ÁLGEBRA Práctica 5 Espacios vectoriales (Curso 2008 2009) 1. En el espacio vectorial real IR 2 consideramos los siguientes subconjuntos: (a) A = {(x y) IR 2 x 2 + y 2 = 1}. (b) B = {(x y) IR 2 x = 3y}. (c) C = {(x y) IR 2 x + y = 1} (d) D = {(x y) IR 2 x = y; e y 0}. (e) E = {(x y) IR 2 x 2 + y 2 0}. - Representarlos gráficamente. - Basándose en su representación gráfica deducir cuales son subespacios vectoriales y cuáles no. - Probarlo. 2. Comprobar que el conjunto V de las funciones f : IR IR con las operaciones habituales de suma de funciones y producto de un número real por una función tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo IR. Decidir cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de V : (a) Funciones f tales que f(1) = f(0) + 1. (b) Funciones f tales que f(x) = f( x) x IR. 3. En IR 4 se consideran los sistemas S = { x 1 x 2 x 3 x 4 } y T = {ȳ 1 ȳ 2 ȳ 3 ȳ 4 ȳ 5 } donde: x 1 = (1 2 1 1) x 2 = (1 1 2 1) x 3 = (2 5 1 3) x 4 = (0 1 3 2) ȳ 1 = ( 2 1 3 2) ȳ 2 = (1 0 1 1) ȳ 3 = (3 2 1 0) ȳ 4 = (0 4 2 1) ȳ 5 = (1 0 1 0). Comprobar si S y T son sistemas equivalentes. Hallar bases de L(S) y de L(T ). 4. Llamamos P n (x) al conjunto de los polinomios en x de coeficientes reales y de grado menor o igual que n. (a) Demostrar que P n (x) tiene estructura de espacio vectorial sobre IR. (b) Demostrar que el sistema formado por un polinomio y sus derivadas no nulas es libre. (c) Para qué polinomios p(x) P n (x) el sistema es una base de P n (x)? B = {p(x) p (x) p (x)... p (n) (x)} (d) Siendo n = 3 y p(x) = x 3 x dar las fórmulas que transforman las coordenadas contravariantes de un polinomio con respecto a la base canónica en las coordenadas contravariantes con respecto a la base {p(x) p (x) p (x) p (x)} y viceversa.
5. En el espacio vectorial real IR 3 consideramos las siguientes bases: - la base canónica C = {ē 1 ē 2 ē 3 } = {(1 ) (0 1 0) ( 1)}. - la base B = {ū 1 ū 2 ū 3 } = {(0 1 1) (2 ) (1 0 1)}. - la base B = { v 1 v 2 v 3 } = {(1 1 0) ( 1) (1 1 1)}. (a) Si (1 3 2) es un vector de IR 3 calcular sus coordenadas en cada una de las bases anteriores. (b) Denotamos por (y 1 y 2 y 3 ) las coordenadas de un vector en la base B. subespacio vectorial dado por la ecuacón: y 1 + y 2 + y 3 = 0 Consideramos el Calcular las ecuaciones paramétricas y cartesianas de este subespacio con respecto a cada una de las bases dadas. 6. En el espacio vectorial real V de las funciones continuas de [0 1] en IR se consideran los dos conjuntos siguientes: U 1 = { f V : 1 0 } f(x) dx = 0 U 2 = {f V : f es constante} (a) Comprobar que U 1 y U 2 son subespacios vectoriales de V. (b) Analizar si U 1 y U 2 son subespacios suplementarios de V. (c) Hallar si existe la proyección de h(x) = 1 + 2x sobre U 1 paralelamente a U 2. (Examen final setiembre 2002) 7. Sea M 2 2 (IR) el espacio vectorial de matrices reales de dimensión 2 2. Consideramos el conjunto de matrices: B = { ( 0 )} 0 (a) Probar que las matrices de B forman una base de M 2 2 (IR). (b) Sea S 2 M 2 2 (IR) el subespacio vectorial de matrices simétricas reales de dimensión 2 2. Escribir las ecuaciones cartesianas de S 2 en la base canónica y en la base B. (c) Definimos el conjunto: Probar que es un subespacio vectorial. W = {A M 2 2 (IR) ()A = ()}. (d) Calcular las ecuaciones paramétricas y cartesianas de W y W S 2 en la base canónica y en la base B. (Primer parcial enero 2005)
8. En el espacio vectorial real de las matrices 2 2 con elementos reales M 2 2 (IR) se consideran los subconjuntos U = {A M 2 2 (IR) traza(a) = 0} V = L{Id} (a) Probar que U es un subespacio vectorial de M 2 2 (IR). (b) Probar que U y V son subespacios suplementarios. (e) Sea H M 2 2 (IR) el subespacio vectorial de matrices antisimétricas. Calcular las ecuaciones paramétricas e implícitas de H + V y (H + V ) U. (Primer parcial enero 2008) 9. En IR 4 consideramos los subespacios vectoriales: U = L{(b b 1 1) (1 0 1 1) (1 1 1 1)} V = L{( 1 1) (0 a 1 1) ( 0 1)} (a) Calcular la dimensión de U V en función de a y b. (c) Para a = 1 y b = 0 escribir las ecuaciones implícitas de U V respecto de la base canónica. (Examen final junio 2008) 10. En el espacio vectorial real de las matrices 2 2 con elementos reales M 2 2 (IR) se consideran los subespacios { } x y U = x + y 2z = t z t { } 3a + b b V = a b IR a a + b W = L (a) Hallar la dimensión y una base de U V y W. {} 0 1 (b) Hallar en la base canónica ecuaciones paramétricas y cartesianas de U V (c) Hallar en la base B = { 1 0 0 1 } las ecuaciones paramétricas y cartesianas de V + W (Primer parcial enero 2007)
