Guía de Apoyo 1 Estadística Descriptiva 1. En un país muy pequeño, existen nacionales y extranjeros. Los nacionales son 1.200 y su ingreso promedio es de $150.000 mensuales. El ingreso promedio de todo el país es de 200.000. Si el ingreso promedio de los extranjeros es un 75% mayor que el de los nacionales. Qué cantidad de extranjeros existen en el país? 2. En una empresa del Sector Público se realiza una negociación colectiva en donde los dirigentes gremiales solicitan un aumento del 20% en las remuneraciones. La Empresa ofrece un aumento para cada trabajador de $100.000. Si el salario promedio antes de la negociación es de $300.000, determine: a) El nuevo salario promedio a partir del aumento solicitado por los dirigentes gremiales. b) El nuevo salario promedio a partir del aumento ofrecido por la Empresa. c) Determine cuales serían las consecuencias lógicas sobre la distribución de ingresos, de aplicarse una u otra medida (divida a los trabajadores de la Empresa en dos grupos: los de mayores y los de menores ingresos). 3. En enero el sueldo promedio de los obreros de una empresa era de $560.000 y el sueldo de los empleados $1.270.000. En septiembre debido a un reajuste, cada obrero recibió un 15% más que su sueldo anterior más un bono de $50.000, mientras que cada empleado recibió un aumento de $120.000. En diciembre se produjo un nuevo reajuste y los obreros quedaron con un sueldo promedio de un 10% superior que el sueldo promedio en septiembre y el sueldo promedio de todos los trabajadores de la empresa es ahora de $980.260. Si se sabe que el número de obreros es el triple del número de empleados, proporcione la siguiente información al gerente general de la empresa. a) Cuál es el sueldo promedio de los empleados en diciembre y en que porcentaje aumentó con respecto a septiembre? b) Cuál es el sueldo promedio de todos los trabajadores de la empresa en septiembre? 4. Los datos siguientes representan en centímetros las longitudes de 50 artículos producidos por una máquina. 4,15 4,80 5,15 5,33 5,63 5,86 6,04 6,66 6,98 7,30 4,27 4,86 5,27 5,39 5,63 5,86 6,07 6,66 7,10 7,38 4,62 4,92 5,27 5,51 5,63 5,86 6,10 6,75 7,14 7,54 4,68 4,98 5,33 5,51 5,63 6,02 6,33 6,92 7,22 7,70 4,68 5,15 5,33 5,57 5,74 6,02 6,66 6,98 7,22 7,72 Si el 25% de los artículos de menor longitud y el 10% de los artículos de mayor longitud son considerados defectuosos por el Dpto. de Control de Calidad. Indique Entre qué longitudes los artículos serán considerados aceptables? 5. Un estudio consistió en anotar el número de palabras leídas en 15 segundos por un grupo de 120 sujetos disléxicos y 120 individuos normales. Teniendo en cuenta los resultados de la tabla N de palabras leídas Disléxicos Normales 25 56 1 26 24 9 27 16 21 28 12 29 29 10 28 30 2 32 Calcule: a) Las medias aritméticas de ambos grupos. b) Las medianas de ambos grupos. c) El porcentaje de sujetos disléxicos que superaron la mediana de los normales. d) Compare la variabilidad relativa de ambos grupos. 1 / 5
6. En enero los obreros de una empresa tenían un sueldo promedio de $56.000, con un coeficiente de variación de 0,005, y los empleados tienen sueldos con una varianza de 90.000 [$ 2 ]. El sueldo promedio total de todos los trabajadores es $79.667. En junio cada obrero recibió un reajuste del 10%, mientras que cada empleado recibió un bono de producción de $12.000. En octubre los obreros piden un reajuste del 20%, y los empleados piden un reajuste del 15% más un bono de $20.000. La empresa acoge parcialmente las peticiones, rebajando lo solicitado por los empleados en un %. Si el número de empleados es un tercio del número de obreros: a) Cuál es el sueldo promedio de los empleados en enero? b) Cuál es el coeficiente de variación total en junio? c) Suponga que la gerencia de la empresa desea después del reajuste en octubre que la desviación estándar de los sueldos de los obreros sea 1,2 veces la desviación estándar de los sueldos de los empleados En cuánto se debería rebajar lo solicitado por los empleados en octubre? d) Encuentre el coeficiente de variación total de los sueldos en octubre. 