Fundamentos de Robótica Herramientas Matemáticas para la Localización Espacial Matrices de Transformación Homogéneas Ricardo-Franco Mendoza-Garcia rmendozag@uta.cl Escuela Universitaria de Ingeniería Mecánica Universidad de Tarapacá Arica, Chile May 12, 2014 R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 1 / 26
Outline Outline 1 Coordenadas y matrices homogéneas Coordenadas homogéneas Matriz de transformación homogénea 2 Aplicación de matrices homogéneas Traslación Rotación Traslación junto con rotación Rotación seguida de traslación Traslación seguida de rotación 3 Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema fijo Rotaciones sobre sistema móvil 4 Gráficos de transformación 5 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 2 / 26
Coordenadas y matrices homogéneas Outline 1 Coordenadas y matrices homogéneas Coordenadas homogéneas Matriz de transformación homogénea 2 Aplicación de matrices homogéneas Traslación Rotación Traslación junto con rotación Rotación seguida de traslación Traslación seguida de rotación 3 Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema fijo Rotaciones sobre sistema móvil 4 Gráficos de transformación 5 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 3 / 26
Coordenadas y matrices homogéneas Coordenadas homogéneas Coordenadas homogéneas Permiten la representación conjunta de traslación y rotación. Un vector p(x, y, z) será representado por p(wx, wy, wz, w). w es un valor arbitrario; factor escala. Así, el vector 2i + 3j + 4k puede ser representado en coordenadas homogéneas como: [2, 3, 4, 1] T, o también como [4, 6, 8, 2] T, [ 6, 9, 12, 3] T, etc. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 4 / 26
Coordenadas y matrices homogéneas Matriz de transformación homogénea Matriz de transformación homogénea Matriz de dimensión 4x4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro. Se puede considerar que una matriz homogénea se haya compuesta por 4 sub-matrices: R3x3, matriz de rotación; p3x1, vector de traslación; f1x3, transformación de perspectiva; y w 1x1, escalado global. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 5 / 26
Coordenadas y matrices homogéneas Matriz de transformación homogénea Matriz de transformación homogénea Matriz de dimensión 4x4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro. Se puede considerar que una matriz homogénea se haya compuesta por 4 sub-matrices: R3x3, matriz de rotación; p3x1, vector de traslación; f1x3, transformación de perspectiva; y w 1x1, escalado global. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 5 / 26
Aplicación de matrices homogéneas Outline 1 Coordenadas y matrices homogéneas Coordenadas homogéneas Matriz de transformación homogénea 2 Aplicación de matrices homogéneas Traslación Rotación Traslación junto con rotación Rotación seguida de traslación Traslación seguida de rotación 3 Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema fijo Rotaciones sobre sistema móvil 4 Gráficos de transformación 5 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 6 / 26
Aplicación de matrices homogéneas Aplicación de matrices homogénea Considerando la transformación de perspectiva nula y el escalado global unitario: Así, una matriz de transformación puede representar: posición y orientación de un sistema O UVW girado y trasladado con respecto a OXYZ ; R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 7 / 26
Aplicación de matrices homogéneas Aplicación de matrices homogénea Considerando la transformación de perspectiva nula y el escalado global unitario: Así, una matriz de transformación puede representar: transformación de las coordenadas de un vector r desde sus coordenadas en O UVW a sus coordenadas en OXYZ ; o R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 7 / 26
Aplicación de matrices homogéneas Aplicación de matrices homogénea Considerando la transformación de perspectiva nula y el escalado global unitario: Así, una matriz de transformación puede representar: rotación (R) y traslación (p) de un vector r con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ para transformarlo en r. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 7 / 26
Aplicación de matrices homogéneas Aplicación de matrices homogénea Considerando la transformación de perspectiva nula y el escalado global unitario: Así, una matriz de transformación puede representar: R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 7 / 26
Aplicación de matrices homogéneas Traslación Traslación matriz de traslación un vector r uvw descrito como r xyz un vector r xyz desplazado según T R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 8 / 26
Aplicación de matrices homogéneas Traslación Ejemplo de traslación R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 9 / 26
