GEOMETRÍA (Selectividad 017) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE EBAU EvAU PEBAU O COMO SE LLAME LA SELECTIVIDAD DE 017 1 Andalucía, junio 17 Ejecicio 4B Sean lo vectoe u = (1, 0, 1), v = (0,, 1) y w = (m, 1, n) (a) [1,5 punto] Halla m y n abiendo que u, v y w on linealmente dependiente y que w e otogonal a u (b) [1,5 punto] Paa n = 1, halla lo valoe de m paa que el tetaedo deteminado po u, v y w tenga volumen 10 unidade cúbica a) Si lo vectoe u, v y w on linealmente dependiente, entonce: 1 0 1 0 1 0 n 1m 0 n m 1 m 1 n Si w e otogonal a u w u = 0 (m, 1, n) (1, 0, 1) = 0 mn 0 nm1 1 1 Reolviendo el itema m ; n mn0 4 4 1 6 b) Del volumen del tetaedo viene dado po V u, v, w Paa n = 1 y VT 10 e tiene: VT 1 0 1 1 1 0 1 1 m 10 6 6 m 1 1 T 59 1 m 60 m 1 m 60 61 1 m 60 m Aagón, junio 17 a) (1 punto) Sea m una contante eal Detemine la poición elativa de lo plano iguiente, egún lo valoe de m: x : mx 6y z : y 1 z b) (1 punto) Detemine el ángulo que foman la ecta: xz 1 x 4y z 0 : : y 0 x y 3z 1 x 1 1 a) La ecuación implícita del plano π e: : y 1 1 0 0 : x 3y z 1 z 1 Lo vectoe caacteítico de ambo plano on: v = (m, 6, ) y v = (1, 3, 1) Eto vectoe on paalelo cuando m =, pue e tendía v = (, 6, ) = v ; luego i m = lo plano eán paalelo En lo demá cao, eto e i m, lo plano π y π e cotaán Joé Maía Matínez Mediano
GEOMETRÍA (Selectividad 017) b) El ángulo que foman do ecta e el que deteminan u coepondiente vectoe de diección La ecuacione paamética de amba ecta on: x t xz 1 z 1x : : : y 0 v = (1, 0, 1) y 0 y 0 z 1 t x 5 h 3 3 x 4y z E1 4E 6x 4 10z 1 4 : : : y h v = ( 5, 4, 3) x y 1 3z E E16 y 8z 3 3 z h Con eto: v v co (, ) = co( v, v ) co (, ) = (1, 0, 1) ( 5, 4, 3) 5 3 4 v v 50 100 5 El ángulo que foman e: 4 acco 36,87º 5 3 Atuia, junio 17 x y 1 y 1 3 Dada la ecta : y : x 1 z Calcula: z 1 a) Un vecto diecto de cada ecta (0,75 punto) b) El ángulo que foman la ecta (0,75 punto) c) El plano paalelo a la do ecta y que paa po el punto A(1,, 1) (1 punto) a) Expeando amba ecta en u ecuacione paamética, e tiene: x 1 t x y 1 x 1 y : : : y t Vecto diecto: v = (, 1, 0) z 1 z 1 z 1 x 1 h y 1 : x 1 z : y 1 h Vecto diecto: v = (1,, 1) z h v v (, 1, 0) (1,, 1) 0 b) co (, ) = co( v, v ) co (, ) = 0 v v 1 1 1 30 30 El ángulo que foman e: acco0 90º Son ecta pependiculae, c) El plano pedido viene deteminado po el punto A y po lo vectoe de diección de amba ecta Su ecuacione paamética on: Joé Maía Matínez Mediano
