PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS MAT532 Examen-2006/ Examen de Ecuaciones Diferenciales Profesores Claudio Fernández y Rolando Rebolledo Ejercicio (20 % Resolver las ecuaciones diferenciales siuientes: (a 2x + 3x + 4x = t 2 Solución: El polinomio característico λ 2 + 3 λ + 2 tiene raíces complejas conjuadas 3/4 + i 23/4 y 3/4 i 23/4 En consecuencia una base de soluciones 2 para la ecuación homoénea es ϕ (t = e ( 3/4+i 23/4t, ϕ 2 (t = e ( 3/4ii 23/4t Para encontrar una solución particular de la ecuación no homoénea, podemos usar, por ejemplo, el método de coecientes indeterminados Consideremos ϕ p (t = at 2 + bt + c y reemplacemos en la ecuación Se tiene: De aquí resulta el sistema 2(2a + 3(2at + b + 4(at 2 + bt + c = t 2 4a + 3b + 4c = 0 6a + 4b = 0 4a = cuya solución es a = /4, b = 3/8, c = /32 Lueo la solución eneral de la ecuación propuesta es ϕ(t = c e ( 3/4+i 23/4t + c 2 e ( 3/4 i 23/4t + 4 t2 3 8 t + 32 (b x (4 x =
Solución: El polinomio característico λ 4 = (λ (λ + (λ + i(λ i tiene las raíces,, i, i Lueo una base de soluciones de la ecuación homoénea es e t, e t, sen t, cos t Por otra parte, una solución particular evidente de la ecuación no homoénea es la función constante - En consecuencia, la solución eneral de la ecuación propuesta es ϕ(t = c e t + c 2 e t + c 3 sen t + c 4 cos t 2 Ejercicio (25 % Para pequeñas oscilaciones, la dinámica de un péndulo doble queda representada por un sistema de ecuaciones de la forma: (m + m 2 l 2 θ + m 2 l l 2 θ 2 + (m + m 2 l θ = 0 m 2 l 2 2θ 2 + m 2 l l 2 θ + m 2 l 2 θ 2 = 0 Escriba el sistema de ecuaciones lineales satisfecho por las transformadas de Laplace de θ y θ 2 en eneral Resolver el sistema oriinal en el caso particular en que θ (0 = 0, θ (0 = 0, θ 2 (0 = 0, θ 2(0 = y l = l 2 = l l θ m l 2 θ 2 m 2 Páina 2
Solución: Denotamos Θ k (s = L[θ k ](s, (k =, 2 Aplicando la transformada de Laplace a cada ecuación diferencial, se obtiene: (m + m 2 [ l 2 s 2 + l ] Θ (s + m 2 l l 2 s 2 Θ 2 (s = [ (m + m 2 l 2 θ (0 + m 2 l l 2 θ 2 (0 ] s + (m + m 2 l 2 θ (0 + m 2 l l 2 θ 2(0 l l 2 s 2 Θ (s + l 2 [ l2 s 2 + ] Θ 2 (s = [ l 2 2 θ 2 (0 + l 2 l 2 θ (0 ] s + l 2 2θ 2(0 + l l 2 θ (0 Bajo las condiciones iniciales dadas en la seunda parte y deniendo M 2 = + m /m 2, las ecuaciones se reducen a ( M 2 s 2 + Θ (s + s 2 Θ 2 (s = ( l s 2 Θ (s + s 2 + Θ 2 (s = l Introduciendo las notaciones (s L(s = M 2 2 + l s 2 tenemos T (S = L(s ( Nótese que L(s = s 2 s 2 + l ; T (s = ( Θ (s Θ 2 (s La matriz inversa de L(s es ( ; e = 0 ( s 2 + /l s 2 M 2 (s 2 + /l 2 s 4 s 2 M 2 (s 2 + /l M 2 (s 2 + /l 2 s = m 2 4 m s 2 + l(m s 2 + l(m+ ( 0 ; e 2 = La última expresión puede ser escrita como un producto de transformadas de funciones seno: m 2 l(m l(m + l(m l(m+ m s 2 + s 2 + Es decir, dicha expresión es iual a m2 m l ω s 2 + l(m, s 2 + ω2 2 l(m+, Páina 3
donde ω = l(m, = l(m+ Lueo T (s = m m 2 s 2 ω s 2 + m2 m ω s 2 + s 2 + 2 s 2 + 2 + m2 m ω s 2 + s 2 + 2 De lo anterior deducimos que θ (t es m2 /m S ω S ω2 (t = m 2 /m 4( sen(ω t ω sen( t (producto de convolución de funciones seno y θ 2 (t = d 2 m /m 2 dt S 2 ω S ω2 (t + m 2 /m S ω S ω2 (t, es decir, θ 2 (t = 4 [ m /m 2 ω ω2 2 sen( t sen(ω t ] + m 2 /m 4( sen(ω t ω sen( t 3 Ejercicio (25 % Se tiene el sistema x = αx y y = αy z z = αz y Analizar la estabilidad o inestabilidad del orien seún el tipo de valores que tome la constante α R Solución: Un cálculo de valores propios de la matriz α 0 A = 0 α, 0 α nos da λ = α, λ 2 = α +, λ 3 = α En consecuencia, Si α <, los tres valores propios son neativos y el orien es asintóticamente estable Si α =, entonces λ, λ 2 < 0 y λ 3 = 0 El orien es estable Páina 4