Aplicación de matrices homogéneas Rotación Rotación matrices homogéneas básicas de rotación descrito en OXYZ rotado en OXYZ R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 10 / 26
Aplicación de matrices homogéneas Rotación Ejemplo de rotación R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 11 / 26
Aplicación de matrices homogéneas Traslación junto con rotación Traslación junto con rotación Cómo ejecutamos una traslación p junto a una rotación de 180 o alrededor del eje OZ? Habrá que tener en cuentra si primero se realiza la rotación y después la traslación, o viceversa. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 12 / 26
Aplicación de matrices homogéneas Rotación seguida de traslación Rotación seguida de traslación rotación φ (phi) sobre eje OX seguida de traslación p xyz rotación θ (theta) sobre eje OY seguida de traslación p xyz rotación ψ (psi) sobre eje OZ seguida de traslación p xyz R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 13 / 26
Aplicación de matrices homogéneas Traslación seguida de rotación Traslación seguida de rotación traslación p xyz seguida de rotación φ (phi) sobre eje OX traslación p xyz seguida de rotación θ (theta) sobre eje OY traslación p xyz seguida de rotación ψ (psi) sobre eje OZ R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 14 / 26
Aplicación de matrices homogéneas Traslación seguida de rotación IMPORTANTE Nótese que las transformaciones se definen con respecto al sistema fijo. De definirse con respecto al sistema móvil se deberían intercambiar los resultados! Las matrices que representan traslación seguida de rotación representarían rotación seguida de traslación, y viceversa. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 15 / 26
Aplicación de matrices homogéneas Traslación seguida de rotación Ejemplo de rotación seguida de traslación R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 16 / 26
Composición de matrices homogéneas Outline 1 Coordenadas y matrices homogéneas Coordenadas homogéneas Matriz de transformación homogénea 2 Aplicación de matrices homogéneas Traslación Rotación Traslación junto con rotación Rotación seguida de traslación Traslación seguida de rotación 3 Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema fijo Rotaciones sobre sistema móvil 4 Gráficos de transformación 5 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 17 / 26
Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema fijo Considerando que XYZ es el sistema fijo, una rotación α sobre eje OX; seguida de una rotación φ sobre eje OY; y seguida de una rotación θ sobre eje OZ, se representa por: R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 18 / 26
Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema fijo Lo cual difiere de una rotación θ sobre eje OZ, seguida de una rotación φ sobre eje OY; y seguida de una rotación α sobre eje OX, que se representa por: La multiplicación de matrices no es conmutativa! R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 19 / 26
Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema fijo Ejemplo Ejercicio Comprobar el resultado de manera gráfica en Sage. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 20 / 26
Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema móvil Considerando que UVW es el sistema móvil, una rotación α sobre eje OX (o OU); seguida de una rotación φ sobre eje OU; y seguida de una rotación θ sobre eje OW, se representa por: Es decir, para componer rotaciones básicas sobre el sistema fijo se pre-multiplican las matrices, y para componer sobre el sistema móvil se post-multiplican. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 21 / 26
Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema móvil Ejemplo Ejercicio (no es fácil) Comprobar el resultado de manera gráfica en Sage aplicando la matriz a un vector en particular. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 22 / 26
Gráficos de transformación Sistemas alrededor de robot R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 23 / 26
Gráficos de transformación Sistemas alrededor de robot R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 24 / 26
Referencias Outline 1 Coordenadas y matrices homogéneas Coordenadas homogéneas Matriz de transformación homogénea 2 Aplicación de matrices homogéneas Traslación Rotación Traslación junto con rotación Rotación seguida de traslación Traslación seguida de rotación 3 Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema fijo Rotaciones sobre sistema móvil 4 Gráficos de transformación 5 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 25 / 26
Referencias Bibliografía Barrientos, A., Peñín, L.F., Balaguer, C., y Aracil, R., 2007, Fundamentos de Robótica, 2nd edition, McGraw-Hill. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 26 / 26