SERIE TEMPORAL TASA PASIVA REFERENCIAL ECUADOR MAT. GEOVANNY TOALOMBO Agosto 20 Se presenta a continuación el estudio de la serie de tiempo, para la Tasa Pasiva Referencial fuente Banco Central de Ecuador (TP). El estudio de la presente serie toma como datos fuente, la información semanal de la tasa pasiva referencial, obteniendo la misma desde julio del 2001 hasta agosto del presente año 20. El objetivo que se persigue con el análisis de la serie TP es predecir el valor de la tasa pasiva en las 12 futuras semanas del año en curso. Para ello se tratará de construir un modelo que no solo se ajuste bien a los datos observados sino que, además garantice de alguna manera que las predicciones también se ajustarán bien a las observaciones futuras. En el gráfico presente se observa la evolución en el tiempo de la TP, a simple vista no podemos definir claramente la tendencia o evolución de la serie, en especial para especificar comportamientos futuros para esta serie. Dispersión Tasa Pasiva BCE 7.0 6.0 pasiva 5.0 1 91 82 73 64 55 46 37 28 19 10 4.0 3.0 136 127 118 109 100 semana 271 262 253 244 235 226 217 208 199 190 181 172 163 154 145 Para analizar esta serie y conocer cual su comportamiento en especial, necesariamente se realizará un primer diagnóstico de la forma y tendencia de esta, para luego interpretar esta serie a través un modelo que se ajuste adecuadamente a las observaciones y que al mismo tiempo mantenga significativa capacidad predictiva. Las técnicas más utilizadas para este tipo de datos que no pueden ser tratados por modelos lineales convencionales, son las denominadas series de geotaph@hotmail.com 1
tiempo Geo, en el presente estudio se examinará la serie Tasa Pasiva a través de estas técnicas. La manera más utilizada de obtener un primer análisis de la serie, es desarrollar las gráficas las funciones de autocorrelaciones simples y autocorrelaciones parciales de la serie original. Tal como se muestra en los gráficos a continuación, se observa que para la función de autocorrelaciones simples en general, todos sus coeficientes no son nulos, presentan una estructura positiva y decrecen ligeramente con el retardo de manera exponencial. Tasa Pasiva - Autocorrelaciones Límites confidenciales Límite inferior de confianza ACF Este gráfico de la función de autocorrelaciones simples indica cierta tendencia decreciente de la serie original pues sus coeficientes presentan una estructura positiva con decrecimiento lento. Mientras que por otro lado los primeros coeficientes de la función de autocorrelaciones parciales son altos es decir no son nulos disminuyendo con Geo Los primeros estudios para describir el comportamiento de una serie histórica de datos, hace referencia a los años 50 donde se trataba a la información de manera determinística, las primeras técnicas utilizadas fueron los alisamientos, descomposiciones, regresiones múltiples y modelos econométricos conocidos; luego a partir de los años 60 comienza a tratarse la parte estocástica a través del procedimiento sistemático de Box-Jenkins, para los años 70 aparecen ya modelos mas completos como los ARIMA, de Kalman y modelos vectoriales AR. geotaph@hotmail.com 2
tendencia a valores pequeños casi todos cercanos a cero a medida que aumenta el retardo, a excepción del período 13. Tasa Pasiva - Autocorrelaciones Parciales Límite inferior de confianza ACF parcial Comportamientos similares de estas gráficas nos sugieren estudiar en primer lugar si el proceso es estacionario o no, para determinar si son: - Modelos medias móviles MA(q), - Modelos Autoregresivos AR(p), - Modelos Mixtos ARIMA(p,d,q) ó - Modelos ARIMA(p,d,q)(P,D,Q) s Para identificar cual modelo aplicar, comenzaremos por determinar primero si la serie es estacionaria Geo, analizaremos básicamente si la varianza es o no constante, es decir que no se altera al analizar grupos de observaciones en periodos distintos con iguales intervalos de tiempo. Para tal efecto, procederemos de la siguiente manera, concentrando las observaciones en grupos iguales de periodos de tiempo con el mismo número de datos y realizamos la prueba de Levene para la homogeneidad de varianzas de la serie de tasas pasivas clasificadas en factores o grupos. Esta prueba permite comprobar la hipótesis de que los grupos escogidos proceden de poblaciones con varianza común. El resultado de esta prueba de Levene se muestra en el cuadro a continuación. Geo Definición de Estacionalidad en Anexo 1 geotaph@hotmail.com 3