11. Sea P 2 (IR) el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 2 con coeficientes reales. Consideramos los subconjuntos: U = {p(x) P 2 (IR) 1 es raíz de p(x)}. W = {p(x) P 2 (IR) grado p(x) 1}. V = {p(x) P 2 (IR) 0 y 1 son raíces de p(x)}. (a) Probar que U V y W son subespacios vectoriales de P 2 (IR). (b) Estudiar si tiene sentido plantear las siguientes proyecciones: - La proyección del polinomio x 2 + x + 1 sobre U paralelamente a V. - La proyección del polinomio x 2 + x + 1 sobre U paralelamente a W. En caso afirmativo calcular dicha proyección. (Primer parcial enero 2007) 12. Encontrar la (única) respuesta correcta de entre las indicadas a las siguientes cuestiones: (a) Sean U y V subespacios vectoriales de un espacio vectorial E de dimensión finita. Si dim(u) + dim(v ) = dim(u + V ) entonces U y V son suplementarios. Si dim(u) = dim(v ) = dim(u V ) entonces U = V. Si dim(u + V ) = dim(e) entonces U y V son suplementarios. Ninguna de las anteriores respuestas es correcta. (Primer parcial enero 2008) (b) Sean F y G dos subespacios vectoriales de IR 100 de dimensiones 80 y 50 respectivamente. dim (F G) 30. F + G = IR 100. F G = G dim (F G) 30. (Primer parcial febrero 2001) (c) Sea U un espacio vectorial real y {ū 1 ū 2 ū 3 } un conjunto de vectores linealmente independientes de U. dim(u) = 3. dim(u) > 3. {ū 1 ū 1 + ū 2 ū 1 + ū 2 + ū 3 } pueden ser linealmente dependientes. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. (Primer parcial enero 2008)
(d) Sea V un espacio vectorial cualquiera. Dados tres subespacios vectoriales A B C siempre se cumple: (A + B) C (A C) + (B C). (A + B) C (A C) + (B C). (A + B) C (A C) + (B C). (A + B) C = (A C) + (B C). (Primer parcial enero 2007) (e) Sean U y W subespacios distintos de { 0} de un espacio vectorial real V. Entonces Siempre podemos plantear la proyección p sobre U paralelamente a W. De ser posible plantear la proyección p sobre U paralelamente a W Im(p) + W = V. De ser posible plantear la proyección p sobre U paralelamente a W es un monomorfismo. Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta. (Primer parcial enero 2007) (f) Sea V un espacio vectorial. Consideramos las bases B 1 = {ū 1 ū 2... ū n } y B 2 = {ū n ū n 1... ū 1 }. Sea M B1 B 2 la matriz de cambio de base de una a otra. det(m B1 B 2 ) = 1. det(m B1 B 2 ) = 1. det(m B1 B 2 ) = ( 1) n+1. Ninguna de las anteriores respuestas es correcta. (Primer parcial enero 2008)
ÁLGEBRA Problemas adicionales Espacios vectoriales (Curso 2008 2009) I. Decidir cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales del espacio vectorial V de las funciones f : IR IR: (a) Funciones f tales que 2f(0) = f(1). (b) Funciones que toman valores distintos de 0 en todo punto. (c) Funciones f tales que f(0) es un número racional. II. En el espacio vectorial real de las matrices 2 2 con elementos reales M 2 2 (IR) se consideran los subespacios { } 2 2 U = L 2 3 3 1 { } a + b a b V = a b IR a 2a + b (a) Determinar α y β para que pertenezca a U la matriz α 1. β 0 (b) Determinar α y β para que pertenezca a V la matriz 1 0. α β (c) Hallar la dimensión y una base de U. (d) Hallar la dimensión y una base de V. (e) Hallar en la base canónica ecuaciones paramétricas y cartesianas de U V (f) Hallar en la base canónica ecuaciones paramétricas y cartesianas de U + V III. Sea M n n (IR) el espacio vectorial de las matrices cuadradas de elementos reales y dimensión n. (a) Demostrar que si A M n n (IR) es una matriz fija el conjunto es un subespacio vectorial de M n n (IR). S = {B M n n (IR) : AB = Ω} (b) Si n = 2 y A es de la forma α 1 β 1 donde α β son números reales calcular en función de α β la dimensión y una base de S y las ecuaciones implícitas de un subespacio suplementario de S.
