INFERENCIA ESTADÍSTICA SELECTIVIDAD CyL 1. Se quiere estimar la media de la nómina mensual que reciben los directivos de las compañías multinacionales que operan en Europa. a. Si la varianza de la nómina de la población es de 1000 2. Cuál es la varianza de la media muestral cuando el tamaño de la muestra es de 100? (Solución: 10) b. Si en las condiciones del apartado anterior, la media muestral es de 4008, se rechazaría, con un nivel de confianza del 0,95, la hipótesis de que la nómina media es de 4000? (Soluc.: Se rechaza H 0 ) 2. La duración (en años) de la placa base de los ordenadores sigue una distribución normal de parámetros 10, 2. Calcula la probabilidad de que una placa base dure más de 12 años. (Solución: 0,1587) 3. Una persona que desea encontrar trabajo se presenta a dos entrevistas en las empresas a y B. En la entrevista de la empresa A obtiene una puntuación de 9, con una media de puntuación de 7 para la totalidad de los candidatos y una varianza de 4. En la entrevista de la empresa B obtiene una puntuación de 8, con una media de puntuación de 6 para la totalidad de los candidatos y una desviación típica de 1,5 En qué entrevista ha obtenido esa persona una mejor puntuación relativa? (Solución: Mejor en B) 4. Los salarios mensuales de una empresa siguen una distribución normal de media 7000 euros y desviación típica 2000 a. Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 6000 y 9000? (Solución: 53,28 %) b. Sabiendo que un 10 % de las personas ganan más que el trabajador X, cuánto gana el trabajador X? (Solución: 9560 ) 5. Una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media 4 y varianza 9. a. Calcula 3,4 4,6 (Solución: 0,1586) b. Encuentra un valor a tal que 4 6 4 6 0,75 (Solución a = 0,575) 6. Una máquina de envasado automático de refrescos vierte en cada lata una cantidad de refresco que puede suponerse que sigue una distribución normal de media 32,5 y desviación típica 0,5. El llenado de la lata se considera incorrecto si la cantidad de refresco vertido es inferior a 31,5 cl ó superior a 34 cl. a. Cuál es el porcentaje de llenados incorrectos para esta máquina? (Solución: 2,41 %) b. Cuál es la probabilidad de que en el llenado de 3 latas con esa máquina todos los llenados sean correctos? (Solución: 0,9294) 7. a. Los salarios de los trabajadores de un país puede suponerse que siguen una distribución normal de media 2000 euros y desviación típica desconocida. Si la probabilidad de ganar más de 21000 euros es de 0,33, cuál es la desviación típica? (Solución: 227,3 ) b. Los salarios en euros de los trabajadores en un segundo país también puede suponerse que siguen una distribución normal con la misma media y con varianza de 40000 euros 2. Es más fácil ganar más de 2100 euros en este segundo país que en el país del apartado anterior? (Solución: en el 2º país p=0,3085, es más difícil en el segundo país)
8. Las ausencias en días de un empleado de una empresa para un determinado año se aproxima por una distribución normal de media días y desviación típica 2 días. Se pretende estimar usando la media de las ausencias en ese año de n trabajadores seleccionados de forma aleatoria en la empresa. a. Si suponemos 6.3 y que 25, cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 6,1 y 6,5 días? (Solución0,383) b. Qué tamaño n debería tener la muestra aleatoria para poder estimar usando la media muestral con un error máximo (diferencia entre y de 0,2 días con una confianza del 95 %? (Solución: n 385 í ) 9. El peso de los usuarios de un gimnasio tiene una media desconocida y una desviación típica 5,4 kg. Tomamos una muestra aleatoria de 100 usuarios obteniendo una media de 60 kg a. Calcula con un nivel de confianza del 95 % el intervalo de confianza para el peso medio de todos los usuarios. (Solución: I.C.= (59,9416, 61,0584)) b. Se realiza la siguiente afirmación: el peso medio de un usuario de ese gimnasio está comprendido entre 58,5 y 61,5 kg Con qué probabilidad esta afirmación es correcta? (Solución: 99,4 %) 10. El tiempo en minutos transcurrido hasta que una persona es atendida en la sucursal A de un banco sigue una distribución normal de media 9 y desviación típica 1, mientras que el tiempo transcurrido hasta que es atendido en la sucursal B sigue, también, una distribución normal de media 8,5 y varianza 4 a. Si un cliente tiene que hacer una gestión bancaria y sólo dispone de 10 minutos, en qué sucursal A ó B será más fácil que le hayan atendido en el tiempo que dispone? (Solución A) b. Cuánto debe valer x si sabemos que el 80 % de los