GEOMETRÍA (Selectividad 017) 3 x 1 t h : y t h z 1 + h 4 Atuia, junio 17 a) Lo cuato punto etaán en el mimo plano i lo vectoe AB, AC y AD on linealmente dependiente AB = ( 1, 1, 1) (1,, 0) = (, 1, 1); AC = (0, 0, 1) (1,, 0) = ( 1,, 1); AD = (4, 1, 3) (1,, 0) = (3, 1, 3) 1 1 Como 1 1 10 6 7 0, lo cuato punto no on coplanaio 3 1 3 b) El plano que contiene a lo punto A, B y C viene deteminado po el punto A y po lo vectoe AB y AC Su ecuación e: x 1 1 y 1 0 x 1 y 3z 0 x y 3z 3 0 z 1 1 El vecto diecto de la ecta bucada e ecuación eá: x4 t : y 1t z 3 3t c) El punto de cote de la ecta con el plano e halla utituyendo la ecuacione de la ecta en la del plano 4 t 1 t 3 33t 3 0 11t 11 0 t 1 El punto de cote e P(3, 0, 0) v v = (1, 1, 3) Si la ecta paa po D(4, 1, 3), u 5 Baleae, eptiembe 17 Ejecicio B3 Dado lo punto A(1, 0, 3) y B(1, 3, 4), halla lo punto ituado en el plano z = 1 que fomen con lo punto A y B un tiángulo equiláteo (6 punto) Halla el volumen del tetaedo fomado po lo 3 punto anteioe y el oigen de coodenada (4 punto) La ditancia ente lo punto A y B e: d A, B 3 1 10 Lo punto del plano z = 1 on de la foma Px, y,1 Si e quiee que el tiángulo ABP ea equiláteo hay que exigi que: d A, P d B, P d A, B 10 Joé Maía Matínez Mediano
GEOMETRÍA (Selectividad 017) 4, 1 10 x y d A P x y 1 10 x x y 5 [1], 1 ( 3) 3 10 x y d B P x y x x y 6y 9 [] 7 Sutituyendo [1] en [] e tiene: 5 6y 9 y 3 7 1 ( 3) 3 10 Volviendo a [1] x x 5 9x 18x 4 0 x = 1 (La olución e única) 3 Po tanto, el punto pedido e P(1, 7/3, 1) El volumen del tetaedo deteminado po lo punto A, B, P y O e: 1 0 3 1 1 8 5 VT 1 3 4 3 7 9 u 3 6 6 3 18 1 7 / 3 1 6 Cantabia, junio 17 (EXAMEN Nº 1) Ejecicio 3 Sea P el punto (0,, ) Sea la ecta expeada de foma continua: x y z 1 : 4 1 1) [0,75 PUNTOS] Eciba la ecuacione paamética de la ecta ) [1,5 PUNTOS] Calcule la ditancia de P a 3) [1 PUNTO] Calcule un plano pependicula a que pae po el punto P x y z 1 1) Haciendo : t y depejando cada una de la coodenada e obtienen u 4 1 x4t ecuacione paamética, que on: : y t z 1 t ) La ecuación de la ditancia de un punto P a una ecta e: AP v d( P, ), iendo A v En ete cao: A = (, 0, 1), P = (0,, ), AP = (,, 3), v = (4, 1, ) AP = 3 1, 16, 10 v 1 3 4 1 AP v 1 16 ( 10) 357 El módulo de v : 357 Luego d( P, ) 17 1 v 4 1 1 Joé Maía Matínez Mediano
GEOMETRÍA (Selectividad 017) 5 3) El vecto nomal del plano pedido e v v = (4, 1, ) Si contiene al punto P(0,, ), u ecuación eá: : 4x y z 0 : 4x y z 6 0 7 Cantabia, junio 17 (EXAMEN Nº ) Ejecicio 3 Sean A = (, 1, 0), B = (1, 1, 1), C = (, 0, ) te punto de R 3 1) [1 PUNTO] Calcule la ecuación implícita (geneal) del plano que paa po A, B y C ) [1 PUNTO] Calcule la ecuación continua de la ecta BC 3) [1 PUNTO] Calcule el áea del tiángulo definido po ABC 4) [0,5 PUNTOS] Detemine, uando el poducto ecala, i lo vectoe u = (3, 0, 1) y v = (4, 1, ) on otogonale 1) El plano pedido