7. Una Empresa tiene 6.000 trabajadores que están agrupados en 3 sindicatos: A, B y C, los que presentan las siguientes características: El número de asociados de A es el triple del de B y el número de éstos es la mitad de los asociados al sindicato C. Los sueldos promedios correspondientes a cada uno de los sindicatos son US$500, US$700 y US$1.000, respectivamente. Los coeficientes de variación de los sueldos son 0,15, 0,1 y 0,2 respectivamente. A partir del mes de Marzo los sindicatos hacen las siguientes solicitudes: A pide un reajuste de un 40% y un bono de US$200. B pide un reajuste del 30% y un bono de US$300. C pide un reajuste del 35%. La Empresa acoge parcialmente las peticiones, rebajando lo solicitado por cada sindicato en un 10%, lo que es aceptado por los tres sindicatos. a) Calcule el coeficiente de variación de los sueldos de todos los trabajadores en el mes de febrero y marzo. Comente los resultados. (CV feb = 0,3697; CV mar = 0,2543; Esto implica que la brecha económica entre los sueldos de los trabajadores asociados a los distintos sindicatos ha disminuido con los nuevos sueldos) b) En qué % subió la planilla total de marzo respecto de la de febrero? 8. Una fábrica vende tres tipos de productos A, B y C. Los artículos A producidos por la fábrica son el doble que los artículos B y la tercera parte de los artículos C. El costo medio de A es de $5200 y su desviación estándar es de $100,6. El costo medio de C es de $3500 con una varianza de $19684,09. El costo medio total (artículos A, B, C juntos) es de $4000 con un coeficiente de variación total de 0,5. Se requiere aumentar los precios para lograr un costo medio total de $5000 aumentando en un 3% el costo unitario del producto A y en un 7% el costo unitario del producto B. a) Cuál es el costo medio inicial y la varianza del artículo B? b) En qué porcentaje variará el costo del artículo C? c) En qué porcentaje cambió el coeficiente de variación total? 9. El coeficiente de variación de los ingresos de 300 empleados de una empresa es de 57%. Después de reajustar todos los sueldos en $12.000 (aumentar en), este coeficiente de variación es de 52%. a) Hallar la cantidad de dinero que necesitará mensualmente la empresa para pagar los sueldos después del reajuste. b) Encuentre la desviación estándar. 10. Los siguientes datos corresponden a un estudio sobre el consumo de pan en g/día en una población de =5.000 personas adultas. Algunos resultados fueron: =258g =300g =50g =500g =900g a) Cuál es el consumo total de pan? b) Roberto dice que es la décima persona ordenada de menor a mayor. Justifique. c) Juan dice que hay 450 personas que consumen más de 500 grs. de pan. Justifique. d) Cuántas personas consumen más de 50g de pan? 2 / 5
e) Cuántas personas consumen menos de 50g? f) Es homogéneo el consumo de pan en esta población? 11. En una empresa se usan dos máquinas distintas para fabricar partes de cierto tipo. Durante un solo turno se obtiene una muestra de =20 partes producidas por cada máquina, y en cada una se determina el valor de cierta dimensión crítica. El diagrama de caja comparativo siguiente se trazó con esos datos. Compare y describa las diferencias de las dos muestras. 12. El siguiente diagrama de caja comparativo sobre los coeficientes de vapor de gasolina para vehículos de Detroit apareció en cierto artículo. Describa las propiedades que presenta. 13. Un auditor ha comprobado que el valor de las facturas pagadas por cierta empresa estadounidense tiene una media de US$ 295 y una desviación típica de US$ 63. a) Hallar un intervalo en el cual se pueda garantizar que se encuentra el 60% de estos valores. ([195; 395]) b) Hallar un intervalo en el cual se pueda garantizar que se encuentra el 80% de estos valores. ([154; 436]) 14. Los siguientes datos fueron obtenidos mediante un muestreo rápido, para obtener una idea sobre los costos de transporte (en miles de pesos) de un determinado tipo de mercadería. Se consultaron 8 empresas. 7, 12, 13, 12, 15, 19, 17, 28. a) Roberto dice que el 28 no debería usarse. Tiene razón? Justifique. (0,25*8= 2, entonces Q 1 = (12+12)/2 = 12; 0,75*8 = 6, entonces Q 3 = (17+19)/2 = 18; RIC = 18 12 = 6, entonces 28 será un valor inusual (moderado) si es mayor que 18 + 1,5*6 = 27. Luego, Roberto tiene la razón) b) Cuál es la variabilidad relativa o coeficiente de variación? Interprételo. (CV = 6,255 / 15,375 = 0,4068) 15. Durante el año pasado, los crecimientos porcentuales de los ingresos de las 500 empresas más importantes del país, tuvieron una media de 9,2% con una desviación típica de 3,5%. a) Hallar un intervalo en el cual se pueda garantizar que se encuentra el 84% de estos incrementos de ingresos. 3 / 5