clientes que van a la sucursal B esperan más de x minutos? (Solución: 6,82) c. Un cliente, teniendo en cuenta la proximidad de estas dos sucursales a su casa, elige ir a la sucursal A con probabilidad 0,3 y a la sucursal B con probabilidad 0,7. Eligiendo una de las visitas al banco de este cliente al azar, cuál es la probabilidad de que el cliente haya tenido que esperar más de 10 minutos? (Solución: 0,20623) 11. Se supone que el número de horas extras realizadas por un trabajador de una empresa en un determinado mes sigue una distribución normal con media desconocida y desviación típica 0,25 horas. a. Si el número medio de horas extras realizadas en dicho mes por 20 empleados seleccionados de forma aleatoria en la empresa resultó ser 4,925 horas, permite este valor de rechazar a nivel 0,05 que fuera igual a 5 horas? (Soluc.: Se acepta H 0 : µ =5 horas) b. Da un intervalo de confianza al 99 % para usando la media de la muestra anterior de 20 trabajadores ( 4,925 horas) (Solución: I.C.= (4,781, 5,069)) 12. El coeficiente intelectual de los individuos presentes en una sala puede suponerse que sigue una distribución normal de media y varianza igual a 81. a. Cuánto vale si sabemos que sólo un 10 % de las personas en la sala sobrepasa un coeficiente intelectual de 105) (Solución: = 93,435) En los dos siguientes apartados supondremos que 95 b. Elegida una persona al azar de la sala, cuál es la probabilidad de que su coeficiente intelectual está entre 86 y 107? (Solución: 0,7495)
c. Elegimos 9 personas al azar de la sala y calculamos la media de sus coeficientes intelectuales, cuál es la probabilidad de que esa media esté entre 86 y 107? (Sol: 0,9987) 13. En una encuesta se pregunta a 1000 estudiantes de Bachillerato sobre su consumo semanal de refrescos, encontrándose una media muestral de 5 refrescos, Se supone una desviación típica de la población de 2 refrescos. a. Halla el intervalo de confianza para el consumo medio semanal de refrescos en toda la población de estudiantes de Bachillerato, con un nivel de confianza del 80% (Solución: I.C.= (4,918, 5,081)) b. Si aceptamos un error máximo de 0,25 refrescos para la estimación de la media poblacional con un nivel de confianza del 80 %, a cuántas personas es necesario entrevistar? (Solución: n 107) 14. Se sabe que los salarios de una Comunidad Autónoma siguen una distribución normal de varianza 6400 2, Si realizamos una encuesta de tamaño n a personas de esa Comunidad: a. Calcula la desviación típica de la media muestral de los salarios si se han realizado 20 encuestas. (Solución 8 5 ) b. Cuántas encuestas hemos realizado si hemos obtenido una media muestral 1800 y un intervalo de confianza al 95 % para la media poblacional igual a 1784.32, 1815.68. (Solución: n 100 encuestas) 15. Suponemos que las notas del último examen para 120 alumnos siguen una distribución normal cuya media y desviación típica son 5.5 y 2.04, respectivamente. Si tomamos una muestra de 30 alumnos que han hecho dicho examen, cuál es la distribución de la media muestral basada en esos 30 alumnos? (Solución 5,5, 2,04/ 30) 16. Una máquina envasadora de café molido envasa paquetes de café que siguen una distribución normal de media 500 y desviació típica 35. Los paquetes se embalan en cajas de 100 paquetes de café. a. Calcula la probabilidad de que la media de los pesos de los paquetes de una caja sea menor que 495 g. (Solución: 0,0764) b. Calcula la probabilidad de que una caja de 100 paquetes pese más de 51 kg. (Soluc. 0,0021) 17. Una industria conservera envasa latas de sardinas, cuyo peso sigue una distribución normal con media µ y desviación típica σ =1. a. Suponiendo que µ = 90 gramos y que cada lata debe pesar entre 88 y 92 gramos para salir al mercado, qué proporción de latas salen efectivamente al mercado? (Solución: 95,44 %) b. Suponiendo que se desconoce µ, se toma una muestra de 25 latas para su estimación, obteniéndose un media muestral de 90.25 gramos. Determina un intervalo de confianza al 95% para µ. (Solución: I.C.= (89,858, 90,642)) 18. La temperatura del cuerpo humano sigue una distribución normal de media 37 ºC y desviación típica de 0.5 ºC. a. Halla la probabilidad de que la temperatura de una persona esté comprendida entre 36.5ºC y 37.5 ºC. (Solución: 0,6826) b. Si elegimos una muestra de 25 personas, cuál es la probabilidad de que la media de sus temperaturas sea mayor que 36.7 ºC? (Solución: 0,9987) 19. (Septiembre 2010) Una panadería fabrica panes cuyos pesos tienen una distribución normal con media μ y desviación típica σ.