IV. En el espacio vectorial real de las matrices simétricas 3 3 con elementos reales S 3 decidir cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales y para los que lo sean hallar una base así como unas ecuaciones (paramétricas e implícitas) en la base canónica y en la base 1 1 B = 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 (a) Matrices regulares. (b) Matrices con traza nula. (c) Matrices cuyas dos primeras filas son iguales. V. Si W 1 W 2 y W 3 son subespacios vectoriales de un espacio vectorial V estudiar si son ciertas las fórmulas: (a) (W 1 + W 2 ) W 3 (W 1 W 3 ) + (W 2 W 3 ). (b) (W 1 W 3 ) + (W 2 W 3 ) (W 1 + W 2 ) W 3. (Examen final junio 2005) VI. Sea U el subespacio de IR 3 dado por las ecuaciones cartesianas: { x + y + z = 0 U z = 0 Es posible determinar un subespacio V de IR 3 de forma que U V = { 0} y U +V x+y+z = 0?. Justifica tu respuesta. (Examen final junio 2006) VII. En un espacio vectorial real E de dimensión 4 se consideran dos subespacios vectoriales V y W que con respecto a determinada base de E vienen descritos por las ecuaciones V : { x ay + z + bt = 0 y t = 0 W : { ax y bz + t = 0 x + z = 0 donde a b son dos números reales arbitrarios. En función de a y b calcular las dimensiones de los subespacios V W V W y V + W. (Examen final julio 2002) VIII. En IR 4 se define el subespacio F engendrado por los vectores: u 1 = (1 0 1 3) u 2 = (2 1 0 7) u 3 = (3 1 5 0). Además se define la relación: Es R una relación de equivalencia? cociente. u v IR 4 urv v u F. (Examen extraordinario diciembre 2005) Si lo es hallar las clases de equivalencia del espacio
IX. Consideremos los subespacios U y W de IR 3 tales que U está generado por los vectores (1 0 1) (0 1 1) (1 1 2) y la ecuación implícita de W es x y + 2z = 0. Se pide: (a) Bases de U W U + W y U W. (b) Ecuaciones implícitas de U W. (c) Base de un subespacio H suplementario de U W. (d) Proyección del vector (2 3 5) sobre el subespacio U W paralelamente a H. (Examen final junio 2006) X. En el espacio vectorial IR 3 dados dos valores reales a b R se definen los subespacios: U = L{(1 a 1) (b 1 a)} V = L{(0 1 1) (a 1 1 b)}. (a) Calcular en función de a y b la dimensión de U V. (b) Calcular los valores de a y b para los cuales los subespacios son suplementarios. (d) Para a = b = 0 calcular las ecuaciones cartesianas y paramétricas de U V. (Examen final septiembre 2008) XI. Encontrar la (única) respuesta correcta de entre las indicadas a las siguientes cuestiones: (a) Sea S = { x 1... x p } sistema ligado de vectores de un espacio vectorial V. Cualquier vector de S se puede poner como combinación lineal de los restantes. S contiene alguna base de V. dim L(S) < p S se puede completar a una base de V. (b) Si L 1 y L 2 son dos subespacios de un espacio vectorial V se tiene si diml 1 +diml 2 > dimv entonces L 1 L 2 { 0}. si dim(l 1 + L 2 ) =dimv entonces L 1 L 2 = { 0}. si L 1 L 2 { 0} entonces diml 1 +diml 2 > dimv. si L 1 L 2 = { 0} entonces dim(l 1 + L 2 ) =dimv. (Examen final junio 2000) (c) Sea V un espacio vectorial sobre IC y { a b c} una base suya V no es un espacio vectorial sobre IR. La dimensión del espacio vectorial V sobre IR es seis. { a b c} es una base del espacio vectorial V sobre IR. { a b c a b + ci} es un sistema ligado del espacio vectorial V sobre IR. (Primer parcial enero 2004) (d) En el espacio vectorial V de las matrices cuadradas reales n n. Llamamos S al subconjunto formado por todas las matrices ortogonales. S es un subespacio vectorial de V de dimensión n (n+1) 2.
S es un subespacio vectorial de V de dimensión n (n 1) 2. S no es un subespacio vectorial de V. Ninguna de las anteriores es correcta. (Primer parcial enero 2005) (e) Sea V un espacio vectorial real de dimensión 127. Puedo escoger 128 vectores de V que sean linealmente independientes. En un conjunto de 200 vectores de V siempre puedo seleccionar 127 que sean linealmente independientes. Toda aplicación lineal entre V y IR 127 es un isomorfismo. Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta. (Primer parcial enero 2006) (f) En IR 2 consideramos las bases C = {(1 0) (0 1)} B 1 = {(1 2) (3 5)} y B 2 = {(3 1) (2 1)}. Sean las matrices: 1 2 3 1 A 1 = ; A 3 5 2 = ; 2 1 Entonces si (x y) son las coordenadas de un vector en la base B 1 las coordenadas de dicho vector en la base B 2 se obtienen mediante el producto: ( x y ) A 1 A 2. ( x ( x ( x y ) A 1 1 A 2. y ) A 1 A 1 2. y ) A 1 1 A 1 2. (Primer parcial enero 2004)