TEMA 8: FUNCIONES Segundo Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.E.S de Fuentesaúco. Manuel González de León. Curso 2011-2012
1.- Correspondencia. 2.- Función. 3.- Representación Gráfica de Funciones. 4.- Ecuación Lineal o de Proporcionalidad Directa. 5.- Función Afín. TEMA 8:FUNCIONES 6.- Función de Proporcionalidad Inversa. 7.- Funciones Cuadráticas. 1.- Correspondencia::. Llamamos correspondencia a la relación existente entre dos magnitudes, o entre los elementos de un 1 er conjunto (Conjunto Inicial) y un 2º conjunto (Conjunto Final) Ejemplo: Marcas y modelos de coches FORD OPEL VOLVO S40 ASTRA FOCUS PASSAT FIESTA 2.- Función::. Concepto: Una función es una correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera magnitud le corresponde un solo valor de la segunda. Ej: y = 2x C I C F 1 2 3 x 2 4 6 y Página 2 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012
Dominio Llamamos dominio o campo de existencia de una función, al conjunto formado por todos los elementos del conjunto inicial que tienen imagen. Ej.: Dada la función que asigna a cada número entero su raíz cuadrada y = -3-2 -1 1 2 3 El dominio de la función sería: D 0, 1, 2, 3, 4, Recorrido o Imagen de una Función. Es el conjunto formado por los elementos del conjunto final que son imagen de algún elemento del conjunto inicial. -3-2 -1 1 2 3 La Imagen de la función sería: I =,, Página 3 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012
Ecuación de una Función. A cada una de las magnitudes de una función se las llama variables y cada una de estas puede ser independiente o dependiente, según cuál de ellas fijemos previamente y cual se deduce de la variable independiente Ej. La venta de el nuevo CD de Joaquín Sabina y su precio de 6 CD 0 1 2 3 x 0 6 12 18 y Variable Independiente x Variable Dependiente y La Ecuación de la función sería. y = 6x La ecuación de la función viene determinada por la relación que liga los elementos del conjunto origen, con los elementos del conjunto imagen. En el ejemplo anterior y = 6x Y = f(x) = f (1) = 6 1 = 6 = f (2) = 6 2 = 12 = f (3) = 6 3 = 18 Página 4 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012
Tabla de Valores. Son unas tablas donde se indican en dos columnas los valores de la x (variable independiente) y de la y (variable dependiente). En el caso anterior sería. x y 0 0 1 6 2 12 3 18 4 24 Ejercicios,1,2,20,21,22,23y24. 3.- Representación de Funciones::. Las funciones se pueden representar mediante tres formas: 1. Mediante formulas o ecuaciones Formula del cuadrado A=l 2 ; ecuaciones del tipo y = 6x 2. Mediantes tablas Lado, l (cm) 1 2 3 4 5 6 7 Área, A (cm 2 ) 1 4 9 16 25 36 49 3. Mediante una representación gráfica. Para realizar una representación gráfica correctamente tendremos que tener muy claro los siguientes conceptos: 1. Ejes de coordenadas Cartesianas. La recta x horizontal Son dos rectas perpendiculares Que se cortan en el punto 0 La recta y vertical La recta x se llama eje de las x o eje de las abscisas. La recta y se llama eje de las y o eje de las ordenadas. Página 5 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012
2. Plano Cartesiano. Llamamos plano cartesiano a la región de espacio que delimita la intersección de las coordenadas cartesianas. 3. Coordenadas en un Punto Cada punto del plano se representa por un par de números ( la abscisa y la ordenada), escritos entre paréntesis (x,y) llamados coordenadas en un punto. Página 6 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012
Representación Gráfica. Para representar gráficamente la función se forma la tabla de valores y se representan los pares de valores de la tabla como puntos en el plano cartesiano. Los valores de la x se escriben sobre el eje horizontal y los valores de la y en el eje vertical. Conviene observar si se pueden unir todos los puntos obtenidos a partir de la tabla. 4.- Propiedades Globales de las Funciones::. Entre las propiedades globales de las funciones podemos destacar: 1. Continuidad y discontinuidad. a. Continuidad: Se dice que una función es continua cuando no existen ningún punto de discontinuidad, o cuando se puede dibujar, su gráfica, sin levantar el lapicero. b. Discontinuidad: Cuando tiene puntos discontinuos Página 7 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012
2. Crecimiento y decrecimiento. a. Crecimiento: Una función es creciente si al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente. b. Decrecimiento: Una función es decreciente si al aumentar la variable independiente, disminuye el valor de la variable dependiente. Página 8 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012