a. Calcula la desviación típica σ, si μ= 250g y el 90% de los panes pesa más de 245g. (Solución σ = 3,91 ) b. Suponemos ahora μ desconocido. Obtén un intervalo de confianza al 95% para μsi σ=3 y la media muestral basada en una muestra de tamaño n = 16 resultó ser 251g. (Solución: I.C.= (249,53, 252,47)) 20. (Septiembre 2010) El diámetro de las cabezas de unos tornillos sigue una distribución normal de media μ= 5.5 mm y varianza σ 2 = 0.64 mm2. Sabiendo que los tornillos son aprovechables si su diámetro está entre 4.3 y 7.1 mm, cuál es el porcentaje de tornillos aprovechables? (Solución: 91,04 %) 21. (Septiembre 2010) La estatura de los alumnos de un colegio es una variable aleatoria que tiene una distribución normal de desviación típica 25 cm. Se ha elegido una muestra de 100 alumnos de ese colegio comprobándose que la estatura media es de 170 cm. Calcula: a. El intervalo de confianza para la estatura media con un nivel de confianza del 99%. (Solución: I.C.= (163,563, 176,4375)) b. El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir, con un nivel de confianza del 95%, un error máximo de 8 cm en la estimación de la estatura media. (Solución: n 38) 22. (Junio 2011) Una empresa fabrica tornillos para llantas cuyo diámetro sigue una distribución normal de media μ milímetros y desviación típica 2 milímetros. Se selecciona un lote de 100 tornillos y resulta una media muestral de 19 milímetros. a. Determina un intervalo de confianza al 98% para μ. (Solución: I.C.= (18,534, 19,466)) b. Para un determinado modelo de automóvil, se exige que el diámetro medio de los tornillos sea de 20 milímetros. Plantea un test de hipótesis que permita decidir si los tornillos fabricados se ajustan a este tamaño, con una confianza del 95%. (Soluc.: Se rechaza H 0 : µ =20) 23. (Septiembre 2011) En un almacén hay un gran número de cajas. El peso de cada una de ellas es una variable aleatoria con distribución normal de media 50 kg y desviación típica 5 kg. a. Halla el porcentaje de cajas que pesan entre 50 y 55 kg. b. Para transportar las cajas se dispone de un camión que tiene autorizado un peso máximo de 2000 kg en total. Cuál es la probabilidad de que el camión soporte la carga de 41 cajas sin exponerse a superar el peso máximo autorizado? (Solución: a) 34,13 % b) 0,0594 ) 24. (Junio 2012) En un determinado municipio, los ingresos mensuales de sus habitantes siguen una distribución normal de media μ y desviación típica 200. Se seleccionó al azar una muestra de 100 personas cuya media de ingresos mensuales resultó de 1060. a) Para un nivel de confianza del 95%, calcula un intervalo de confianza para el ingreso medio mensual en ese municipio. b) Si se toma un nivel de significación de 0.01, calcula el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el ingreso medio mensual con un error menor de 30 (Solución: a) I.C.= (1020,8; 1099,2) b) n = 296 ) 25. (Septiembre 2013) Los pesos de los sacos de leña que se venden en una gasolinera siguen una distribución normal con desviación típica 1 kg. Se quiere comprobar con una confianza del 95% que el peso de 10 kg que marca la etiqueta de cada saco es correcto. Para ello se toman al azar 100 sacos de leña, resultando un peso medio de 9.75 kg.
