1. Control de Mínima Varianza

. Control de Mínima Varianza. CONTROL DE MÍNIMA VARIANZA..... PLANTEO DEL PROBLEMA..... CRITERIO DE OPTIMIZACIÓN...5.3. PREDICCIÓN ÓPTIMA...8.3.. Forma intuitiva...8... Caso General...0.3.. Cálculo del Predictor Óptimo...4.3.3. Raíces de C Sobre el Círculo Unidad...8.4. CONTROL DE MÍNIMA VARIANZA...0.4.. Interpretación como Ubicación de Polos...6.4.. Sistemas con Inversa Inestable...34.5. REGULADOR LINEAL ÓPTIMO ESTOCÁSTICO (LQG)...37.5.. Factorización Espectral...4.5.. Discusión Heurística...44.5.3. Demostración Formal...45.6. REFERENCIAS...48 Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc

x.. Planteo del Problema Proceso B ( q) = u [.] A q y = x + v [.] C ( q) v = e A q [.3] con e ruido blanco, A q puede ser inestable, por lo tanto v puede no ser estacionario. Haciendo A = AA B = BA [.4] C = C A se despeja v A q y = B q u + C q e [.5] Se supone que C tiene todos sus raíces dentro del círculo unidad. Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc

Ejemplo.. Modificación de C Sea z C z n φ = + [.6] sea la señal = C q e [.7] si e es ruido blanco, el espectro de n es π jwt jwt jwt ( e ) C( e ) C( e ) = [.8] se cumple = ( + )( + ) = ( + )( + ) = ( z+ )( z + ) = 4( z+ 0,5)( z + 0,5) C z C z z z z z o sea que n se puede representar ( ) n = C q e = z+ e [.0] * [.9] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 3

si algunas raíces de C están fuera del círculo se las reemplaza de esta manera C = C C C + = C C * + * [.] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 4

J.. Criterio de Optimización mv { } = E y [.] control de mínima varianza J E y N = lim N N [.3] = control lineal cuadrático (lqr) { ρ } J = E y + u [.4] lqr Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 5

Ejemplo.. Control de Mínima Varianza y + ay = bu + e + ce [.5] + + con c < e tiene media nula y varianza unitaria. Se trata de mantener la salida lo más próxima a cero que se pueda. Como e + es independiente de y se cumplirá ( y ) ( e ) var var = [.6] + + Si se toma la ley de control u = ( ay ce) [.7] b y u en el siguiente instante resultará + = e+ [.8] esto se cumple para todo instante o sea que el control se reduce a c b a = y [.9] es un control proporcional Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 6

El denominador de lazo cerrado es C( z) = z+ c [.0] de aquí la importancia de que este polinomio sea estable La salida, con este control será 0 y = e + c y e [.] 0 0 como c<, el segundo término tiende a cero. Este control da la mínima varianza de la salida. La cantidad ay + bu + ce [.] se puede interpretar como la mejor predicción de la salida en + la cantidad e + es el error de predicción El control se puede redefinir como el que hace que el error de predicción sea mínimo En este caso el error de control es igual al error de predicción Predicción y control están ligados Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 7

.3. Predicción Óptima Se asume: que el sistema está perturbado por ruido blanco gaussiano y que el mejor predictor es el que minimiza el error de predicción en sentido medio cuadrático..3.. Forma intuitiva ( q ) * C q C y = e = e * [.3] Aq A q donde * n A q = q A q [.4] (se hace esto por una cuestión de causalidad) Se asume que A y C son de orden n. En el instante se conocen y, y, y se desea predecir y + m Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 8

Si se desarrolla en serie, se obtiene ( q ) ( q ) * C y = e = e + f e + + f e + f e + f e + [.5] e + m * + m + m + m m + m m+ A desconocidos conocidos Si C es estable se puede calcular e en base a las medidas de y. A ( q ) ( q ) * = y * [.6] C La mejor predicción será y = f e + f e + [.7] ˆ + m / m m + y el error de predicción es y = e + f e + + f e [.8] + m/ + m + m m + Resta calcular los f i Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 9

... Caso General El predictor de mínima varianza a m pasos está dado por ( q ) * G q G yˆ + m / = q y = y * [.9] C q C q donde F y G son el cociente y el resto de la división m q C q A q F q G q = + [.30] m+ q El error de predicción es un promedio móvil con media nula y = y yˆ = e + f e + + f e + m/ + m + m/ + m + m m + = F q e + su varianza es { } + m/ = ( + + + m) E y f f σ [.3] [.3] C, es decir: A Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 0