viene deteminado po el punto A y po lo vectoe AB y BC AB = (1, 1, 1) (, 1, 0) = (3, 0, 1); BC = (, 0, ) (1, 1, 1) = (1, 1, 1) Su ecuación e: x 3 1 y 1 0 1 0 x y 1 z ( 3) 0 x y 3z 4 0 z 1 1 ) La ecta BC viene deteminada po el punto B y po el vecto BC Su ecuación continua e: x 1 y 1 z 1 BC : 1 1 1 3) El áea del tiángulo viene dada po S = 1 AB BC 1 3 AB BC 3 0 1 1,, 3 1 1 1 1 1 1 AB BC ( 1) ( ) ( 3) 14 4) Como u v = (3, 0, 1) (4, 1, ) = 1 + =14 eto vectoe no on otogonale 8 Catilla La Mancha, junio 17 4A Dado el punto P(, 0, 1) y la ecta x y 1 z x y z 4 0 y 1 0 x z1 0 a) Detemina azonadamente la poición elativa de la ecta y (1,5 punto) b) Encuenta azonadamente la ecuación geneal del plano que paando po P e paalelo a y a (1 punto) Etudiando la dependencia lineal de lo vectoe v, v y RS, iendo R y S, e detemina la poición elativa de amba ecta: i eo vectoe on linealmente independiente, la ecta e cuzan; i on linealmente dependiente, etán en el mimo plano Se expea en foma paamética: Joé Maía Matínez Mediano
GEOMETRÍA (Selectividad 017) 6 x 1 t x y z 4 0 y x z 4 y 3 z y 3 t x z1 0 x 1 z x 1 z z t Luego: v = ( 1,, 0), v = ( 1, 1, 1) y RS = ( 1, 3, 0) (, 1, 0) = ( 3, 4, 0) Como 1 0 1 1 1 4 6, lo vectoe on linealmente independiente En 3 4 0 conecuencia, la ecta y e cuzan b) El plano pedido viene deteminado po el punto P(, 0, 1) y po lo vectoe de diección de amba ecta Su ecuacione paamética on: x t h x 1 1 y t h y 1 0 z 1 + h z 1 0 1 x y z 1 0 x y z 3 0 9 Catilla La Mancha, junio 17 4B a) Encuenta azonadamente la ecuación de la ecta, en u foma geneal o implícita, que contiene a lo punto P(0, 1, ) y Q(4, 3, 0) (1 punto) b) Encuenta azonadamente un punto que equidite de P y Q y que petenezca a la ecta x y R (1,5 punto) z 5 a) Su vecto diecto e PQ = (4, 3, 0) (0, 1, ) = (4, 4, ) x y 1 z Su ecuación en foma continua e: (Multiplicando en cuz ) 4 4 4x 4 y1 x y1 0 x4z x z 4 0 b) Sea R,, 5 un punto genéico de la ecta Se deea que:, d Q, R 1 5 3 5 d P R 3 1 5 3 5 16 4 7 3 El punto bucado e R,, 5 Joé Maía Matínez Mediano
GEOMETRÍA (Selectividad 017) 7 10 Catilla y León, junio 17 Detemina la ecta que e paalela al plano x y z 0 y que cota x 1 y 3 z pependiculamente a la ecta en el punto P(, 1, ) (,5 punto) 1 4 1) La ecta debe eta contenida en un plano π paalelo a π Po tanto, u vecto diecto, v, debe e nomal a v = (1, 1, 1) ) Su vecto diecto, v, también debe e pependicula a v = (1,, 4) Po tanto: v = v 1 3 v = 1 1 1 6, 3, 3 1 4 v = (, 1, 1) Como tiene que paa po el punto P(, 1, ), la ecuacione paamética de on: x y 1 z 11 Catilla y León, junio 17 E Dado el plano 3x y z 0 y lo punto P(0, 1, 1), Q(, 1, 3) que petenecen al plano π, detemina