a) Plantea un test de hipótesis adecuado que permita hacer la comprobación requerida. b) Proporciona un intervalo de confianza al 90% para el peso medio de los sacos. (Solución: a) H 0 : µ = 10 kg, H 1 : µ 10 kg Se rechaza la hipótesis nula b) I.C.= (9,585; 9,915)) 26. (Junio 2014) Según cierto estudio, el tiempo, medido en horas, que un alumno de Bachillerato estudia en la biblioteca semanalmente sigue una distribución normal con media μ y desviación típica 2.5. Al tomar una muestra aleatoria de 100 estudiantes, se obtuvo una media muestral de 6.5 horas. a) Suponiendo que la media poblacional es μ = 6.3 horas, es compatible el resultado muestral con ese valor poblacional, considerando un nivel de confianza del 95%? b) Para el mismo nivel de confianza y suponiendo μ desconocida, determina el tamaño muestral adecuado para que el error máximo cometido en su estimación sea de 0.1 horas. (Solución: I.C.= (6,01; 6,99),µ = 6,3 horas, está dentro del intervalo de confianza calculado, podemos decir que ambos datos son compatibles con un nivel de confianza del 95 %. b) n 2401 estudiantes) 27. (Septiembre 2014) Se sabe que el tiempo que una persona dedica a ver la televisión cada día sigue una distribución normal con media μ minutos y desviación típica σ = 20 minutos. Un estudio desea comprobar si el tiempo medio diario por persona viendo la televisión es de 3 horas. Para ello se entrevista a una muestra representativa de 225 televidentes, resultando un tiempo medio muestral de 188 minutos. a) Plantea un test de hipótesis que permita decidir si el tiempo medio es de 3 horas con una confianza del 95%. b) Proporciona un intervalo de confianza al 99% para el tiempo medio μ dedicado a ver la televisión. (Solución: a) H 0 : µ = 180 minutos, H 1 : µ 180 minutos Se rechaza la hipótesis nula b) I.C.= (184,56; 191,44)) 28. (Septiembre 2015) La temperatura corporal es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media 36.7 ºC y desviación típica 3.8 ºC. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 personas. a) Calcula la probabilidad de que la temperatura corporal media de la muestra sea menor que 36.9 ºC. (Solución: 0,7019) b) Calcula la probabilidad de que la temperatura corporal media de la muestra esté comprendida entre 36.5 ºC y 37.3 ºC. (Solución: 0,6448)
BINOMIAL Y NORMAL - Selectividad 1- (Septiembre 2011) En un almacén hay un gran número de cajas. El peso de cada una de ellas es una variable aleatoria con distribución normal de media 50 kg y desviación típica 5 kg. a) Halla el porcentaje de cajas que pesan entre 50 y 55 kg. b) Para transportar las cajas se dispone de un camión que tiene autorizado un peso máximo de 2000 kg en total. Cuál es la probabilidad de que el camión soporte la carga de 41 cajas sin exponerse a superar el peso máximo autorizado? (Solución: a) 34,13 % b) 0,0594 ) 2- (Septiembre 2011) 4B- En cierto instituto aprueba la asignatura de filosofía el 80% de los alumnos. Cuál es la probabilidad de que de un grupo de 8 alumnos elegidos al azar hayan aprobado 6 alumnos? (Solución: 0,2936) 3- (Septiembre 2010) 4B- El 5% de los clientes de una entidad bancaria son morosos. Cuál es la probabilidad de encontrar al menos un moroso entre 10 clientes elegidos al azar? (Solución0,4013) 4- (Junio 2011) El 10% de los huevos de un supermercado están rotos. Halla la probabilidad de que un cliente que compra media docena de huevos encuentre como mucho un huevo roto. (Solución: 0,8857) 5- (Septiembre 2012) Una Universidad pública recibe 800 solicitudes de acceso para uno de los Grados en los que la oferta de plazas se reduce a 120. Sabiendo que la nota final, de un solicitante, después de las pruebas de acceso sigue una distribución normal de media 7.3 y desviación típica 0.7, calcula la nota mínima para obtener una de las 120 plazas ofertadas. (Solución: 8,028) 6- (Junio 2013) 3B- El porcentaje de vacas que enferman después de suministrarlas una determinada vacuna es del 2%. En una granja se vacuna a 600 vacas. a) Halla el número esperado de vacas vacunadas que no enfermarán. b) Halla la probabilidad de que, como máximo, enfermen 20 vacas vacunadas. (Solución: a) 588 vacas b) 0,9934.) 7- (Junio 2012) 4B- La probabilidad de romper una galleta al ser envasada es el 1%. Si en un envase hay 10 galletas, cuál es la probabilidad de que al menos una galleta esté rota debido a la operación de envasado? (Solución: 0,0956) 8- (Septiembre 2013) Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución normal N(50,10) Calcula la probabilidad 80. (Solución: 0,0013) 9- (J2015) 4B- La duración de una batería de móvil sigue una distribución normal de media 3 años y desviación típica 0.5 años. Calcula la probabilidad de que una batería dure entre 2 y 4 años. (Solución: 0,9544)