- Demostración El polinomio F es de grado m- y mónico. El grado de G es menor a n F q = q + f q + + f m m m G q = g q + g q + + g o n n 0 n F q = + f q + + f q * m+ m G q = g + g q + + g q * n+ 0 n se debe cumplir [.33] [.34] m * * * * C q = A q F q + q G q [.35] las ecuaciones [.3] y [.5] se pueden reescribir desconocido * * C q G q * y+ m= e * + m= F ( q ) e+ m+ e * [.36] A q A q conocido Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc

sabiendo la relación entre e e y ( q ) ( q ) * G * y+ m= F ( q ) e+ m+ y * [.37] C Suponiendo que la predicción es una combinación lineal arbitraria de medidas de la salida, la varianza del error de predicción será ( q ) ( q ) * { } {( ) } G * E y yˆ = E F q e + E y yˆ C * G * ( q ) + E ( F ( q ) e+ m) y ˆ * y + m/ C ( q ) + m + m/ + m * + m/ el último término tiende a cero ya que e es incorrelado con la salida. El predictor que minimiza esta varianza es el que hace cero el segundo término o sea G ( q ) ( q ) * yˆ + m / = y * [.39] C Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc [.38]

El mejor predictor es lineal. Esto surge al poder eliminar el tercer término en el cálculo de la varianza. El error de predicción es y = y yˆ = e [.40] + / + + + Por esto se dice que la variable e es la innovación del proceso y. Con este predictor el funcional resulta { } + m/ ( m) J m = E y = + f + + f σ [.4] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 3

.3.. Cálculo del Predictor Óptimo Igualando términos en la ecuación [.30] c = a + f c = a + a f + f c = a + a f + + a f + f m m m m m c = a + a f + + a f + g m m m m 0 c = a + a f + + a f + g m+ m+ m m c = a + a f + + a f + g n n n n m+ m nm 0 = a f + a f + + a f + g n n n m+ m n m+ [.4] 0 = a f + g n m n es la solución de una ecuación diofantina Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 4

Ejemplo.3. Predictor Aq q q =,5 + 0, 7 C q q q = 0, + 0,5 [.43] El predictor a 3 pasos se calcula ( 0, 0,5) (,5 0,7) q q q q q q fq f g0q g + = + + + + + [.44] ( ) ( ) ( 0,7 f,5 f g ) q 0, q + 0,5q =,5 + f q + 0, 7 +,5 f + f q f f g g 0 3 3 =, 3 =, 75 =,75 =,5 [.46] + + + 0,7 f + g El predictor resulta 0 qg q q q yˆ y y C q q 0,q+ 0,5,75,5 + 3/ = [.47] [.45] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 5

y su varianza es { } [.48] E y = +,3 +,75 = 5,755 Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 6

Ejemplo.4. Influencia del horizonte de predicción La varianza depende de los términos de F. Estos aumenta con el horizonte m. Como F se obtiene dividiendo C con A, sus elementos corresponden a la respuesta impulsional del sistema C q q 0,q+ 0,5 = y e e Aq q,5q+ 0, 7 3 3 (,3,75,75 ) = + q + q + q + e = j= 0 fe j j y el costo de la predicción { } E y m = σ f j [.50] j= 0 --------figuras ----------- [.49] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 7

.3.3. Raíces de C Sobre el Círculo Unidad Ejemplo.5. Una Raíz en Uno y e e y = [.5] e ˆ + / = [.5] calculando e en base a y = + i = + [.53] e e y e z 0 0 i= 0 no va a cero ya que e0 no se anula. ----------usar filtro Kalman-------------- Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 8

Ejemplo.6. Modelo de Señal Continua A q y = C q e + b [.54] se puede eliminar b haciendo ( ) ( ) q A q y = q C q e + b [.55] y considerar una nueva variable ( ) A q y = q C q e = C q e [.56] pero en C ( q) aparece una raíz en uno. Hay que evitar estos modelos. Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 9