b) Usando la regla empírica, hallar un intervalo en el que se estima que se encuentren aproximadamente el 68% de los crecimientos de estos ingresos. 16. Diez observaciones se han hecho sobre los cambios porcentuales que ha registrado la bolsa de valores de Londres, durante los últimos 10 meses. Se observa que sólo existen 4 valores distintos, digamos ordenados en forma creciente,,, y. Si se sabe que además: a) La distribución de frecuencias muestrales es simétrica respecto a cero; b) La varianza muestral es 58/9; c) El percentil muestral de orden 35 muestral es igual a -1; d) El percentil muestral de orden 75 muestral es igual a 1; Hallar los valores de,, y y la distribución de frecuencias (relativas y absolutas) correspondientes. 17. Considere una muestra,,, y suponga que los valores de y se han calculado. a) Sean y constantes, y sea =+, para =1,2,,. Cuáles son las relaciones entre y? Entre y? b) Sean =, para =1,2,,. Cómo se comparan los valores de y con los correspondientes para? c) Sea = para =1,2,,. Cuáles son los valores de la varianza muestral y de la desviación estándar? d) Denótese por y la media y la varianza muestral para la muestra,,,. Si se incorpora una observación adicional a la muestra. Desarrolle la expresión de y de. e) Se han observado dos muestras, de las que se tienen la siguiente información:,, y,,. Si se intentara analizar las dos muestras como una sola (agrupando los datos en un solo conjunto) Cómo expresaría la misma información referida ahora al grupo global? 18. La siguiente tabla muestra los resúmenes descriptivos para los datos sobre la cantidad de automóviles defectuosos producidos diariamente en una planta de la empresa Chevrolet: Media = 5,34783 Mínimo = 1,0 Mediana = 5,0 Máximo = 9,0 Moda = 5,0 Rango Intercuartílico = 5,0 Varianza = 6,78261 Coeficiente de variación = 48,6991% Desviación típica = 2,60434 a) Indique cuál de los siguientes box-plot puede representar a este conjunto de datos. Argumente por qué los otros no pueden representar los datos resumidos en la tabla. b) Si se cambia el dato =9 por un dato arbitrariamente grande (por ejemplo, =100), de las tres afirmaciones siguientes, cuáles son verdaderas y cuáles falsas?, por qué? i. La media crece y la varianza se mantiene constante. ii. La media no varía y la varianza crece. iii. El rango intercuartílico aumenta y la mediana permanece constante. 4 / 5
19. En la siguiente tabla se muestra la distribución de los sueldos anuales, en euros, de empleados de cierta empresa en dos de sus sucursales: Sueldo Sucursal 1 Sucursal 2 Número de empleados Número de empleados $ 6.000 5 3 $ 15.000 29 13 $ 24.000 11 10 $ 35.000 5 2 a) En cuál de las dos sucursales los sueldos están repartidos en forma más equitativa? b) Cuánto es lo mínimo que ganan, en cada sucursal, los trabajadores que tienen el 20% del sueldo más alto? 20. Villa Feliz y Buenas Peras distan 100 km. entre sí y están conectadas por un cable de fibra óptica (100 km. de largo). La empresa energética de la zona se encarga del mantenimiento de dicho cable y cada vez que el cable sufre un daño, desde el centro de control se sabe el punto exacto en el que los cables están cortados y se manda un equipo de mantenimiento a repararlos. Hay ciertos puntos más sensibles y así a lo largo del último año el cable resultó dañado 2 veces a 25km de Villa Feliz, 4 veces a 40km de Villa Feliz, 2 veces a 65km de Villa Feliz, 2 veces a 70km de Villa Feliz y 3 veces a 90km de Villa Feliz (siempre en dirección hacia Buenas Peras). Si la empresa de que efectúa el mantenimiento de la línea quiere trasladarse a algún lugar entre Villa Feliz y Buenas Peras, dónde debe situar su oficina para que los desplazamientos desde ella hasta el punto donde la línea está dañada sean en promedio lo más cortos posibles si espera que se mantenga constante la distribución de la localización de los daños? 5 / 5