Prueba de homogeneidad de la varianza pasiva Basándose en la media Basándose en la mediana. Basándose en la mediana y con gl corregido Basándose en la media recortada Estadístico de Levene gl1 gl2 Sig. 8,143 8 264,000 7,179 8 264,000 7,179 8 152,844,000 7,857 8 264,000 Puesto que todos los p-valores asociados son < 5 se rechaza la hipótesis nula de homogeneidad de varianza, es decir hay razón suficiente para afirmar que no existe homogeneidad de varianzas de la serie, en palabras resumidas la serie estudiada no es estacionaria pero presenta tendencia como se apreció al estudiar el gráfico de autocorrelaciones simples; esto nos indica entonces realizar una derivada o derivadas no estacionales a los datos para estabilizar la varianza. Procedemos entonces a aplicar una derivada no estacional a la serie original. A continuación se muestra los nuevos gráficos de las funciones de autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales para la serie luego de la transformación a partir de una derivada no estacional (d). Tasa Pasiva - Autocorrelaciones 1ra derivada no estacional ACF geotaph@hotmail.com 4
Tasa Pasiva - Autocorrelaciones Parciales 1ra derivada no estacional ACF parcial En especial con la aplicación de una derivada no estacional si observamos el gráfico de autocorrelaciones simples, su estructura ya deja de mostrar todos sus coeficientes altos con lento decrecimiento, es decir ya no presenta tendencia. En consecuencia una única derivada no estacional bastará para eliminar la tendencia y estabilizar la varianza de la serie (d = 1). Ahora, observemos la estructura en los nuevos gráficos de las funciones de autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales: el primer coeficiente (q= 1) de la función de autocorrelaciones simples no es nulo, luego para el resto de coeficientes existe tendencia a acercarse a cero. Por otro lado para la función de autocorrelaciones parciales se encuentran varios coeficientes no nulos que decrecen con el retardo de manera exponencial. Comportamientos de este estilo sugiere en principio aplicar un proceso integrado de media móvil de orden q, MA(q) a la serie transformada para posteriormente afinar le modelo. La figura siguiente muestra los estadísticos de prueba al aplicar un proceso media móvil de orden 1 (q = 1). Figura Model Description Variable: pasiva Non-seasonal differencing: 1 No seasonal component in model. Parameters: Initial values: MA1 = 0,46330 geotaph@hotmail.com 5
Analysis of Variance: DF Adj. Sum of Squares Residual Variance Residuals 271 27,239508,10028227 Variables in the Model: B SEB T-RATIO APPROX. PROB. MA1,68365601,04472185 15,286844, 0000000 Observemos que el p-valor (APPROX. PROB) para el modelo MA(1) es cero y el estadístico T-radio de prueba es alto, estos indican un buen ajuste del modelo; además el análisis de la varianza residual es pequeña. Ahora analicemos los gráficos de las funciones de autocorrelaciones simples y parciales correspondientes a este modelo, estas indican una buena aplicación y buen ajuste ya que todos los coeficientes se encuentran dentro de los intervalos de confianza de cero, a excepción del coeficiente correspondiente al período 13 para ambos casos; recordemos las gráficas anteriores en ellas se encontraba coeficientes fuera de las bandas por lo general por este mismo retardo. Tasa Pasiva Autocorrelaciones Modelo ARIMA (0, 1, 1) ACF Esto indica la existencia de correlación residual, es decir una componente estacional para los retardos, por ende nos encontramos en la búsqueda de un modelo tipo ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s. geotaph@hotmail.com 6
Tasa Pasiva - Autocorrelaciones Parciales Modelo ARIMA(0, 1, 1) ACF parcial Determinación de los órdenes p, d, q, P, D, Q del modelo mixto. Luego del análisis de tendencia y estacionalidad se conoció que la serie tiene tendencia decreciente y además no es estacional, entonces fue necesario transformar la serie a través de únicamente una derivada no estacional (d = 1) y ninguna derivada estacional (D = 0) para estabilizar la varianza y eliminar la tendencia. A partir de lo cual se aplicó un proceso media móvil (q = 1) y no fue necesario un proceso autorregresivo (p =0). Los residuales de la serie muestran la parte estacional de período s = 13, entonces realizamos los ensayos para obtener los parámetros faltantes que tal manera que obtengamos el mejor modelo. A continuación se muestra los gráficos de las funciones de autocorrelaciones para los residuales para el modelo loable encontrado, ARIMA(0, 1, 1)x(1, 0, 0) 13 Autocorrelaciones Simples Residuos del Modelo ARIMA(0,1,1)x(1,0,0)13 ACF geotaph@hotmail.com 7