< α, el orien es un punto silla (es decir es inestable pues tenemos valores propios con sinos distintos Si α >, el orien es inestable: todos los valores propios son positivos, es un repulsor 4 Problema (30 % Comencemos por considerar la ecuación x 4 d2 y + λy = 0, ( dx2 que tiene una sinularidad que no es reular en el punto x = 0 (a Demuestre que el cambio de variable t = /x enera una ecuación diferencial que posee una sinularidad reular en t = 0, vale decir que se le puede aplicar el método de Frobenius (basado en series de potencias Solución: Al aplicar el cambio de variables se observa que d 2 y dx = d2 y 2 dt 2 t4 + 2 dy dt t3, de modo que al reemplazar en la ecuación se obtiene y + 2 t y + λy = 0, donde las derivadas se toman con respecto a t (b Aplique el método de series de potencias (Frobenius, o cualquier otro que le sea cómodo, para encontrar soluciones linealmente independientes ϕ (t, ϕ 2 (t de la ecuación precedente Solución: La ecuación indicial es (en una variable µ para no confundir con el coeciente λ de la ecuación: µ(µ + 2µ = 0, cuyas raíces son 0 y - En consecuencia existen dos soluciones linealmente independientes de la forma: y (t = c n t n, y 2 (t = t d n t n Páina 5
Al reemplazar en la ecuación las funciones, se observa que los coecientes impares desaparecen y se tiene: ( n y (t = (2n +! ( λt 2n = sen( λt λt y 2 (t = t ( n (2n! ( λt 2n = cos( λt t Volviendo a la variable x se tiene que la solución eneral de la ecuación propuesta es de la forma x y(x = α λ sen( λ/x + α 2 x cos( λ/x (c Aplicamos ahora lo anterior a un problema de estructuras Se tiene una columna de altura L, con sección transversal circular, en forma de cono truncado donde el adelazamiento queda determinado por la expresión y = cx La deexión y(x de la columna satisface el problema de valores en la frontera E I(x d2 y + P y = 0, y(0 = 0, y(l = 0, dx2 donde E es la constante de elasticidad, I desina el momento de inercia y P es la cara de la columna En el caso aquí presentado, el momento de inercia transversal con respecto a un eje perpendicular al plano xy es πr 4 /4, donde r = y e y = cx Lueo se tiene I(x = I 0 (x/b 4, donde I 0 = I(b = π(cb 4 /4 Sustituya el valor de I(x en la ecuación de la deexión y, para transformarla en una de la forma ( Use los resultados de las partes anteriores para determinar cuál es el primer valor de P para el cual se tiene una deexión (pandeo distinto de 0 Páina 6
y=cx x=a x L=b a x=b Solución: El reemplazo produce una ecuación de la forma anterior con λ = 4P/Eπc 4 La condición de borde y(0 = 0 determina que α = 0 (nótese que x lím x 0 λ sen( λ/x 0 Lueo, y(l = 0 = α 2 L cos( λ/l Para que y(x 0 se necesita tener α 2 0 esto se cumple si en la ecuación anterior es el coseno que se anula, es decir para λ/l = π/2 tendremos el primer valor de P que produce pandeo, lo que nos da P = EL 2 π 3 c 4 /6 Páina 7