Laboratorio 4. Piezoelectricidad. Objetivo Analizar el comportamiento de un material piezoeléctrico ometido a un campo eléctrico de frecuencia variable. Etudiar el modelo eléctrico equivalente, determinado a partir de la frecuencia de reonancia erie y paralelo, y del factor de mérito del piezoeléctrico. El efecto piezoeléctrico Un material tiene caracterítica piezoeléctrica cuando al er ometido a compreione o deformacione mecánica (ademá de variar u dimenione fíica de acuerdo con la leye de la elaticidad), produce una polarización eléctrica, dada por la relación P = d σ. () P e el vector de polarización eléctrica, σ e el tenor de tenione (de egundo rango, o ea una matriz de 3x3), y d el tenor piezoeléctrico (de tercer rango). La componente σ jk del tenor de tenione indica la componente j de la tenión del cuerpo a travé de un área unitaria perpendicular al eje k. Aí, al ecribir () en forma má explícita P = d σ () i ijk jk j, k queda claro que d e un tenor propio del material, que determina cuál e la polarización inducida en cada dirección por la tenione mecánica aplicada al mimo. De la mima forma, un material piezoeléctrico e deformará mecánicamente al aplicárele un campo eléctrico E, egún la iguiente regla: ε ij = dijkek ; (3) k e puede ver que e el mimo tenor d el que determina cuál erá la componente i de la deformación a travé de un área perpendicular al eje j ( ε ij ), producida por un campo eléctrico E. Entonce un material piezoeléctrico, i e ometido por ejemplo- a vibracione acútica, generará entre u cara un campo eléctrico de la mima frecuencia que la
vibración (aí funcionan lo micrófono piezoeléctrico, y a la invera lo parlante de agudo o tweeter). La repueta en frecuencia de eto materiale no e plana, e decir, hay cierta frecuencia para la cuale la tranferencia de energía eléctricamecánica e máxima, y otra para la cuale éta e mínima. En ete entido, el piezoeléctrico e comporta de manera análoga a un circuito eléctrico L ometido a una excitación de corriente alterna (figura ). L ~ Figura : ircuito L erie, conectado a una fuente de corriente alterna La analogía e clara i e recuerda que la ecuación de movimiento de un cuerpo vibrando debido a la acción de una fuerza externa dependiente del tiempo e d x dx m + b + kx = F( t) (4) dt dt donde m e la maa del cuerpo, b el coeficiende de amortiguamiento (pérdida mecánica interna, en ete cao, y k e la contante elática del cuerpo. Eta ecuación e formalmente igual a la ecuación correpondiente a un circuito L erie, dada por: d i di d + + =. (5) L i dt dt dt La diferencia etá dada por lo que e denomina el factor de mérito o de calidad del reonador, Q. En dicho circuito, ete factor e define como L Q = ω (6) donde ω e la frecuencia de reonancia. Ete factor de mérito e un parámetro general de lo circuito reonante, y e puede definir en forma má general como Q ω = (7) ω ω + donde ω + y ω - on la frecuencia para la cuale la potencia tranferida del generador al crital (análogamente, de a en el circuito de la figura ) cae a la mitad de la L4-Piezoelectricidad
potencia máxima que e tranfiere en reonancia. En conecuencia, el ancho de la reonancia e inveramente proporcional a Q o dicho de otro modo, un valor grande de Q ignifica que la reonancia e muy etrecha y la etabilidad del reonador e grande (ν etá muy bien definida). E por eto que a Q e lo denomina factor de calidad del ocilador. El factor de calidad de un ocilador critalino e mucho má grande que el del circuito eléctrico. E por eto que cuando e requiere un reonador etable y precio e recurre a ete tipo de elemento, por obre lo ociladore eléctrico. La impedancia del circuito eléctrico equivalente de la figura e Z = + j ωl (8) ω Si y on la tenione de entrada y alida, e calcula a partir de la corriente que circula por el circuito, I: ( j t ) = exp ω y la tranferencia del circuito L reulta ( ) = I Z = exp jωt + Z T = = ( ) La potencia tranferida, en cambio, e calcula