.4. Control de Mínima Varianza * * B q C q B q C q d y = u e q u * e * Aq + Aq = A q + A q [.57] B estable d = gradoa gradob gradoc = gradoa = n haciendo m=d, se obtiene * * * * C q B q G q B q * y+ d= e * + d+ u * = F ( q ) e+ d+ e * + u * [.58] A q A q A q A q se sabe además, que para las muestras conocidas se puede calcular e * * A q B q d e = y * q u * C q C q [.59] reemplazando, Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 0

* * * * G q G q B q B q y = F ( q ) e + y q u + u C q A q C q A q * d + d + d * * * * G q B q F q = + + C q C q * * * * F ( q ) e+ d y * u * Se debe calcular la acción de control tal que minimice la varianza de la salida * * * { } { ( ) } G q B q F q * E y = E F q e + E y + u C q C q + d + d * * el único término manejable es el segundo, que debe ser cero, *( ) ( ) ( ) G q G q u = y * * y B q F q = B q F q [.6] se interpreta como una predicción a d-pasos La salida entonces resulta ( ) * = = + + + d d+ [.63] y F q e e f e f e es un promedio móvil de longitud d-. Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc [.60] [.6]

La covarianza se extinguirá para separaciones mayores a d-. Esto se utiliza como diagnóstico Hay cancelación de los ceros del proceso Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc

Ejemplo.7. Control de mínima Varianza 3 A q q, 7q 0, 7q B q = + = q+ 0,5 C q = q 0,9q d = [.65] F q = q+ 3 0,8 G q = 0,66q 0,56q u = q( 0,66q 0,56) ( q+ 0,5)( q+ 0,8) [.66] y [.64] [.67] u =,3u 0,4u 0,66 y + 0,56 y [.68] { } 0,8,64 E y = + = [.69] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 3

3 0 - - -3 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 4

Ejemplo.8. Influencia del Retardo =,5 + 0,7 d = ( + 0,5 ) = 0, + 0,5 A q q q * B q q q * C q q q * d = 3 5 [.7] [.70] 8 4 6 3 4 0 0 - - - -4-3 -6 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00-4 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 6 8 4 6 4 0 0 - - -4-4 -6-6 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00-8 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 5

.4.. Seguimiento de Referencias La planta se escribe * * * G q B q F q * y+ d= F ( q ) e+ d+ y * + u * [.7] C q C q Se debe calcular la acción de control tal que minimice la varianza de la salida ( ) { } {( ) } * * * G q B q F q * E y r = E F q e + E y + u r C q C q + d + d + d * * + d el único término manejable es el segundo, que debe ser cero, * u = C * * ( q ) r+ d G ( q ) y B q F q [.74] [.73] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 6

Diagrama en Bloques ω C A r + d C + - FB u z -d B A + + y G Relación entrada salida y = r + F q e [.75] * Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 7

.4.. Mínima Varianza Ponderado Funcional a minimizar { } + d + λ d J = E y r + u [.76] ( ) { } { ( ) } E y r λu E F q e E y u r u C q C q [.77] * * * * G q B q F q + d + d + = + d + * + * + d + λ Su mínimo está cuando * u = C( q ) r + G ( q ) y B q F q C q + λ * * d [.78] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 8

Diagrama en Bloques ω C A r + d C + - FB + λc u z -d B A + + y G Relación entrada salida λ + λ λ * * * B q F q B q C q y = r + e B q + A q B q + A q * * * * [.79] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 9

.4.3. Expresión Vectorial del Controlador y Planta Controlador: * u = C( q ) r + G ( q ) y B q F q C q + λ * * d con lo que u resulta, [.80] b λ u = Cr G y - F B - b + (C - ) u b b 0 + d 0 0+ λ 0 Por lo tanto la ley de control en forma vectorial será: donde: = p T u x [9-] T b0 b0c b0 g0 b0gn- b0 λ p =,, fb + c b0+ λ b0+ λ b0+ λ b0+ λ b0+ λ b0 x [ + + y y u ] = r,r - -, - T d d -n+ - [9-] [9-3] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 30