la ecta del plano que paa po el punto medio ente P y Q y e pependicula a la ecta que une eto punto (,5 punto) (Ete poblema e paecido al anteio) La ecta pedida debe paa po el punto medio, M, y u vecto de diección e nomal a v y a PQ Lo punto dado on del plano: veifican u ecuación 0 11 13 Punto medio ente P y Q: M =,, = (1, 0, 1) Vectoe: PQ = (, 1, 3) (0, 1, 1) = (,, 4); v = (3, 1, 1) v = v PQ = 4, 14, 8 Ecuación de la ecta: 1 3 v = (1, 7, 4) 3 1 1 x 1 y 7 z 1 4 Joé Maía Matínez Mediano
GEOMETRÍA (Selectividad 017) 8 1 Cataluña, junio 17 a) El vecto caacteítico (nomal), v, del plano Ax By Cz D debe e pependicula común a lo vectoe caacteítico v 1 = (5, 1, 7) y v = (, 3, 1) de lo plano dado Ademá, i paa po el oigen de coodenada, D = 0 Po tanto: 1 3 v v1 v 5 1 7 0, 19, 17 3 1 Su ecuación eá: 0x19 y17z 0 b) El ángulo que foman lo plano π 1 y π e el que foman u vectoe caacteítico 5, 1, 7, 3, 1 co v 1, v = = 10 3 7 0 ángulo (1, ) = 90º 5 ( 1) ( 7) 3 1 75 14 Son plano pependiculae 13 Comunidad Valenciana, junio 17 x y z 1 0 Poblema A Se dan el punto P (1, 1, 1), la ecta : y el plano x y z 1 0 : x y z 1 Obtene azonadamente, ecibiendo todo lo pao del azonamiento utilizado, la ecuacione de: a) El plano que contiene al punto P y a la ecta ( punto) b) La ecta que paa po el punto P y e pependicula al plano, la ditancia del punto P al plano y el punto de inteección de la ecta con el plano (++ punto) c) El plano que contiene a la ecta y e pependicula al plano ( punto) a) Se expea en foma paamética x y z 1 0 x y 1 z x y 1 z x 3 z : : : : x y z 1 0 x y 1 z E E1 y y x 3 t Haciendo z = t e tiene: : y z t Su vecto de diección e v = (1, 0, 1); el punto A = ( 3,, 0) El plano pedido debe contene al vecto AP = (1, 1, 1) ( 3,, 0) = (4, 1, 1) Su ecuación eá: Joé Maía Matínez Mediano
GEOMETRÍA (Selectividad 017) 9 x 3 t 4h x 3 1 4 P : y h P : y 0 1 0 z t h z 1 1 : x 3 3 y P z 0 x 3 y z 3 0 b) Si la ecta e pependicula al plano : x y z 1 v v = (1, 1, 1) x1t Como debe contene al punto P (1, 1, 1), u ecuación eá: : y 1 t z 1 t Sutituyendo en la ecuación del plano π la ecuacione de e obtiene el punto de cote: 1 t 1 t 1 t 1 t 3 1 1 1 El punto de cote e Q,, 3 3 3 La ditancia del punto al plano puede calculae de do manea d P, 1111 1 1 1 3 1) ) d P, d P, Q 1 3 3 3 3 3 c) El plano queda deteminado po la ecta y el vecto v = (1, 1, 1) Su ecuación eá: x 3 t h x 3 1 1 : y h : y 0 1 0 z t h z 1 1 : x 3 0 y z 0 x z 3 0 14 Comunidad Valenciana, junio 17 Poblema B Sea T un tetaedo de vétice O = (0, 0, 0), A = (1, 1, 1), B = (3, 0, 0) y C = (0, 3, 0) Obtene azonadamente, ecibiendo todo lo pao del azonamiento utilizado: a) La ecuación del plano que