P tran ( I ) + + ωl ω ( + ) ( + ) + ωl (9) (0) = = () ω donde lo corchete indican un valor medio obre un período. La potencia máxima tranferida correponde a la frecuencia de reonancia, ω = L.Para definir el factor Q en término de lo elemento del circuito, a partir de () e encuentran la frecuencia ω + y ω -, para la cuale la potencia tranferida cae a la mitad. Aí, Q reulta ω Q = L + () El efecto de lo terminale El circuito eléctrico equivalente a tener en cuenta e un poco má complicado que el de la figura, ya que lo do electrodo que etán obre el piezoeléctrico funcionan L4-Piezoelectricidad 3
como una capacidad adicional, en paralelo con el ocilador critalino. E por eto que en el circuito eléctrico equivalente hay que incluir ete efecto, como una capacidad en paralelo con el piezoeléctrico (figura 3): PZT L Figura 3: ircuito equivalente del piezoeléctrico con lo electrodo de contacto La impedancia Z del circuito equivalente de la figura 3 e calcula fácilmente: hay que umar la impedancia en paralelo de la rama uperior (Z ) e inferior (Z ): Z = + j ωl ; ω. (3) Z = j ; ω Y la invera de eta impedancia Z e (Z -- e la admitancia Y) ωl Y = + j ω ω. (4) Z + ωl + ωl ω ω Se puede calcular el módulo cuadrado de la impedancia, que da la iguiente expreión: + ωl ω Z = ; (5) ω + ω ωl ω L4-Piezoelectricidad 4
la reonancia del circuito de la figura 3, en principio e pueden obtener de (0), pero lo mínimo de Z no on fácile de obtener. Sin embargo, e puede calcular la reonancia erie depreciando y evaluando la frecuencia que minimiza la impedancia o ea que anula la parte imaginaria de Z. Eto reulta para ω = (6) L (ω e un valor aproximado a la reonancia erie del circuito, donde la impedancia e puramente reitiva y la tranferencia e máxima). Para evaluar la antireonancia, que olo aparecen i e no nulo, e deprecia, uponiendo que la reitencia equivalente e chica comparada con la parte reactiva (X), reultando ω = + L (7) p con lo que ω p e la aproximación de la antirreonancia, o reonancia paralelo del circuito. En ete cao, la impedancia e máxima y la tranferencia tiene un mínimo. El valor de e puede etimar midiendo / en la reonancia, e decir T( w) = + Midiendo el ancho Q de la reonancia erie e puede calcular L, la inductancia del modelo equivalente [uando la expreión ()], y finalmente con lo valore de ω y ω p medido e pueden determinar lo valore de y. Sin embargo, no hay que olvidar que la expreione (6) y (7) on ólo aproximacione, por lo que una vez calculado lo valore de, L, y a partir de la medicione habrá que verificar i la aproximacione realizada on conitente. El experimento En eta práctica e etudiarán la caracterítica de un crital de cuarzo como reonador piezoeléctrico, iguiendo la analogía con circuito eléctrico. Sobre el crital e aplica una eñal eléctrica armónica, que genera ocilacione mecánica. Eta ocilacione, a u vez, generan una eñal eléctrica que e regitra en otra región del crital. oncretamente, el objeto de etudio e un monocrital de cuarzo cortado a +5º de uno de lo eje critalino, en forma de prima de bae cuadrada de 4mm de lado y 50mm de longitud. Do de u cara laterale etán metalizada y poeen do L4-Piezoelectricidad 5
alambre oldado. Sobre uno de ello e aplica la eñal de entrada ( ) y obre el otro e regitra la eñal tranmitida ( ), como e muetra en la figura. ~ PZT generador de funcione Figura : circuito utilizado en eta práctica. PZT:piezoeléctrico La tenione y e pueden medir imultáneamente con un ocilocopio. De eta forma e pueden medir amplitude y fae relativa. Encontrar la reonancia del piezo por divero método, Determinar lo parámetro equivalente del crital,, L,,, la frecuencia de reonancia y antireonancia, el factor de mérito y comparar lo reultado experimentale con el modelo. Bibliografía ).P. Feynman, The Feynman Lecture on Phyic, ol. II (Addion-Weley Iberoamericana, 987). ) E. odriguez Trelle. Tema de Electricidad y Magnetimo. (EUDEBA) L4-Piezoelectricidad 6