Planta: * * * G q B q F q * y+ d= F ( q ) e+ d+ y * + u * [.8] C q C q Predictor * * * G ( q ) B ( q ) F ( q ) + = + [.8] * * C ( q ) C ( q ) ˆ = + d [.83] λ ˆ + *( * ) ( * ) + λ ( ) [ ˆ = d λ ] ( + + ) y y u ˆ d * * * * B q F q u C q y G q y B q F q u + C q u = C q y G q y + C q λu [.84] * * * d B q F q C q u C q y u G q y [.85] b0 + λ λ λ u = C y ˆ+ d+ u - G y - F B - b + ( C - ) u b0 b0 b0 0 b0 λ λ u = C y ˆ + d+ u - G y - F B - b + (C - ) u b0+ λ b0 b0 0 [9-4] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 3

es: por lo tanto, la expresión de la actuación de acuerdo a la ecuación de la planta donde x = p T u x [9-5] λ λ = y ˆ +, y ˆ + - - - - b b T + d u + d u- y y-n+ u- u-m-d+ 0 0 T b0 b0c b0 g0 b0gn- b0 λ p =,, ( fb + c ) b0+ λ b0+ λ b0+ λ b0+ λ b0+ λ b0 [9-6] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 3

.4.4. Interpretación como Ubicación de Polos Aq Bq y C q e G q F q B q = u 0 [.86] despejando la acción de control, resulta el siguiente polinomio característico d A q F q B q + G q B q = q C q B q [.87] esto se puede interpretar como una ubicación de polos. Es decir, se elige el regulador, G( q) S q u = y y F q B q = R q [.88] con, S q = G q R q = F q B q [.89] reemplazando, d q C q B q A q F q B q G q B q A q R q B q S q = + == + [.90] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 33

.4.5. Sistemas con Inversa Inestable Si B tiene raíces inestables, aparecerán modos inestables que no son observados desde la salida. y u F q e = d q [.9] B( q) G q e = d [.9] q Ejemplo.9. Cancelación de Ceros Inestables = 0,9q+ Aq = q q = q q+ B q 0,7,7 0,7 C q = q q 0,7 = q 0,7q d = [.94] F q = G q = q0,7 [.95] [.93] -------verificar simulación ------------------- Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 34

Teorema. Control de Mínima Varianza Generalizado Sea el sistema A q y = B q u + C q e [.96] con + B q B q B q u = [.97] + todos los ceros de B ( q) todos los ceros de B ( q) todos los ceros de C( q ) están fuera del círculo unidad A( q ) y B ( q) no tienen raíces comunes. están dentro del círculo unidad están fuera del círculo unidad Entonces, el control de mínima varianza sigue la ley G( q) ( q) F( q) = + [.98] B siendo, y d q C q A q F q B q G q = + [.99] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 35

con grado F = d + grado B grado G < grado A = n [.00] - Demostración Sea el operador a > q+ a [.0] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 36

.5. Regulador Lineal Óptimo Estocástico (LQG) Proceso x =Φ x +Γ u + Ke + y = Cx + e [.0] el grado de C es igual al grado de A a 0 0 b ca a 0 0 b c a Φ= Γ= = C = a 0 0 b c a n n n n an 0 0 0 bn cn an el filtro de Kalman resulta xˆ =Φ xˆ +Γ u + K y Cxˆ [.04] + / / / el polinomio característico es ( ) det zi Φ KC = C z [.05] Si el retardo es uno, la ley de control es [ 0 0] [.03] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 37

u Lxˆ = / [.06] y la función de transferencia del regulador es S z Hr ( z) =L( zi Φ+ KC+Γ L) = [.07] R z donde det R z = zi Φ+ KC+Γ L [.08] el grado de R es n y el grado de S<n los polos en lazo cerrado son los de C det P z = zi Φ+Γ L = C z [.09] P se obtiene de la ecuación de Ricatti. Se tratará de dejar la ley de control en función de la salida en lugar del estado La ecuación a minimizar es { ρ } J = E y + u [.0] lqr es el mismo caso de variables de estado en donde Q = C C Q = 0 Q = ρ [.] T Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 38

haciendo igual cálculo se llega a que L = L v Φ [.] la ley de control en variables de estados es u =Lxˆ L vˆ =Lxˆ L K y Cxˆ / v / / v / =L ΦKC xˆ L Ky v / v reemplazando el observador v v ( Φ+ ) [.3] u =L ΦKC qi Φ+ KC Γ u + Ky L Ky v v =L ΦKC qi Φ+ KC Γu L Φ KC+ qi +Φ+ KC qi Φ+ KC Ky v =L ΦKC qi Φ+ KC Γu L qi KC Ky v haciendo R = det ( qi Φ+ KC) [.5] se obtiene [.4] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 39

