.5. EL EXPERIMENTO DE DARCY.5.. FORMA EXTENDIDA DE LA LEY DE DARCY.5.. EJEMPLOS DEL CÁLCULO C DE LA VELOCIDAD DE FLUJO DE AGUAS SUBTERRÁNEAS EN DOS DIMENSIONES.5.. CONCEPTOS ADICIONALES DE FLUIDOS POTENCIALES
.5.. FORMA EXTENDIDA DE LA LEY DE DARCY El eperimento de Darc relaciona la descarga total Q del gradiente de carga, el cual es Δ/l. El factor de proporcionalidad es A,, donde es la conductividad idráulica A es el área de la columna por donde el agua flue. La descarga especifica o flujo volumétrico trico,, es el fluido ue pasa a través s del medio porosos en una sección n de área A perpendicular al flujo por unidad de tiempo: Q A Esta medida puede ser separada por dl,, por un cambio en d: Q A d dl d dl
La ecuación n anterior es una relación n constitutiva es euivalente al momento en la ecuación n de balance. La relación n clásica entre la ecuación n de momento de balance para un fluido en medios porosos fue dada por Hubbert en 954 a partir de la derivación n la le de Darc a través s de la ecuación n de Neiver-Stock, se llega a la epresión n de flujo de un fluido en un material saturado: ( Nd )( ρ μ) g Donde el termino es igual a i + j + z k
Figura.6. Definición esuemática del concepto de vector unitario
Hubbert definió el producto de Nd como la permeabilidad del medio (k), la cual depende de la geometría a de los granos representa la conductividad idráulica como: ( Nd )( ρ μ) g kρg μ Si el medio es isotrópico se dice ue es un escalar, pero si el medio es anisotrópico pico,, entonces se tiene ue adaptar el concepto de la a una matriz ue contenga diferentes valores en diferentes puntos, los valores de la matriz se le llama tensor zz
z zz z Figura.7. Ilustración de los efectos de la litología en la conductividad idráulica cuando los ejes coordenados estas orientados igual a los estratos
Figura.8. Ilustración de los efectos de la litología en la conductividad idráulica cuando los ejes coordenados no estas orientados igual a los estratos z zz z z z z z
Índice Las dimensiones del vector de la descarga especifica es [L/T], esta no es una medida de la velocidad del agua, sino es una medida da del volumen ue pasa a través s de una superficie de área A en tiempo ΔT dividido por el área A ΔT. Puesto ue la porosidad es la relación n de espacios vacíos espacio total, el área del agua puede ser epresado como el área total multiplicado por la porosidad, así obtenemos la velocidad para una partícula de agua en un medio poroso la cual se epresa con la relación: v ε
.5.. EJEMPLOS DEL CÁLCULO C DE LA VELOCIDAD DE FLUJO DE AGUAS SUBTERRÁNEAS EN DOS DIMENSIONES Figura.. Eperimento de flujo en espacio de dos dimensiones. El agua subterránea se mueve de dereca a izuierda a través de la caja llenada con arena. El nivel del agua en la arena esta denotada por la elevación en los manómetros.
Tenemos () a + b a + b a a + b L Resolvemos para obtener a b a b ( ) L Los sustituimos en la primera ecuación, tenemos ue: ( ) + L
De la ecuación anterior la localización de posición tenemos ue: resolvemos para la ( ) ( ) L X
Si consideramos el problema como sistema de ecuaciones lineales tenemos ue: c b a ), ( + + c b a ), ( + + c b a ), ( + + Para obtener los coeficientes b c tenemos: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) b ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) c
Habiendo obtenido los coeficientes, podemos determinar del gradiente: El gradiente de aguas subterráneas esta dado por: i + j Figura.. Nodal arreglo para el uso aproimaciones algebraicas en el cálculo de gradientes b c
Figura.. Ejemplo del problema mostrando el cálculo de la constante de la línea de nivel estático la resultante del vector velocidad Si tenemos b c
Para el triangulo inferior donde 4ft/día:.4. 4 Si la ε.5, la velocidad es: v ε v (.6,.6)[ ft día] v [ día].6 ft Para el triangulo inferior donde ft/día:.. Si la ε.5, la velocidad es: v ε v (.8,.8)[ ft día] v [ día]. ft Índice
.5.. CONCEPTOS ADICIONALES DE FLUIDOS POTENCIALES Revisando el concepto de fluido potencial, el cual esta definido por la ecuación: z z dz + ( π) Se remplaza la variable de presión n por la variable p, se introduce en la le de Darc: p Patm dπ gρ z z dz + p Patm dπ gρ ( π)
Para la evaluación n posterior de la epresión n es necesario introducir una relación n matemática tica ue describe como diferenciar una integral, la cual se le conoce como la regla de Leibnitz: b() f (, ξ)dξ a () b() a ( ) f (, ξ)dξ + f (,b()) b f (,a()) a Utilizando la regla de Leibnitz en la ecuación,, es igual a z() z() dz + p( ) Patm () dπ gρ ( π) [ ( ) + ] z() dz z z z ( ) P() dπ P + Patm() ρg ρ P atm ( π) ρg( P) g( P ) atm
Índice Si las condiciones iniciales z P atm entonces: z + P ρg ( P) ρg ( P) [ ρg( P) z + P]