Autocorrelaciones Parciales Residuos Modelo ARIMA(0,1,1)x(1,0,0)13 ACF parcial Se observa que ahora todos los coeficientes tanto de las partes superiores o inferiores están dentro de las bandas o muy próximas a cero, es decir son prácticamente nulos, por lo que ya no hay ninguna evidencia de estacionalidad ni ningún tipo de estructura, afianzando la validez del modelo encontrado. A continuación se presenta las pruebas concernientes a la estimación de los parámetros y estadísticos asociados, y la validación del modelo este último consiste en comprobar que el proceso bajo el modelo es un ruido blanco Geo. Forecast Summary ---------------- Nonseasonal differencing of order: 1 Forecast model selected: ARIMA(0,1,1)x(1,0,0)13 Number of forecasts generated: 12 ARIMA Model Summary Parameter Estimate Stnd. Error t P-value ---------------------------------------------------------------------------- MA(1) 0,686587 0,0440076 15,6016 0,000000 SAR(1) 0,205569 0,0579458 3,5476 0,000458 ---------------------------------------------------------------------------- Estimated white noise variance = 0,0970451 with 270 degrees of freedom Estimated white noise standard deviation = 0,311521 Observemos que los p-valores asociados al valor estadístico de contraste t son menores a 5 por lo que nuestro modelo encontrado es aceptado a un nivel significativamente alto del 95% de confiabilidad. Geo Definición de Ruido Blanco, en Anexo 2 geotaph@hotmail.com 8
El siguiente paso luego de encontrar un buen modelo que se ajuste a la información, es comprobar su capacidad de predicción, en este sentido una Prueba de Normalidad es requerida, en donde los residuos de las observaciones y los residuos esperados bajo la hipótesis de normalidad, se reduce a comprobar la distribución de ambas variables residuales. Una alternativa para el estudio de la normalidad es la prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov. Si el p-valor asociado al valor del estadístico de contraste es menor que α, se rechazará la hipótesis nula. La figura siguiente proporciona la prueba de Kolmogorov Smirnov para contrastar la hipótesis de normalidad de los residuos del modelo. Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra N Parámetros normales a,b Media Desviación típica Residuos arima 272 -,0219,309 Diferencias más extremas Z de Kolmogorov-Smirnov Sig. asintót. (bilateral) Absoluta Positiva Negativa a. La distribución de contraste es la Normal. b. Se han calculado a partir de los datos.,055,030 -,055,9,385 El p-valor asociado es suficientemente grande y se concluye que la diferencia observada entre la distribución de la serie de los residuos del modelo y la esperada no es significativamente significativa, en consecuencia se acepta la hipótesis de normalidad. geotaph@hotmail.com 9
El grafico siguiente muestra la serie original y la serie esperada con el modelo y además el pronóstico para 12 períodos. Predicción. Con la aplicación del modelo encontrado, a continuación se presenta las estimaciones para 12 periodos de la serie Tasa Pasiva Referencial. Pronóstico de la Tasa Pasiva con el Modelo Nro. Período Pronóstico L. sup. 95% L inf. 95% 1 28/08/20 4,25% 4,87 3,64 2 29/08/20 4,25% 4,89 3,61 3 30/08/20 4,34% 5,01 3,67 4 31/08/20 4,20% 4,89 3,5 5 01/09/20 4,22% 4,94 3,51 6 02/09/20 4,20% 4,94 3,46 7 03/09/20 4,16% 4,92 3,39 8 04/09/20 4,29% 5,08 3,5 9 05/09/20 4,20% 5,01 3,39 10 /09/20 4,24% 5,08 3,41 11 07/09/20 4,13% 4,98 3,28 12 08/09/20 4,17% 5,04 3,3 Prediccion L sup L inf 5.00 4.50 4.00 3.50 28- AUG- 29- AUG- 30- AUG- 31- AUG- 01-02- 03- fecha 04-05- - 07-08- geotaph@hotmail.com 10
ANEXO 1 Procesos Estacionarios Definimos primero un proceso estocástico como una familia de variables aleatorias que corresponden a momentos sucesivos del tiempo, una serie temporal puede ser considerada como una realización o trayectoria de un proceso estocástico. Un proceso estocástico {X t } es estacionario (en covarianzas) si: La media de X t es constante: E(X t ) = µ t = µ para todo t ( a lo largo del tiempo) La varianza de X t es constante: V(X t ) = σ t 2 = σ 2 para todo t ( a lo largo del tiempo) La correlación entre dos períodos distintos de tiempo X t y X t+ k depende únicamente del número de retardos que las separa. Ruido Blanco ANEXO 2 Un proceso puramente aleatorio o estacionario se caracteriza por su media igual a cero y su varianza constantes a lo largo del tiempo y porque no existe relación entre valores referidos a momentos distintos del tiempo (correlación = 0). En un tratamiento de series temporales se suele designar a un proceso puramente aleatorio con la denominación de ruido blanco. geotaph@hotmail.com 11