3. Máximos y mínimos. a. Máximo: Una función presenta un máximo en un punto, si a la izquierda de ese punto la función crece y a la derecha decrece. Máximo b. Mínimo: Una función presenta un mínimo en un punto, si a la izquierda de ese punto la función decrece y a la derecha crece. Mínimo 4. Puntos de cortes con los ejes. Los puntos de cortes del eje x son de la forma (a,0) Los puntos de cortes del eje y son de la forma (0,b) Página 9 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012
5.- Función Lineal o de proporcionalidad Directa::. 1. Concepto. Son aquellas funciones, cuya relación entre las magnitudes son directamente proporcionales. Son ecuaciones del tipo. y = ax Pertenecen a este tipo de ecuaciones. 2. Representación Gráfica y = 7x, y = 3x, y = etc. Para representar gráficamente la función y = 3x a. Escribimos la tabla de valores. x y 3 9 2 6 1 3 0 0 1 3 2 6 3 9 F( 3 ) para x = 3 y = 3 ( 3 ) y = 9 F( 2 ) para x = 2 y = 3 ( 2 ) y = 6 F( 1 ) para x = 1 y = 3 ( 1 ) y = 3 F(0 ) para x = 0 y = 3 0 y = 0 F(1 ) para x = 1 y = 3 1 y = 3 F(2 ) para x = 2 y = 3 2 y = 6 F(3 ) para x = 3 y = 3 3 y = 9 b. Representamos los puntos obtenidos en el plano cartesiano y unimos los puntos. 3. Características de las funciones lineales y = ax Página 10 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012
La gráfica de la función lineal y = ax es una recta que pasa por el origen de coordenadas cartesianas, punto (0,0). a es la pendiente o inclinación de la recta. 6.- Funciones Afines::. 1. Concepto. Las funciones del tipo y = ax + b, siendo b 0, se llaman funciones afines. Pertenecen a este tipo las ecuaciones: y = 2x + 4 y = 3x 5 y = 2. Representación Gráfica. Para representar gráficamente la función y = 3x 2 a. Escribiremos la tabla de valores. x y 3 11 2 8 1 5 0 2 1 1 2 4 3 9 F( 3 ) para x = 3 y = 3 ( 3) 2 y = 11 F( 2 ) para x = 2 y = 3 ( 2) 2 y = 8 F( 1 ) para x = 1 y = 3 ( 1) 2 y = 5 F(0 ) para x = 0 y = 3 0 2 y = 2 F(1 ) para x = 1 y = 3 1 2 y = 1 F(2 ) para x = 2 y = 3 2 2 y = 4 F(3 ) para x = 3 y = 3 3 2 y = 7 b. Representamos los puntos en el plano cartesiano y unimos los puntos. 3. Características de las funciones afines y= mx + n (b 0) La gráfica de la función afín y = mx + n ( n 0) es una recta que no pasa por el origen de coordenadas. Página 11 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012
m es la pendiente o inclinación de la recta. Si m>0 la función es creciente. Si m<0 la función es decreciente. n es la ordenada para x =0 y se llama ordenada en el origen, es decir, la recta pasa por el punto (0,n). Ejercicio: es una recta la ecuación 2y 3x = 9? Despejamos y 2y = 9 + 3x Luego es una recta que pasa por el punto (0, ). Su pendiente es Ejercicio. Podemos resolver gráficamente el sistema del tipo 2y 3x = 9 3y + 6x = 3 Resolución numérica 2y 3x = 9 3y } + 6x = 3 4y 6x = 18 3y + 6x = 3 7y = 21 y = 3 3 3 + 6x = 3 9 + 6x = 3 6x = 3 9 6x = 6 x = 1 Luego estas dos rectas se cruzan, se cortan en el punto ( 1,3). Representación Gráfica. 2y 3x = 9 x 2 y F( 2 ) para x = 2 y = ( 2) + y = F( 1 ) para x = 1 y = ( 1) + y = 3 1 3 0 1 1 2 F(0 ) para x = 0 y = 0 + y = 1 F(1 ) para x = 1 y = 1 + y = 1 F(2 ) para x = 2 y = 2 + y = 3 2 3 Página 12 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012
3y + 6x = 3 3y = 3 6x 3y = 6x + 3 y = 2x +1 x y 2 5 1 3 0 1 F( 2 ) para x = 2 y = 2 ( 2) + 1 y = 5 F( 1 ) para x = 1 y = 2 ( 1) +1 y = 3 F(0 ) para x = 0 y = 2 0 + 1 y = 1 F(1 ) para x = 1 y = 2 1 + 1 y = 1 F(2 ) para x = 2 y = 2 2 + 1 y = 3 1 1 2 3 Grafica Página 13 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012
6.- Funciones de Proporcionalidad Inversa::. Concepto: Son aquellas funciones cuya relación entre las magnitudes son inversamente proporcionales. Son ecuaciones del tipo y = Pertenecen a este tipo: y = y = Representación Gráfica de y = x y 2 1 1 2 0 1 2 2 1 F( 2 ) para x = 2 y = y = 1 F( 1 ) para x = 1 y = y = 2 F(0 ) para x = 0 y = y = F(1 ) para x = 1 y = y = 2 F(2 ) para x = 2 y= y = 1 Característica: La gráfica de la función se llama hipérbola. Página 14 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012
Concepto: 7.- Funciones Cuadráticas::. Llamamos funciones cuadráticas a aquellas funciones del tipo y = ax 2 + bx + c ( a 0 ) Pertenecen a este tipo las ecuaciones de 2º grado Representación gráfica y = x 2 x y 2 4 1 1 0 0 F( 2 ) para x = 2 y = ( 2 ) 2 y = 4 F( 1 ) para x = 1 y = ( 1 ) 2 y = 1 F(0 ) para x = 0 y = 0 2 y = 0 F(1 ) para x = 1 y = 1 2 y = 1 F(2 ) para x = 2 y= 2 2 y = 4 1 1 2 4 Características: La grafica de la función se llama parábola. Si a>0 la parábola está abierta hacia arriba Si a <0 la parábola está abierta hacia arriba Página 15 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012
Ejemplo máximo mínimo Página 16 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 2012