolución obtenida al girar una curva plana de longitud L alrededor de un eje situado en el plano de la curva, el área de la superficie es 2πLh, donde h es la distancia del centro de gravedad de la curva al eje de rotación. Veamos la demostración en el caso de la superficie de revolución obtenida al girar la curva C definida por la función y = f(x) (a x b) alrededor del eje X. icha superficie se parametriza por Φ(u, v) = ( u, f(u) cos v, f(u) sen v ), a u b, v 2π. 3

Como T u T v = (f(u)f (u), f(u) cos v, f(u) sen v), entonces T u T v = f(u) 1 + (f (u)) 2, y a() = b dv f(u) 1 + (f (u)) 2 du = 2π y ds = 2π y L. a C 3) Para calcular el área del cono parametrizado por Φ(u, v) = (u cos v, u sen v, u), donde (u, v) = {(u, v) : u 1, v 2π}, determinamos en primer lugar el vector normal: Así pues, T u = (cos v, sen v, 1), T v = ( u sen v, u cos v, ), T u T v = ( u cos v, u sen v, u), T u T v = u 2. a() = u 2 dudv = dv u 2 du = π 2, lo que concuerda con lo establecido por el teorema de Pappus. 4) Un helicoide está parametrizado por la función Φ(u, v) = (u cos v, u sen v, v), en = {(u, v) : u 1, v 2π}. En este caso, T u T v = (sen v, cos v, u) y T u T v = 1 + u 2. Por lo tanto, el área de la superficie viene dada por a() = dv 2 + ln(1 + 2) 1 + u2 du =. 2 4. Integral de superficie de campos escalares. ea una superficie parametrizada por una función diferenciable Φ : R 2 R 3 y f : Φ() R un campo escalar acotado en = Φ(). e define la integral de f a lo largo de la superficie como f d = siempre que la última integral exista. f ( Φ(u, v) ) T u T v dudv, 1) i f 1, la integral representa el área de. 2) i f(x, y, z) representa la densidad de una lámina en cada punto de una superficie, la masa de la superficie es m = 4 f d.

3) El centro de gravedad de la lámina anterior es el punto ( x, y, z), donde x = 1 m x f(x, y, z) d, y = 1 m y f(x, y, z) d, z = 1 m z f(x, y, z) d. 4) i f(x, y, z) representa la temperatura en cada punto de una superficie, el flujo de calor a través de la superficie se determina por f d y la temperatura promedio de la superficie es T = f d 1 d. 5. Integral de superficie de campos vectoriales. ea una superficie parametrizada por una función diferenciable Φ : R 2 R 3 y F : Φ() R 3 un campo vectorial acotado en = Φ(). e define la integral de F a lo largo de la superficie a F d = F (Φ(u, v)) (T u T v ) dudv = F n d, donde n es el vector unitario normal a la superficie. icha integral también recibe el nombre de flujo de F a través de por el significado físico que representa. Notación. i F = (F 1, F 2, F 3 ) es un campo vectorial, la integral de F a lo largo de una superficie se suele denotar por F = F 1 dydz + F 2 dzdx + F 3 dxdy. El motivo de esta notación es que el vector normal n es igual a n = i (y, z) (u, v) + j (z, x) (u, v) + (x, y) k (u, v). Independencia de la parametrización. Consideraremos aquí superficies orientadas, es decir superficies en las que, en cada punto, existen dos vectores normales unitarios n 1 y n 2, con n 1 = n 2, de manera que para cualquier elección del vector unitario normal n en cada punto de, n varía de forma continua a lo largo de. Así, cada elección de n da lugar a una orientación de la superficie. En el caso de una superficie cerrada, se conviene en llamar orientación positiva 5