contiene a lo punto A, B y C, (1 punto), y la ecuacione de la ecta h O pependicula a que paa po O ( punto) b) El punto de inteección de la altua h O y el plano (3 punto) c) El áea de la caa cuyo vétice on lo punto A, B y C, ( punto), y el volumen del tetaedo T ( punto) a) El plano π queda deteminado el punto A(1, 1, 1) y po lo vectoe: AB = (3, 0, 0) (1, 1, 1) = (, 1, 1) y AC = (0, 3, 0) (1, 1, 1) = ( 1,, 1) Su ecuación e: Joé Maía Matínez Mediano
GEOMETRÍA (Selectividad 017) 10 x 1 1 : y 1 1 0 z 1 1 1 : 3 x 1 3 y 1 3 z 1 0 : x y z 3 0 Si la ecta h O e pependicula al plano : x y z 3 0 vho v = (1, 1, 1) x t Como paa po el oigen, u ecuación eá: ho : y t z t b) Sutituyendo en la ecuación del plano π la ecuacione de ho e obtiene el punto de inteección: t t t 3 0 t 1 El punto de cote e D = (1, 1, 1) 1 c) El áea del tiángulo de vétice A, B y C viene dada po S AB AC Como: 1 3 AB AC 1 1 3, 3, 3 1 1 Luego, la upeficie del tiángulo eá: AB AC 9 9 9 3 3 3 3 S u El volumen del tetaedo e un exto del poducto mixto de lo te vectoe que lo deteminan En ete cao, lo vectoe: OA, OB y OC Como OA = (1, 1, 1), OB = (3, 0, 0) y OC = (0, 3, 0), el volumen e: 1 1 1 1 1 3 V 3 0 0 9 u 3 6 6 0 3 0 15 Extemadua, junio 17 En R 3 e conidean la ecta de ecuacione: 3xy0 x 1 y 3 z 1 :, : x z 8 a 1 a) Halle el valo de a paa que y ean paalela (1 punto) b) Paa el valo de a obtenido en el anteio apatado, calcule la ditancia ente la ecta y (1,5 punto) a) Ecuacione paamética de amba ecta x 8 t x 1 h 3xy0 : : y 1 3t v = (, 3, 1); : y 3ah v = (, a, 1) x z 8 z t z 1h Lo vectoe v = (, 3, 1) y v = (, a, 1) on paalelo cuando a = 3, en ee cao v = v Joé Maía Matínez Mediano
GEOMETRÍA (Selectividad 017) 11 b) Un plano pependicula a amba ecta e : x 3y z 0 (Su vecto caacteítico coincide con v ) Lo punto de cote de ee plano con cada una de la ecta on: 8 t 3 1 3t t 0 : R 4 6 6,, 7 7 7 1 h 3 33h 1 h 0 : d, d R, S 1 5 Con eto, 6 t 7 5 h ; 7 S 3 6 1,, 7 7 7 16 Ila Canaia, junio 17 Dado lo plano: : x y 3 0; : x y z 0, detemina: 1 a) La ecuación de la ecta pependicula a π 1 que paa po el punto P(,, 1) (1 punto) b) La ecuación del plano pependicula a la ecta que deteminan π 1 y π que contiene al punto A(1, 1, 1) (1,5 punto) a) Si la ecta e pependicula al plano : x y 3 0 1 v v 1 = (1, 1, 0) x t Como debe contene al punto P (,, 1), u ecuación eá: : y t z 1 x y 3 0 b) La ecta que deteminan lo plano π 1 y π e : x y z 0 x t Haciendo x = t y depejando y y z e tiene: : y 3 t z 3 3t Si el plano π e pependicula a v v = (1, 1, 3) Como e deea que contenga al punto A(1, 1, 1), u ecuación eá: :1 x 1 1 y 1 3 z 1 0 : x y 3z 1 0 17 Ila Canaia, junio 17 x y z 4 Dado el plano :5x