R q S q u = u y [.6] R q R q donde grado R 0 = 0 ( ) < n grado R = grado S = n S con lo que queda S( q) + [.7] S q u = y = y R q R q R q [.8] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 40

es.5.. Factorización Espectral de lo visto en variables de estado, el polinomio característico P en lazo cerrado, ( ) ( ρ ) ( ) rp z P z = A z A z + B z B z [.9] Otra forma de verlo, es encontrar un polinomio P que cumpla con esta ecuación. Esto se llama factorización espectral. Sea n n n+ n n F z = f z + f z + + f z + f z + f z + + f z+ f [.0] 0 n n n 0 este polinomio coincide con su recíproco n F z = z F z = F z [.] si a es raíz de F ( z ), también es raíz. a Además, si los coeficientes de F son reales, los conjugadosa y también son a raíces. Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 4

Teorema. Se cumple que, si A y B son primos, grado de A mayor al grado de B, grado de P = grado A = n Existe un único P con sus raíces dentro o sobre el círculo unidad, y si ρ > 0, P no tiene raíces sobre el círculo unidad. - Demostración: n Multiplicando la ecuación [.9] por z n n n n+ n n zpzpz = pz + pz + + p z + pz + p z + + pz+ p [.] queda de la forma de F. 0 n n n 0 Por lo tanto el lado derecho de la ecuación [.9] tiene raíces espejadas. Tampoco puede tenerlas sobre el círculo unidad ya que, para j ( ω j ) ( ω j ) ( ω j j j ) ( ω ) ρ ( ω ) ( ω ) ρae Ae + Be Be = Ae + Be = 0 [.3] como ρ > 0, implica que z j e ω j = e ω es raíz de A y de B, pero estos son primos. La condición de que el grado de P sea n, asegura la unicidad de P. Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 4 z =

Nota : si se introduce el recíproco P * ( z) z n P( z ) * ρ * * rp z P z = A z A z + B z B z [.4] = resulta l Nota : si P satisface la ecuación [.9] entonces zp( z ) Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 43

.5.. Discusión Heurística En el problema de ubicación de polos se debe definir el polinomio característico A z. en lazo cerrado Ac( z) Ao( z ) donde o En el problema LQG A ( z) = C( z) y el polinomio A ( z) P( z) factorización espectral. o c = que se obtiene por Se puede pensar en la ubicación de polos con estas condiciones de diseño, resultando el control óptimo: u S q = y [.5] con R q A( z) R( z) + B( z) S( z) = P( z) C( z) [.6] Hay muchos polinomios que satisfacen esta ecuación. Si hay retardo es mejor calcular la siguiente ecuación: d ( ) ( ) * * * * * * A z R z z B z S z P z C z + = [.7] d = grado A z grado B z [.8] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 44

.5.3. Demostración Formal Teorema 3. Control LQG Sea P( z) el polinomio calculado por factorización espectral, A( z) mónico A( z) y B( z) no tienen raíces comunes fuera del o sobre el círculo unidad. Entonces existe una única solución a las ecuaciones * * * A z X z + rp z S z = B z C z =ρ d * * * z B z X z rp z R z A z C z con ( ) * * grado X z < n < = ( ) grado R z n grado S z n grado A z [.30] [.9] Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 45

- Demostración Primero se supone que raíces serán z i < P z tiene raíces distintas z i, como es estable todas las Por hipótesis, los polinomios A y B no se pueden hacer cero simultaneamente. Evaluando [.9] en z = z ( i) ( i) = ( i) ( i) =ρ * * A z X z B z C z d * * i i i i i z B z X z A z C z i [.3] si A y B son distintos de cero se puede hacer ( i) ( i) B z ρ A z A z z B z = [.3] * d * i i i * * si A ( z i ) = 0 y B ( zi ) 0, de[.4] resulta ( i ) 0 cumple A * ( 0) =. Esto implica z 0. Se puede despejar X de la ecuación A z X z B z C z * * i i = i i [.33] i B z =. Como A es mónico se Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 46

X z i * ( i) ( i) d * ( z ) ρ A z C z = [.34] z B i i Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 47

.6. Referencias Goodwin, G. Sin: Adaptive Filtering, Prediction and Control, Prentice Hall 984. Clase 3b Control de Mínima Varianza.doc 48