aquella en la que los vectores normales sealan hacia el exterior del sólido que limita la superficie. el mismo modo, si la superficie viene definida por su fórmula explícita z = f(x, y), se considera el lado positivo de aquél en que la componente k del vector normal es positiva. Teniendo en cuenta este hecho, decimos que una parametrización Φ de conserva la orientación de ésta cuando T u T v es un vector que apunta hacia el lado positivo de. En caso contrario, decimos que Φ invierte la orientación. e puede probar entonces que la integral de superficie de un campo vectorial es independiente de la parametrización siempre que conserve la orientación de la superficie. En caso contrario, el resultado es el opuesto. 1) i F (x, y, z) = (, y, ) representa la velocidad de un fluido, para calcular la razón del flujo de dicho fluido que atraviesa la superficie = {(x, y, z) : x 2 +z 2 = y, y 1}, en primer lugar consideramos la siguiente parametrización de la superficie: Φ(u, v) = (u cos v, u 2, u sen v), u 1, v 2π. El vector normal a la superficie viene dado por: T u T v = (cos v, 2u, sen v) ( u sen v,, u cos v) = (2u 2 cos v, u, 2u 2 sen v). Entonces, F d = dv (, u, ) (2u 2 cos v, u, 2u 2 sen v) du = 2π u 2 du = 2π 3. El signo negativo del resultado es debido a que el vector normal tiene sentido opuesto al del movimiento del fluido (la componente j de F es positiva pero la de n es negativa). Así pues, la razón de flujo que atraviesa la superficie es de 2π/3. 2) upongamos que la temperatura de un punto de una esfera es proporcional al cuadrado de la distancia de dicho punto al centro de la esfera. Es sabido que el flujo de calor viene medido por el campo vectorial F = k T, donde k > representa la conductividad del medio y T la temperatura. Para calcular la razón total del flujo de calor que atraviesa la esfera (la cual supondremos que tiene centro el origen y radio a), consideremos la parametrización de 6

dada por Φ(u, v) = (a cos u sen v, a sen u sen v, a cos v), u 2π, v π, y calculemos el flujo de calor. Como T (x, y, z) = C (x 2 + y 2 + z 2 ), entonces F (x, y, z) = k T (x, y, z) = k C (2x, 2y, 2z). El vector normal exterior a la superficie es T u T v = (a 2 cos u sen 2 v, a 2 sen u sen 2 v, a 2 sen v cos v) y la razón de flujo viene dada por la integral π F d = du 2kC a 3 sen v dv = 8πk C a 3. En este caso particular, podríamos haber simplificado los cálculos teniendo en cuenta que, si denotamos por r = (x, y, z) un punto de la superficie, el vector unitario normal exterior es también n = (x,y,z) a = r a. Como F (x, y, z) = 2k C r, entonces F n = 2k C a. Por tanto, F n = 2k C a área () = 8πk C a 3. 3) i E(x, y, z) = (2x, 2y, 2z) es un campo eléctrico, encontrar el flujo de E que sale a través de la superficie cerrada que consta de la semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 1, z, y su base. Como los puntos de la circunferencia x 2 + y 2 = 1, z =, son singulares, debemos descomponer la superficie en dos partes, de modo que llamaremos 1 a la semiesfera y 2 al círculo que forma la tapa inferior. Una parametrización de 1 viene dada por la función Φ 1 (u, v) = (cos u sen v, sen u sen v, cos v), u 2π, v π/2. El vector normal a la superficie es T u T v = ( cos u sen 2 v, sen u sen 2 v, sen v cos v) 7

(observar que la componente k de dicho vector es negativa por lo que el vector normal apunta hacia el interior de la superficie; el resultado de la integral será opuesto al flujo deseado). Así pues, el flujo a través de 1 es 1 E d = π/2 du 2(cos 2 u sen 3 v + sen 2 u sen 3 v + sen v cos 2 v) dv = 4π. Análogamente, si parametrizamos la superficie 2 por Φ 2 (u, v) = (u cos v, u sen v, ), u 1, v 2π, el vector normal asociado es T u T v = (cos v, sen v, ) ( u sen v, u cos v, ) = (,, u) (que apunta hacia el interior de la superficie pues la componente k es positiva; el resultado de la integral tendrá valor opuesto al flujo deseado). El flujo a través de la superficie es 2 E d = du dv =. La suma de ambos resultados da, en definitiva, que E d = 4π. 8