ay 4z 5 0 y la ecta :, e pide: 6 4 a) Calcula el valo del paámeto a paa que la ecta ea paalela al plano π (1,5 punto) b) Paa a = 0, calcula el ángulo que foman el plano π y la ecta (1,5 punto) a) La ecta y el plano eán paalelo cuando el vecto de diección de la ecta, v = (, 6, 4), ea pependicula al vecto caacteítico del plano, v = (5, a, 4) v v = 0 v v = (, 6, 4) (5, a, 4) = 10 + 6a 16 = 0 a = 1 Joé Maía Matínez Mediano
GEOMETRÍA (Selectividad 017) 1 b) Paa a = 0, v = (5, 0, 4) El ángulo que foma una ecta con un plano e el complementaio del que deteminan lo vectoe v, de diección de la ecta, con v, nomal al plano Po tanto, el eno del ángulo (, π), v v 5, 0, 4, 6, 4 en (, π) = co( v, v ) = = v v 5 4 6 ( 4) = 10 16 0,15 α = 97,º ángulo (, ) = 7,º 41 56 18 La Rioja, junio 17 - (3 punto) Dado lo vectoe u = (, 3, 5), v = (1,, ), w = (k, 1, k) i) Calcula el valo de k paa que lo vectoe ean linealmente independiente ii) Compueba que paa k = lo vectoe foman una bae del epacio euclídeo tidimenional iii) Halla la coodenada del vecto a = (15, 11, 18) epecto de la bae del apatado anteio 3 5 i) Hay que exigi que 1 0 k 1 k k k k k 3 4 5 1 4 0 9 k 0 k 9 (Paa k = 9 lo vectoe eán linealmente dependiente) ii) Paa k = lo vectoe on: u = (, 3, 5), v = (1,, ), w = (4, 1, ) En ee cao, el deteminante anteio vale 11; luego lo vectoe on linealmente independiente Y, po tanto, foman bae de R 3 iii) Hay que eolve la ecuación a xu yv zw, que da luga al itema: x y 4z 15 3x y z 11 El deteminante de la matiz de coeficiente vale A 11 5x y z 18 Puede eolvee po Came: 15 1 4 15 4 1 15 11 1 18 x ; A 11 3 11 1 5 18 11 y 1; A 11 3 11 5 18 33 z 3 A 11 19 Madid, junio 17 Ejecicio : Calificación máxima: 3 punto Dado lo punto P(1,, 1), Q( 4, 0, 1), R( 3, 1, ), S(0, 3, 0), e pide: a) (1 punto) Halla la ecuación del plano que contiene a P, Q y R b) (1 punto) Etudia la poición elativa de la ecta, que paa po lo punto P y Q, y la ecta, que paa po R y S c) (1 punto) Halla el áea del tiángulo fomado po lo punto P, Q y R Joé Maía Matínez Mediano
GEOMETRÍA (Selectividad 017) 13 a) El plano plano que contiene a P, Q y R viene dado po el punto P(1,, 1) y po lo vectoe: PQ = ( 4, 0, 1) (1,, 1) = ( 5,, 0) y PR = ( 3, 1, ) (1,, 1) = ( 4, 3, 1) x 1 5 4 : y 3 0 z 1 0 1 : x 1 5 y 7 z 1 0 : x 5y 7z 15 0 x 1 5 b) La ecta etá deteminada po P y PQ Su ecuación e : y z 1 x 3 3t La ecta etá deteminada po R y SR = ( 3, 1, ) (0, 3, 0) = ( 3, 4, ) : y 14t z t Puede obevae que la ecta no on paalela, pue v = ( 5,, 0) y v = ( 3, 4, ) on independiente (no paalelo) Paa ve i e cuzan o e cotan hay que etudia la dependencia lineal de lo vectoe PQ = v, SR = v y PR = ( 4, 3, 1) 5 0 Como