UNIDAD III: TÓPICOS DE ANÁLISIS NUMÉRICOS Determinante: El determinante es un número real asociado con una matriz mediante la función determinante. El determinante de una matriz de 1 x 1 es igual a su elemento. A cada matriz cuadrada A se le asigna un e scalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno a11 = a 11 5 = 5 Determinante de orden dos = a 11 a 22 - a 12 a 21 Determinante de orden tres Considere una matriz 3 x 3 arbitraria A = ( a ij). El det erminante de A se defin e como sigue: a 31 - a12 a21 a 33 - a11 a 23 a 32. =a11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 2 1 a 32 - a 13 a 22
= 3 2 4 + 2 ( -5) (-2) + 1 0 1 - - 1 2 (-2) - 2 0 4-3 (-5) 1 = = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 Obsérve se que hay seis product os, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo p ositivo (conser van su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Otro ejemplo de DETERMINANTE DE TERCER ORDEN La resolución del determinante se consigue con la realización de los siguientes pasos: a) Se escriben, al lado del determinante, las dos primeras columnas del mismo: b) Se multiplican los elementos de las tres diagonales, en el sentido de izquierda a derecha y de arriba abajo, seguido a cada producto del signo + c) Se multiplican los elementos de las tres diagonales, en el sentido de derecha a izquierda y de arriba abajo, seguido a cada producto del signo
d) La suma algebraica de los seis productos es el desarrollo del determinante:[9] Aplicar esta forma al siguiente ejercicio: 3 5 2 4 2 3-1 2 4 SOLUCIÓN: -69 Otra forma para el cálculo de Determinante de orden tres es aplicar la regla de Sarrus: R e g l a d e S a r r u s L o s t é r m i n o s c o n s i g n o + e s t á n f o r m a d o s p o r l o s e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l y l o s d e l a s d i a g o n a l e s p a r a l e l a s c o n s u c o r r e s p o n d i e n t e v é r t i c e o p u e s t o. L o s t é r m i n o s c o n s i g n o - e s t á n f o r m a d o s p o r l o s e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l s e c u n d a r i a y l o s d e l a s d i a g o n a l e s p a r a l e l a s c o n s u c o r r e s p o n d i e n t e v é r t i c e o p u e s t o. E j e m p l o Ahora aplicar Sarrus a la determinante:
Cálculo de un determinante de cualquier orden Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1. Seguiremos los siguientes pasos: 1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos línea s: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger a quella que contenga el mayor número posible de elementos nulos ). 2. En caso negativo: 1. Nos fijamos en una línea que c ontenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela).
2. Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varíe. Es decir sacamos f actor común en una línea de uno de sus elementos. 3. Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos l os elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ce ros. 4. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original. = 2(-58)
Propiedades de los determinantes 1. A t = A El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A t son iguales. 2. A =0 Si: Posee dos líneas iguales Todos los elementos de una línea son nulos. las otras. Los elementos de una línea son combinación lineal de F 3 = F 1 + F 2 3. Un determinante triangular e s igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
4.Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo. 5.Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía. 6.Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una. 7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes. 8. A B = A B. El determinante de un producto es igual
al producto de los determinantes. Regla de Cramer La regla de Cramer sirve para resolver sistemas d e ecuaciones lineales. S e aplica a sist e mas que cumplan las dos condiciones siguientes: El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer. Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes. Y sean: Δ 1, Δ 2, Δ 3..., Δ n los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.
Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones: Ejemplo
Ejercicio resuelto : * Re s o lve r p o r la reg la de C ra me r: Ejercicios propuestos: 1. Re s o lve r p o r la re g la de C ra me r: 2. Dis c u t ir y res o lve r, s i e s p o s ib le, e l s is tema :
MÉTODO DE COFACTORES.- Antes de comenzar con el desarrollo del determinante por el método de cofactores se debe tener un concepto muy importante: MENOR.- Es igual al determinante de la matriz que resulta al eliminar una fila y columna, es decir es el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz, por ejemplo si en una matriz de 3 x 3 eliminamos la fila y columna la menor viene denominada por: COFACTOR.- Se representa con la letra siguiente manera: y su cálculo se da de la Así para el cálculo del determinante se consigue de la siguiente manera si se escoge a la i-ésima fila para el desarrollo: Para el cálculo con las j-ésima columna se obtiene de la siguiente manera: Otra de las formas para la obtención del signo del menor es mediante la siguiente matriz de signos de n x n: O como lo plantea Grossman en su libro: = 1 si i es par 1- Si i es impar
Ejemplo: Cálculo de 2 cofactores de un matriz de 4 x 4. Encontrar el cofactor32 y el cofactor24. 4 0 2 7 Sea A=( ) 1. Se realiza el calculo de dos menores en este caso M32 y M24 Se elimina el tercer renglón y la segunda columna de A y se encuentra: M32 M32 =( ) de igual manera: M24 =( ) 2. Luego se aplica el Cofactor: A32= (-1) 3+2 = - = -8 A24= (-1) 2+4 = - = -192 BIBLIOGRAFIA: [1]Grossman, Stanley. Algebra Lineal. Mc GrawHill. Quinta edición [2]Díaz, Mijael. Guía de estudio de Algebra Lineal. [3]http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/gauss.html [4]http://mit.ocw.universia.net/18.06/f02/study-materials/glossary.pdf