cotan 3 4 10 10 0 lo vectoe on linealmente dependiente: la ecta e 4 3 1 c) El áea del tiángulo de vétice P, Q y R viene dada po Como: 1 3 PQ PR 5 0, 5, 7 4 3 1 Luego, la upeficie del tiángulo eá: 1 S PQ PR PQ PR 4 5 49 78 78 S u 0 Mucia, junio 17 CUESTIÓN B: Lo vétice de un tiángulo ABC on A = ( a, 1, 1), B = (, 1, ), C = (1, a, 3) a) [1,5 punto] Cuánto ha de vale a paa que el tiángulo ea ectángulo en B? b) [1 punto] Calcule el áea del tiángulo ABC paa el cao a = 1 a) El tiángulo de vétice ABC eá ectángulo en B cuando lo vectoe AB y BC ean pependiculae Paa ello, u poducto ecala debe e 0 Lo vectoe on: AB = (, 1, ) ( a, 1, 1) = ( + a,, 1); BC = (1, a, 3) (, 1, ) = ( 1, a + 1, 1) AB BC = ( + a,, 1) ( 1, a + 1, 1) = a 4a 1 3a 3 0 a = 1 Joé Maía Matínez Mediano
GEOMETRÍA (Selectividad 017) 14 a) El áea del tiángulo de vétice A, B y C viene dada po En ete cao, paa a = 1: AB = (1,, 1); BC = ( 1, 3, 1) Luego: 1 3 AB BC 1 8, 3, 1 1 3 1 Po tanto, la upeficie del tiángulo eá: 1 Navaa, junio 17 1 S AB BC AB BC 64 9 1 74 74 S u x y z 1 0 x 1 y z 1 A) Dado el punto P 1, 1,0 y la ecta y 3x y 4z 6 0 1 0 1 halla la ecuación geneal del plano π que ea paalelo a amba ecta y tal que la ditancia de P a π ea El vecto de diección de la ecta e obtiene multiplicando vectoialmente lo vectoe 1 3 nomale de lo plano que la deteminan: v 1,, 1 En vecto de diección de e: v = (1, 0, 1) Un plano paalelo a amba ecta bien dado po 3 1 4 x y z 1 0 0 x y z 0 1 1 El plano hallado paa po el oigen; todo lo paalelo a él, ente lo que etá el bucado, on de la foma x y z d 0 Como e deea que d P,, entonce: 1 1 ( 1) 0 d 3 d d 3 dp, 4 14 3 d 9 Po tanto hay do plano que cumple la condición exigida: 1 x y z 3 0 y x y z 9 0 Paí Vaco, junio 17 Dado el punto M(1, 3, 7), obtene u imético epecto a la ecta que paa po lo punto A(1, 3, 4) y B(0, 4, 1) Si Q e el imético de M epecto de una ecta, e cumplen do coa: Su punto medio, R, debe e de la ecta El vecto MR debe e pependicula al vecto v de diección de la ecta Eto e, debe cumplie que v PR = 0 La ecuación de la ecta que paa po A y B e: Joé Maía Matínez Mediano
GEOMETRÍA (Selectividad 017) 15 x1t : y 3 t v = (1, 3, 4) (0, 4, 1) = (1, 1, 3) z 4 3t Sea R un punto genéico de la ecta: R = (1 + t, 3 + t, 4 + 3t) Po tanto: MR = (1 + t, 3 + t, 4 + 3t) (1, 3, 7) = (t, t, 3t 3) v MR = 0 (1, 1, 3) (t, t, 3t 3) = t + t + 9t 9 = 0 11t = 9 9 t 11 0 4 71 Luego, R,, 11 11 11 1 3 7 Si Q = (a, b, c), el punto medio ente M y Q e: a, b R, c Igualando la coodenada de ambo R e tiene: a 1 0 9 b 3 4 15 c 7 71 65 a ; b ; c 11 11 11 11 11 11 Po tanto, el punto el punto imético de M epecto de e: 9 15 65 Q,, 11 11 11 Joé Maía Matínez Mediano